浙江省2024年第一屆啟航杯聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

浙江省2024年第一屆啟航杯聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合A=卜眇￡4,xeZ},則A的元素?cái)?shù)量是（）

A.2B.3C.4D.5

2.已知2=三畫，則尸-1|=()

A.1B.V3C.2D.—

2

3.橢圓E:±+v?=l的左右焦點(diǎn)分別為耳G,G為E上一點(diǎn)，則當(dāng)AGK耳的面積最大時(shí),

4

/4G5的取值為（）

4.已知邊長(zhǎng)為6的正方體與一個(gè)球相交，球與正方體的每個(gè)面所在平面的交線都為一個(gè)面

積為16兀的圓，則該球的表面積為（）

A.9671B.10071C.12571D.204兀

5.的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（

A.1B.6C.15D.20

D.1

1

D.

16

8.克拉麗絲有一枚不對(duì)稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為P（O<P<1）,她擲了左次硬

幣，最終有10次正面向上.但她沒(méi)有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲

N次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)以使尸（X=10）最大的N值估計(jì)N的取值并計(jì)算E（X）.（若

有多個(gè)N使尸（X=10）最大，則取其中的最小N值）.下列說(shuō)法正確的是（）

A.E（X）>10B.￡（X）<10

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

C.E(X)=10D.E(X)與10的大小無(wú)法確定

二、多選題

9.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中,M為3月的中點(diǎn)，G為靠近4的四等分點(diǎn)，H

A.三棱錐NC的體積為定值B.ZAMC=ZD{MC

C.的最小值為之回

D.若苑=X函+〃西(尢〃eR),則

3

10.設(shè)定義域?yàn)?0,+咐的單調(diào)遞增函數(shù)/'(x)滿足〃x)=/(x-l)+x(xN2),且/⑴=1,則

下列說(shuō)法正確的是()

2

A.當(dāng)xeN+時(shí)，

C.不等式f電)〈/(x)的解集為工內(nèi))

D.若m/>0使得尤>1時(shí)，/4/恒成立，則”的最小值為2

11.數(shù)學(xué)有時(shí)候也能很可愛(ài)，如題圖所示是小。同學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種曲線，因形如小恐龍，因

此命名為小恐龍曲線.對(duì)于小恐龍曲線G：x2+V-a孫=20,下列說(shuō)法正確的是()

A.該曲線與x=8最多存在3個(gè)交點(diǎn)

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

B.如果曲線如題圖所示(x軸向右為正方向，y軸向上為正方向)，則。>0

C.存在一個(gè)。，使得這條曲線是偶函數(shù)的圖像

D.。=3時(shí)，該曲線中X28的部分可以表示為y關(guān)于x的某一函數(shù)

三、填空題

12.隨著某抽卡游戲在班級(jí)內(nèi)流行，李華統(tǒng)計(jì)了6位同學(xué)獲得某角色的抽取次數(shù)，結(jié)果如下:10,

60,90,80,20,180,則以上數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為.

13.已知正四面體棱長(zhǎng)為4,棱CU上有一點(diǎn)4,棱05上有一點(diǎn)4,棱OC上有一

點(diǎn)￡.若［4閡=忸cl=1,則14Gl的最大值為.

14.設(shè)函數(shù)f(x)=e:辦-alnx(a>0)的極小值點(diǎn)為七,若y=/(》)的圖象上不存在關(guān)于直

線x=Xo對(duì)稱的兩點(diǎn)，則看的取值范圍為.

四、解答題

15.已知V48C中，角48,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知c=3,SJBCS^sinC.

(1)求。的取值范圍；

(2)求最大時(shí)，V48c的面積.

16.已知雙曲線一/=8,圓/：(工一2)2+(>-2)2=，，其中r>0.圓A與雙曲線C有且

僅有兩個(gè)交點(diǎn)。,E,線段DE的中點(diǎn)為G.

(1)記直線NG的斜率為勺，直線。G的斜率為左2，求甘.

由2

(2)當(dāng)直線。￡的斜率為3時(shí)，求G點(diǎn)坐標(biāo).

