2024年人教版高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)：橢圓

2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

預(yù)習(xí)10講橢圓（精講+精練）

一、橢圓的定義

1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)小尸2的距離之和等于常數(shù)（怛11+pE|=2a>\FlF2\）,

這個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)（耳，工）叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離（1耳61）叫作橢圓的焦距.

說明：

若（,片\+\PF2卜閨叫），P的軌跡為線段U

若（|尸片卜內(nèi)用），的軌跡無圖形

\+\PF2P

2、定義的集合語(yǔ)言表述

集合P=仍附+|pg=2a>閨磯.

焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在V軸上

標(biāo)準(zhǔn)方程X——1

靛+爐-1(a>b>0)二1Ca>b>0)

/b2

圖象1工J

3不一

r

焦點(diǎn)坐標(biāo)

耳(-c,0),F2(C,0)4(0,-c),F2(0,C)

”,仇C的關(guān)系a2=b2+c2

注：給出橢圓方程三+工=1（771>0,〃>0,機(jī)W〃）,判斷該方程所表示的橢圓的焦點(diǎn)位置的方法是:橢圓

mn

的焦點(diǎn)在x軸上=標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大;橢圓的焦點(diǎn)在,軸上u標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大，這是判

斷橢圓焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的重要方法.可簡(jiǎn)記作:焦點(diǎn)位置看大小，焦點(diǎn)跟著大的跑.

三、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

*

圖形

A\F\O\F^A2X電o\B2X

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程二+'=1(〃>/7>0)\+A=l(a>/?>0)

a2b2a2b2

范圍-a<x<a,-b<y<b-b<x<b,-a<y<a

A(—Q,0),712(62,0),A（。,—。）^2（0,〃）

頂點(diǎn)

4(0,—。)，坊(0/)4（—瓦0）坊（瓦o）

軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)=2b,長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2。

焦點(diǎn)(±c,0)(0,±c)

焦距14gl=2c

對(duì)稱性對(duì)稱軸：》軸、y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)

離心率e，,ee(0,l)

a

注：離心率常用變形：e=：ne=Ql—（與.（0<e<l）

當(dāng)e越接近1時(shí)，c越接近。，橢圓越扁；

當(dāng)e越接近。時(shí)，c越接近0,橢圓越接近圓；

當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)，圖形為圓，方程為/+

四、直線與橢圓的位置關(guān)系

1、直線與橢圓的位置關(guān)系

將直線的方程y=丘+b與橢圓的方程與+上=l（a>b>0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元

二次方程，其判別式為A.

①△>0。直線和橢圓相交o直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)（或兩個(gè)公共點(diǎn)）；

②A=0o直線和橢圓相切o直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)（或一個(gè)公共點(diǎn)）；

③A<0o直線和橢圓相離o直線和橢圓無公共點(diǎn).

2、直線與橢圓的相交弦

直線與橢圓問題（韋達(dá)定理的運(yùn)用）

（1）弦長(zhǎng)公式：若直線/：y=kx+b與圓錐曲線相交與A、3兩點(diǎn)，A（七,％）,8（巧,乂）貝h

弦長(zhǎng)|=｛（匹—0）2+（%—%）2=—％2產(chǎn)+（入1-依2）2=J1+左—%2

=11+k?"（X]+尤2）2-4尤]/

弦長(zhǎng)|的=

這里I,IX-%I，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形:

2

|%!-x2\=7（^+^2）-4X1X2；|乂一為1=5（%+%）2-4yly2

二、題型分類精講精練

①橢圓的定義及其應(yīng)用

畬策略方法橢圓定義的應(yīng)用類型及方法

⑴探求軌跡：確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是不是橢圓.

⑵應(yīng)用定義轉(zhuǎn)化：涉及焦半徑的問題，常利用|PB|+|PR|=2a實(shí)現(xiàn)等量轉(zhuǎn)換.

⑶焦點(diǎn)三角形問題：常把正、余弦定理同橢圓定義相結(jié)合，求焦點(diǎn)、三角形的面積等問題.

【題型精練】

一、單選題

22

1.（2324高二上?陜西榆林?期中）已知橢圓土+工=1上有一點(diǎn)尸到右焦點(diǎn)的距離為4,則點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的

94

距離為（）

A.6B.3C.4D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求出.

