數(shù)理統(tǒng)計 - 第六章參數(shù)估計

第六章參數(shù)估計基本概念與公式點估計：設(shè)是總體的一個未知參數(shù)，用樣本的某個函數(shù)去估計，稱為對作點估計。衡量估計值好壞的標準無偏性：設(shè)是參數(shù)的估計量，若，稱是的無偏估計量。有效性：設(shè)都是參數(shù)的無偏估計量，若，稱較有效。一致性：設(shè)是參數(shù)的估計量，若，，稱是參數(shù)的一致估計量。點估計常用的方法矩估計：?？傮w，則，。樣本均值是總體均值的無偏、一致估計值；樣本方差是總體方差的無偏、一致估計值。最大似然估計：使樣本的似然函數(shù)取得最大值的估計量為未知參數(shù)的最大似然估計量（記為：）。離散型似然函數(shù)：總體概率分布，樣本似然函數(shù)連續(xù)型似然函數(shù)：總體概率密度，樣本似然函數(shù)求最大似然估計值方法寫出似然函數(shù)；取對數(shù)或令或，求出駐點，即為的最大似然估計值。區(qū)間估計：設(shè)是總體的待估參數(shù)，和是兩個樣本統(tǒng)計量，將區(qū)間作為參數(shù)的可能取值范圍的一個估計，稱為區(qū)間估計。置信度：待估區(qū)間包含真值的可能性為。置信區(qū)間：包含未知參數(shù)真值的待估區(qū)間，也是對未知參數(shù)的一種估計。單個正態(tài)總體的區(qū)間估計：設(shè)總體，是來自總體的一個簡單隨機樣本。方差已知：用于估計的統(tǒng)計量置信度置信區(qū)間方差未知：用于估計的統(tǒng)計量置信度置信區(qū)間均值已知：用于估計的統(tǒng)計量置信度置信區(qū)間均值未知：用于估計的統(tǒng)計量置信度置信區(qū)間教學基本要求理解參數(shù)估計的思想。掌握參數(shù)的點估計與最大似然估計的方法。會對單個正態(tài)總體的期望作區(qū)間估計。會對單個正態(tài)總體的方差作區(qū)間估計。理解無偏估計的概念，了解估計值“有效性”、“一致性”的概念。教學重點：參數(shù)的矩估計法。參數(shù)的最大似然估計法。單個正態(tài)總體期望的區(qū)間估計。參數(shù)無偏估計的證明。典型例題分析例1設(shè)是取自總體的一個樣本，其中是未知的，試證明：統(tǒng)計量都是的無偏估計量，并比較哪一個估計量更有效。解：因為；；；所以都是的無偏估計量。又因為；；；于是，所以更有效。例2設(shè)是總體的一個樣本，請適當選擇常數(shù)C，使為的無偏估計量。解：由題意，。。由于的獨立性，有，于是。例3設(shè)是取自總體的一個樣本，的密度函數(shù)，證明：是的無偏估計量。證：由于，，因此是的無偏估計量。例4設(shè)總體的分布律為，是來自總體的一個樣本，求的矩估計。解：由于，所以，即為未知參數(shù)的矩估計值。例5燈泡廠某日生產(chǎn)的一批燈泡中抽取10個燈泡進行壽命試驗，得到燈泡壽命（單位：小時）數(shù)據(jù)如下：1050，1100，1080，1120，1120，1250，1040，1130，1300，1200。求該日生產(chǎn)的整批燈泡的壽命均值和方差的矩估計值。解：由于總體均值和方差的矩估計就是樣本均值和樣本二階中心矩，所以整批燈泡的壽命均值和壽命方差的矩估計值分別為：（小時），（小時）。例6從一批電子元件中抽取8個進行壽命測試，得到如下數(shù)據(jù)（單位：h）：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080試對這批元件的平均壽命以及壽命分布的標準差給出矩估計。解：樣本均值，樣本標準差因此，元件的平均壽命和壽命分布的標準差的矩估計分別為1143.75和96.0652.例7設(shè)總體，現(xiàn)從該總體中抽取容量為10的樣本，樣本值為0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6試對參數(shù)給出矩估計。解:由于，即,而樣本均值，故的矩估計為。例8設(shè)總體密度函數(shù)如下是樣本，試求未知參數(shù)的矩估計。（1）；（2）；（3）；（4）。解：(1)總體均值，即，故參數(shù)的矩估計為。（2）總體均值，所以，從而參數(shù)的矩估計。(3)由，可得，由此，參數(shù)的矩估計。（4）先計算總體均值與方差；。由此可以推出，，從而參數(shù)，的矩估計為，。例9.甲、乙兩個校對員彼此獨立對同一本書的樣稿進行校對，校完后，甲發(fā)現(xiàn)a個錯字，乙發(fā)現(xiàn)b個錯字，其中共同發(fā)現(xiàn)的錯字有c個，試用矩估計法給出如下兩個未知參數(shù)的估計：（1）該書樣稿的總錯字個數(shù)；（2）未被發(fā)現(xiàn)的錯字數(shù)。解：（1）設(shè)該書樣稿中總錯字的個數(shù)為，甲校對員識別出錯字的概率為，乙校對員識別出的錯字的概率為，由于甲、乙是彼此獨立地進行校對，則同一錯別字能被甲、乙同時識別的概率為，根據(jù)頻率替換思想有。由獨立性可得矩法方程，解之得。