初中數(shù)學(xué)“手拉手”模型-共頂點的等腰三角形壓軸題三種題型及答案

模型構(gòu)建專題:“手拉手”模型

確

'ni：【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】

【類型一共頂點的等邊三角形】

【類型二共頂點的等腰直角三角形】

【類型三共頂點的一般等腰三角形】

【典型例題】

【類型一共頂點的等邊三角形】

方法點撥如圖，A4BC和為等邊三角形，則

根據(jù)SASRj^AACD^ABCE,ZAOB=60°,AMCN

為等邊三角形.

網(wǎng)］1(2023?全國?八年級假期作業(yè))如圖所示,A4BC和△ADE都是等邊三角形，且點B、A、E在同一直線

上，連接BD交AC于連接CE交40于N,連接上W.

⑴求證：BD=CE；

(2)求證：AABM^/\ACN；

(3)求證：△⑷WN是等邊三角形.

【變式訓(xùn)練】

題目工(2023春?山西運城?八年級統(tǒng)考期中)如圖，點。為線段AB上一點,4DAC、AECB都是等邊三角

形，AE、。。交于點交于點N,DB、AE交于點P,連接7WN,下列說法正確的個數(shù)有

個.

①MN//AB；②4DPM=60°；③NDAP=APEC；④△ACMWNDCN；⑤若4DBE=30°,則ZAEB=

90°.?M

題目囪（2023秋?四川涼山?八年級統(tǒng)考期末）如圖，。為線段AE上一動點（不與點4E重合），在同側(cè)

分別作等邊△ABC和等邊△CDE,AD與BE交于點。，AD與8。交于點P,BE與CD交于點Q,連結(jié)

PQ.

求證：（1）AD=BE；

（2）4CFQ為等邊三角形;

題目叵〕（2021春.廣東佛山.八年級校考階段練習(xí)）已知圖1是邊長分別為a和b（a>6）的兩個等邊三角形紙

片ABC和三角形CDE疊放在一起（。與。'重合）的圖形.

（1）將4CDE繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，連接AD,BE.如圖2：在圖2中，線段BE與4D之間具有怎

樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；

⑵若將上圖中的△CDE,繞點。按順時針方向任意旋轉(zhuǎn)一個角度a,連接AD、BE,如圖3：在圖3中，線

段BE與之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論：

（3）根據(jù)上面的操作過程，請你猜想當(dāng)a為多少度時，線段AD的長度最大,最大是多少？當(dāng)a為多少度時,

線段入。的長度最小,最小是多少？請直接寫出答案.

題目@（2023春?廣東梅州?七年級校考期末）【初步感知】

（1）如圖1,已知A4BC為等邊三角形,點D為邊BO上一動點（點。不與點點。重合）.以AD為邊向

右側(cè)作等邊AADE,連接CE.求證：AABD空AACE；

【類比探究】

（2）如圖2,若點。在邊BC的延長線上，隨著動點D的運動位置不同,猜想并證明：

①AB與CE的位置關(guān)系為:；

②線段EC、AC、CD之間的數(shù)量關(guān)系為:；

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在等邊AABC中，4B=3,點P是邊AC上一定點且4P=L若點。為射線BC上動點，以O(shè)P

為邊向右側(cè)作等邊ADPE,連接CE、BE.請問：PE+BE是否有最小值？若有，請直接寫出其最小值;若

沒有,請說明理由.

【類型二共頂點的等腰直角三角形】

方法點撥‘如圖，△ABC和△DCE均為等腰直角三

角形，則根據(jù)SAS可得△BCETZ\ACD.

的1（2023春?湖北黃岡?八年級統(tǒng)考期中）如圖，ZVIBC和△￡＞無都是等腰直角三角形，4ACB=NDCE=

90°.

（1）【猜想】:如圖1,點E在BCk,點。在AC上，線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是

（2）【探究】:把繞點。旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接AO,BE,（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；

（3）【拓展】:把△OCE繞點。在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若5,CE=22，當(dāng)三點在同一直線上

時，則AE的長是.

【變式訓(xùn)練】

題目［］（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形ABC和。EC中，/BCA=/DCE=90°,點

E在邊4B上，ED與力。交于點F,連接AD.

?M

A

（1）求證：ABCE^AACD；

（2）求證：AB±AD.

