2021-2022學(xué)年上海市楊浦區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷(一模)

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年上海市楊浦區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移2個(gè)單位，下列結(jié)論中，正確的是（）A．開口方向不變 B．頂點(diǎn)不變 C．與x軸的交點(diǎn)不變 D．與y軸的交點(diǎn)不變2．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，那么AB等于（）A．sinα B．cosα C． D．3．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知和都是單位向量，下列結(jié)論中，正確的是（）A．＝ B．﹣＝ C．||+||＝2 D．+＝24．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，線段AP是PB和AB的比例中項(xiàng)，下列結(jié)論中，正確的是（）A． B． C． D．5．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，過對(duì)角線交點(diǎn)O的直線與兩底分別交于點(diǎn)E、F，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．6．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，點(diǎn)F是△ABC的角平分線AG的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，線段DE過點(diǎn)F，且∠ADE＝∠C，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知＝，那么＝．8．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）計(jì)算：cos245°﹣tan30°sin60°＝．9．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）拋物線y＝x2+3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．10．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）二次函數(shù)y＝x2﹣4x圖象上的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．11．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知的長度為2，的長度為4，且和方向相反，用向量表示向量＝．12．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是4：9，那么它們的周長之比等于．13．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知在△ABC中，AB＝10，BC＝16，∠B＝60°，那么AC＝．14．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)G是△ABC的重心，那么點(diǎn)G到斜邊AB的距離是．15．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）在某一時(shí)刻，直立地面的一根竹竿的影長為3米，一根旗桿的影長為25米，已知這根竹竿的長度為1.8米，那么這根旗桿的高度為米．16．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，海中有一個(gè)小島A，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處測(cè)得小島A在它的北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)點(diǎn)C處，測(cè)得小島A在它的北偏東30°方向上，那么小島A到航線BC的距離等于海里．17．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）新定義：已知三條平行直線，相鄰兩條平行線間的距離相等，我們把三個(gè)頂點(diǎn)分別在這樣的三條平行線上的三角形稱為格線三角形．如圖，已知等腰Rt△ABC為“格線三角形”，且∠BAC＝90°，那么直線BC與直線c的夾角α的余切值為．18．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得△ADE，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，聯(lián)結(jié)BE、CD，作∠CAD的平分線AN，交線段BE于點(diǎn)M，交線段CD于點(diǎn)N，那么的值為．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的長；（2）設(shè)＝，＝，試用、的線性組合表示向量．20．（10分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+5．（1）用配方法把二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+5化為y＝a（x+m）2+k的形式，并指出這個(gè)函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如果將該函數(shù)圖象沿y軸向下平移5個(gè)單位，所得新拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為C，求△ABC的面積．21．（10分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．（1）求邊AC的長；（2）求∠EAB的正弦值．22．（10分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，為了測(cè)量建筑物AB的高度，先從與建筑物AB的底部B點(diǎn)水平相距100米的點(diǎn)C處出發(fā)，沿斜坡CD行走至坡頂D處，斜坡CD的坡度i＝1：3，坡頂D到BC的距離DE＝20米，在點(diǎn)D處測(cè)得建筑物頂端A點(diǎn)的仰角為50°，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)計(jì)算建筑物AB的高度（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）23．（12分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知，如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，AE∥CD，DE∥AB，過點(diǎn)C作CF∥AD，交線段AE于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF．（1）求證：△ABF≌△EAD；（2）如果射線BF經(jīng)過點(diǎn)D，求證：BE2＝EC?BC．24．（12分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)P是該拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP、BC，AP與線段BC相交于點(diǎn)F．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，如果點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，PG與線段BC交于點(diǎn)H，如果PF＝PH，求線段PH的長度．25．（14分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，點(diǎn)D為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，且BD＜AD，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，射線AE與射線CD交于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，①求證：∠AFC＝45°；②延長AF與邊CB的延長線相交于點(diǎn)G，如果△EBG與△BDC相似，求線段BD的長；（2）聯(lián)結(jié)CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．

