2024-2025學年福建省福州市高新一中高三（上）第一次月考數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省福州市高新一中高三（上）第一次月考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈Z|x(x?3)<0}，B={?1,2,3}，則A∩B=(

)A.{2} B.{2,3} C.{?1,1,2,3} D.?2.已知α∈(π2,π)，sinα=35A.?17 B.7 C.173.“l(fā)na>lnb”是“a>bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.函數(shù)f(x)=xcosxe|x|?1的圖象大致為A. B.

C. D.5.實數(shù)x，y滿足2x+y=?1，x>0，則x?yx的最小值為(

)A.1 B.2 C.3 D.46.已知函數(shù)f(x)=log0.5(x2?ax+3a)在(2,+∞)A.(?∞,4] B.[4,+∞) C.[?4,4] D.(?4,4]7.已知定義域為R的函數(shù)f(x)，其導函數(shù)為f′(x)，且滿足f′(x)?f(x)<0，f(0)=1，則(

)A.ef(?1)<1 B.f(1)>e C.f(12)<8.已知f(x)=|ln(?x)|,x<0x2?4x+5,x≥1，若方程f(x)=m(m∈R)有四個不同的實數(shù)根x1，x2，xA.(3,4) B.(2,4) C.[0,4) D.[3,4)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列選項中，與sin5π6的值相等的是(

)A.cos2π3 B.cos18°cos42°?sin18°sin42°

C.2sin15°sin75° 10.已知a>0，b>0，a+2b=1，下列結(jié)論正確的是(

)A.1a+2b的最小值為9 B.a2+b2的最小值為15

11.設(shè)函數(shù)f(x)與其導函數(shù)f′(x)的定義域均為R，且f′(x+2)為偶函數(shù)，f(1+x)?f(1?x)=0，則(

)A.f′(1+x)=f′(1?x) B.f′(3)=0

C.f′(2025)=0 D.f(2+x)+f(2?x)=2f(2)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=ax3?2bx2+x是定義在13.若函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<2π)的圖象向右平移φ個單位后在區(qū)間x∈[0,π2]上單調(diào)遞減，則14.與曲線y=1ex和曲線y=?lnx?2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)3bsinA=a(2+cosB)．

(1)求B；

(2)若△ABC的面積等于3，求△ABC16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx?ax+2．

(1)當a=1時，求f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．17.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的圖象與x軸的相鄰的兩個交點之間的距離為π2，且圖象上一個最高點為M(7π6,2)．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)x0ππωx+φπ3π2πf(x)0?20(Ⅲ)當x∈[π12,π18.(本小題15分)

在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)政策影響下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長，某地區(qū)2021年底新能源汽車保有量為1500輛，2022年底新能源汽車保有量為2250輛，2023年底新能源汽車保有量為3375輛．

(1)設(shè)從2021年底起經(jīng)過x年后新能源汽車保有量為y輛，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試從y=a?bx(a>0,b>0且b≠1)和y=a?logbx(a>0,b>0且b≠1)兩種函數(shù)模型中選擇一個最恰當?shù)哪Ｐ蛠砜坍嬓履茉雌嚤Ｓ辛康脑鲩L趨勢，并說明理由，求出新能源汽車保有量y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為50000輛，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降2%，若每年新能源汽車保有量按(1)中求得的函數(shù)模型增長，試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量19.(本小題17分)

若函數(shù)f(x)在[a,b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，使得f′(x1)=f(b)?f(a)b?a，f′(x2)=f(b)?f(a)b?a，則稱f(x)是[a,b]上的“雙中值函數(shù)”，其中x1，x2稱為f(x)在[a,b]上的中值點．

(1)判斷函數(shù)f(x)=x3?3x2+1是否是[?1,3]上的“雙中值函數(shù)”，并說明理由．

(2)已知函數(shù)f(x)=12參考答案1.A

2.C

3.A

4.C

5.D

6.C

7.C

8.D

9.BC

10.ABD

11.BCD

12.?4

13.3π214.y=?ex

15.解：(1)因為3bsinA=a(2+cosB)．

由正弦定理得3sinBsinA=sinA(2+cosB)．

因為A∈(0,π)，所以sinA>0，所以3sinB?cosB=2．

所以2sin(B?π6)=2，因為B∈(0,π)，所以B?π6∈(?π6,5π6)，

所以B?π6=π2，所以B=2π3．

(2)依題意12ac16.解：(1)當a=1時，f(x)=(x+1)lnx?x+2(x>0)，

f′(x)=lnx+1x，則f′(1)=1，f(1)=1，

所以f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y?1=1×(x?1)，即y=x．

(2)f′(x)=lnx+1x+1?a，

若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

則當x>1，f′(x)≥0，即a≤lnx+x+1x對于x∈(1,+∞)恒成立，

令g(x)=lnx+x+1x(x>1)，則g′(x)=x?1x2>0，

則函數(shù)g(x)在(1,+∞)17.解：(Ⅰ)由f(x)的圖象與x軸的相鄰的兩個交點之間的距離為π2，可知最小正周期T=π，

∴ω=2πT=2ππ=2．

由一個最高點為M(7π6,2)，得A=2，

由2sin(2×7π6+φ)=2，即sin(7π3+φ)=1，

可得7π3+φ=2kπ+πx0π5π2π11ππωx+φπππ3π2π13πf(x)120?201f(x)在[0,π]上的大致圖象如圖：

(Ⅲ)∵x∈[π12,π2]，∴2x+π6∈[π3,7π18.解：(1)由于新能源汽車保有量每年增長得越來越快，

因此應該選擇指數(shù)模型，應選函數(shù)模型是y=a?bx(a>0,b>0且b≠1)，

由題意得a?b0=1500a?b1=2250，解得a=1500b=32，

所以y=1500×(32)x；

(2)設(shè)從2021年底起經(jīng)過x年后傳統(tǒng)能源汽車保有量為m輛，則有m=50000×(1?2%)x，

令1500×(3219.解：(1)函數(shù)f(x)是[?1,3]上的“雙中值函數(shù)”.理由如下：

因為f(x)=x3?3x2+1，所以f′(x)=3x2?6x．

因為f(3)=1，f(?1)=?3，所以f(3)?f(?1)3?(?1)=1，

令f′(x)=1，得3x2?6x=1，即3x2?6x?1=0，解得x=3±233，

因為?1<3?233<3+233<3，所以f(x)是[?1,3]上的“雙中值函數(shù)”．

(2)①因為f(m)=f(n)，所以f(m)?f(n)m?n=0，

因為f(x)是[n,m]上的“雙中值函數(shù)”，所以f′(x1)=f′(x2)=0．

由題意可得f′(x)=x?lnx?a?1．

設(shè)g(x)=f′(x)=x?lnx?a?1，則g′(x)=1?1x=x?1x，

當x∈(0,1)時，g′(x)<0，則g(x)為減函數(shù)，即f′(x)為減函數(shù)；

當x