17.浙里啟航團(tuán)隊(duì)舉辦了一場(chǎng)抽獎(jiǎng)游戲，玩家一共抽取"次.每次都有二的概率抽中，二的

22

概率沒(méi)抽中.小明的抽獎(jiǎng)得分按照如下方式計(jì)算：

1.將玩家〃次抽獎(jiǎng)的結(jié)果按順序排列，抽中記作1,未抽中記作0,形成一個(gè)長(zhǎng)度為〃的僅有

01的序列.

2.定義序列的得分為：對(duì)于這個(gè)序列每一段極長(zhǎng)連續(xù)的1,設(shè)它長(zhǎng)度為，，那么得分即為巴

3.序列的得分即為每一段連續(xù)的1的得分和.

例如:如果玩家N抽了7次，第1,3,4,5,7次中獎(jiǎng)，那么序列即為1,0,1,1,1,0,

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

1,得分為0+32+12=11.可能用到的公式：若為兩個(gè)隨機(jī)變量，貝!]

￡(X)+E(y)=E(X+Y).

⑴若〃=3,清照進(jìn)行了一次游戲.記隨機(jī)變量X為清照的最終得分，求頤X).

(2)記隨機(jī)變量Z表示長(zhǎng)度為〃的序列中從最后一個(gè)數(shù)從后往前極長(zhǎng)連續(xù)的1的長(zhǎng)度，求

E(Z).

(3)若〃=左，清照進(jìn)行了一次游戲.記隨機(jī)變量A為清照的最終得分，求E(/).

18.定義:國(guó)表示x的整數(shù)部分，⑴表示x的小數(shù)部分，例如[1.2]=1,{1.75}=0.75.數(shù)列凡滿

M

=,\an}(%ez)

足。"+i,其中％=刃.若存在左eN+，使得當(dāng)"＞人時(shí)，%=%+1恒成立，則稱

%?Z)

數(shù)機(jī)為木來(lái)數(shù).

⑴分別寫出當(dāng)機(jī)=也'，洸=g時(shí)的直

(2)證明:Vf+1(ZeN+)是木來(lái)數(shù)

(3)若m為大于1的有理數(shù).且mgZ.求證:優(yōu)為木來(lái)數(shù)

19.稱代數(shù)系統(tǒng)G(%。)為一個(gè)有限群，如果

1.X為一個(gè)有限集合，。為定義在X上的運(yùn)算(不必交換)，\/a,b&X,aob&X

2.(Q。6)。c=〃。(6。c),V。也cGX

3.3e邑X,Va邑X,a。e=e。a=a,e稱為G的單位元

4.VQEX,存在唯一元素使。。入=/。〃=劍7稱為。的逆元有限群逆(匕。),稱為

G(X,。)的子群.若y=X,定義運(yùn)算。。“=缶。朗heH].

(1)設(shè)X為有限群G的子群，氏b為G中的元素.求證：

(i)aoH=boH當(dāng)且僅當(dāng)6一1。?！辍ǎ?/p>

(ii)aoH與H元素個(gè)數(shù)相同.

ahab、

⑵設(shè))為任一質(zhì)數(shù)X={1,2,…,p-1}.X上的乘法定義為〃。6=一P,其中團(tuán)為不

IPP

大于工的最小整數(shù).已知G(X,。)構(gòu)成一個(gè)群,求證:VQeX,QPT-1=0(其中“PT表示2-1個(gè)〃

作。運(yùn)算)

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DBABCDCBACACD

題號(hào)11

答案ABC

1.D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得RW2,即可求解.

【詳解】由于22=4,故⑶W2,XXGZ,故4={-2,-1,0,1,2},有5個(gè)元素,

故選：D.

2.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法、減法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模計(jì)算得到結(jié)果.

【詳解】由題得z2_l=（士叵）2一1=1-2/二3_]=土叵,

242

則怛刁="，罔3

答選：B.

3.A

【分析】通過(guò)計(jì)算找到的面積最大時(shí)，點(diǎn)G在橢圓的上下頂點(diǎn)處，再通過(guò)邊的關(guān)系

找到/耳GE具體的直

【詳解】

由題意知，￡（一6,0）,工（6,0）,設(shè)G（x。,%）,

則邑GF內(nèi)=：2百?尻|，

由閭W1,得閭=1時(shí)面積最大,此時(shí)G（0,±l）,

而此時(shí)tan/片GO=^=力，故NFJGO=g,

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

所以ZFlGF2=2ZFiGO=y

故選：A.