2021-2022學(xué)年上海市楊浦區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移2個(gè)單位，下列結(jié)論中，正確的是（）A．開口方向不變 B．頂點(diǎn)不變 C．與x軸的交點(diǎn)不變 D．與y軸的交點(diǎn)不變【分析】由于拋物線平移后的形狀不變，對(duì)稱軸不變，a不變，拋物線的增減性不變．【解答】解：A、將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移2個(gè)單位，a不變，開口方向不變，故正確．B、將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移2個(gè)單位，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)改變，故錯(cuò)誤；C、將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移2個(gè)單位，形狀不變，頂點(diǎn)改變，與x軸的交點(diǎn)改變，故錯(cuò)誤．D、將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移2個(gè)單位，與y軸的交點(diǎn)也向下平移兩個(gè)單位，故錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，注意：拋物線平移后的形狀不變，開口方向不變，頂點(diǎn)坐標(biāo)改變．2．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，那么AB等于（）A．sinα B．cosα C． D．【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)∠A的余弦即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，那么：cosA＝＝，∴AB＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握正弦，余弦和正切的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．3．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知和都是單位向量，下列結(jié)論中，正確的是（）A．＝ B．﹣＝ C．||+||＝2 D．+＝2【分析】根據(jù)單位向量的定義逐一判斷即可．【解答】解：根據(jù)單位向量的定義可知：和都是單位向量，但是這兩個(gè)向量并沒有明確方向，∴A，B，D錯(cuò)誤，C正確，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量中的單位向量知識(shí)，熟練掌握單位向量的定義是解題的關(guān)鍵．4．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，線段AP是PB和AB的比例中項(xiàng)，下列結(jié)論中，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)黃金分割的定義判斷即可．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，線段AP是PB和AB的比例中項(xiàng)，∴AP2＝PB?AB，∴點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，∴＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．5．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，過對(duì)角線交點(diǎn)O的直線與兩底分別交于點(diǎn)E、F，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的判定得出△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，最后根據(jù)比例的性質(zhì)得出即可．【解答】解：A．∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴＝，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，∴＝，＝，∴＝，∴＝，故本選項(xiàng)符合題意；C．∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，∴＝，＝，∴＝，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵AD∥BC，∴△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，∴＝，＝，∴＝，∴＝，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能熟記相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理是解此題的關(guān)鍵．6．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，點(diǎn)F是△ABC的角平分線AG的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，線段DE過點(diǎn)F，且∠ADE＝∠C，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【分析】通過證明△EAF∽△BAG，可得＝，通過證明△ADF∽△ACG，可得，即可求解．【解答】解：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAG，∵點(diǎn)F是AG的中點(diǎn)，∴AF＝FG＝，∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△CAB，∴∠AEB＝∠B，又∵∠BAG＝∠CAG，∴△EAF∽△BAG，∴＝，∵∠ADE＝∠C，∠BAG＝∠CAG，∴△ADF∽△ACG，∴，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知＝，那么＝．【分析】利用設(shè)k法解答即可．【解答】解：∵＝，∴設(shè)x＝4k，y＝3k，∴＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)k法是解題的關(guān)鍵．8．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）計(jì)算：cos245°﹣tan30°sin60°＝0．【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：cos245°﹣tan30°sin60°＝﹣×＝﹣＝0，故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．