基本不等式（學生版）-2025年高考數(shù)學一輪復習學案（新高考）

第05講基本不等式

（10類核心考點精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯(lián)考點

2024年新I卷，第18題第一問,4分基本不等式求范圍導數(shù)綜合

2023年新I卷，第22題第二問,8分基本不等式求最值圓錐曲線大題綜合

2022年新I卷，第18題第二問,6分基本不等式求最值正余弦定理解三角形

2022年新H卷，第12題,5分基本不等式求最值三角換元及三角函數(shù)相關性質(zhì)

2021年新I卷，第5題,5分基本不等式求最值橢圓方程及其性質(zhì)

2020年新I卷，第20題第二問,6分基本不等式求最值空間向量及立體幾何

2020年新II卷，第12題,5分基本不等式求最值指對函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，本身知識點命題可變性多，學生易

上手學習，但高考常作為載體和其他版塊結(jié)合考查，難度不定，分值為5分左右

【備考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推論，會使用應用條件：“一正，二定，三相等”

2.能正確處理常數(shù)“1”求最值

3.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值

4.能熟練掌握基本不等式的應用，應用于函數(shù)和解析幾何的求解過程中求最值

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會結(jié)合條件等式考查拼湊思想來使用基本不等式求最

值，或者和其他版塊關聯(lián)，難度中等偏上。

知識點1基本不等式的基本公式

考點5二次與二次（一次）的商式求最值

核心考點考點6兩次應用基本不等式求最值

考點7條件等式變形求最值

考點8利用基本不等式在恒成立問題中求叁數(shù)的范圍

考點9利用基本不等式判斷或證明不等式關系

考點10基本不等式多選題粽合

知識講解

1.基本不等式

如果“20,620,那么學w而（當且僅當_____時取"="）.

說明:

①對于非負數(shù)6,我們把個稱為。8的,疝稱為。力的.

②我們把不等式而《等（020,620）稱為基本不等式，我們也可以把基本不等式表述為：兩個非負數(shù)的

幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù).

③“當且僅當。=6時取。號”這句話的含義是：一方面是當—時，有族=審；另一方面當______時,

有。=b.

④結(jié)構(gòu)特點：和式與積式的關系.

2.基本不等式求最值

（1）設x,y為正數(shù)，若積犯等于定值尸，那么當x=y時，和x+y有最小值—（簡記為：積定和最

?。?

（2）設x,夕為正數(shù)，若和x+y等于定值S,那么當x=y時，積孫有最大值;9（簡記為：和定積最

大）.

3.幾個重要不等式（含基本不等式鏈）

a+b

22)；(2)--->______(Q/ER)；

(1)a+b>______(a,beR2——

ab、

(3)—+—>______—（同號）；（4）ab<_________或__________(a,6eR)；

ba

2

[a,bGR,6Z,6>0)

(5)_______>________>111

—+—

T-ab

考點一、直接用基本不等式求和或積的最值

典例引領

L（23-24高三上?河南信陽?階段練習）已知x>0,y>0,且x+>=2,則中的最大值為（）

A.0B.1C.-1D.2

2.（2024?全國?模擬預測）若x>0）>0,3x+2y=l,則8"+4，的最小值為（）

A.V2B.2亞C.3行D.4亞

即時性測

1.（2023?上海?模擬預測）已知正實數(shù)°、6滿足。+4b=1,則油的最大值為.

2.（2024?云南?模擬預測）已知正數(shù)無，>滿足x+y=4,則工-與的最小值為________.

x4

考點二、巧用“1”或常數(shù)關系求最值

典例引領

1.（2024?江蘇揚州?模擬預測）已知x>0,y>0,且2x+y=l,則x一+^V的最小值為（）

孫

A.4B.4&C.6D.2亞+3

41

2.（2024?河南?三模）在AA8C中，角4B,C的對邊分別為。力,。，若a+6+c=2,則一7+―的最小值

a+bc

為.