4.B

【分析】首先得截面圓半徑，再求得球心到截面圓的距離即可得球的半徑，結(jié)合球的表面積

公式即可求解.

【詳解】由對(duì)稱性，球心與正方體重心重合，且每個(gè)面的交線半徑為4.

連球心與任意面中心，則連線長(zhǎng)為3,且連線垂直該面，

再連交線圓上一點(diǎn)與球心(即為球半徑)，由勾股定理得球的半徑為5,

則表面積為4兀5=1007t.

故選：B.

5.C

【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和求出"，進(jìn)一步即可得解.

【詳解】由二項(xiàng)式系數(shù)的組合意義，C：+C：+C：+—+C：=2"=64,得〃=6,

'+?］中常數(shù)項(xiàng)為(五y=晨=15.

則

故選：C.

6.D

【分析】由題意得e'l一XInx2a對(duì)Vx>0恒成立，令=xInx,利用導(dǎo)數(shù)求得〃x)2」，

e

即xlnxN-：,再令/=》111匚8(/)=€'-，卜2-：］,利用導(dǎo)數(shù)求出g?)的最小值，可求出。的

取值范圍，從而可求出。的最大值.

【詳解】由一匕111》+q(彳>0),得xlnx+a,

所以eX山X—；dnx2a對(duì)Vx〉0恒成立，

令/(x)=xlnx,則f\x)=Inx+1在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

由/'(x)=0,得苫=!，

e

當(dāng)0<x<』時(shí)，f\x)<0,當(dāng)時(shí)，f\x)>0,

ee

所以/(x)在(o,［上遞減，在g.+s］上遞增，

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

所以即xlnxw」

<eJee

令/=xlnx,g?)=/一?2一工］,

則月⑺=1-1在-上單調(diào)遞增，

由g'?)=0，得￡=0,

所以當(dāng)」Vf<o時(shí)，g'(f)<0,當(dāng)然0時(shí)，g'C)>0,

e

所以g⑺在-50)上遞減，在(0,內(nèi))上遞增，

所以g?）min=g（0）=l，所以aVI,

所以。的最大值為1.

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最

值，解題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)原不等式變形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為-xlnxNa對(duì)Vr>0恒成立，然

后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.

7.C

【分析】由題意等式兩邊平方化簡(jiǎn)為平方得2*=a用+1,令｛cos，｝=｛%｝,結(jié)合二倍角余

弦公式得COS(2")=%,取4=:?2=COSy,a3=COSy,利用二倍角正弦公式和誘導(dǎo)公

式計(jì)算為出生的結(jié)果;

【詳解】平方得2a；=%+1,令｛cos4｝=｛叫,

則2cos24=cos“M+1ocos（2"）=cosbn+l=an+l,

2兀4兀

不妨取—cos—,4—cos—,

939

7i2兀4兀

“1"2”3=cos—cos——cos——

999

.兀7i2兀4兀1.2兀2兀47rl.4兀4兀1.8兀

sin—cos—cos——cos———sincoscos—smcos—-sin—

9999=2999=499一89

71.71.兀.兀

sin—sin—sin-sin-

9999

171

-sin（7i--）—sin—

89891

.71.718

sm—sin—

99

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

故選：c.

8.B

【分析】由題可知X服從二項(xiàng)分布3(N,p),P(X=10)=C*/°(1-P)WT°,結(jié)合

/(1-「產(chǎn)°>C，/°(1-029,計(jì)算得N*3-1,又Ne通和E(X)=Np,E{X)<10,

P

故得E(X)<10.

【詳解】由題，X服從二項(xiàng)分布8(N,0),則尸('=10)=寸，°(1-。產(chǎn)、

P(X=10)最大即為滿足C臟°(1-°產(chǎn)°4&/°(1-。產(chǎn)9的最小"，

cy(f1N-9

即為>1<=>>1-?N>

C&?°(1一.1^7,N+IP

又NeN+，故一-1為整數(shù)時(shí)，N=—-1,——1不為整數(shù)時(shí)N為大于一-1的最小整數(shù),

PPPP

而E(X)=Np,E(X)<10oN<W,當(dāng)竺-1為整數(shù)時(shí)顯然成立，

PP

當(dāng)竺T不為整數(shù)時(shí)大于--1的最小整數(shù)為—的整數(shù)部分，其小于-,

PPPP

故￡(X)<10,

答選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布常用二項(xiàng)分布的概率公式、期望和方差公式進(jìn)行

計(jì)算.