9．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）拋物線y＝x2+3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．【分析】把x＝0代入解析式求出y，根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可．【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，則拋物線y＝x2+3與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），故答案為：（0，3）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0是解題的關(guān)鍵．10．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）二次函數(shù)y＝x2﹣4x圖象上的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4．【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解．【解答】解：∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴拋物線最低點(diǎn)坐標(biāo)為﹣4．故答案為﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化．11．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知的長度為2，的長度為4，且和方向相反，用向量表示向量＝﹣2．【分析】根據(jù)與的長度與方向即可得出結(jié)果．【解答】解：∵的長度為2，的長度為4，且和方向相反，∴，故答案為：﹣2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的基本知識(shí)，熟練掌握平面向量的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是4：9，那么它們的周長之比等于4：9．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是4：9，∴它們的周長之比等于4：9，故答案為：4：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能熟記相似三角形的周長之比等于相似比是解此題的關(guān)鍵．13．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知在△ABC中，AB＝10，BC＝16，∠B＝60°，那么AC＝14．【分析】過A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出BD和AD，求出CD，再根據(jù)勾股定理求出AC即可．【解答】解：過A作AD⊥BC于D，則∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠B＝60°，∴sin60°＝，cos60°＝，∵AB＝10，∴＝，＝，∴BD＝5，AD＝5，∵BC＝16，BD＝5，∴CD＝BC﹣BD＝11，由勾股定理得：AC＝＝＝14，故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形和勾股定理，能熟記銳角三角形函數(shù)的定義和勾股定理解此題的關(guān)鍵．14．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)G是△ABC的重心，那么點(diǎn)G到斜邊AB的距離是．【分析】過C點(diǎn)作CE⊥AB于E，過G點(diǎn)作GH⊥AB于H，如圖，先利用勾股定理計(jì)算出AB，再利用面積法求出CE＝，根據(jù)G是△ABC的重心得到DG＝CD，然后證明△DHG∽△DEC，利用相似比可求出GH的長度．【解答】解：過C點(diǎn)作CE⊥AB于E，過G點(diǎn)作GH⊥AB于H，如圖．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵CE?AB＝AC?BC，∴CE＝＝，∵G是△ABC的重心，∴DG＝CG，∴DG＝CD，∵CE⊥AB，GH⊥AB，∴GH∥CE，∴△DHG∽△DEC，∴＝＝，∴GH＝CE＝×＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形重心的性質(zhì)：三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，也考查了勾股定理，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)．15．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）在某一時(shí)刻，直立地面的一根竹竿的影長為3米，一根旗桿的影長為25米，已知這根竹竿的長度為1.8米，那么這根旗桿的高度為15米．【分析】根據(jù)同一時(shí)刻，物高與影長成正比即可列出等式．【解答】解：根據(jù)同一時(shí)刻，物高與影長成正比得，旗桿的高度：1.8＝25：3，∴旗桿的高度為15米，故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握平行投影的基本特征：物高與影長成正比是解題的關(guān)鍵．16．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，海中有一個(gè)小島A，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處測(cè)得小島A在它的北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)點(diǎn)C處，測(cè)得小島A在它的北偏東30°方向上，那么小島A到航線BC的距離等于6海里．【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)E，由三角形的外角性質(zhì)得∠BAC＝∠ABC，再由等腰三角形的判定得AC＝BC，銳角由銳角三角函數(shù)定義求出AE的長即可．【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)E，由題意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12海里，在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，∴AE＝AC?sin∠ACE＝12×＝6（海里），即小島A到航線BC的距離是6海里，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，掌握方向角的概念，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）新定義：已知三條平行直線，相鄰兩條平行線間的距離相等，我們把三個(gè)頂點(diǎn)分別在這樣的三條平行線上的三角形稱為格線三角形．如圖，已知等腰Rt△ABC為“格線三角形”，且∠BAC＝90°，那么直線BC與直線c的夾角α的余切值為3．【分析】過B作BE⊥直線a于E，延長EB交直線c于F，過C作CD⊥直線a于D，根據(jù)全等三角形的判定得出△CDA≌△AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d，求出CF＝DE＝AE+AD＝3d，再解直角三角形求出答案即可．