未被發(fā)現(xiàn)的錯字數(shù)的估計等于總錯字數(shù)的估計減去甲、乙發(fā)現(xiàn)的錯字數(shù)，即。譬如，如設(shè)，則該書樣稿中錯字總數(shù)的矩法估計為，而未被發(fā)現(xiàn)的錯字個數(shù)的矩法估計為個。例10設(shè)總體的密度函數(shù)，是來自總體的一個樣本，試求未知參數(shù)（1）矩估計；（2）最大似然估計。解：（1），于是矩估計量為。構(gòu)造似然函數(shù)；取對數(shù)：；令，即未知參數(shù)的最大似然估計值為。例11設(shè)總體概率函數(shù)如下，是樣本，試求未知參數(shù)的最大似然估計。（1）；（2），。解：（1）似然函數(shù)為，其對數(shù)似然函數(shù)為。將關(guān)于求導(dǎo)，并令其為0即得到似然方程。解之得。由于，所以是的最大似然估計值。（2）似然函數(shù)為，其對數(shù)似然函數(shù)為。將關(guān)于求導(dǎo)并令其為0得到似然方程，解之可得。由于，這說明是的最大似然估計值。例12設(shè)總體概率函數(shù)如下，是樣本，試求未知參數(shù)的最大似然估計。（1），；（2）；(3)。解：（1）樣本的似然函數(shù)為。要使達到最大，首先示性函數(shù)應(yīng)為1，其次是盡可能大。由于，故是的單調(diào)增函數(shù)，所以的取值應(yīng)僅可能大，但示性函數(shù)的存在決定了的取值不能大于，由此給出的最大似然估計為。（2）似然函數(shù)為，。其對數(shù)似然函數(shù)為由上式可以看出，是的單調(diào)增函數(shù)，要使其最大，的取值應(yīng)該盡可能的大，由于限制，這給出的最大似然估計為。將關(guān)于求導(dǎo)并令其為0得到關(guān)于的似然估計方程，解之。（3）設(shè)有樣本，其似然函數(shù)為。由于是關(guān)于的單調(diào)遞減函數(shù)，要使達到最大，應(yīng)盡可能小，但由于限制可以得到，這說明不能小與，因而的最大似然估計為。例13設(shè)總體概率函數(shù)如下，是樣本，試求未知參數(shù)的最大似然估計(1)；（2）;(3)。解（1）不難寫出似然函數(shù)為。對數(shù)似然函數(shù)為。將之關(guān)于求導(dǎo)并令其為0得到似然估計方程，解之可得。而，故是的最大似然估計。（2）此處的似然函數(shù)為。它只有兩個取值：0和1，為使得似然函數(shù)取1，的取值范圍應(yīng)是，因而的最大似然估計可取中的任意值。（3）由條件，似然函數(shù)為；其次要盡量小，綜上可知，的最大似然估計應(yīng)為，的最大似然估計應(yīng)為。例14設(shè)服從上的均勻分布，是來自總體的樣本，求的最大似然估計值與矩估計值。解：（1）的密度函數(shù)，似然函數(shù)；顯然，當時，是單調(diào)減少函數(shù)，越小，越大，但，所以，是的最大似然估計量。例15已知某種白熾燈燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期中所生產(chǎn)的該種燈泡中隨機抽取10只，測得其壽命（以小時計）為。設(shè)總體參數(shù)均未知，試用最大似然估計值估計該星期中生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時以上的概率。解：由于燈泡壽命服從正態(tài)分布，；，；故。例16從一批釘子中隨機抽取16枚，測得其長度（單位：厘米）為2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.假設(shè)釘子長度服從正態(tài)分布,在下列兩種情況下分別求總體均值的置信度為的置信區(qū)間.（1）；（2）未知。解：由觀測值可得已知，，選取統(tǒng)計量，置信區(qū)間，故所求的置信區(qū)間為（2.121,2.129)由于未知,選取統(tǒng)計量,置信區(qū)間即所求的置信區(qū)間為(2.117,2.133).例17從自動機床加工的同類零件中所抽取8個,測得長度(單位：mm)如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01如果零件長度服從正態(tài)分布,求零件長度的數(shù)學期望和標準差的置信度為的置信區(qū)間.解:由題知,,,;先求數(shù)學期望的置信區(qū)間,方差未知,用T估計法,所求置信區(qū)間是,即所求置信區(qū)間是(12.03,12.13)再求方差的置信區(qū)間,均值未知,,用估計法,所求置信區(qū)間為即所求置信區(qū)間是(0.0397,0.1221).例18隨機地抽取某種炮彈9發(fā)作試驗,測得炮口速度的樣本標準差.設(shè)炮口速度服從,求這種炮彈的炮口速度的標準差的95%的置信區(qū)間.解:,未知,,于是的95%的置信區(qū)間為,即所求置信區(qū)間是(7.4,21.1).例19為研究某型號汽車輪胎的磨耗，隨機選擇16只輪胎，每只輪胎行駛到磨壞為止，記錄所行駛路程（單位：km）如下：41250