【詳解】由橢圓片+貴=1,得/=9,即。=3,設(shè)左焦點(diǎn)為匕，右焦點(diǎn)為尸2，

94

貝！]|明|+|「閭=2。=6,因?yàn)閼魢?guó)=4,所以歸國(guó)=2,即點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為2.

故選:D.

2.（2324高二上.海南省直轄縣級(jí)單位?期中）已知坐標(biāo)平面上的兩點(diǎn)A（-1,O）和3（1,0）,動(dòng)點(diǎn)尸到A、8兩

點(diǎn)距離之和為常數(shù)3,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.射線B.線段C.圓D.橢圓

【答案】D

【分析】

利用橢圓的定義，結(jié)合題意判斷即可得解.

【詳解】因?yàn)?（—L0）,3（1,0）,所以|明=2,

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和為常數(shù)3,貝！J|冏+|網(wǎng)|=3>2=|4?|,

由橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是橢圓.

故選：D.

3.（2324高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）以下方程表示橢圓的是（）

22

A.土+匕=1B.2X2-3/=2

2525

22

C.-2x2-3y2=-lD.=+=0

n2"+2

【答案】C

【分析】根據(jù)橢圓方程的知識(shí)求得正確答案.

22

【詳解】A選項(xiàng)，方程土+匕=1,即Y+V=25,表示圓，不是橢圓，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2525

2

丫2_'V—[1

B選項(xiàng)，方程2/—3產(chǎn)=2,即x一2一力方程中間是減號(hào)，不是橢圓，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

3

工+匕一1

C選項(xiàng)，方程-2/-3〉2=一1,即丁+7-1,

23

表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，C選項(xiàng)正確.

22

D選項(xiàng)，方程［+=o右邊不是1,不是橢圓，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

/獷+2

故選：C

4.（2024高二上?全國(guó)?專題練習(xí)）已知耳，耳為兩定點(diǎn)，|耳閶=4,動(dòng)點(diǎn)“滿足|町|+四段=4,則動(dòng)點(diǎn)"

的軌跡是（）

A.橢圓B.直線C.圓D.線段

【答案】D

【分析】利用橢圓軌跡的相關(guān)定義即可得解.

【詳解】因?yàn)閨岬|+|5|=4=|耳局

所以加為線段G8上的點(diǎn).

故選：D.

22

5.（2324高二下?浙江?期中）若方程二+二^=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

m4-m

A.m>0B.m<4C.0<m<4D.0<加<4且相。2

【答案】D

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以列出不等式組，解得“2的范圍即可.

22

【詳解】???方程工+/二=1表示橢圓，

m4—m

m>0m>0

/.<4-m>0,得<根<4,得。<機(jī)<4且相。2.

m聲4一機(jī)機(jī)。2

故選：D.

6.（2324高二上?山東煙臺(tái).期末）已知橢圓,+>2=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,若過百且斜率不為。的

直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則居的周長(zhǎng)為（）

A.2B.2A/3C.4D.4石

【答案】D

【分析】根據(jù)橢圓定義即可由焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)公式求解.

【詳解】由題意可得。=石涉=1,

△ABg的周長(zhǎng)為|AB|+|A閶+忸用=|A周+|A用+忸制+|%|=4a=4后,

7.（2324高二上?廣東佛山?期末）已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)AC在橢圓￡：；+必=1上，頂點(diǎn)民。分別

為E的左、右焦點(diǎn)，則該平行四邊形的周長(zhǎng)為（）

A.2A/3B.4C.4A/3D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義求解即得.

【詳解】橢圓石：二+丁=1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。=2,由點(diǎn)AC在橢圓E上，民。分別為E的左、右焦點(diǎn)，

4

^\AB\+\AD\=\CB\+\CD\=2a=4,所以平行四邊形A3CD的周長(zhǎng)為4a=8.

故選：D

22

8.（2324高二上?吉林長(zhǎng)春?期末）橢圓爭(zhēng)二=1上的點(diǎn)M到左焦點(diǎn)匕的距離為2,N為班的中點(diǎn)，則|0N|

（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為（）

A.8B.2C.4D.-

2

【答案】C

【分析】先利用橢圓定義得到|5|=8,再利用中位線定理求得『相，從而得解.