即時檢測

1.（2024?安徽?三模）已知x>0,y>0,且2x+y=l,則'的最小值為（）

xy

A.4B.472C.472+1D.2V2+I

1o

2.（2024?寧夏石嘴山,模擬預測）已知加,〃€（。,+（?）,—+n=4,則加+-的最小值為.

mn

3.（2024?江蘇南通?二模）設x>0,y>0,-+2y=2f則％+,的最小值為（）

%y

3/—3rr

A.-B.2A/2C.—+-\/2D.3

考點三、拼湊法求最值

典例引領

12

1.（2024?山西臨汾?三模）若Ovxvl,則一+;---的最小值是（）

x1-x

A.1B.4C.2+2夜D.3+2收

2.（2024高三?全國?專題練習）若函數(shù)=--->3）在x=Q處取最小值，貝.

x—3

y4x

3.（2024?江西贛州?二模）已知歹>%>0,則一2---——的最小值為____.

y—x2x+y

21

1.（2024?全國?模擬預測）已知%>1,歹>。，且工■?=2,則^+歹的最小值是_______.

yx-1

121

2.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）已知實數(shù)。>01>2,且--+則2〃+6的最小值是

Q+1b-23

考點四、換元法求最值

典例引領

4xV

1.（2022高三上?全國,專題練習）已知工，y〉0,求^----+二一的最大值.

2.（2023?全國?模擬預測）已知。>1,b>\,-^-+-^-=1,則工+1的最大值為____.

2a-v2b-1ab

即

1.（2020?甘肅蘭州?二模）設m,"為正數(shù)，且〃""=2,則一二+”|的最小值為_______.

m+1n+2

21

2.（2024?浙江?模擬預測）已知。>0,b>0,若2、，+.—T=l，則湖的最大值為（）

a+2abo+ab

A.2-72B.2+72C.4+2V2D.4-2V2

考點五、二次與二次（一次）的商式求最值

典例引領

L（2023高三?全國?專題練習）函數(shù)〃x）=2x2：x+3（x<0）的最大值為.

3k3+3k

2.（23-24高一上?上海浦東新?期中）已知實數(shù)左>0,貝：[3/+].114r+』）的最大值為

即0唧（

3X-3

1.（22-23高三上?福建泉州?期中）函數(shù)/（XL：,在泉,+8）上的最大值為____________.

2x-x+l

2.（2023高三?全國?專題練習）當x>T時，求函數(shù)y=-+2x+3的最小值.

X+1

考點六、兩次應用基本不等式求最值

典例引領

1.（23-24高一上?上海徐匯?期中）若x,y,z均為正實數(shù)，則彳詈三彳的最大值是.

2.23-24高三下?重慶?階段練習）對任意的正實數(shù)。，4c,滿足6+c=1,則3abi+0+的最小值為

bea+\

An

1.（23-24高一上?江蘇南京?階段練習）已知正數(shù)見仇c滿足〃+262。，則一十：^一的最小值為

a2b+c

2.（2023?江西?一模）已知。，b,c是正實數(shù)，且6+c=&,則M一+2曙/-最小值為________.

beQ+1

考點七、條件等式變形求最值

典例引領

1.（2024?安徽蕪湖?模擬預測）若e，-6=守，則X-〉的最小值為（）

11-5In2

A.—B.yj2C.1D.---

24

2.（2024?四川德陽?模擬預測）已知正實數(shù)》,y,z滿足/+中+乃+宓+工+2=6,則3x+2y+z的最小值

是.

3.（2023?江西?二模）實數(shù)。，b>0,滿足：a3+b3+7ab=9,則a+6的范圍是（）

A.（2，BB.2,1]C.（2,啊D.[2,網(wǎng)

即時檢測

1.（2024?全國?模擬預測）已知。>0,b>0,且ab=32,則4/+6+缶）的最小值為.

2.（2024?浙江紹興?三模）若xj,z>0,且無？+孫+2xz+2yz=4,則2x+y+2z的最小值是

Q3

3.（22-23高三上?天津和平?階段練習）已知正數(shù)X/滿足2二+——『=1，則孫的最小值

3x+2xyxy+2y

是.

考點八、利用基本不等式在恒成立問題中求參數(shù)的范圍

典例引領

1.（23-24高三上?福建漳州?階段練習）已知Vx>3,2機恒成立，則實數(shù)加的取值范圍是

2.（2023高一上?全國?專題練習）已知x,ye（l,2）且x+y=3,若丁二+J—2。恒成立，則實數(shù)。的范

2x-y2y-x

圍是?

3.（2023?廣東湛江?二模）當x,ye（O,+s）時，￡±1濘±^1<；恒成立，則〃?的取值范圍是（）

x4+2xzy+yz4

A.（25,+oo）B.（26,+8）C.D.（27,+8）

即時

22

1.（2024?江西?一模）己知正數(shù)x,y滿足x+?=6,若不等式。4\+二二恒成立，則實數(shù)。的取值范圍

x+1y+2

是.

22

2.設正實數(shù)x，V滿足1不等式上4x■+v2加恒成立，則加的最大值為（）

2y-12x-\

A.8B.16C.2A/2D.4V2

3

3.（23-24高三上?浙江寧波?期末）設實數(shù)x,?滿足x>5，y>3,不等式

M2x-3）（y-3）W8尤3+/-12/-3/恒成立，則實數(shù)人的最大值為（）

A.12B.24C.2GD.4>/3

考點九、利用基本不等式判斷或證明不等式關系

典例引領

1.（23-24高三上?江蘇揚州?期末）若a>6>l,x=ln,y=g（Inq+Inb）,z=Jlnq.Inb,貝Ij（）

A.x<z<yB.y<z<x

C.z<x<yD.z<y<x

211

2.（23-24高三上?陜西榆林?階段練習）已知正數(shù)。力,c滿足一+：+-=2.

abc

（1）若。=2,求b+c的最小值；

1113

（2）證明：——-+-----+--<-.

a+2ba+2cb+c4

3.（2024?甘肅張掖?模擬預測）已知。也。為正數(shù)，且,+!+，=1.證明：

abc

⑴/+/）2+c2>abc;

112/-

（2）~i=+-r=+-^<y/6.

7a7b7c

即時啰!）

1.（2023?安徽蚌埠?模擬預測）已知實數(shù)a,6,c滿足。<6<。且。兒<0,則下列不等關系一定正確的是（）

A.ac<beB.ab<ac

2.（2024高三?全國?專題練習）已知實數(shù)〃，b,c滿足a+6+c=l.

1?

⑴若2a?=5,求證：0<a<—；

金+上+3

⑵若。，b,cG（0,+oo）,求證:

l-tz1-b1-c2

3.（2024?青海?一模）已知正數(shù)〃也。滿足〃+6+c=2.求證:

22

⑴〃2+b+C>1-；

(2)j3a+2+736+2+J3c+2<6.

考點十、基本不等式多選題綜合

典例引領

1.（2024?全國?模擬預測）若實數(shù)0,6滿足3/+3^+49=5,則下列結(jié)論正確的是（）

2

A.ctb<1B.abN—

5

C.（j2+b2^2D.Ja+b工

2.（2024?河北保定?二模）已知Q2+4/+2Q6=1,則（）

A.必的最大值為gB.1+4/的最小值為9

C.1+4/的最大值為2D.g的最小值為

3.（2024?浙江?二模）已知正實數(shù)。,6,c,且。>6>c,x,y,z為自然數(shù)，則滿足3+—二+<>0恒成立

a-bb-cc-a

的九乃z可以是（）

A.x=l,y=l,z=4B.x=l,y=2,z=5

C.x=2,y=2/=7D.x=l,y=3,z=9

14

L（2024?全國?模擬預測）已知〃>0,b>0且一+丁=2,則下列說法正確的是（）

ab

9

A.有最小值4B.a+b有最小值2

c.2的+。有最小值2石D.Mz7工3的最小值為4亞

2.（2024?廣東廣州?模擬預測）已知a<6<c（a,6,ceR）,且a+2b+3c=0,則下列結(jié)論成立的是（）

八ca

A.a+c<0B.—I—<—2

ac

c**/士，口0?rb+2c1

C.存在“，。使得〃2一25。2=0D.--------<--

a+c2

3.（2024?重慶渝中?模擬預測）已知實數(shù)滿足尤2+4./_2孫=1,則（）

A.x+2y<lB.x+2y>-2

C.x2+4/<2D.x2+4/>1

FL好題沖關.

