2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)：二次函數(shù)（原卷版）

二次函數(shù)（考題猜想，15種?？碱}型）

強型大宗合

＞二次函數(shù)的圖象在解題中的應(yīng)用＞利用對稱求二次函數(shù)解析式

＞二次函數(shù)圖象的平移在解題中的應(yīng)用＞線段最值問題

＞二次函數(shù)的性質(zhì)在解題中的應(yīng)用A面積最值問題

＞二次函數(shù)圖象上的三角形在解題中的應(yīng)用＞全等三角形問題

＞二次函數(shù)圖象上的四邊形在解題中的應(yīng)用＞特殊三角形存在性問題

＞二次函數(shù)圖象上的平行線在解題中的應(yīng)用＞平行四邊形存在性問題

＞利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式＞角度問題

＞利用平移求二次函數(shù)解析式

驗型大通關(guān)

一.二次函數(shù)的圖象在解題中的應(yīng)用（共4小題）

1.（22-23九年級上?遼寧鞍山?期中）二次函數(shù)卜=辦2+樂+。的圖象如圖所示，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.Q>0B.2a+b<0

C.a+b+c<0D.b1+4ac>0

2.（23-24九年級上?浙江杭州?期中）如圖，拋物線〉=ax2與直線V=bx+c的兩個交點分別為4（-2,4）,5（1,1）,

則關(guān)于X的方程ox,-bx-c=O的解為（）

B.X]-5,%2=2

C.再=-2,x2=1D.玉=-3,x2=2

3.（23-24九年級上?河南信陽,期中）如圖函數(shù)>=辰2+樂+4（°>0,4ac>0）圖象是由函數(shù)

的圖像無軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則

下列結(jié)論正確的是

①2。+6=0

②c=3

③abc>0；

④將圖像向上平移1個單位后與直線y=5有3個交點.

4.（23-24九年級上?新疆伊犁,期中）如圖，已知二次函數(shù)y=/+6x+c經(jīng)過/,8兩點，軸于點C,

且點/(TO),C(4,0),AC=BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點E是線段上一動點(不與4,2重合)，過點E作x軸的垂線，交拋物線于點R當(dāng)線段環(huán)的長度

最大時，求點E的坐標(biāo).

二.二次函數(shù)圖象的平移在解題中的應(yīng)用(共4小題)

5.(22-23九年級上?廣西賀州?期中)拋物線>=-(x+l)2-4向上平移4個單位后的解析式為()

A.y-—(x+1)B.y——(x+5)--4

C.y=-(x-3)~-4D.y=-(x-1)"

6.(22-23九年級上,安徽蕪湖,期中)拋物線必=a/+6x+c是由拋物線乂=X2-4x+5先向左平移3個單位

再向上平移4個單位而得，則4a-26+c=.

7.(23-24九年級上?廣東廣州,期中)已知拋物線>-2ax+3(awO).

⑴求拋物線的對稱軸；

(2)把拋物線沿y軸向下平移3同個單位，若拋物線的頂點落在X軸上，求a的值.

8.(22-23九年級上廣東廣州?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)〉=-2/+樂+，的圖象經(jīng)過點/(-2,4)

和點8(1,-2).

⑴求這個二次函數(shù)的解析式及頂點坐標(biāo)；

（2）沿水平方向平移該二次函數(shù)的圖象，使其平移后的拋物線的頂點到y(tǒng)軸的距離為4,請直接寫出平移的方

向和距離.

三.二次函數(shù)的性質(zhì)在解題中的應(yīng)用（共4小題）

9.（23-24九年級上?浙江杭州?期中）己知三點（2,。），（-1,6）,（3,c）在拋物線y=/+x+2上，則。，b,c

的大小關(guān)系是（）

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.無法比較大小

10.（23-24九年級上?河南周口?期中）已知（-3,%），（2,%）,（5,蠢）是拋物線y=-2--4x+加上的點,比較

弘，力，力的大小.

11.（23-24九年級上廣東云浮?期中）拋物線了=X2+瓜+,經(jīng)過（4,3）,（3,0）兩點.

⑴求6,c的值；

（2）若點/（5,%），8（7必）都在該拋物線上，試比較必與劣的大小.

12.（23-24九年級上?北京朝陽,期中）在平面直角坐標(biāo)系X。了中，/（孫必），8（積%）在拋物線

y=ax2+2ax+c上，其中再<x2.