22

【詳解】依題意，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為工，由橢圓方程工+工=1,得4=5,

259

yt

由橢圓定義得|岬|+|崢|=2a=2x5=10,又|嗎|=2,

.［叫|=10-2=8,又QN為西的中點(diǎn)，。為耳為的中點(diǎn),

二.線段ON為△西工中位線，

.-.|O^|=||Mfi|=1x8=4.

故選：C.

22

9.（2324高二下.安徽蕪湖?期末）已知片，鳥是橢圓C毛+巳=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，且附|=3,則

M旭的面積為（）

A.3B.4C.6D.10

【答案】C

【分析】由橢圓定義和怛閶=3得到|尸胤=8-3=5,結(jié)合閨閶=4,由余弦定理得cos進(jìn)而得

到正弦值，利用三角形面積公式求出答案.

【詳解】由橢圓定義可得|「耳|+|%|=2。=8,

故|%=8-3=5,

又閨耳|=2c=2jl6—12=4,

則由余弦定理得儂〃桃=因需*L筌答:

故sin/耳柱==1,

故勿曬=』尸團(tuán)JP閭sinNKP&=gx5x3x2=6.

故選：C

②橢圓的幾何性質(zhì)

-策略方法利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路

⑴將所求問題用橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系.

⑵將所求范圍用a,b,c表示，利用a,b,c自身的范圍、關(guān)系求解.

【題型精練】

一、解答題

1.(2324高二上?上海?課后作業(yè))已知下列橢圓的方程，分別求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐

標(biāo).

(1)—+^=1;

43

(2)25/+4/=100.

【答案】⑴答案見解析

(2)答案見解析

【分析】根據(jù)橢圓方程求出。，瓦c,再根據(jù)長(zhǎng)軸、短軸、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的定義可得結(jié)果.

22

【詳解】(1)由三+匕=1,得"=41=3,得。=2,b=V3,c=l,

43

所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4、短軸長(zhǎng)為26、焦點(diǎn)坐標(biāo)為(TO)、(1,。)、頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)、(2,0)、(0,73).(0,73).

22

(2)由25x~+4/=100,得_^7+'^=1，得a?=25,。2=4,得a=5,6=2,c=1,

所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10、短軸長(zhǎng)為4、焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-河)、(0,歷)、頂點(diǎn)坐標(biāo)為(。,-5)、(0,5)、(2,0)、

(-2,0).

22

2.(2324高三上.西藏林芝.階段練習(xí))已知橢圓己宗+?=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0).

⑴求出橢圓C的方程；

(2)求出橢圓C的離心率及其長(zhǎng)軸長(zhǎng).

22

【答案】⑴上+匕=1

84

(2)離心率豐，長(zhǎng)軸長(zhǎng)4后

【分析】由橢圓方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)得b,c的值，求得橢圓方程和離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng).

【詳解】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,所以橢圓焦點(diǎn)在x軸上,

22

所以/=4+22=8,橢圓方程為：二+。=1.

84

（2）由第一問，得。=2近，c=2,

所以橢圓的離心率為e=￡=正，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=40.

a2

二、單選題

3.（2324高二上?全國(guó).課后作業(yè)）橢圓+25/=225上的點(diǎn)P（x,y）的橫、縱坐標(biāo)的范圍分別為（）

A.|x|<3,|y|<5B.|x|<|,|^|<|

C.|x|<5,|y|<3D.|x|<|,|^|<|

【答案】C

【分析】先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)橢圓的性質(zhì)分析判斷

22

【詳解】由9Y+25/=225,得土+匕=1,

259

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+二=1,則“=5,b=3,

259

因?yàn)辄c(diǎn)P（x,y）在橢圓上，

所以國(guó)45,3（3.

故選：C

22

4.（2324高二上?廣東廣州?期中）已知橢圓C:左+方=l（a>b>0）的短軸長(zhǎng)為4,焦距為2,則橢圓C的上

頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為（）

A.6B.75C.2A/5D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出。，即可得解.

f2/7=4\b=2,_____「

【詳解】依題意2c=2,所以°=1，貝=

則橢圓C的上頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為a=^5.

故選：B

5.（2324高二上?云南昆明?期末）焦點(diǎn)在y軸上,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為4:1,焦距為2的橢圓方程為

（）

A丁丁1R

A.-----1----=1D.----1------=1

644464

Y22

C.----Fy2=1D.x2---v----=1

1616

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得到方程組，求出。=1,。=4,結(jié)合焦點(diǎn)位置，得到橢圓方程.

