專題14.1 冪的運(yùn)算（3大知識點(diǎn)7類題型）（知識梳理與題型分類講解）（人教版）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題14.1冪的運(yùn)算（3大知識點(diǎn)7類題型）（知識梳理與題型分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納與題型目錄】【知識點(diǎn)1】同底數(shù)冪的乘法法則(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.【要點(diǎn)提示】同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.【知識點(diǎn)2】冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.【要點(diǎn)提示】公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問題.【知識點(diǎn)3】積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.【要點(diǎn)提示】公式的推廣：(為正整數(shù)).逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\(yùn)算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡便.如：【知識點(diǎn)4】注意事項(xiàng)底數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.同底數(shù)冪的乘法時(shí)，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí),指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計(jì)算時(shí)不要遺漏.冪的乘方運(yùn)算時(shí)，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.積的乘方運(yùn)算時(shí)須注意，積的乘方要將每一個(gè)因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡潔.帶有負(fù)號的冪的運(yùn)算，要養(yǎng)成先化簡符號的習(xí)慣.【題型目錄】【題型1】同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算及逆運(yùn)算...........................................2;【題型2】冪的乘方運(yùn)算及逆運(yùn)算.................................................3;【題型3】積的乘方運(yùn)算及逆運(yùn)算.................................................3;【題型4】冪的混合運(yùn)算.........................................................4;【題型5】冪的運(yùn)算的應(yīng)用.......................................................4;【題型6】直通中考.............................................................5;【題型7】拓展與延伸...........................................................5.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算及逆運(yùn)算【例1】（23-24七年級上·河南周口·期中）在學(xué)習(xí)第一章有理數(shù)時(shí)，類比小學(xué)兩個(gè)正數(shù)的運(yùn)算法則學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加減法、有理數(shù)的乘除法，在第二章整式的加減時(shí)，類比第一章有理數(shù)的學(xué)習(xí)過程學(xué)習(xí)了整式的加減，那么整式的乘法是否可以類比有理數(shù)的乘法進(jìn)行學(xué)習(xí)呢?我們從特殊情況入手對兩個(gè)同底數(shù)冪相乘進(jìn)行探究．（1）探究根據(jù)乘方的意義填空，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?①，②，③，（2）規(guī)律（都是正整數(shù)）．即______．（文字表達(dá)）（3）應(yīng)用①計(jì)算；②把看成一個(gè)整體，計(jì)算．【變式1】（23-24七年級下·全國·單元測試）計(jì)算（）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·全國·單元測試）已知，則．【例2】（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）（1）已知，求的值；（2）若，求a的值．【變式1】（23-24七年級下·江蘇淮安·期中）已知，，則的值是（

）A． B． C． D．【變式2】（2024七年級上·上海·專題練習(xí)）已知，則x的值為．【題型2】冪的乘方運(yùn)算及逆運(yùn)算【例3】（21-22七年級上·上海·期末）計(jì)算：．【變式1】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【變式2】．若,則

．【例4】（2023八年級上·全國·專題練習(xí)）（1）若，求的值；（2）若，求x的值．【變式1】已知，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知，則．【題型3】積的乘方運(yùn)算及逆運(yùn)算【例5】（22-23八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）（1）

;（2）【變式1】（2022·廣東深圳·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【變式2】（20-21七年級下·江蘇揚(yáng)州·期末）已知am＝10，bm＝2，則（ab）m＝．【例6】（2023九年級·全國·專題練習(xí)）用簡便方法計(jì)算：(1)；(2)．【變式1】（22-23七年級下·河北滄州·期中）若為正整數(shù)．且，則的值為（

）A．4 B．16 C．64 D．192【變式2】已知，則=．【題型4】冪的混合運(yùn)算【例7】（21-22八年級上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：（1）；

（2）．【變式1】（20-21七年級下·甘肅蘭州·階段練習(xí)）下列各式計(jì)算正確的是（

）A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3 B．4x2·（－2x3）2＝16x12C．（－a2）·a3＝a6 D．2a2b·（－ab）2＝2a4b3【變式2】已知，則=.（用含的代數(shù)式表示）【題型5】冪的運(yùn)算的應(yīng)用【例8】（23-24八年級上·山西長治·階段練習(xí)）我們知道，一般的數(shù)學(xué)公式、法則、定義可以正向運(yùn)用，也可以逆向運(yùn)用．對于“同底數(shù)冪的乘法”“冪的乘方”“積的乘方”這幾個(gè)法則的逆向運(yùn)用表現(xiàn)為，，；（，為正整數(shù)）．請運(yùn)用這個(gè)思路和冪的運(yùn)算法則解決下列問題：(1)已知，，，請把，，用“”連接起來：；(2)若，，求的值；(3)計(jì)算：．【變式1】（21-22八年級上·河南三門峽·期末）下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2】（20-21九年級下·湖南永州·期中）將邊長為1的正方形紙片按如圖所示方法進(jìn)行對折，記第1次對折后得到的圖形面積為S1，第2次對折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對折后得到的圖形面積為Sn，請根據(jù)圖2化簡，．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】【題型6】直通中考【例9】（2024·河北·中考真題）若a，b是正整數(shù)，且滿足，則a與b的關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【例10】（2024·山東煙臺·中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果為的是（

）A． B． C． D．【題型7】拓展延伸【例11】（2024·河北·中考真題）“鋪地錦”是我國古代一種乘法運(yùn)算方法，可將多位數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法和簡單的加法運(yùn)算．淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示，運(yùn)算結(jié)果為3036．圖2表示一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)相乘，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋，