人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊教學設(shè)計2:§8 3 列聯(lián)表與獨立性檢驗教案_第1頁
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人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗教學目標1.通過實例,理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.2.通過實例,了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)用.教學知識梳理知識點一分類變量為了表述方便,我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實數(shù)表示.知識點二2×2列聯(lián)表1.2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).2.定義一對分類變量X和Y,我們整理數(shù)據(jù)如下表所示:XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d像這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.知識點三獨立性檢驗1.定義:利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗,讀作“卡方獨立性檢驗”.簡稱獨立性檢驗.2.χ2=eq\f(n(ad-bc)2,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)),其中n=a+b+c+d.3.獨立性檢驗解決實際問題的主要環(huán)節(jié)(1)提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋.(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,并與臨界值xα比較.(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論.(4)在X和Y不獨立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.思考獨立性檢驗與反證法的思想類似,那么獨立性檢驗是反證法嗎?〖答案〗不是.因為反證法不會出錯,而獨立性檢驗依據(jù)的是小概率事件幾乎不發(fā)生.教學案例案例一等高堆積條形圖的應(yīng)用例1.某學校對高三學生作了一項調(diào)查發(fā)現(xiàn):在平時的模擬考試中,性格內(nèi)向的學生426人中有332人在考前心情緊張,性格外向的學生594人中有213人在考前心情緊張,作出等高條形圖,利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系.解:作列聯(lián)表如下:性格內(nèi)向性格外向總計考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475總計4265941020相應(yīng)的等高條形圖如圖所示:圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的比例,從圖中可以看出考前緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高,可以認為考前緊張與性格類型有關(guān).反思感悟等高堆積條形圖的優(yōu)劣點(1)優(yōu)點:較直觀地展示了eq\f(a,a+b)與eq\f(c,c+d)的差異性.(2)劣點:不能給出推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤的概率.跟蹤訓練1.研究人員選取170名青年男女大學生,對他們進行一種心理測驗.發(fā)現(xiàn)60名女生對該心理測驗中的最后一個題目的反應(yīng)是:作肯定的有18名,否定的有42名.110名男生在相同的題目上作肯定的有22名,否定的有88名.試判斷性別與態(tài)度之間是否有關(guān)系.解:根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)建立如下列聯(lián)表:肯定否定總計女生184260男生2288110總計40130170相應(yīng)的等高條形圖如圖所示.比較來看,女生中肯定的人數(shù)比要高于男生中肯定的人數(shù)比,因此可以在某種程度上認為性別與態(tài)度之間有關(guān).案例二由χ2進行獨立性檢驗命題角度1有關(guān)“相關(guān)的檢驗”例2.為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:(1)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;(2)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?解:(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助,因此在該地區(qū)老年人中,需要幫助的老年人的比例的估計值為eq\f(70,500)×100%=14%(2)χ2=eq\f(500×(40×270-30×160)2,200×300×70×430)≈9.967.因為9.967>6.635,所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān).反思感悟用χ2進行“相關(guān)的檢驗”步驟(1)零假設(shè):即先假設(shè)兩變量間沒關(guān)系.(2)計算χ2:套用χ2的公式求得χ2值.(3)查臨界值:結(jié)合所給小概率值α查得相應(yīng)的臨界值xα.(4)下結(jié)論:比較χ2與xα的大小,并作出結(jié)論.跟蹤訓練2.某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組:〖50,60),〖60,70),〖70,80),〖80,90),〖90,100〗分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率.(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?解:(1)由已知得,樣本中有25周歲以上組工人60名,25周歲以下組工人40名.所以,樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有60×0.05=3(人),25周歲以下組工人有40×0.05=2(人).從中隨機抽取2名工人,記至少抽到一名25周歲以下組工人的事件為A,故P(A)=1-eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))=eq\f(7,10),故所求概率為eq\f(7,10).