題目句（2023春?八年級課時練習(xí)）⑴問題發(fā)現(xiàn):如圖與△CDE均為等腰直角三角形，乙4CB=

（2）深入探究:在⑴的條件下，若點A,E,。在同一直線上，CM為/\DCE中DE邊上的高,請判斷NADB

的度數(shù)及線段CM,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

版目回（2023?山東棗莊?統(tǒng)考二模）感知:如圖①，△48。和△4DE都是等腰直角三角形，/BAC=/DAE

=90°,點B在線段AD上，點。在線段AE上，我們很容易得到=不需證明.

⑴探究:如圖②，將△ADE繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)a（0<a<90°）,連接BD和CE,此時BD=CE是否依然成

立？若成立，寫出證明過程;若不成立，說明理由.

（2）應(yīng)用：如圖③，當(dāng)△4DE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),使得點。落在BC的延長線上，連接CE.求：

①/力CE的度數(shù)；

②若AB=AC=32,CD=3,則線段DE的長是多少？

【類型三共頂點的一般等腰三角形】

如圖，△ABC和ADEC是等腰三角形，且

ZACB=ZDCE，根據(jù)SAS可得△ACD/z\BCE.

曲［（2023春,山東泰安?七年級?？奸_學(xué)考試）如圖，△48。與△CDE都是等腰三角形，AC=BC,CD=

CE,2ACB=NDCE=42°,A。、BE相交于點”.

（1）試說明：AD=BE；

（2）求乙4MB的度數(shù).

【變式訓(xùn)練】

［題目Tj（2023秋?遼寧撫順?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AABC中,AB^AC^BC.分別以AB.AC為腰

在AB左側(cè)、AC右側(cè)作等腰三角形ABD.等腰三角形ACE,連接CD、BE.

⑴如圖1,當(dāng)ABAD=ACAE=60°時，

①△ABD、&ACE的形狀是；

②求證：BE=DC.

（2）若/BAD=2CAE手60°,

①如圖2,當(dāng)AB=AD,時，BE=DC是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由；

②如圖3,當(dāng)AB=DB,AC=E。時，跳;是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由.

題目0（2023秋?全國?八年級專題練習(xí)）定義:頂角相等且頂點重合的兩個等腰三角形叫做“同源三角形”,

我們稱這兩個頂角為“同源角”.如圖，△ABC和△CDE為“同源三角形"，CD=CE,AACB

與/OCE為“同源角”.

A

(1)如圖1,△ABC和4CDE為“同源三角形”,試判斷AD與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑵如圖2,若“同源三角形"△ABC和△CDE上的點B,。在同一條直線上，且90°,則AEMD

⑶如圖3,AABC和△CDE為“同源三角形”，且“同源角”的度數(shù)為90°時,分別取AD,BE的中點Q,P,

連接CP,CQ,PQ,試說明△FCQ是等腰直角三角形.

題目§(2023春?遼寧丹東?七年級統(tǒng)考期末)

圖1圖2圖3

(1)如圖1,兩個等腰三角形AABC和4ADE中，48=AC,AD=AE,ABAC=/DAE,連接BD,CE.

則絲，此時線段BD和線段CE的數(shù)量關(guān)系式；

⑵如圖2,兩個等腰直角三角形△48。和AADE中，AB=AC,A。=AE,ABAC=/DAE=90°,連接

BD,CE,兩線交于點P,請判斷線段BD和線段CE的關(guān)系，并說明理由；

⑶如圖3,分別以△48。的兩邊4B,AC為邊向△ABC外作等邊4ABD和等邊4ACE,連接BE,CD,

兩線交于點P請直接寫出線段BE和線段CD的數(shù)量關(guān)系及2PBe+NPCB的度數(shù).

模型構(gòu)建專題:“手拉手”模型

'hl【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】

【類型一共頂點的等邊三角形】

【類型二共頂點的等腰直角三角形】

【類型三共頂點的一般等腰三角形】

【典型例題】

【類型一共頂點的等邊三角形】

方法點撥如圖，A4BC和為等邊三角形，則

根據(jù)SASRj^AACD^ABCE,ZAOB=60°,AMCN

為等邊三角形.

網(wǎng)］1(2023?全國?八年級假期作業(yè))如圖所示,A4BC和△ADE都是等邊三角形，且點B、A、E在同一直線

上，連接BD交AC于連接CE交40于N,連接上W.