9.AC

【分析】根據(jù)題意先證明線面平行結(jié)合三棱錐的體積公式判斷A；在三角形中利用余弦定理

計(jì)算判斷B；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算犯的最小值判斷C；利用當(dāng)H與G重合計(jì)算判

斷D；

【詳解】對(duì)于A,取與，中點(diǎn)為￡,連2瓦NC中點(diǎn)為尸，連D、F,

則易得QE//3尸且。］￡=8尸，故，￡3廠為平行四邊形，BE/RF,

又GM為及中位線，故GMUBE,故GMIRF,

又D、Fu平面ACD},GM<z平面ACDt,故GMH平面ACD1,

其GW上任意一點(diǎn)到平面NCQ的距離相等，故三棱錐體積為定值，A正確,

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

對(duì)于B,由題，AM=y[5<DXM=3,ffi]DXC=AC=2A/2,CM=#,

.，…八AM2+CM2-AC21°D,M2+CM2-D,C2

故cosZAMC=------------------------=TcosNDMC=-!-------------------!——!~~,B錯(cuò)誤,

2AM-CM52D^[-CM

對(duì)于C,當(dāng)。a_LGW時(shí)/TO最小，在平面。A8Q1內(nèi)以。為原點(diǎn)，DB為x軸正方向，DD、為

y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,

|5|573

貝IGM:y=-41x+5,D至!JGM的距離為亍，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)7/在線段GM上，C

7(^2)2+1

正確,

對(duì)于D,當(dāng)a與G重合時(shí)，旃=。,西=-3萬(wàn)瓦，則幾=3必，取2=3明顯錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.ACD

【分析】由題意可得〃x)-/(x-l)=x,利用累加判斷A,利用單調(diào)性判斷BC,根據(jù)xeN.

時(shí)=與二和/(X)單調(diào)遞增可得(尤一1),+(xT)</(x)<G+1J+k+i)判斷D.

222

【詳解】當(dāng)XWN+時(shí)，根據(jù)題意可得

/(X)-f(x-1)=尤，/(x-l)-/(x-2)=x-l,……/(2)-/(I)=2,/(1)=1,

累加可得/(x)=l+2+...+x=^^=《尸，A說(shuō)法正確；

+因?yàn)?(x)單調(diào)遞增，所以/(2)=3>/1|]>?，

所以/)1)>*，B說(shuō)法錯(cuò)誤，

由函數(shù)單調(diào)遞增可得4wx(x>0),解得口,+8),C說(shuō)法正確，

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

2

由xeN+時(shí)/(x)=得直和/(x)單調(diào)遞增可得〃x)<(x+」；(x+l)=X+3X+2,

當(dāng)。=2,x>l時(shí)，&lJ+3：+2」+j_+4<3,取M>3即可，

x2x22xx

另一方面，同理有〃X)>(XT)2+(X_1)=￡ZL則X>1時(shí)，二三，

22x2x

而當(dāng)。<2時(shí)右式在Xf+8時(shí)趨于+8,故不存在W滿足條件，D說(shuō)法正確

故選：ACD.

11.ABC

【分析】AB項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為三次方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題研究；C項(xiàng)，舉特例說(shuō)明存在。值使曲線是

偶函數(shù)的圖象；D項(xiàng)，令x=8,由零點(diǎn)存在性定理說(shuō)明方程至少兩根，對(duì)應(yīng)F值不唯一即

可說(shuō)明了不是x的函數(shù).

【詳解】A項(xiàng)，曲線。方程，+/一叼=20,

令x=8,得關(guān)于N的一元三次方程^_8即+44=0,

令/3)=/一8即+44,則/'(歷=3>一8”,

7'3)=0最多兩根，即函數(shù)最多兩個(gè)極值點(diǎn)，

即方程/一8砂+44=0最多有三個(gè)實(shí)根，故A正確；

B項(xiàng)，若曲線如題圖所示，則存在％>0,使得尤=%與曲線圖象有三個(gè)交點(diǎn)，

3

即存在％>0,關(guān)于>的方程y-axoy+xl-2O=O有三個(gè)實(shí)根.