(2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25=15(人),“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375=15(人),據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下:生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計25周歲以上組15456025周歲以下組152540合計3070100所以得χ2=eq\f(n(ad-bc)2,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d))=eq\f(100×(15×25-15×45)2,60×40×30×70)=eq\f(25,14)≈1.79.因為1.79<2.706,所以沒有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”.命題角度2有關(guān)“無關(guān)的檢驗”例3.對196個接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個接受血管清障手術(shù)的病人進行了3年的跟蹤研究,調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病,調(diào)查結(jié)果如下表所示:又發(fā)作過心臟病未發(fā)作心臟病合計心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別.解:根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得到K2==1.78.因為1.78<3.841,所以我們沒有理由說“心臟搭橋手術(shù)”與“又發(fā)作過心臟病”有關(guān),可以認為病人又發(fā)作心臟病與否與其做過何種手術(shù)無關(guān).反思感悟獨立性檢驗解決實際問題的主要環(huán)節(jié)(1)提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋.(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,并與臨界值xα比較.(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論.(4)在X和Y不獨立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.跟蹤訓練3.為了研究學生選報文、理科是否與對外語的興趣有關(guān),某同學調(diào)查了361名高一在校生,調(diào)查結(jié)果如下:理科對外語有興趣的有138人,無興趣的有98人,文科對外語有興趣的有73人,無興趣的有52人.試分析學生選報文、理科與對外語的興趣是否有關(guān)?解:問題是判斷學生選報文、理科是否與對外語的興趣有關(guān).列出2×2列聯(lián)表如下:理文總計有興趣13873211無興趣9852150總計236125361由公式得K2的觀測值k=eq\f(361×(138×52-73×98)2,236×125×211×150)≈1.871×10-4.因為1.871×10-4<2.706,故可以認為學生選報文、理科與對外語的興趣無關(guān).課堂小結(jié)1.知識清單:(1)分類變量.(2)2×2列聯(lián)表.(3)等高堆積條形圖.(4)獨立性檢驗,χ2公式.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):對獨立性檢驗的原理不理解,導致不會用χ2分析問題.當堂檢測1.下面是一個2×2列聯(lián)表:XY合計Y=0Y=1X=0a2173X=182533合計b46則表中a,b處的值分別為()A.94,96 B.52,50C.52,60 D.54,52〖答案〗C〖解析〗∵a+21=73,∴a=52,b=a+8=52+8=60.2.某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量的調(diào)查,數(shù)據(jù)如下表:性別作業(yè)量合計大不大男生18927女生81523合計262450則推斷“學生的性別與認為作業(yè)量大有關(guān)”這種推斷犯錯誤的概率不超過()A.0.01 B.0.005C.0.05 D.0.001〖答案〗C〖解析〗由公式得χ2=eq\f(50×(18×15-8×9)2,26×24×27×23)≈5.059>3.841=x0.05.∴犯錯誤的概率不超過0.05.3.(多選)若在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中,通過收集、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論,并且有99%以上的把握認為這個結(jié)論是成立的,則下列說法中正確的是()A.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為吸煙和患肺癌有關(guān)系B.1個人吸煙,那么這個人有99%的概率患有肺癌C.在100個吸煙者中一定有患肺癌的人D.在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有〖答案〗AD〖解析〗獨立性檢驗的結(jié)論是一個統(tǒng)計量,統(tǒng)計的結(jié)果只是說明事件發(fā)生的可能性的大小,具體到一個個體,則不一定發(fā)生.4.某銷售部門為了研究具有相關(guān)大學學歷和能按時完成銷售任務(wù)的關(guān)系,對本部門200名銷售人員進行調(diào)查,所得數(shù)據(jù)如下表所示:能按時完成銷售任務(wù)不能按時完成銷售任務(wù)合計具有相關(guān)大學學歷574299不具有相關(guān)大學學歷3665101合計93107200根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出結(jié)論:有________以上的把握認為“銷售人員具有相關(guān)大學學歷與能按時完成銷售任務(wù)是有關(guān)系的”.〖答案〗99%〖解析〗由公式χ2=eq\f(n(ad-bc)2,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)),得χ2=eq\f(200×(57×65-42×36)2,99×101×93×107)≈9.67.因為9.67>6.635=x0.01,所以有99%以上的把握認為“銷售人員具有相關(guān)大學學歷與能按時完成銷售任務(wù)是有關(guān)系的”.5.高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學不好,理科就怕英語不好”.下表是一次針對高三文科學生的調(diào)查所得的數(shù)據(jù).總成績好總成績不好總計數(shù)學成績好478a490數(shù)學成績不好39924423總計bc913(1)計算a

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