【詳解】由題意得當(dāng)=4,2c=2岳,又02=4一62,

2b

解得b=l,a=4,

2

故橢圓方程為匕=1.

16

故選：D

6.（2324高二上?河南焦作?階段練習(xí)）橢圓/+,孫2=1的焦點(diǎn)在,軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則加的值

為（）

A.-B.士C.2D.4

42

【答案】A

【分析】由題意可得關(guān)于m的方程2、口=2x2,解方程即可得解.

Vm

【詳解】???橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，，2jl=2x2,解得根=；

Vm4

故選：A.

7.（2324高二下.廣東廣州?期中）已知橢圓c：二+f^=l的離心率為正，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）

aa-62

A.2A/3B.40C.4A/3D.6夜

【答案】B

【分析】首先得到即可求出，2=6,再由離心率公式求出最后再求出長(zhǎng)軸長(zhǎng).

【詳解】因?yàn)椤?＞。2一6,

依題意可得。2=/一6,

所以/=a2—b1=a2--6）=6,

則離心率e——,解得1=8,貝！|。=20,

a

所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4后.

故選：B

22

8.（2324高二上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?期末）已知橢圓上+^^=1（丸>0）,則不隨參數(shù)4的變化而變化的是

4+A2+?!

（）

A.頂點(diǎn)坐標(biāo)B.離心率C.焦距D.長(zhǎng)軸長(zhǎng)

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)、半焦距、離心率即可判斷得解.

22

【詳解】橢圓/二+二=1（4>0）中，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)4="71,短半軸長(zhǎng)6=戶1，半焦距,="^?=也，

4+A2+A

J?

顯然頂點(diǎn)坐標(biāo)（±4,0）,（0,+b）隨2的變化而變化,離心率e=-^=隨2的變化而變化，

V4+I

長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a隨之的變化而變化，ABD不是；

焦距2c=20不隨之的變化而變化，C是.

故選：C

9.（2324高二上?河南南陽(yáng)?階段練習(xí)）已知A為橢圓：+/=1的上頂點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，則歸聞的最大

值為（）

A.2A/2B.還C.3D.V7

6

【答案】B

【分析】設(shè)尸（x,y）,確定1PAi=+?,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.

【詳解】由題意可知：A(O,l),設(shè)尸(x,y),

由,+y2=l可得x?=7-7y2,-1<<1,

貝!11PA|=#+(y-l)2=j7-7y2+y'-2y+l=J-6]N+[+~^~,

因?yàn)?可知當(dāng)y=-，時(shí)，|PA|最大為

o

故選：B

③求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

畬策略方法待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟

-:根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在式軸上，還是

第一步

禍麗?一：在y軸上，或者是兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能

：（這時(shí)需要分類討論）

王

根據(jù)產(chǎn)？斷設(shè)方程為斗￡=1（?>0）

第二步

或—=1（a>6>0）

■第三史?.根據(jù)已知條件，建立關(guān)于Q,6,C的方程（組）

找關(guān)系（注意橢圓中固有的等量關(guān)系。2=。2_〃）

___

第四步

解方程組，將解代入所設(shè)方程，得所求

定結(jié)果

【題型精練】

一、解答題

1.（2324高二上?四川成都.階段練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2,0）,（2,0）,并且經(jīng)過點(diǎn)-1）,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且經(jīng)過點(diǎn)尸（3,0）；

22

【答案】⑴2+3=1

10o

嗚+&】啜+￡?

【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，待定系數(shù)法求出得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）分焦點(diǎn)位于x軸和y軸兩種情況，設(shè)出橢圓方程，求出凡以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+e=1（。>6>0）,

ab

c2=a2-b2=4

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+當(dāng)=1；

106

22

（2）由題意：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+與=1（。>6>0）,

ab

故a=3b=3,故6=1,此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+丁=1,

9

22

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位于y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為斗+夫=1(。>6>0),

ab

故〃=3,故。=38=9,此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三=1.

819

綜上所述：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4+「=1或《+《=1.

9819

2.(2024高二上.全國(guó).專題練習(xí))求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的5倍，且過點(diǎn)45,0)；

3

(2)離心率e=：焦距為12.