2

令/O)=?/-axoy+x；-20,貝!]f'(y)=3y-ax0,

假設(shè)aVO,Vx0>0,都有/G)W0,即/(y)單調(diào)遞增，

則方程貫一依++/2-20=0在(0,+s)最多有一個(gè)實(shí)根，與題圖矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤.

故。>0,B正確；

C項(xiàng)，當(dāng)。=0時(shí)，曲線G：X2+^=20即函數(shù)》=病二百的圖象，

設(shè)/(x)=A/20-X2，xeR,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

且/(-x)=#20-(-X)2=#20=/(x),所以/(x)是偶函數(shù).

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

故存在。，使得曲線632+/-2=20是偶函數(shù)的圖象，故C正確:

D項(xiàng)，當(dāng)。=3時(shí)，曲線C]方程為/+/_3孫-20=0.

令x=8,得/-2勺+44=0,

令/(〉)=戶24y+44,貝U/(0)=44>0J(3)=-l<0J(4)=12>0,

由零點(diǎn)存在性定理知/3)=0至少兩根，則x=8對(duì)應(yīng)的V值不唯一，不符合函數(shù)定義，故D

錯(cuò)誤；

故選：ABC.

12.20

【分析】直接由下四分位數(shù)的定義即可求解.

【詳解】共有6個(gè)數(shù)據(jù)，貝IJ6x0.25=1.5向上取整為2,從小到大的第二個(gè)數(shù)據(jù)為20.

故答案為：20.

13.巫工坦

33

【分析】由余弦定理可得。G，為方程--哥-1=0兩根，一方面說(shuō)明。。尸。4

時(shí)，4G沒(méi)有最大值，另一方面，說(shuō)明。。時(shí)，4G可以取到最大值即可求解.

【詳解】由題意棱。/上有一點(diǎn)4,棱上有一點(diǎn)片，棱oc上有一點(diǎn)￡,

則/11=/QG=/I1=//=60°,

在AO/4中，由余弦定理有:OAf+OB--2OA/OB]cosZAXOB]=,得

OA；-+*-1=0，

同理在AOG與有OC；_0B/OCX+08：-1=0.

一方面：若。。尸。4，貝！為方程/-OB/x+OB；—1=0兩根，

4

則八=-3。哥+4>0得O3：<w，又兩根都為正，故網(wǎng)迎=。葉-1>0即。片>1,

但此時(shí)4G不可能最大，理由如下：不妨

則在OA上取一點(diǎn)G使0C3=OG,在OC上取一點(diǎn)C2使。。2=04,則A。4c2為等邊三角形,

由對(duì)稱性可知c3c2=G4,

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

而/c34c2=60°,/c3G4<60°</4c3c2，從而c34Vc3c2=/￡<CH,

所以這個(gè)時(shí)候4G取不到最大值4c2，

另一方面：當(dāng)q,G重合時(shí)，即。G=O4時(shí)，4G最大，且4G的最大值為4c2.

當(dāng)。G=O4時(shí)，A。4G為等邊三角形，此時(shí)4G=O4=OG=x,

由題存在這樣的，使得。耳-X?。耳+X?-1=0成立，

則A=-3X2+4NO,X的最大值為名回，故4G=XVM8當(dāng)且僅當(dāng)oq=@時(shí)取等.

311313

14.（0,1]

【分析】由/（%+工）=/（%-》）（0<苫<%）無(wú)解，構(gòu)造函數(shù)

g（x）=〃x0+x）-〃x。-x）（OWx<x。）在x>0不存在零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)

合單調(diào)性分析函數(shù)零點(diǎn).

【詳解】由題，無(wú)解，

則8（苫）=/&+》）-/&-工）（04》</）在》>0不存在零點(diǎn).

