三角形中的中位線與中垂線模型-2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破訓(xùn)練

專題07三角形中的中位線與中垂線模型

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析T典例分析T

【模型1】三角形中位線

如圖，已知D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得。且=

根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方，可得

【模型2】梯形中位線

如圖，已知4B〃CD,E、F分別為梯形兩腰AD、BC的中點(diǎn)，根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)，可得

AB//CD〃EF,且所=gQB+C。），

【模型拓展1】常見的中位線輔助線作法

如圖，在A45C中，已知點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，通常情況下，過點(diǎn)D作可知DE為A48C的中位

線。

【模型拓展2】常見的中位線輔助線作法

A

如圖，在A48C中，已知點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，通常情況下，過點(diǎn)D作可知BC為A4DE的中位

線。

【模型3】中垂線模型

如圖，已知直線/是AB的垂直平分線，點(diǎn)A是直線/上的一點(diǎn)，連接AB、AC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可

得AB=AC。

【例1】已知：AA8C中，。為8C的中點(diǎn)，NG平分/A4C,CG，/G于G,連結(jié)DG,若AB=6,/C=4,

求DG的長.

【答案】0G=1

【分析】延長CG交AB于點(diǎn)E.根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)得CG=EG,AE=AC,再根據(jù)三角形中位線的

性質(zhì)得出DG=gBE=g(ABAC),從而得出DG的長.

【解析】解：延長CG交AB于點(diǎn)E.

???AG平分NR4C,。6_￡/6于6,

CG=EG,AE=AC=4,

:.BE=AB-AC=2,

?：CG=EG,。為8c的中點(diǎn)，

DG=-BE=1.

2

故答案為QG=L

【例2】如圖，在菱形ABCD中，NABC=60。，點(diǎn)E、尸分別為邊3C、DC的中點(diǎn)，連接EF,求證：EF=43BE.

【答案】見解析

【分析】連接/C、BD,交于點(diǎn)O,根據(jù)三角形的中位線定理知跖=8。，在菱形48c。中，ZABC=60°,

同

易知/BCO=60。，解直角三角形OBC知BO=BC-sin60°=—SC=A/3S￡，從而得證.

2

【解析】證明：如圖，連接ZC、BD,交于點(diǎn)。，

?;E、尸分別是8C、DC的中點(diǎn)，

EF=-BD=BO,

2

在菱形/BCD中，ZABC=60°,

:.AC1BD,NCBD=3Q°,

ZBCO=60°,

BO=BC-sm60°^—BC=—-2BE^y/3BE,

22

.-.EF=43BE.

【例3】已知：如圖，在AABC中，D在邊AB上.

(1)若/ACD=/ABC,求證：AC2=AD-AB；

(2)若E為CD中點(diǎn)，ZACD=ZABE,AB=3,AC=2,求BD的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)V5.

【分析】(1)利用兩組角分別相等，可證相似，然后對(duì)應(yīng)邊成比例，變形即可求解；

(2)過C作CF〃EB交AB的延長線于F,轉(zhuǎn)化成(1)中的相似關(guān)系，列比例式，代入AB和AC的值即可求

解.

【解析】(1)在ANBC和△/(7￡＞中，

ZACD=NABC,ZA=ZA,

AABCsA4CD,

.ADAC

"ACAB'

/.AC-=AD-AB；

(2)過C作CF//BE交AB的延長線于F,

A

D

由于E為C。中點(diǎn)，

ABF=BD,ZF=ZABE,

AACD=/ABE,

；?NACD=/F,ZA=ZA,

???LAFCs4ACD,

.ACAF

??茄一就‘

2

AC=ADAFf

VAC=2,AB=3,則/0=3—5。，AF=AB+BF=3+BD,

；.22=(3-AD)(3+AD),

解得：BD=V5.

一、單選題

1.如圖，在平行四邊形/BCD中，/C與交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡是8C邊的中點(diǎn)，OE=l,則的長是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明點(diǎn)。為/C的中點(diǎn)，而點(diǎn)E是8c邊的中點(diǎn)，可證為△/BC的中位

線，利用中位線定理解題即可.

【解析】解：由平行四邊形的性質(zhì)可知/o=oc,

而E為BC的中點(diǎn)，即8E=EC,

OE為AABC的中位線,OE=yAB,

由。￡=1,得4B=2.

故選B.

2.如圖，平行四邊形/BCD中，對(duì)角線NC、8。交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).若O￡=2cm,則N3的長

為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到CM=OC,結(jié)合EC=EB,得到0E是△/BC的中位線，根據(jù)中位線定

理，得到AB=2OE計(jì)算選擇即可.

【解析】因?yàn)樗倪呅?BCD是平行四邊形，

所以O(shè)A=OC,

因?yàn)椤闏=M,

所以0E是△ABC的中位線，

所以N8=2O￡,

因?yàn)镺E=2,

所以45=4（cm）.

故選A.

3.如圖，在△45。中，D、￡分別是45、4C邊上的中點(diǎn)，若?！?4,則5。等于（）

【答案】c

【分析】根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可.

【解析】解：：D、E分別是N5、/C邊上的中點(diǎn)，DE=4,

:.BC=2DE=2x4=8,

故選：C.

4.如圖，在矩形/BCD中，AB=6,40=8,AE平分NBAD交BC于點(diǎn)、E.點(diǎn)、尸，G分別是ND,/E的中

點(diǎn)，則尸G的長為（）

AB

DC

A.3V2B.VioC.4D.5

【答案】B

【分析】由AE平分/BAD得NB4E=NDAE,根據(jù)矩形43?？傻谩?BE是等腰直角三角形，所以2E=/8=6,

從而可求EC=2,連接DE,由勾股定理得OE的長，再根據(jù)三角形中位線定理可求FG的長.

【解析】解：連接DE,如圖所示：

???四邊形是矩形，

:.ZBAD=ZB=ZC=90°,AB=CD=6,AD=BC=8,AD〃BC,

ZDAE=AAEB,

,：AE平分ZBAD,

ZDAE=/BAE=45°,

ZBAE=ZAEB,

AB=BE=6,

/.EC=BC-BE=2,

DE=-]CE2+CD2=A/22+62=2廂，

,??點(diǎn)尸、G分別為40、ZE的中點(diǎn)，

是A/DE的中位線,

:.FG=-DE=y/]O；

2

故選：B.

AB

DC

二、填空題

5.如圖，已知在RtZ\48C中，ZACB=90°,點(diǎn)。是NC延長線上的一點(diǎn)，/。=24,點(diǎn)￡是3C上一點(diǎn),

BE=1Q,連接。E,M、N分別是N2、DE的中點(diǎn)，則“N=

【答案】13

【分析】連接BD,取BD的中點(diǎn)F,連接MF、NF,由中位線定理可得NF、MF的長度，再根據(jù)勾股定理

求出MN的長度即可.

【解析】連接BD,取BD的中點(diǎn)F,連接MF、NF,如圖所示

：M、N、F分別是AB、DE、BD的中點(diǎn)

；.NF、MF分別是aBDE、△ABD的中位線

NFUBE,MFIIAD,NF」BE=5,MF=-AD=12

22

NACB=90。

：.AD1BC

"MFHAD

：.MFIBC

'：NF//BE

：.NFIMF

在Rt叢MNF中,由勾股定理得

MN=y/NF2+MF2=A/52+122=13

故答案為：13.

6.如圖，在四邊形/SCO中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，BC=5,CD=3,EF=2,ZAFE=45°,則

ZADC的度數(shù)為.

【答案】135°

【分析】連接根據(jù)三角形中位線定理得到蝦〃瓦），BD=2EF=4,根據(jù)勾股定理的逆定理得到/8DC

=90。,計(jì)算即可.