⑴求證：BD=CE；

(2)求證：/XABM名/\ACN；

(3)求證：△A7WN是等邊三角形.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)由已知條件等邊三角形，可知AB=AC,AD^AE,進一步求證/B4D=

ACAE,從而△ABD篤^ACE(SAS)，所以BD=CE.

⑵由⑴知AABD篤4ACE,得NABM=4CAN，由點B、4、右共線，得ZCAN=60°=ABAC,進一步

???

求[正&ABM^^ACN（ASA）.

（3）由△ARWWA4CW,得4M=4V,而/CAN=60°,所以△AW是等邊三角形.

【詳解】（1）△ABC和AADE都是等邊三角形，

：.AB^AC,AD^AE,/BAG=/DAB=60°,

AABAD=/CAE.

（AB=AC

在△ABD和△ACE中,《ABAD=ZCAE

[AD^AE

：.&ABD篤△ACE（SAS）,

：.BD=CE.

（2）由⑴知△ABDW△ACE,

NABM=AACN.

?.?點5、A、E在同一直線上，且乙氏4C=/DAE=60°,

A4CAN=60Q^ABAC.

（ZBAM=/1CAN

在AARM_和4ACN中，（AB=AC

[AABM=2ACN

：.^ACN（ASA）.

（3）由（2）知△ABM篤AACN,

：.AM^AN,

,:乙CAN=60°,

AA4AW是等邊三角形.

【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形判定和性質(zhì)；將等邊三角形的條件轉(zhuǎn)化為相

等線段和等角，選擇合適的方法判定三角形全等是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

題目工（2023春?山西運城?八年級統(tǒng)考期中）如圖，點C為線段AB上一點,ADAC.ASCS都是等邊三角

形，AE.DC交于點、M,DB、EC交于點N,DB、AE交于點P,連接AW,下列說法正確的個數(shù)有

個.

①MN//AB；②ZDPM=60°；③/DAP=APEC；④△ACM空4DCN；⑤若ADBE=30°,則AAEB=

90°.

【答案】①②③④⑤

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到47=CD,BC=CE,/ACD=/BCE=60°,得到NACE=NBCE,

ADCE=60°,根據(jù)平行線的判定定理得到A?！–E,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/DAP=/PEC,故③正確；

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ZCAE=Z.CDB,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得至UZDPM=ZACM=60°,故②正

確，推出△ACM空4DCN，故④正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM=C7V,得到/\CMN是等邊三角形,

求得ACMN=60°,根據(jù)平行線的判定定理得到MN//AB,故①正確；根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到AAEB=

90°.故⑤正確.

【詳解】解：???△。47、△6。8都是等邊三角形，

AC=CD,BC=CE,乙4co=/BGE=60°,

ZADC=ZDCE=60°,

NACE=ZBCD,ZDCE=60°,

.-.AD//CE,

ZDAP=APEC,故③正確；

（AC=CD

在AACE與ABCD中,{2ACE=NBCD,

[CE=CB

：.△ACE篤△BCD（SAS）,

ANCAE=2CDB,

?：ZPMD=ZAMC,

：.乙DPM=NACM=60°,故②正確，

CAM=ZCDN

在△ACM與4前中，（AC=CD,

[AACM=4DCN=60°

/\ACM^ADCTV,故④正確；

：.CM=CN,

：.△CMV是等邊三角形，

NCMN=60°,

ZCMN=AACD,

.??2W〃人B,故①正確；

ADBE=30°,Z.BPE=AAPD=60°,

AZAEB=90°.故⑤正確；

故答案為：①②③④⑤.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握全等三角形的

判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題目區(qū)（2023秋?四川涼山?八年級統(tǒng)考期末）如圖，。為線段AE上一動點（不與點4E重合），在AE同側(cè)

分別作等邊△ABC和等邊△CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連結(jié)

PQ.

求證：⑴AD=BE；

（2）Z\CPQ為等邊三角形；

【答案】（1）見解析；

（2）見解析.

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知4C=BC,CD=CE,乙4cB=/DCE=60°,從而可求出NACD=

Z.BCE,即可利用“SAS^證明△40。W△BEC,即得出AD=BE;?M

(2)由等邊三角形的性質(zhì)可知乙4c8=/DC￡=60°,即可求證乙4cp=/BCQ=60°.再根據(jù)

/XADC衛(wèi)ABEC可得出ACAP=ZCBQ,利用“AS4'證明△APC空△BQC,據(jù)此即可證明結(jié)論成立.

