人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊課時作業(yè)5：8 2 2 第一課時 一元線性回歸模型及其參數(shù)的最小二乘估計練習

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE18．2一元線性回歸模型及其應用8．2.1一元線性回歸模型8．2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計第一課時一元線性回歸模型及其參數(shù)的最小二乘估計基礎達標一、選擇題1．某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關，則其線性回歸方程可能是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝－10x＋200 B.eq\o(y,\s\up6(^))＝10x＋200C.eq\o(y,\s\up6(^))＝－10x－200 D.eq\o(y,\s\up6(^))＝10x－200〖解析〗x的系數(shù)為負數(shù)，表示負相關，排除B，D；由實際意義可知x＞0，y＞0，顯然C不滿足，故選A.〖答案〗A2．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則()x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A.eq\o(a,\s\up6(^))＞0，eq\o(b,\s\up6(^))＞0 B.eq\o(a,\s\up6(^))＞0，eq\o(b,\s\up6(^))＜0C.eq\o(a,\s\up6(^))＜0，eq\o(b,\s\up6(^))＞0 D.eq\o(a,\s\up6(^))＜0，eq\o(b,\s\up6(^))＜0〖解析〗畫出散點圖，知eq\o(a,\s\up6(^))＞0，eq\o(b,\s\up6(^))＜0.〖答案〗B3．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357若y與x線性相關，則y與x的回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過()A．點(2，2) B．點(1.5，0)C．點(1，2) D．點(1.5，4)〖解析〗∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(0＋1＋2＋3,4)＝1.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1＋3＋5＋7,4)＝4，∴回歸直線必過點(1.5，4)．故選D.〖答案〗D4．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123ym35.57已求得關于y與x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2.2x＋0.7，則m的值為()A．1 B．0.85C．0.7 D．0.5〖解析〗eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(0＋1＋2＋3,4)＝1.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(m＋3＋5.5＋7,4)＝eq\f(m＋15.5,4)，將其代入eq\o(y,\s\up6(^))＝2.2x＋0.7，可得m＝0.5，故選D.〖答案〗D5．已知表中y與x之間的線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋5.25，則eq\o(b,\s\up6(^))等于()x1234y4.5432.5A.－0.5B．－0.6C．－0.7D．－0.8〖解析〗由表中數(shù)據(jù)，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(4.5＋4＋3＋2.5,4)＝3.5，故回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋5.25經(jīng)過樣本點的中心(2.5，3.5)，得3.5＝2.5eq\o(b,\s\up6(^))＋5.25，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝－0.7，故選C.〖答案〗C二、填空題6．在一次試驗中測得(x，y)的四組數(shù)據(jù)如下：x16171819y50344131根據(jù)上表可得線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，據(jù)此模型預報當x＝20時，eq\o(y,\s\up6(^))的值為__________．〖解析〗eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(16＋17＋18＋19,4)＝17.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(50＋34＋41＋31,4)＝39，∴回歸直線過點(17.5，39)，∴39＝－5×17.5＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝126.5，∴當x＝20時，eq\o(y,\s\up6(^))＝－5×20＋126.5＝26.5.〖答案〗26.57．某工廠對某產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)：產(chǎn)量x(千件)2356成本y(萬元)78912由表中數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中eq\o(b,\s\up6(^))＝1.1，則預測當產(chǎn)量為9千件時，成本約為__________萬元．〖解析〗由表中數(shù)據(jù)得eq\o(x,\s\up6(－))＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝9，代入線性回歸方程解得eq\o(a,\s\up6(^))＝4.6，∴當x＝9時，eq\o(y,\s\up6(^))＝1.1×9＋4.6＝14.5.〖答案〗14.58．期中考試后，某校高三(9)班對全班65名學生的成績進行分析，得到數(shù)學成績y對總成績x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6＋0.4x.由此可以估計：若兩個同學的總成績相差50分，則他們的數(shù)學成績大約相差__________分．〖解析〗令兩人的總成績分別為x1，x2，則對應的數(shù)學成績估計為eq\o(y,\s\up6(^))1＝6＋0.4x1，eq\o(y,\s\up6(^))2＝6＋0.4x2，所以|eq\o(y,\s\up6(^))1－eq\o(y,\s\up6(^))2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.〖答案〗20三、解答題9．某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關系隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫如下表：氣溫(℃)141286用電量22263438(1)求用電量y與氣溫x的線性回歸方程；(2)由(1)的方程預測氣溫為5℃時，用電量的度數(shù)．