⑴求該拋物線的對稱軸；

（2）若。>0,西=一2,%=1，比較必，%的大小；

（3）若再+工2=1-。，且乂4%，求a的取值范圍.

四.二次函數(shù)圖象上的三角形在解題中的應(yīng)用（共4小題）

13.（21-22九年級上?吉林長春?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線了=辦2-4ax+4（a<0）交x軸正

半軸于點交了軸于點3,線段2CQ軸交此拋物線于點。，且CD=；2C,則的面積為（）

A.24B.12C.6D.3

14.（23-24九年級上?吉林長春?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線了=<2?-2<^+2（。<0）交工

軸正半軸于點C,交y軸于點/8〃x軸交拋物線于點瓦則△N8C的面積是.

15.（23-24九年級上?貴州六盤水?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點/在第二象限，以/為頂點的拋物

線經(jīng)過原點，與x軸負(fù)半軸交于點8,對稱軸為直線了=-2,點C在拋物線上，且位于點/、3之間（C不

與/、2重合）.若四邊形49BC的周長為0,則△NBC的周長為（用含a的代數(shù)式表示）.

16.（23-24九年級上?甘肅武威?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形O/BC的頂點/（O,3）,C（-1,O）,

得到矩形設(shè)直線8夕與x軸交于點/、與y軸交于點N,拋物線尸”+2x+c的圖象經(jīng)過點c、

M、N.

⑴點B的坐標(biāo)為—，點2'的坐標(biāo)為_；

（2）求拋物線的解析式；

⑶求AQWN的面積.

五.二次函數(shù)圖象上的四邊形在解題中的應(yīng)用（共4小題）

17.（22-23九年級上?黑龍江牡丹江?期中）如圖所示，已知拋物線y=*-2x+3與坐標(biāo)軸交點分別為4B、

C三點，點。為此拋物線頂點，則四邊形A8DC的面積為.

18.（23-24九年級上?江蘇蘇州?期中）如圖，二次函數(shù)y=；x2-x+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點,且

A點坐標(biāo)為（-4,0）,頂點/關(guān)于x軸的對稱點是.

⑴求二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)求四邊形的面積.

19.(23-24九年級上?遼寧鐵嶺?期中)如圖，拋物線了=x?+2x-3與無軸交于48兩點，與，軸交于點。,

拋物線的頂點為C.

⑴求4及。,。的坐標(biāo)；

(2)求四邊形的面積.

20.(20-21九年級上?廣西百色?期中)如圖，拋物線與x軸交于A(1,0)、B(-3,0)兩點，于y軸交于

點C(0,3),頂點為D.

(1)求該拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；

(2)請計算以A、B、D、C為頂點的四邊形的面積；

(3)在X坐標(biāo)軸上是否存在點Q,使得Q點到C、D兩點的距離之和最短，若存在，請直接寫出Q點坐標(biāo),

若不存在，請說明理由.

六.二次函數(shù)圖象上的平行線在解題中的應(yīng)用(共4小題)

21.(21-22九年級上?福建莆田?期中)如圖，點A是V軸正半軸上一點，直線ZC平行于x軸，分別交拋物

線必=/520)與%=[(x20)于民c兩點，過點。作y軸的平行線交必的圖像于點。，直線。E〃/C,

交％的圖像于點則隼=—.

22.（22-23九年級上,黑龍江鶴崗?期中）如圖，拋物線＞=如2+云-44.#0）經(jīng)過，。（°，4）兩點,

與x軸交于另一點3,連接/C,BC.

⑴求拋物線的解析式；

（2）平行于x軸的直線k-14與拋物線分別交于點口E,求線段DE的長.

23.(23-24九年級上,福建南平,期中)如圖，已知拋物線昨。龍2+法+3經(jīng)過3(3,0)二點，直線/是

⑵設(shè)點P是直線/上的一個動點，當(dāng)APNC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)，并求出此時的周長；

⑶平行于8C的直線九W交拋物線于M,N兩點，點M在點N的上方，連接MC,NS交于點P,在圖二中

根據(jù)題意補全圖形并求點P的橫坐標(biāo).

24.（22-23九年級上?湖北襄陽?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=f+3與y軸交于點￡與x軸

交于點2,拋物線了=--+6x+c過/、3兩點.