【解析】解：連接

,:E、尸分別是邊/8、/￡＞的中點(diǎn)，EF=2,

J.EF//BD,BD=2EF=4,

：.ZADB=ZAFE=45°,

又,：BC=5,CD=3,

：.BD2+CD2^25,BC?=25,

:.BD2+CD2=BC2,

：.ZBDC^90°,

：.ZADC=ZADB+ZBDC=135°,

故答案為：135。.

A

D

I」\

BC

7.梯形ABCD中，/2||CD,點(diǎn)E,F,G分別是BD,AC,DC的中點(diǎn)，已知：兩底差是3,兩腰的和是

6,則AFFG的周長是.

【答案】|9

【分析】連接AE,并延長交CD于K,利用“AAS”證得△AEB/ZkKED,得到DK=AB,可知EF,EG、FG

分別為△AKC、ABDC和AACD的中位線，由三角形中位線定理結(jié)合條件可求得EF+FG+EG,可求得答案.

【解析】連接AE,并延長交CD于K,

VAB/7CD,

.\ZBAE=ZDKE,ZABD=ZEDK,

:點(diǎn)E、F、G分別是BD、AC、DC的中點(diǎn).

；.BE=DE,

在AAEB和△"口中,

「NBAE=NDKE

，ZABD=ZEDK,

BE=DE

AAAEB^AKED(AAS),

；.DK=AB,AE=EK,EF為△ACK的中位線,

.".EF=|cK=|(DCDK)=；(DCAB),

VEG為aBCD的中位線,

.*.EG=-BC,

2

又FG為4ACD的中位線，

AFG=-AD,

2

???EG+GF=；(AD+BC),

??,兩腰和是6,即AD+BC=6,兩底差是3,即DCAB=3,

3

???EG+GF=3,FE=一,

2

39

?，?ZXEFG的周長是3~1—=—.

22

Q

故答案為：—.

8.如圖，正方形45CD的邊長為2,點(diǎn)￡,點(diǎn)尸分別是邊5C,邊C。上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF,4￡與5b相

交于點(diǎn)尸.若點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊C。上任意一點(diǎn)，則〃N+7W的最小值等于.

【答案】Vio-i

【分析】作M關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)Q,取AB的中點(diǎn)H,連接PQ與CD交于點(diǎn)NT連接PH,HQ,當(dāng)H、P、

N\Q四點(diǎn)共線時(shí)，MN+NP=PQ的值最小，根據(jù)勾股定理HQ,再證明4ABEtZ^BCF,進(jìn)而得4APB為

直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)，求得PH,進(jìn)而求得PQ.

【解析】解：作m關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)。，取45的中點(diǎn)連接尸。與CD交于點(diǎn)N,連接尸〃，HQ,貝

MN=QN,

???四邊形是正方形,

：?AB=BC,AB//CD,NABC=NBCD=90。,

在△&5￡*和△5CF中,

AB=BC

</ABE=/BCF,

BE=CF

:?△ABEQ/\BCF("S),

/AEB=/BFC,

■:AB〃CD,

：.ZABP=ZBFC=NAEB,

:ZBAE+ZAEB=90°f

：.ZBAE+ZABP=90°f

：.ZAPB=90o,

：.PH=-AB=\,

2

點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，

：.BM=MC=CQ==1,

"：PH+PQ>HQ,

...當(dāng)X、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，PH+PQ=HQ=^BH2+BQ2=&+[=&的值最小，

二尸。的最小值為Ji6-1,

此時(shí)，若N與N重合時(shí)，MN+PN=MN+PN=QN+PN=PQ=屈-1的館最小,

故答案為JHi-l.

9.如圖，在口48co中，對(duì)角線AD相交于點(diǎn)。，AB=OB,E為NC上一點(diǎn)，BE平分/4B0,EF±BC

于點(diǎn)凡ZCAD=45°,EF交BD于點(diǎn)、P,BP=5則8C的長為.