+

又XfX。時(shí)，g（JC）->-<?（x0-x->0,而一alnx->+<?）,

所以必有x>0時(shí)g（x）<g（0）=0,

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

故必有g(shù)'(0)w0使g(x)在x>0時(shí)在0附近單調(diào)遞減,

(否則若g'(0)>0,若g(x)不存在正零點(diǎn)則g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增而恒正,

若g'(x)存在正零點(diǎn),記g(x)的最小正零點(diǎn)為加，則g'(x)N0在[0,河恒成立,

g(M>g(0)=0不符合題意)，

而左(x)=g'(x)=f'(x0+x)+f'(x0-x),g'(0)=0,

故同理必有MO)<0,而磔x)=k\x)=r(xo+x)-r(xo-x),r(O)=O,

同理必有加(0)V0,"(無(wú))=T(尤。+x)+/”(xo-尤),

,w

m(O)=2/(xo)<O,

而f'(x)==e'+j/”⑴=e，-4，

XXX

。/八。

r,?/XX2x,2

故/(%)=e*。-一r<0oe°<—,

//

32

又/'(%())=0=e"°=一+a,故\-a<—yx0+x0<2ox0<1,

%/x0

又x>0,故/e(0,1]

mmm

下證明充分性：即只需g(x)=f(x0+x)+f(x0-x)<0恒成立，

而尸'(x)單調(diào)遞增,設(shè)f'\x)零點(diǎn)為芯，由前述必要條件知花>無(wú)。,

故〃(龍。+x)+尸(x0-x)<f"'(玉+x)+/”(再一x),

只需廣(匹+力/@一力eB+e--產(chǎn)寸產(chǎn)0^)<x<x1),

而/'(X)零點(diǎn)為看得a=字，

故即證e』+'+eL-4fe工+ef-二=/=<0Q<xxJ,

(再+X)(演一工)l8+x)國(guó)一工)，

即e'+e='一五丁-(西0。<x<xJ,

(七+x)(再一工)

由題必有國(guó)41,貝1|e*+e-，-X1v-*<e'+e11

(X]+X)(項(xiàng)一%)(1+x)3(1)"

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

1

^h(x)=ex+e-x----------0<x<1),

(1+x)

,3

貝u〃(0)=0,〃'(x)=e*-e~+--,

(1+x)(1-x)

3_

e%+<e+0<x<1),

只需U(x)<0(0<x<l),BP(1+x)4"

x3

令s(x)=e+(1+媛‘(-1<x<1),即s(-x)>5(X)(0<X<1),

12

而s'(x)=e"(-1<x<1)單調(diào)遞增且有唯一零點(diǎn)馬,且%>0，

(1+%)5

3

故s(x)在(-1,%)單調(diào)遞減，(工2，1)單調(diào)遞增，而ND=e+Vs(0)=4,

7167

故s(-x)>s(0)=4>s(x)(0<x<l),原命題得證.

15.(1)2<Q<6

⑵￡1

2

【分析】(1)結(jié)合三角形面積公式可得“=26,再結(jié)合三角形三邊關(guān)系可列不等式求解。的

范圍;

(2)由余弦定理結(jié)合基本不等式可得的最大值為自，此時(shí)“：b:c=2:l：VL結(jié)合三角

6

形面積公式即可求解.

【詳解】(1)由于S/Bc=；absinC=Z)2sinC,

所以a=26.

由三角形的三邊關(guān)系知:。+6〉。,。一6<。.

又。=3,所以2<。<6；

(2)由余弦定理可得，cos3，+，2-'=獷+-2=g當(dāng)a：6：c=2:l:百時(shí)

2ac4bc4bc2

取等，

又BE(0,2,所以NB的最大值為此時(shí)S/Bc=!acsinB=gx[2=x3]x3xM=W-.

622IJ3)22

k

16.⑴/xT

⑵小1J

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】（1）涉及到中點(diǎn)弦，我們可以采用點(diǎn)差法得到的E-％G=1，而由|/G山。?可得

kAG?2-1,兩式相比即可得解；

3mm

（2）設(shè)直線：y=3x+加，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可表示G的坐標(biāo)為

88

由3G?自E=T，向E=3得4G斜率，由此可列方程求出參數(shù)機(jī)，進(jìn)而得解.

【詳解】（1）

因?yàn)閨EG|=|OG|』/D|=|/E|,所以|ZG山。段.

又設(shè)。（國(guó),弘）,旦（工2，%）,因?yàn)?￥_y；=8,

所以（演r%）（占+X2）=（必一%乂為+%）.