基礎過關

一、單選題

1o

1.（2024?安徽?模擬預測）已知見〃￡（0,+8）,—+n=4,則加+—的最小值為（）

mn

A.3B.4C.5D.6

14

2.（2024?河南?模擬預測）已知點P（x,y）在以原點。為圓心，半徑/=后的圓上，則+了u的最小值

為（）

二、多選題

3.（2024?全國?模擬預測）已知x>0,y>0,且x+y=l,則（）

xy22

A.2~>B.log2x+log2_y<-2C.yfx+y[y^-j2D.x+y

4.（2024?福建泉州?模擬預測）已知a>0,b>Q,且。+。=4,則（）

A.a+26>4B.（a-l）（Z?-l）>1

C.log2a+log26>2D.2"+"28

三、填空題

5.（2024?上海奉賢?三模）若。+6=1,則仍有最大值為.

6.（2024?河南商丘?模擬預測）若正數(shù)。力滿足=則。的最小值是

7.（2024?天津?模擬預測）若a>0,b>0,且a+6=l,貝U++[的最小值為

一_14

8.（2024?河南?模擬預測）已知向量。=（刃,〃）（"?,〃>0）,6=0,2）,若￡%=1，則一+—的取值范圍

mn

為.

9.（2024高三?全國?專題練習）若實數(shù)x，N滿足孫=1,則f+2/的最小值為_.

XZ

10.（2024?廣東?三模）設實數(shù)X、八z、，滿足不等式14x4"z4/W100,則一+一的最小值為____.

了t

能力提升

一、單選題

1.（2024?北京順義三模）設無/21,a>l,6>1.若小=〃=3,°+6=26，則一+,最大值為（）

xy

31

A.2B.-C.1D.-

22

2.（2024?江蘇鹽城?模擬預測）sinxjl+2cos2x的最小值為（）

A_1RV2r372n_3

2244

1m

3.（2024高二下?湖南?學業(yè)考試）已知勿>1,">0,m2-2m+n=0,若不等式一；+—N彳恒成立，則

m-1n

實數(shù)彳的最大值為（）

A.2B.3C.4D.6

4.（2024?廣西?模擬預測）已知e（-8,0）,且a+46=a6-5,則ab的取值范圍為（）

A.[25,+oo）B.工+8）C.（0,5]D.（0,1]

二、填空題

1O

5.（2024?上海?三模）已知函數(shù)/（x）=/+2x,若加>0,n>0,且/（2"）+〃“-1）=〃0）,則—+—的最

mn

小值是

6.（2024?河南信陽?模擬預測）若實數(shù)x,丁滿足41nx+21nyN尤2+4了-4,貝|孫=.

7.（2024?河北?三模）己知函數(shù)〃x）=|lgx|,若/⑷=/優(yōu)）（"與，則當2"?3〃取得最小值時，

a_

~b~-----------

8.（2024高三?全國?專題練習）已知正實數(shù)x,y滿足4/+4肛+1=},則工+計3y的最小值

XX

為

9.（23-24高三下?重慶?開學考試）已知實數(shù)滿足片一副+〃=1,則湖的最大值為____；1+--

a+1b+

的取值范圍為.

三、解答題

29x2v2

10.（2024高三?全國?專題練習）設正實數(shù)X/滿足x>；,y>2,不等式工+盧二2機恒成立，求機的

3y-23x-2

最大值.

具題感理

1.（2024?北京?高考真題）已知（為,弘），（%，%）是函數(shù)了=2"的圖象上兩個不同的點，貝U（）

A.log2寄〈寧B.log221±A>^

C.10g2必；％<西+x?