【答案】4

【分析】過點(diǎn)E作EM〃AD,由△ABO是等腰三角形，根據(jù)三線合一可知點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，可證得

EM=yAD=yBC,根據(jù)已知可求得NCEF=/ECF=45。，從而得NBEF=45。，ABEF為等腰直角三角形，可

得BF=EF=FC=,BC,因此可證明△BFP^^MEP(AAS),則EP=FP=3FC,在Rt^BFP中，利用勾股定

理可求得x,即得答案.

【解析】過點(diǎn)E作EM〃AD,交BD于M,設(shè)EM=x,

VAB=OB,BE平分NABO,

.?.△ABO是等腰三角形，點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，BE1AO,ZBEO=90°,

AEM是△AOD的中位線，

又：ABCD是平行四邊形，

.".BC=AD=2EM=2x,

VEF±BC,ZCAD=45°,AD〃BC,

；.NBCA=/CAD=45°,ZEFC=90°,

AAEFC為等腰直角三角形，

；.EF=FC,ZFEC=45°,

ZBEF=90°ZFEC=45°,

則ABEF為等腰直角三角形，

.*.BF=EF=FC=yBC=x,

：EM〃BF,

.??ZEMP=ZFBP,ZPEM=ZPFB=90°,EM=BF,

則aBEP之ZkMEP(ASA),

EP=FP=yEF=yFC=1X,

/.在RtABFP中，BP2=BF2+PF2，

即：(6)2=/+(14，

解得：x=2,

???BC=2x=4,

故答案為：4.

MD

10.如圖，梯形45。中，ND=90。，AB||CD,將線段C2繞著點(diǎn)3按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在CD

S1

延長線上的點(diǎn)E處.聯(lián)結(jié)/￡、BE,設(shè)BE與邊4D交于點(diǎn)F,如果/2=4,且土織=5，那么梯形

的中位線等于

【答案】8

s]

【分析】由根據(jù)三角形的面積公式，由產(chǎn)區(qū)=彳得黑=:，進(jìn)而求得?！?2,從而求得底邊EC的長，于

\人AREZAb2

是可求得CD的長，進(jìn)而求得梯形NBCD的中位線.

【解析】解：過點(diǎn)2作WLCE于點(diǎn)如下圖，

EDM

VAB||CD,ZD=90°,

ZADC=180°ZA=180°90°=90°,

C1

*v2，

^△ABF4

□△ABF—AF?AB

2

4B=4,

:?DE=2,

,：BM2CE,

：.ZBMD=90°,

???四邊形/皿。是矩形，

；?DM=AB=4,

：.EM=2+4=6,

???將線段CB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在CD延長線上的點(diǎn)E處，

；.BE=BC,

?：BM_LCE,

：.EC=2EM=n,

ACD=122=10,

：.mABCD的中位線為：1x(4+10)=7,

故答案為：8.

11.如圖，平行四邊形4BCD中，對(duì)角線NC,BD交于點(diǎn)、O,BD=2AD,E,F,G分別是OC,OD,

的中點(diǎn).下列結(jié)論正確的是.(填序號(hào))

@EG=EF；②AEFG烏AGBE；③EA平分NGEF；④尸8平分BEFG；⑤四邊形8EFG是菱形.

【答案】①②③

【分析】由中點(diǎn)的性質(zhì)可得出所||CD,且EF=gcD=EG,結(jié)合平行即可證得②結(jié)論成立，由

BD=2AD=28。得出8。=8。，即而得出龐'_L/C,由中線的性質(zhì)可知GP//8E，且GP=立,AO=2EO,

通過證DAPG^DEPG得出ZG=EG=EF得出①成立，再證DGPE@DFPE得出④成立，此題得解.