而圓心/（2,2）不在坐標(biāo)軸上，從而西力/，王+工2W。，

所以g.q=i

X1-x2%；+x2

所以k?E'兀OG=1,

無(wú)G4?kpE__1

y.kAG-kDE=-i,所以,.

1

/2%G，OG?^DE

⑵設(shè)直線O￡:y=3x+?7,與/-丁=8聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得：8尤2+6加x+加+8=0,

其中△=36%2-32（加？+8）=4（加2-64）>0

設(shè)。（項(xiàng),乂）禺卜,藝）,

uli、13m_/x_m

jyi*以+%2=—,必+,2=3（X]+/J+2m———

3mm

即G點(diǎn)坐標(biāo)為

88

因?yàn)椴贰?k?E=-1#DE=3,所以的G=-；，而4（2,2）,

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

8+2

1,解得加=一32

即3m_

——+23

8

因止匕占+%=8,所以

11

17.(1)7

⑵心

3左一41

-----4-

⑶2

【分析】(1)X的所有可能取值為0,1,2,4,9,求出對(duì)應(yīng)的概率即可得期望；

(2)設(shè)所求為紇(Z)=g“，由題意有g(shù)m=g.(g,+i+o)以及&=；.(0+1)=；,從而可構(gòu)

造等比數(shù)列進(jìn)行求解；

(3)設(shè)所求為紇(2)=工，則由題意有工=，T+；(l+2xg“T),("21,”eN*),進(jìn)一步有

工=§+(g。+&+…+g?-l),結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求解.

【詳解】(1)若序列為：0,0,0,則最終得分為0,

若序列為：1,0,0,或0,1,0,或0,0,1,則最終得分為1,

若序列為：1,0,1,則最終得分為2,

若序列為：1,1,0,或0,1,1,則最終得分為4,

若序列為：1,1,1,則最終得分為9,

尸(X=0)=%P(X=l)=g,尸(X=2)=g,尸(X=4)=；,尸(x=9)=(,

￡,m=0x-+lx-+2x-+4x-+9xi=—；

888484

(2)令g“表示長(zhǎng)度為〃的序列，E(Z)的答案，換言之紇(Z)=g”

則有遞推關(guān)系g用=；?(g“+1+0)，表示第〃+1位分別為1或0的答案.

顯然gi=g(O+l)=g，

設(shè)g"+i+N=g(g“+2)，貝/角=g“-：2，所以一；2=：，解得4=T,

所以&一1=(4-10=l[3],解得：§"=1~2",

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

故所求為一上

(3)設(shè)工表示進(jìn)行〃次游戲后的期望得分，即紇(/)=，.

則有遞推關(guān)系工=，T+；(l+2xg._J,(〃21,〃eN*),

解釋：因?yàn)?x+l)2=/+2x+l,考慮第”位為1的時(shí)候?qū)π蛄械念~外貢獻(xiàn),

即為(gi+lf-g3=2gi+l，如果為0的貢獻(xiàn)即為0,特別的，八=。,

直接累加得到:力=|+3巾41

(g0+gl+…+ga)=\+(?-1)=-------H_，

22r-1

_A1

若〃=3帶入上式，于是得力=生產(chǎn)+方，

故所求即為號(hào)+擊?

18.(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意直接計(jì)算即可；

(2)根據(jù)定義先計(jì)算。2,利用/〈，爐力</+1得出[%],根據(jù)同樣的方法計(jì)算。3，%即可

證明；

⑶先設(shè)巴=絲必>P">1，P.、%eZ且%,P,互質(zhì),利用定義判定%，%+1不是整數(shù)時(shí),有

Pn

Pn>qn--P?>P,^，再用反證法判定數(shù)列{%}中存在整數(shù)即可證明.

【詳解】(1)當(dāng)加=0時(shí)，。|=&,出=同=^^=逐+1，同理%=2應(yīng)+2,%=26+2,

{%}V2-1

5_2⑷-1_3

當(dāng)加=Q時(shí)，/_3'%_{%}_2_2，同理。3=2,%=2；

3

(2)當(dāng)加=J/+],l?N+時(shí),即％=+1,則。2=&2]—；=+1),

由于t<〃+1，所以A<心+1<?+1，

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

所以[N』+1]=t2,則[%]=25，所以%=J:t-=%，+，5+1

由于2*<2兇2+1<2*+1，所以[2川d+1]=