【解答】解：過B作BE⊥直線a于E，延長EB交直線c于F，過C作CD⊥直線a于D，則∠CDA＝∠AEB＝90°，∵直線a∥直線b∥直線c，相鄰兩條平行線間的距離相等（設(shè)為d），∴BF⊥直線c，CD＝2d，∴BE＝BF＝d，∵∠CAB＝90°，∠CDA＝90°，∴∠DCA+∠DAC＝90°，∠EAB+∠DAC＝90°，∴∠DCA＝∠EAB，在△CDA和△AEB中，，∴△CDA≌△AEB（AAS），∴AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d，∴CF＝DE＝AE+AD＝2d+d＝3d，∵BF＝d，∴cotα＝＝＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線間的距離等知識(shí)點(diǎn)，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．18．（4分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得△ADE，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，聯(lián)結(jié)BE、CD，作∠CAD的平分線AN，交線段BE于點(diǎn)M，交線段CD于點(diǎn)N，那么的值為．【分析】先根據(jù)題目條件作出圖象，由∠C＝90°和tanA＝設(shè)BC＝5k，AC＝12k，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE＝AC＝12k，ED＝BC＝5k，AB＝AD＝13k，以點(diǎn)C為原點(diǎn)、BC和AC所在直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，12k），B（﹣5k，0），E（12k，12k），D（12k，7k），過點(diǎn)N作NF⊥AC于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)P，NH⊥AD于點(diǎn)H，得到NF＝NH，得到＝＝，然后由高相等的兩個(gè)三角形的面積之比為底邊長之比得到的值，進(jìn)而用含有k的式子表示點(diǎn)N的坐標(biāo)，再求得直線BE的解析式，然后求得點(diǎn)P的坐標(biāo)得到NP的長，最后通過△MAE∽△MNP得到的值，即可得到的值．【解答】解：由∠C＝90°和tanA＝可設(shè)BC＝5k，AC＝12k，∴AB＝13k，由旋轉(zhuǎn)得，AE＝AC＝12k，ED＝BC＝5k，AB＝AD＝13k，如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，BC和AC所在直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，12k），B（﹣5k，0），∵旋轉(zhuǎn)角為90°，∴E（12k，12k），D（12k，7k），過點(diǎn)N作NF⊥AC于點(diǎn)F，NH⊥AD于點(diǎn)H，∵AN平分∠CAD，∴NF＝NH，∴＝＝，又∵△ANC在邊CN上的高和△AND在邊DN上的高相等，∴＝＝，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，），設(shè)直線BE的解析式為y＝mx+n，則，解得：，∴直線BE的解析式為y＝x+，當(dāng)y＝時(shí)，x+＝，解得：x＝﹣，∴P（﹣，），∴NP＝﹣（﹣）＝6k，∵NF⊥AC，∠EAC＝90°，∴AE∥NP，∴△MAF∽△MNP，∴＝2，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)建立平面直角坐標(biāo)系．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的長；（2）設(shè)＝，＝，試用、的線性組合表示向量．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出等式求解即可；（2）根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算法則即可求解．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵DE＝，∴AE＝4；（2）由（1）知，，∴DE＝，∵，∴＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平面向量的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．20．（10分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+5．（1）用配方法把二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+5化為y＝a（x+m）2+k的形式，并指出這個(gè)函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如果將該函數(shù)圖象沿y軸向下平移5個(gè)單位，所得新拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為C，求△ABC的面積．【分析】（1）利用配方法把一般式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答．（2）首先求得拋物線y＝2x2﹣4x+5沿y軸向下平移5個(gè)單位后解析式，利用配方法求得C的坐標(biāo)，令y＝0求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x+5＝2（x2﹣2x）+5＝2（x2﹣2x+1﹣1）+5＝2（x﹣1）2+3，∴開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)（1，3）．（2）拋物線y＝2x2﹣4x+5沿y軸向下平移5個(gè)單位后解析式是y＝2x2﹣4x+5﹣5，即y＝2x2﹣4x．∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，﹣2）．在y＝2x2﹣4x中令y＝0，則2x2﹣4x＝0，解得x＝0或2，∴A（2，0），B（0，0），∴△ABC的面積為：＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)三種形式的轉(zhuǎn)化，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，三角形的面積，掌握配方法、平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．21．（10分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．（1）求邊AC的長；（2）求∠EAB的正弦值．【分析】（1）利用∠B的正切值先求出CD，再利用勾股定理求出AC；（2）過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F．先判斷EF是三角形的中位線，再求出EF、DF、AF及AE，最后求出∠EAB的正弦值．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均為直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD＝6，tan∠B＝＝，∴CD＝4．在Rt△CDA中，AC＝＝＝2．（2）過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF．又∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線．∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．∴AF＝AD+DF＝5．在Rt△AEF中，AE＝＝＝．∴sin∠EAB＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系以及三角形的中位線定理是解決本題的關(guān)鍵．22．