【解析】解：令G廠和NC的交點(diǎn)為點(diǎn)P,如圖

AD

?；E、/分別是OC、的中點(diǎn)，

：.EF\\CD,且斯=；CZ）,

???四邊形4BCD為平行四邊形，

AB//CD,且=m

/.AB\\EF

\￡FEG=￡BGE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

???點(diǎn)G為的中點(diǎn)，

\BG=-AB=-CD=FE,

22

BG=FE

在A￡FG和AGBE中，＜/FEG=/BGE,

GE=EG

\DEFG@DGBE（SAS）,艮|]②成立，

\￡EGF=￡GEB,FE=BG,

\GF//BE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），

?.?5Q=2BC,點(diǎn)。為平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn),

\BO=-BD=BC,

???E為。。中點(diǎn),

:.BELOC,

：.ZBEA=90°f

GF〃BE,

：.ZAPG=ZBEA=90°,

\GpcAC,

為48中點(diǎn),

Z.GE=-AB=-CD=EF,即①正確；

22

*.?GE=EF,GPLAC,

，EA平分ZGEF即③正確；

另外，無法判斷總平分DEFG和四邊形瓦部G是菱形成立，故④⑤錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的有①②③，

故答案為：①②③.

12.如圖，三角形紙片/8C中，點(diǎn)D,E,歹分別在邊AC,8c上，BF=2,CF=6,將這張紙片沿直線

翻折，點(diǎn)N與點(diǎn)/重合.若DE〃BC,BF=DF,則△/￡>￡的面積為.

【答案】2^/3

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)和30。直角三角

形的性質(zhì)求解即可.

【解析】解：???紙片沿直線翻折，點(diǎn)N與點(diǎn)廠重合，

二?！甏怪逼椒?F.

：.AD=DF,AE=EF.

\'DE//BC,

為A/BC的中位線.

DE=yBC=y(BF+CF)=1x(2+6)=4.

,:BF=DF,

:.ABDF為等邊三角形.

：.ZB=60°.

在必△AFB中，ZBAF=3>0°,BF=2,

:.AF=#,BF=26,

四邊形ADFE的面積=gXDEX4F=；x4x2行=4g.

/.AADE的面積=gx4xg=26.

故答案為：2省.

三、解答題

13.如圖，在四邊形48C。中，AD=BC,E、尸分別是邊DC、的中點(diǎn)，F(xiàn)E的延長線分別BC

的延長線交于點(diǎn)“、G,求證：ZAHF=ZBGF.

【答案】證明見解析

【分析】連接BD,取BD的中點(diǎn)，連接EP,FP,根據(jù)三角形中位線定理即可得到PF=3AD,PF〃AD,

EP=yBC,EP〃:BC,進(jìn)而得出/AHF=/BGF.

【解析】解：如圖所示，連接BD,取BD的中點(diǎn)，連接EP,FP,

VE,F分別是DC、AB邊的中點(diǎn)，

AEP是4BCD的中位線，PF是4ABD的中位線，

/.PF=yAD,PF/7AD,EP=yBC,EP〃BC,

ZH=ZPFE,ZBGF=ZFEP,

又：AD=BC,

；.PE=PF,

.\ZPEF=ZPFE,

ZAHF=ZBGF.

H

G

14.如圖所示，AA8C中，ZB4c=90。,延長34到。，使4D=工AB,點(diǎn)E是/C的中點(diǎn)，求證：BC=2DE.

2

【答案】見解析

【分析】可知所是△/BC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得EF〃出EF=^AB,又由

即可得4。=跖，根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形NEED是平行四邊

形.DE=AF,由在無△/8C中，/B4c=90。,點(diǎn)E邊8c的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的

一半，可求得4F=g8C.所以。E=28C

【解析】證明：取8c的中點(diǎn)R連EF,AF,

；點(diǎn)E、廠分別為邊3C,/C的中點(diǎn)，即斯是△NBC的中位線,

J.EF//AB,EF=^AB,

即EF//AD,

"：AD=^AB,

：.EF=AD,

二四邊形AEFD是平行四邊形；

：.AF=DE.