【詳解】⑴證明：???△4BC和石都是等邊三角形，

AAC=BCfCD=CEf乙4cB=/。無=60°,

???ZACD=ZACB+/BCD,ZBCE=ZDCE+/BCD,

???/ACD=/BCE,

(AC=BC

：AAACD=ABCE,

[CD=CE

：./XADC^NBEC(SAS),

:.AD—BE;

(2)證明：???4ABC和ACDE是等邊三角形，

??.Z.ACB=Z.DCE=60°,AC=BC,

：.ZBCQ=180°-AACP-/-ECD=60°,

???乙4cp=NBOQ=60°.

???/XADC^/^BEC

：.ZCAP=ACBQ.

(ZCAP=ZCBQ

：AAC=BC

[AACP=ABCQ

???XAPC咨NBQC{ASA).

:?CP=CQ,

又???ZFCQ=60°,

??.△CPQ為等邊三角形.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握全等三角形的判定條件是解題

關(guān)鍵.

題目區(qū)(2021春?廣東佛山?八年級?？茧A段練習(xí))已知圖1是邊長分別為a和b(a>b)的兩個等邊三角形紙

片ABC和三角形C'DE疊放在一起(。與C'重合)的圖形.

(1)將/\C'DE繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°,連接AD,BE.如圖2：在圖2中，線段BE與AD之間具有怎

樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；

⑵若將上圖中的△。。瓦繞點。按順時針方向任意旋轉(zhuǎn)一個角度連接40、BE,如圖3：在圖3中，線

段BE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論：

(3)根據(jù)上面的操作過程,請你猜想當(dāng)a為多少度時，線段的長度最大,最大是多少？當(dāng)a為多少度時,

線段AO的長度最小,最小是多少？請直接寫出答案.

【答案】(1)BE=AD,證明見解析?M

（2）BE=AD,證明見解析

（3）當(dāng)a為180度時，線段的長度最大，最大值為a+b;當(dāng)a為。度或360度時，線段AD的長度最小，最

小值為a—b.

【分析】（1）先由等邊三角形判斷出AC=BC,CB=CD,再由旋轉(zhuǎn)判斷出進而判斷出

△BCEW,即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法，即可得出結(jié)論；

⑶當(dāng)點。在AC的延長線上時，最大，最大值為a+b,當(dāng)點。在線段AC上時，AD最小，最小值為a

—b,即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴解：BE=AD

證明：?.?點。與G重合，△ABC和△GDE,

：.△ABC和△CDE都是等邊三角形，

AC=BC,CE=CD,

由旋轉(zhuǎn)知，ZBCE=ZACD=30°,

（BC^AC

在ABCE和/\ACD中，（ZBCE=AACD,

（CE=CD

：.△BCE空AACD（SAS）,

BE=AD,

（2）解：BE=AD,

證明：AABC和△CDE都是等邊三角形，

AC=BC,CE=CD,

由旋轉(zhuǎn)知，NBCE=NACD,

（BC=AC

在4BCE和AACD中，（ABCE=NACD,

（CE=CD

：.ABCE篤AACD（SAS）,

BE=AD;

⑶解：當(dāng)點。在AC的延長線上時，AD最大，最大值為AC+CD=a+b,如圖，

當(dāng)a為180度時，線段40的長度最大，最大值為a+b,

當(dāng)點。在線段AC上時，AD最小，最小值為AC-CD=a—6,如圖，

?M

A

：.當(dāng)a為0度或360度時，線段AD的長度最小，最小值為a—6.

【點睛】此題是三角形綜合題,主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，判斷出ABCE空

△ACD是解本題的關(guān)鍵.

題目④（2023春?廣東梅州?七年級?？计谀境醪礁兄?/p>

（1）如圖1,已知△ABC為等邊三角形,點D為邊BC上一動點（點。不與點B,點。重合）.以AD為邊向

右側(cè)作等邊AADE,連接CE.求證：

【類比探究】

（2）如圖2,若點。在邊BC的延長線上,隨著動點D的運動位置不同,猜想并證明：

①與CE的位置關(guān)系為:；

②線段EC、AC、CD之間的數(shù)量關(guān)系為:；

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在等邊ZV1BC中，AB=3,點P是邊47上一定點且AP=L若點。為射線上動點，以。P

為邊向右側(cè)作等邊ADPE,連接CE、BE.請問：PE+BE是否有最小值？若有，請直接寫出其最小值;若

沒有,請說明理由.