（10分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，為了測(cè)量建筑物AB的高度，先從與建筑物AB的底部B點(diǎn)水平相距100米的點(diǎn)C處出發(fā)，沿斜坡CD行走至坡頂D處，斜坡CD的坡度i＝1：3，坡頂D到BC的距離DE＝20米，在點(diǎn)D處測(cè)得建筑物頂端A點(diǎn)的仰角為50°，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)計(jì)算建筑物AB的高度（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）【分析】過D作DF⊥AB于F，由坡度的定義求出CE＝3DE＝60（米），則DF＝EB＝40（米），再解直角三角形求出AF的長，即可得出答案【解答】解：過D作DF⊥AB于F，則DF＝EB，F(xiàn)B＝DE＝20米，∵斜坡CD的坡度i＝1：3＝DE：CE，坡頂D到BC的距離DE＝20米，∴CE＝3DE＝60（米），∴DF＝EB＝BC﹣CE＝100﹣60＝40（米），在Rt△ADF中，∠ADF＝50°，∵tan∠ADF＝＝tan50°≈1.19，∴AF≈1.19DF＝1.19×40＝47.6（米），∴AB＝AF+BF≈47.6+20≈68（米），即建筑物AB的高度約為68米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題、坡度坡角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．23．（12分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知，如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，AE∥CD，DE∥AB，過點(diǎn)C作CF∥AD，交線段AE于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF．（1）求證：△ABF≌△EAD；（2）如果射線BF經(jīng)過點(diǎn)D，求證：BE2＝EC?BC．【分析】（1）先證AB＝AE，DE＝DC，再證四邊形ADCF是平行四邊形，得出AF＝CD，進(jìn)而得出AF＝DE，再由平行線性質(zhì)得∠AED＝∠BAF，進(jìn)而證得結(jié)論；（2）通過證明△BEF∽△BCD，△DEF∽△BAF，可得，即可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠BCD，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠AEB，∴AB＝AE，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠DEC＝∠BCD，∴DE＝DC，∵CF∥AD，AE∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴AF＝CD，∴AF＝DE，在△ABF和△EAD中，，∴△ABF≌△EAD（SAS）；（2）如圖，連接FD，∵射線BF經(jīng)過點(diǎn)D，∴點(diǎn)B，點(diǎn)F，點(diǎn)D三點(diǎn)共線，∵AE∥DC，∴△BEF∽△BCD，∴，，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴，∴，∵CD＝AF，∴，∴BE2＝EC?BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)得到線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．24．（12分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)P是該拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP、BC，AP與線段BC相交于點(diǎn)F．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，如果點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，PG與線段BC交于點(diǎn)H，如果PF＝PH，求線段PH的長度．【分析】（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；（2）分別求出B（4，0）和直線BC的解析式為y＝﹣x+2，可得E（，），再求直線AE的解析式為y＝x+，聯(lián)立，即可求點(diǎn)P（3，2）；（3）設(shè)P（t，﹣t2+t+2），則H（t，﹣t+2），則PH＝﹣t2+2t，用待定系數(shù)法求出直線AP的解析式為y＝x+，聯(lián)立，可求出F（，），直線AP與y軸交點(diǎn)E（0，），則CE＝，再由PF＝PH，可得CE＝EF，則有方程（）2＝（）2+（﹣）2，求出t＝，即可求PH＝﹣t2+2t＝．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵y＝﹣x2+x+2，∴對(duì)稱軸為直線x＝，令y＝0，則﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，∴B（4，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，∴，∴，∴y＝﹣x+2，∴E（，），設(shè)直線AE的解析式為y＝k'x+n，∴，∴，∴y＝x+，聯(lián)立，∴x＝3或x＝﹣1（不符合題意，舍去），∴P（3，2）；（3）設(shè)P（t，﹣t2+t+2），則H（t，﹣t+2），∴PH＝﹣t2+2t，設(shè)直線AP的解析式為y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝x+，聯(lián)立，∴x＝，∴F（，），直線AP與y軸交點(diǎn)E（0，），∴CE＝2﹣＝，∵PF＝PH，∴∠PFH＝∠PHF，∵PG∥y軸，∴∠ECF＝∠PHF，∵∠CFE＝∠PFH，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝EF，∴（）2＝（）2+（﹣）2，∴（4﹣t）2+4＝（5﹣t）2，∴t＝，∴PH＝﹣t2+2t＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，會(huì)求函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，本題計(jì)算量較大，準(zhǔn)確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．25．（14分）（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，點(diǎn)D為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，且BD＜AD，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，射線AE與射線CD交于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，①求證：∠AFC＝45°；②延長AF與邊CB的延長線相交于點(diǎn)G，如果△EBG與△BDC相似，求線段BD的長；（2）聯(lián)結(jié)CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．【分析】（1）①如圖1，連接CE，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，設(shè)∠ECF＝∠BCF＝α，則∠BCE＝2α，∠ACE＝90°﹣2α，再利用等腰三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；②如圖2，連接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G＝∠BCD＝22.5°，過點(diǎn)D作DH⊥AB交BC于點(diǎn)H，則△BDH是等腰直角三角形，推出CH＝DH＝BD，再根據(jù)CH+B