⑴求拋物線的解析式；

（2）過點/作/C平行于x軸，拋物線于點C,點尸為拋物線上一動點（點下在/C上方），作ED平行于y

軸交48于點。.問當(dāng)點尸在何位置時，四邊形/FCD的面積最大？并求出最大面積.

⑶當(dāng)tWxWf+3時，函數(shù)y=-x?+6x+c的最大值為4,求/的值.

七.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共4小題）

25.（22-23九年級上?云南昭通?期中）如圖，函數(shù)的解析式為（)

3

2C.y——%2+3D.y=—-x2

44

26.（23-24九年級上?吉林?期中）已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線y=-2/+9x相同，且它的

頂點坐標(biāo)為（-1,6）,則這條拋物線的解析式為.

27.（23-24九年級上?吉林?期中）已知拋物線了="2+/+。（"0）的頂點坐標(biāo)是（-2,-1）,且經(jīng)過點

/（0,3）.求該拋物線的解析式.

28.（23-24九年級上?北京房山?期中）二次函數(shù)了=/+瓜+。的圖象經(jīng)過點（0,2）和點（1,5）,求此二次函數(shù)

解析式.

八.利用平移求二次函數(shù)（共4小題）

29.（22-23九年級上?山東濟寧?期中）把拋物線y=先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，得

到的拋物線的解析式為（）

1n1

A.y=-(x+l)-3B.y=-(x-l)--3

C.y=g(x+l『+lD.p=g(x-+1

30.（23-24九年級上?廣西柳州,期中）將拋物線》=2x2向下平移3個單位長度，得到新的拋物線的解析式

是.

31.(23-24九年級上?吉林松原?期中)若二次函數(shù)y=；/+6x+c的圖象經(jīng)過點，(-2,0),其對稱軸為直線x=1,

與x軸的另一個交點為C,與夕軸交于點也

(1)點C的坐標(biāo)為_；

⑵將二次函數(shù)的圖象向下平移5個單位長度，求平移后的二次函數(shù)的解析式.

32.(22-23九年級上?陜西安康?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，己知拋物線C：y=x2+6x+c經(jīng)過點(L4)和

(0,7).

⑴求拋物線C的解析式；

(2)將拋物線C先向左平移5個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線C”求拋物線。的頂點坐標(biāo).

九.利用對稱求二次函數(shù)(共4小題)

33.（22-23九年級上?浙江嘉興?期中）與拋物線y=x2-2x-4關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式表示為（）

A.y=—x2+2x+4B.y=—x1+2,x—4C.y=x~-2元+4D.y=~x~~2x—4

34.（21-22九年級上?甘肅武威?期中）拋物線＞=2。+1）2+7關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式為.

35.（23-24九年級上?北京朝陽?期中）已知8（2,-3）兩點在一次函數(shù)必=-》+加與二次函數(shù)

2

y2=ax+bx-3的圖象上.

（1）求機的值和二次函數(shù)的解析式；

⑵請直接寫出使時，自變量x的取值范圍為；

（3）直接寫出所求的拋物線%=a/+法-3關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式為.

36.（23-24九年級上?吉林?階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)為=-/+6x+c的圖象交x軸于點/（-3,0）和點

5（1,0）,交＞軸于點C,且點C、。是二次函數(shù)圖象上關(guān)于對稱軸對稱的一對點，一次函數(shù)％=?7X+”的圖

象經(jīng)過點8、D.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式-r2+bx+c＜mx+n的解集為

十.線段最值問題（共3小題）

37.（22-23九年級上?山東東營?階段練習(xí)）如圖，已知拋物線＞=”+臥+4的對稱軸是直線x=3,且與無

軸相交于43兩點（8點在/點右側(cè)），與了軸交于點C.

⑴求拋物線的表達式和4,3兩點的坐標(biāo)；

（2）若點P是拋物線上5,C兩點之間的一個動點（不與8,C重合），過點尸作x軸的垂線交直線8C于點

D,求PD的最大值以及此時點尸的坐標(biāo).

⑶在（2）的條件下，在對稱軸上找一點。，使得QP+Q8的值最小，求出點。的坐標(biāo).

38.（23-24九年級上?山東泰安?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與x軸交于點46,0）,與軸交于

點8（0,-6）,拋物線經(jīng)過點N,B,且對稱軸是直線x=l.