【答案】（1）見解析

（2）平行EC=AC+CD

⑶有最小值，5

【分析】（1）由AABC和AADE是等邊三角形，推出AB^AC,AD=AE,4氏4。=/ZX4E=60°,又因為

ABAC=/DAE,則ABAC-ADAC=/DAE-ADAC,即ABAD=/CAE，從而利用“SAS”證明

AABD咨RACE;

⑵①由（1）得AABD篤△ACE（SAS）,得出/B=/ACE=60°,CE=BD,/BAG=/ACE,則AB//CE-,

②因為CE=BD,AC=BC,所以GE=BO=BC+C?=AC+CD;

⑶在BC上取一點M,使得DM=PC,連接EM,可證AEPC空AEDM（SAS）,EC=EM,求得NCEM=

60°,得出ACEA!是等邊三角形，則/ECD=60°,即點E在乙4co角平分線上運動，在射線CD上截取W

=CP,當(dāng)點E與點。重合時，BE+PE=BE+PE>B戶=5,進而解答此題.

【詳解】（1）證明：；AABC和^ADE是等邊三角形，

：.AB^AC,AD^AE,

ZBAC=ZDAB=60°,

ABAC=ADAE,

ABAC-NDAC=ZDAE-ADAC

即NBAD=NCAE

(AB=AC

在'ABD和kACE中,(/.BAD=/CAE,

[AD^AE

：.^ABD空^ACE(SAS);

⑵平行，EC=AC+CD,理由如下：

由(1)得^ABD空^ACE{SAS),

ZB=ZACE=60°,CE=BD,

：.ZBAC=AACE,

：.AB//CE,

?：CE=BD,AC=BC,

:.CE=BD=BC+CD=AC+CD;

⑶有最小值，理由如下：

如圖，在射線BC上取一點河，使得DM=PC,連接EM,

AAB。和^DPE是等邊三角形，

PE=ED,ADEP=AACB=60°,

AAACD=180°-AACB=180°-60°=120°,

2ACD+ADEP=120°+60°=180°,

由三角形內(nèi)角和為180°,可知：NPCE+NCEP+NEPC=180°,NECD+ZCDE+NCED=180°,

：.NPCE+NCEP+NEPC+4ECD+ACDE+ACED=360°,

又2PCE+AECD+ZCEP+NCED=AACD+ZDEP=180°,

ZEPC+NCDE=360°-180°=180°,

?/ZEDM+2CDE=180°,

NEPC=AEDM,

[PE=ED

在kEPC和&EDM中，AEPC=ZEDM,

[PC=DM

NEPC咨kEDM(SAS),

EC=EM,/PEC=ADEM,

?/APEC+ACED=ZDEP=60°,

2CEM=/LDEM+NCED=60°,

：.△CEM是等邊三角形，

ZECD=60°,ZACE=180°一/ECD—AACB=180°-60°-60°=60°,

即點E在AACD的角平分線上運動，

在射線CD上截取CP=CP,連接EP,

(PC=P'C

在ACEP和XCEP中，(4PCE=4PCE=60°,

(CE=CE

bCEP空△CEP(SAS),

:.PE=PE,

7

則BE+PE=BE+PE,

由三角形三邊關(guān)系可知，BE+PE>BP'，

即當(dāng)點E與點。重合，BE+戶E=B戶時，PE+BE有最小值BP',

?.?BP=BE+GT=BC+CP=3+2=5,

:.BE+PE=BE+PE>BP=5,

.?.BE+PE最小值為5.

【點睛】本題考查三角形綜合，全等三角形的判定，正確添加輔助線、掌握

相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【類型二共頂點的等腰直角三角形】

方法點撥'如圖，ZSASC和△DCE均為等腰直角三

角形，則根據(jù)SAS可得△BCET4ACD.

的］(2023春?湖北黃岡?八年級統(tǒng)考期中)如圖，ZVIB。和△OCE都是等腰直角三角形，4ACB=2DCE=

90°.

(1)【猜想】:如圖1,點石在BC上，點。在AC上，線段BE與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是

⑵【探究】:把△ZX?繞點。旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接AD,BE,(1)中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；

(3)【拓展】:把△DCE繞點。在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC=5,儂=22,當(dāng)44。三點在同一直線上

時，則AE的長是.

