人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案：§6 1　第1課時(shí)　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE1§6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第1課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會(huì)用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際計(jì)數(shù)問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．知識(shí)點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．思考如何區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步？〖答案〗區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步，關(guān)鍵看一步能否完成這件事，若能完成，則是分類，否則，是分步．1．在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(×)2．在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．(√)3．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情若是分兩步完成，那么其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有兩個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成．(√)4．從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問(wèn)題．(√)一、分類加法計(jì)數(shù)原理例1設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，則方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓有()A．6個(gè) B．8個(gè)C．12個(gè) D．16個(gè)〖答案〗A〖解析〗因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以m>n.當(dāng)m＝4時(shí)，n＝1,2,3；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝1,2；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝1，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6(個(gè))．延伸探究1．條件不變，結(jié)論變?yōu)椤皠t方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦點(diǎn)位于y軸上的橢圓”有()A．6個(gè) B．8個(gè)C．12個(gè) D．16個(gè)〖答案〗A〖解析〗因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以m<n，當(dāng)m＝1時(shí)，n＝2,3,4；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝3,4；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝4，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6(個(gè))．2.條件變?yōu)椤霸O(shè)集合A＝{1,2,3,4,5}，m，n∈A”，其他條件不變，有()A．8個(gè) B．10個(gè)C．12個(gè) D．16個(gè)〖答案〗B〖解析〗因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以m>n.當(dāng)m＝5時(shí)，n＝1,2,3,4.當(dāng)m＝4時(shí)，n＝1,2,3.當(dāng)m＝3時(shí)，n＝1,2.當(dāng)m＝2時(shí)，n＝1.即所求的橢圓共有4＋3＋2＋1＝10(個(gè))．反思感悟應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意如下問(wèn)題(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些方法，怎樣才算是完成這件事．(2)無(wú)論哪類方案中的哪種方法都可以獨(dú)立完成這件事，而不需要再用到其他的方法，即各類方法之間是互斥的，并列的，獨(dú)立的．跟蹤訓(xùn)練1某校高三共有三個(gè)班，各班人數(shù)如下表：男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？解(1)從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，共有三類不同的方案．第1類，從高三(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法；第2類，從高三(2)班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法；第3類，從高三(3)班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法．根據(jù)分類加法計(jì)算原理知，從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，共有50＋60＋55＝165(種)不同的選法．(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，共有三類不同的方案．第1類，從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第2類，從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第3類，從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，共有30＋30＋20＝80(種)不同的選法．二、分步乘法計(jì)數(shù)原理例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的點(diǎn)(a，b∈M)．問(wèn)：(1)P(a，b)可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？(2)P(a，b)可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？解(1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成：第一步，確定a的值，共有6種方法；第二步，確定b的值，也有6種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6×6＝36.(2)確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第一步，確定a，由于a<0，所以有3種不同的確定方法；第二步，確定b，由于b>0，所以有2種不同的確定方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×2＝6.反思感悟利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路(1)分步：將完成這件事的過(guò)程分成若干步．(2)計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)．(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練2從－1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共______個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共________個(gè)．(用數(shù)字作答)〖答案〗186〖解析〗一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有不同的二次函數(shù)3×3×2＝18(個(gè))．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0.a的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有不同的偶函數(shù)3×2＝6(個(gè))．三、兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用例3現(xiàn)有5幅不同的國(guó)畫(huà)，2幅不同的油畫(huà)，7幅不同的水彩畫(huà)．(1)從中任選一幅畫(huà)布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國(guó)畫(huà)、油畫(huà)、水彩畫(huà)中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫(huà)中選出兩幅不同種類的畫(huà)布置房間，有幾種不同的選法？解(1)分為三類：從國(guó)畫(huà)中選，有5種不同的選法；從油畫(huà)中選，有2種不同的選法；從水彩畫(huà)中選，有7種不同的選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法．(2)分為三步：國(guó)畫(huà)、油畫(huà)、水彩畫(huà)各有5種，2種，7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法．(3)分為三類：第一類是一幅選自國(guó)畫(huà)，一幅選自油畫(huà)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；第二類是一幅選自國(guó)畫(huà)，一幅選自水彩畫(huà)，有5×7＝35(種)不同的選法；第三類是一幅選自油畫(huà)，一幅選自水彩畫(huà)，有2×7＝14(種)不同的選法．所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法．反思感悟使用兩個(gè)原理的原則使用兩個(gè)原理解題時(shí)，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是對(duì)于較復(fù)雜應(yīng)用問(wèn)題的元素分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類加法計(jì)數(shù)原理；“分步”就是把問(wèn)題分化為幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的步驟，然后逐步解決，這時(shí)可用分步乘法計(jì)數(shù)原理．跟蹤訓(xùn)練3如圖，甲地到乙地有3條公路可走，從乙地到丙地有2條公路可走，從甲地不經(jīng)過(guò)乙地到丙地有2條水路可走．從甲地到丙地共有多少種不同的走法？解要從甲地到丙地共有兩類不同的方案：第1類，從甲地經(jīng)乙地到丙地，共需兩步完成：第1步，從甲地到乙地，有3條公路可走；第2步，從乙地到丙地，有2條公路可走．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從甲地經(jīng)乙地到丙地有3×2＝6(種)不同的走法．第2類，從甲地不經(jīng)乙地到丙地，有2條水路可走，即有2種不同的走法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，從甲地到丙地共有6＋2＝8(種)不同的走法．1．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為()A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24 D．以上都不對(duì)〖答案〗B2．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選出一人主持本班一次班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為()A．6B．5C．3D．2〖答案〗B3．現(xiàn)有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長(zhǎng)褲，如果選一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，那么不同的選法種數(shù)為()A．7B．64C．12D．81〖答案〗C4．用