【答案】(1展+/=1或短+《=1;

⑵工+J1或上+工=1.

1006410064

【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出橢圓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)，再按焦點(diǎn)位置求出橢圓方程.

(2)根據(jù)給定條件，由離心率求出橢圓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)，再按焦點(diǎn)位置求出橢圓方程.

22

【詳解】(1)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為17+A=l(q>4>0),

由橢圓過點(diǎn)45,0),得％=5,由橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的5倍，得仿=gq=l,

則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+y=1；

25

22

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為'+a=1(%>%>。)，

由橢圓過點(diǎn)A(5,0),得4=5,由橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的5倍，得出=54=25,

22

則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為左+2=1,

62525

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為日+y=1或4+1=1.

2562525

(2)令橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,半焦距為c,由2c=12,得c=6,

由離心率e=Z，得一=工，即。=10,因此橢圓短半軸長(zhǎng)人=而=7=8，

5〃5

當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+且=1；

10064

22

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二:+2=1,

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為尋旨1或總+/L

3.(2324高二上.黑龍江雞西?期末)求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

⑴兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(T。)，(4,0)，橢圓上一點(diǎn)尸到兩焦點(diǎn)距離的和是10；

(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)(。,2)和(1,0)；

(3)經(jīng)過也)和點(diǎn)|子,j

22

【答案】⑴二+匕=1

259

⑵匕+爐=1

4

(3)乙+尤②=1.

【分析】(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)求％由橢圓定義得2a即可求〃，從而得方程;

(2)結(jié)合圖形，已知點(diǎn)是長(zhǎng)短軸的頂點(diǎn)，則可得。,匕；

(3)設(shè)橢圓方程的簡(jiǎn)化形式如2+江=1(m>0,">0,"?〃)，待定系數(shù)解方程組可得.

【詳解】(1)由題意，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且2a=10,a=5,c=4,

貝!="-2=25-16=9,

22

...橢圓方程為二+二=1;

259

(2)根據(jù)題意，所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)(。,2)和(1,0),

2

則a=2,6=1,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+爐=1；

4

(3)根據(jù)題意，要求橢圓經(jīng)過(逅，石)和點(diǎn)(述，1)兩點(diǎn)，

33

設(shè)其方程為mx2+ny2=l(m>0,n>0,mn),

6

—m+3n=lm=l

:o，解可得

則有1,

On=—

—m+n=1

199

2

則所求橢圓的方程為不

4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)短軸的一個(gè)端點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5,焦點(diǎn)到橢圓中心的距離為3；

（2）離心率為且，且經(jīng)過點(diǎn)（2,0）.

【答案】⑴，1=1或

v-229

⑵上+>2=1或匕v+±=1.

4-164

【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)直接寫出a,c的值，然后求出b的值即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）根據(jù)離心率可設(shè)。=2左，c=?,對(duì)橢圓焦點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

【詳解】（1）由題意知。=5,c=3,所以〃=25-9=16,

又焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸可為x軸，也可為y軸，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+1=1或片+二=1.

25162516

（2）由題意可得e=￡=且，設(shè)。=2左，c=6k,k>0,貝?。?=左.

a2

又橢圓經(jīng)過的點(diǎn)（2,0）為其頂點(diǎn)，

2

故若點(diǎn)（2,0）為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則。=2,b=l,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,+y2=l；

22

若點(diǎn)（2,0）為短軸頂點(diǎn)，貝!|6=2,。=4,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為q+?=l.

5.（2324高二上?福建福州?階段練習(xí)）回答下面兩個(gè)題

⑴求經(jīng)過點(diǎn)尸［2］和點(diǎn)。［一門的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖是一個(gè)橢圓形拱橋，當(dāng)水面在/處時(shí)，在如圖所示的截面里，橋洞與其倒影恰好構(gòu)成一個(gè)橢圓.此時(shí)

拱頂離水面2m,水面寬6m,那么當(dāng)水位上升1m時(shí)，求水面的寬度

【答案】（1）X2+4=1；

⑵36m

【分析】（1）首先設(shè)橢圓的一般方程，代入兩個(gè)點(diǎn)，即可求解；

（2）首先建立坐標(biāo)系，求解橢圓方程，再根據(jù)水面上升后的y值求x的值，即可求解.