解(1)由題意知樣本值n＝4，eq\o(x,\s\up6(－))＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝30，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(4×（－8）＋2×（－4）＋（－2）×4＋（－4）×8,16＋4＋4＋16)＝eq\f(－80,40)＝－2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝30－(－2)×10＝50，所以線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋50.(2)令(1)中的回歸方程中x＝5，代入方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝40，所以預測當氣溫是5℃時，用電量是40度．10．有人統(tǒng)計了同一個省的6個城市某一年的人均國民生產(chǎn)總值(即人均GDP)x(單位：萬元)和這一年這6個城市患白血病的兒童數(shù)量y(單位：人)，如下表：人均GDPx/萬元1086431患白血病的兒童數(shù)y/人351312207175132180(1)畫出散點圖，并判定這兩個變量是否具有線性相關關系；(2)通過計算可知這兩個變量的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝23.25x＋102.15，假如一個城市的人均GDP為12萬元，那么可以斷言，這個城市患白血病的兒童一定超過380人，請問這個斷言是否正確？解(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點圖，如圖所示．從圖中可以看出，在6個點中，雖然第一個點離這條直線較遠，但其余5個點大致分布在這條直線的附近，所以這兩個變量具有線性相關關系．(2)上述斷言是錯誤的．將x＝12代入eq\o(y,\s\up6(^))＝23.25x＋102.15得eq\o(y,\s\up6(^))＝23.25×12＋102.15＝381.15＞380，但381.15是對該城市人均GDP為12萬元的情況下所作的一個估計，該城市患白血病的兒童可能超過380人，也可能低于380人．能力提升11．在2020年5月1日，某市物價部門對本市的5家商場某商品的一天銷售量及其價格進行了調(diào)查，5家商場的售價x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價格x(元)99.51010.511銷售量y(件)1110865由散點圖可知，銷售量y與價格x之間有較好的線性相關關系，其線性回歸直線方程是：eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(a,\s\up6(^))＝()A．－24 B．35.6C．40.5 D．40〖解析〗價格的平均數(shù)是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(9＋9.5＋10＋10.5＋11,5)＝10，銷售量的平均數(shù)是eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋10＋8＋6＋5,5)＝8，將(10，8)代入回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋eq\o(a,\s\up6(^))，得8＝－3.2×10＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝8＋3.2×10＝40，故選D.〖答案〗D12．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－20；(2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關系，若該產(chǎn)品的成本是4元/件，則為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本)解(1)由于eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝80＋20×8.5＝250，從而回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.(2)設工廠獲得的利潤為L元，依題意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－8.25)2＋361.25.當且僅當x＝8.25時，L取得最大值，故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤．創(chuàng)新猜想13．(多選題)某公司過去五個月的廣告費支出x(單元：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有下列對應數(shù)據(jù)：x24568y▲40605070工作人員不慎將表格中y的第一個數(shù)據(jù)丟失．已知y對x呈線性相關關系，且回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，則下列說法正確的是()A．銷售額y與廣告費支出x正相關；B．丟失的數(shù)據(jù)(表中▲處)為30；C．該公司廣告費支出每增加1萬元，銷售額一定增加6.5萬元；D．若該公司下月廣告費支出為8萬元，則銷售額約為75萬元．〖解析〗由回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，可知eq\o(b,\s\up6(^))＝6.5，則銷售額y與廣告費支出x正相關，所以A正確；設丟失的數(shù)據(jù)為m，由表中的數(shù)據(jù)可得eq\o(x,\s\up6(－))＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(220＋m,5)，把點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(220＋m,5)))代入回歸方程，可得eq\f(220＋m,5)＝6.5×5＋17.5，解得m＝30，所以B正確；該公司廣告費支出每增加1萬元，銷售額不一定增加6.5萬元，所以C不正確；若該公司下月廣告費支出為8萬元，則銷售額約為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5×8＋17.5＝69.5(萬元)，所以D不正確．故選AB.〖答案〗AB14．(多空題)為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：h)與當天投籃命中率y之間的關系：時間x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為__________；用線性回歸分析的方法，預測小李該月6號打6h籃球的投籃命中率為__________．〖解析〗eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(0.4＋