:在放△NBC中，/A4c=90。，點(diǎn)￡邊的中點(diǎn)，

：.AF=^BC,

V四邊形/血）是平行四邊形，

：.BC=2DE.

15.如圖，已知菱形/BCD中，DE上AB于點(diǎn)、E,DE=4cm,ZA=45°,求菱形/BCD的面積和梯形。E8C

的中位線長（精確到0.1cm）

【答案】菱形的面積是22.7cm2,梯形DE3C的中位線長是3.7cm.

【解析】解：：四邊形N3CD是菱形，

：.AD=DC=AB,

'：DEVAB,

：.ZAED=90°,

:乙4=45。，

LADE是等腰直角三角形,：.AE=DE=4,

由勾股定理得，AD=742+42=472?

:.AB=4血，

菱形ABCD的面積為DExAB=4x4a=16夜=22.7cm2,

；8￡=4拒4,CD=AD=4亞,

二梯形。跖。的中位線長（4a4+4&）+2=4a237cm.

答：菱形/BCD的面積是22.7cm2,梯形。E8C的中位線長是3.7cm.

16.如圖，已知在平行四邊形/BCD中，。是對(duì)角線/C與8。的交點(diǎn)，?！晔恰?8C的中位線，連接4B

并延長，與。C的延長線相交于點(diǎn)凡且/b=40,連接8F.證明四邊形N59C為矩形

D

o

F.

【答案】證明見解析

【分析】先通過平行四邊形及中位線的性質(zhì)證明△/BE之△尸CE,從而得到四邊形尸C為平行四邊形，再

結(jié)合等腰三角形的三線合一證明N/CF=90。即可得到答案.

【解析】證明：?.?四邊形48。是平行四邊形

AB//CD,AB=CD

：.NABE=ZFCE.

「OE是△Z8C的中位線

：.BE=CE

在AABE和△/CE中，

ZABE=ZFCE

<BE=CE

NBEA=NCEF

：.AABE咨AFCEIASA)

：.AB=CF

...四邊形/BFC為平行四邊形

CF=CD

又；4F=AD

：.—90°

四邊形/BFC為矩形

17.已知：如圖，在等邊A48C中，ZADE=60°,且DE交AA8C外角平分線CE于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)點(diǎn)。為BC中點(diǎn)時(shí)，試說明與。E的數(shù)量關(guān)系;

(2)當(dāng)點(diǎn)。不是8c中點(diǎn)時(shí)，試說明AD與。E的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)AD=DE,見解析.(2)AD=DE,見解析.

【分析】(1)AD=DE.由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到/BDF=NBFD=60。，于是得到是

等邊三角形，再證明4AFD也4DCE即可得到結(jié)論；

(2)AD=DE.由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到/BDF=NBFD=60。，于是得到△BDF是等邊三角

形，再證明△AFDgZXDCE即可得到結(jié)論；

【解析】(1)結(jié)論：AD=DE,理由如下：

如圖：過點(diǎn)D作DF〃AC,交AB于點(diǎn)F,

VAABC是等邊三角形，

；.AB=BC,ZB=ZACB=ZABC=60°.

又：DF〃AC,

ZBDF=ZACB=60°,

.?.△BDF是等邊三角形，

.\DF=BD,ZBFD=60°,

VBD=CD,

；.DF=CD

AZAFD=120°.