/II

⑴求直線/的解析式；

⑵求拋物線的解析式；

⑶點尸是直線/下方拋物線上的一動點，過點P作尸C，x軸，垂足為C,交直線/于點。，過點P作

PM11,垂足為求行尸M+PZ)的最大值及此時尸點的坐標(biāo).

39.(23-24九年級上?遼寧營口?期中)如圖，拋物線了=；/+8+。與x軸交于/(-2,0),8(4,0)兩點，與

＞軸交于點C;點P是第四象限拋物線上一點，過點P作軸，交x軸與點。，交BC與點、E.

⑵過點P作尸尸，3C交BC于點F,求斯的最大值及此時點E的坐標(biāo)；

⑶如圖②，點0是線段OC上一點，且連接。8,OR點P在運動過程中，是否存在。尸+3。

的值最小，若存在.請直接寫出。尸+5。的最小值.

十一.面積最值問題（共3小題）

40.（23-24九年級上?福建漳州?期中）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于N（T,0）,5（2,0）,交V軸于

C（0,-2）.

（1）求這個二次函數(shù)的解析式的一般式；

（2）若點M為該二次函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)一個動點，求點M運動過程中，四邊形NCMB面積的最大值，并

求出此時點M的坐標(biāo).

41.（23-24九年級上?浙江金華?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=/+樂+。與x軸交于點

工（-1,0）"（3,0）,與y軸交于點C,作直線BC,點P是拋物線在第四象限上一個動點（點P不與點及c重

合），連結(jié)PS,PC,以尸5,PC為邊作口CPBD,點尸的橫坐標(biāo)為加.

⑴求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）當(dāng)口CPBD有兩個頂點在x軸上時，則點p的坐標(biāo)為

⑶當(dāng)口CP8D是菱形時，求機的值.

⑷當(dāng)m為何值時，口CPBD的面積有最大值？

42.（23-24九年級上?湖北襄陽?期中）如圖，已知拋物線y=#+6x+3與x軸交于點4（-1，0）,點/3,0）,

（2）當(dāng)-2WxV2時，求二次函數(shù)了=ax2+bx+3的最大值和最小值；

⑶點P是第一象限拋物線上一動點，過點尸作x軸的垂線/,交BC于點、H,連接3P,CP,求ABPC面積

的最大值及此時點P坐標(biāo).

十二.全等三角形問題（共2小題）

43.（23-24九年級上?河南周口?期中）如圖，拋物線y=/+6x+c的頂點坐標(biāo)為（-1,-4）,與x軸交于4B

兩點，與，軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

⑵拋物線的對稱軸為直線/，點尸是拋物線上一點，過點尸作/的垂線，垂足為D,E是/上的點，要使以

P、D、E為頂點的三角形與△NOC全等，求滿足條件的點尸和點E的坐標(biāo).

44.(23-24九年級上?寧夏石嘴山?期中)如圖，拋物線了=%2+法+0經(jīng)過點(-2,5)和(2,-3),與x軸交于

兩點，與，軸交于點C,它的對稱軸為直線/,頂點為N

(1)求該拋物線的解析式；

(2)連接BN,CN,求ABNC的面積；

⑶P是該拋物線上的點，過點P作/的垂線，垂足為。,￡是/上的點.要使以為頂點的三角形與小。。

全等，求滿足條件的點P,點E的坐標(biāo).

十三.特殊三角形存在性問題(共2小題)

79

45.(22-23九年級上，江蘇鹽城?階段練習(xí))平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x-l)-+5與x軸交于4

5(4,0),與y軸交于點C.

y,

圖i圖2

⑴求拋物線的解析式，并直接寫出點，，c的坐標(biāo)；

⑵在拋物線的對稱軸上是否存在點尸，使ABC尸是直角三角形？若存在，請直接寫出點尸的坐標(biāo)，請說明

理由；

⑶如圖，點朋r是直線3c上的一個動點，連接是否存在點M使最小，若存在，求出點M

的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

46.（23-24九年級上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）如圖1所示，已知拋物線v=-/+6x+c與x軸交于4（一2,0）,

B（4,0）兩點，與y軸交于點C.

⑴求拋物線解析式及點C的坐標(biāo)；

⑵如圖2所示，點尸是拋物線上第一象限的一點，4P交＞軸于點。，M.OA2=OCOQ,求點尸的坐標(biāo)；

⑶若點N是直線了=2上一點，請在圖3中探究：拋物線在x軸上方的部分上是否存在點〃，使得ACW是

以點