2

【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為7行2+ny=l（m,n>O,mW叫,

,、——m+16n=1m=l

將點(diǎn)尸[t]和點(diǎn)0-33代入可知:?

得1

=一

I5J^m+9n=ln

12525

2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：V+匕=1;

以圖中水面所在的直線為工軸，水面的垂直平分線所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

22

根據(jù)已知條件可知：橋洞與其倒影恰好構(gòu)成的橢圓方程為：土+匕=1,

94

當(dāng)水位上升Im時(shí)，水面的寬度也即當(dāng)丁=1時(shí)，直線y=i被橢圓所截的弦長(zhǎng).

把y=i代入橢圓方程可得：x=土空,

2

所以當(dāng)水位上升1m時(shí)，水面的寬度為36m.

④橢圓的離心率

畬策略方法求橢圓離心率或其范圍的方法

解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于。，。，c的關(guān)系式（等式或不等式），轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用

方法如下：

⑴直接求出a,c,利用離心率公式e=:求解.

（2）由。與》的關(guān)系求離心率，利用變形公式e=\/l—?求解.

（3）構(gòu)造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系,

從而求得e.

【題型精練】

一、單選題

1.（2324高二上?四川眉山?期中）若橢圓/+2;/=1的離心率為e,則e的值為（）

A.1B.2C.正D.72

22

【答案】C

【分析】由橢圓的離心率公式直接求解.

【詳解】由題意得橢圓長(zhǎng)半軸。=1,短半軸6=孝，所以半焦距。=J"=。，

交

所以離心率_c_為_及,

e———

a12

故選：C.

22

2.（2324高二上.廣西.階段練習(xí)）已知橢圓E：a+方=1（。>6>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，則E的離

心率為（）

A.旦R20C.近D,也

3333

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得2a=66,再根據(jù)離心率公式即可得解.

b

【詳解】由題意，2a=6b,所以2=：1,

a3

故選：B.

3.（2024?福建泉州?二模）若橢圓5+：=l（a>0）的離心率為亭，則該橢圓的焦距為（）

A.石B.y/6C.2尿或gD.26或屈

【答案】D

【分析】分焦點(diǎn)在x軸或y軸兩種情況，求橢圓的離心率，求解參數(shù)。，再求橢圓的焦距.

[3.

【詳解】若橢圓的焦點(diǎn)在無軸，則離心率e=±上—,得4=6,此時(shí)焦距2c=2后與=2君，

a-2

若橢圓的焦點(diǎn)在y軸，則離心率6=立三=變,得片=：,此時(shí)焦距2c=2、13="，

7322V2

所以該橢圓的焦距為2A或卡.

故選:D

22=1（〃?>0）的離心率為曰，則"?=（）

4.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：L+工

mm+1

A.3B.-C.2D.±

32

【答案】C

【分析】先分別表示出a，J結(jié)合離心率公式列出方程即可求解.

【詳解】a=s/m+l,c=l,:.——=—,解得〃?=2.

y/m+13

故選：C.

22

5.（2324高二下.北京.開學(xué)考試）橢圓二+3=1的左右焦點(diǎn)分別為用鳥，過尸2與長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓

ab

交于A,3兩點(diǎn)，若耳為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）

A.立B.立C.立D.百

632

【答案】B

【分析】依題意求出閨耳|隹|做|,再根據(jù)橢圓的定義及離心率公式計(jì)算可得.

【詳解】依題意閨瑪|=2c,|AF2|=|^|tan30°=^,體團(tuán)=上典=幽,

3sin303

又|A閭+|明|=2a,即26c=2。，所以離心率e=￡=1.

a3

故選：B

6.（2324高二上.福建福州?期末）已知短軸長(zhǎng)為2的橢圓上存在三點(diǎn)，使得這三點(diǎn)與橢圓中心恰好是一個(gè)正

方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（）

A.垣B.邁C.逅D.在

3366

【答案】B

【分析】先設(shè)橢圓方程，再由橢圓和正方形的對(duì)稱性得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求解.

【詳解】設(shè)橢圓方程為1+丫2=1（°>1）,

a

由正方形和橢圓的對(duì)稱性可得：正方形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為0（0,0）,B（?,0）,C（|,-|）,

22

A（￡J）,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得：^+―=1,

224〃4

所以〃=所以圓心率為e=￡=?口,

aya23

故選：B.