：EC是外角的平分線，.?./ACE=60。，

ZDCE=ZACB+ZACE=120°=ZAFD,

ZADB=ZADC=90°,

.,.ZADF=ZEDC=30°,

在AAFD與AEDC中，

ZAFD=ZDCE

<DF=CD,

ZADF=ZEDC

.".△AFD^ADCE(ASA),

；.AD=DE；

(2)結(jié)論:AD=DE；理由如下：

如圖2,過點(diǎn)D作DF〃AC,交AB于點(diǎn)F,

VAABC是等邊三角形，

.*.AB=BC,ZB=ZACB=ZABC=60°,

又：DF〃AC,

ZBDF=ZACB=60°,

.?.△BDF是等邊三角形，.\BF=BD,ZBFD=60°,

；.AF=CD,ZAFD=120°,

：EC是外角的平分線，.../ACE=60。，

ZDCE=ZACB+ZACE=120°=ZAFD,

ZADC是AABD的外角，

ZADC=ZB+ZFAD=60°+ZFAD,

ZADC=ZADE+ZEDC=60°+ZEDC,

.".ZFAD=ZEDC,

在AAF。和ADCE中，

ZDAF=ZEDC

<AF=CD,

ZAFD=NDCE

.,.△AFD^ADCE(ASA),

；.AD=DE.

18.A/BC中，BC=4,AC=6,ZACB=m°,將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n。得到△/￡萬，E與B是對(duì)應(yīng)點(diǎn),

如圖1.

(1)延長BC、EF,交于點(diǎn)K,求證：ZBKE=n°；

（2）當(dāng)m=150,n=60時(shí)，求四邊形CEFA的面積；

（3）如圖3.當(dāng)n=150時(shí)，取BE的中點(diǎn)P和CF的中點(diǎn)Q,直接寫出尸。?的值.

【答案】（1）見解析；（2）12+96；（3）8-473

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得4跖=4,利用三角形的外角性質(zhì)可得=尸，從而

得至！JZBKE=ZBAE=n°；

（2）連CF,作出，/C于根據(jù)條件得到A4c尸是等邊三角形，則/跖C=90。，從而根據(jù)

S四邊形CEE4=又而+S^CF計(jì)算即可；

（3）取CE中點(diǎn)G,連接PG,QG,構(gòu)造4GPQ為等腰三角形，并結(jié)合中位線定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解

ZPGQ=30°,再作CNLFA于N點(diǎn)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解出sinl5。=”一④,最后在AGP、中運(yùn)用“三線

4

合一”的性質(zhì)求解出PQ的長度得出結(jié)論.

【解析】（1）設(shè)CK、4E交于點(diǎn)尸，

\AEF是\ABC旋轉(zhuǎn)所得，

\AEF=AABC,

NAEF=NB,

ZBKE=ZKPA—ZAEF,

/BAE=/KPA—/B,

ZBKE=ZBAE=廢；

BA

(2)連CF,作方H_L4C于H,

\AEF=AABC,

：.EF=BC=4,AF=AC=6,

/AFE=/ACB=\5。。,

二.A4cb是等邊三角形，

/./AFC=60°,

/EFC=/AFE-ZAFC=150。—60°=90°,

S.^-CF-EF=-x6x4^n,

A。rF0F722

■.■AH=^AC=3,FH=NAF?-4H2=J36-9=3石，

:AC-FH==x6x3粗=9C,

c22

(3)如圖，取CE中點(diǎn)G,連接PG,QG,

則PG,QG為ABCE和AFCE的中位線，

:.PG=；BC=2,QG=^EF=2,ZXGPQ為等腰三角形，

根據(jù)中位線定理可得：ZBCE=ZPGE,ZCEF=ZCGQ,

AZPGQ=ZPGE+ZCGQ180°=ZBCE+ZCEF180°,

XVZBCE+ZCEF=ZBCE+ZCEA+ZAEF=ZBCE+ZCEA+ZABC,

.?.在四邊形ABCE中，ZBCE+ZCEA+ZABC=360oZBAE=360°150o=210°,

ZBCE+ZCEF=210°,ZPGQ=ZPGE+ZCGQ180°=210°180°=30°,

作CNJ_FA于N點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，ZCAF=150°,AC=AF=6,ZAFC=15°,

ZCAN=30°,

在RtACAN中，AC=6,