【答案】(1)BE=AD,BEYAD

(2)成立，理由見解析

(3)1+2或低一2

【分析】⑴利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出再作差，得出=再用=

90°,即可得出結(jié)論；

(2)先由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得出/BCE=zS4CD,進而判斷出△BCEWA4CD(SAS),得出BE=AD,ZCAD=

ACBE,AC與BE交于M,AO與BE交于N,利用全等的性質(zhì)和對頂角相等進而得出AMAN+AAMN

=90°,即可得出結(jié)論；

（3）分兩種情況,①當(dāng)點E在線段AD上時，如圖3,過點。作C7W_L49于河，求出CW=EM=^DE=

2,再用勾股定理求出AM,利用線段的加減即可得出結(jié)論；

②當(dāng)點。在線段上時，如圖4,過點。作C7V_L于N,求出CM=EM=/DE=2,再由勾股定理

求出根據(jù)勾股定理得，AN,利用線段的加減即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）???△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，

AC=BC,EC=DC,

AAC—DC=BC—EC,

:.BE—AD,

點石在反7上，點。在上，且乙4cB=90°,

：.BEA.AD,

故：BE=AD,BE上AD;

（2）成立；

如圖2,AC與BE交于M,AD與BE交于N,

由題意可知：

2ACB=/DCE=90°,

：.AACB+NACE=ADCE+ACE,

：.ZBCE=ZACD,

（BC=AC

在NBCE與4ACD中：（NBCE=乙4co

\CE=CD

圖2

：.△BCE空△AGO（SAS）,

BE=AD,ACAD=ACBE,

又?/ZACB=90°,ZBMC=AAMN,

在△㈤W中，

AMAN+AAMN=ACBE+ABMC=90°,

ZANM=90°,

：.BE±AD,

所以結(jié)論成立；

（3）①當(dāng)點E在線段4D上時，如圖3,過點。作CM,4D于河,

?.?△。叱是等腰直南三角形，且尊=22，

:.DE=dCE2+CD2=4,

?：CM±AD,

:.CM=EM=gDE=2,

在AtAACTW'中，AC=5,

AM=y/AC2-CM2=V52-22=V21,

圖3

：.AE=AM-EM=V21—2;

②當(dāng)點。在線段AE上時，如圖4,過點。作CNA.AE于N,

■：ADCE是等腰直角三角形，且無=22，

/.DE=y/CE2+CD2=4,

?：CN±AD,

:.CN=NE=《DE=2,

在AtAACTV中，AC=5,

AN=y/AC2-CN2=V52-22=V21,

:.AE=AN+NE=V^i+2,

綜上,AE的長為V21—2或V21+2,

故答案為：V21—2或V21+2.

【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，圖4

全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

題目①（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形48。和。EC中，/BCA=ZDCE=90°,點

E在邊AB上，ED與力。交于點F,連接AD.

（1）求證：ABCE空△ACD；

（2）求證：ABYAD.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)NBCA=/DCE=90°,可得ABCE=乙4CD,再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得BC=AC,

=C。，可證明△BCE空ZVICD,即可求證；

（2）根據(jù)ABCE經(jīng)AACD，可得,從而得到ZCAD+ZCAE=90°,即可求證.

【詳解】（1）證明：；NBCA=NDCE=90°,

：.NBCE+AECA=NECA+Z.ACD=90°,

NBCE=NACD,

?：△48。和△DEC是等腰直角三角形，

：.BC=AC,CE=CD,

（BC^AC

在4BCE和AACD中,《ZBCE=AACD,

[CE=CD

：.ABCE名/\ACD（SAS）;

（2）證明：；ABCE空A4CD,

NB=NCAD,

ZACB=90°,

：.ZB+/CAE=90°,

/CAD+/CAE=90°,

即/。4E=90°,

：.AB±AD.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和

性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題目巨（2023春?八年級課時練習(xí)）⑴問題發(fā)現(xiàn):如圖1,與△CDE均為等腰直角三角形，乙4cB=

（2）深入探究:在⑴的條件下，若點A,E,。在同一直線上，CM為ADCE中DE邊上的高,請判斷NADB

的度數(shù)及線段CM,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）AE=BD,AE±BD;（2）/ADB=90°,AD=2CM+BD;理由見解析

【分析】（1）延長AE交BD于點H,AH■交8。于點。只要證明XACEW^BCD（SAS），即可解決問題:

（2）由AACE空ABCD,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，即可解決問題.

【詳解】解：（1）如圖1中，延長AE交BD于點H,■交BC于點。，

/\ACB和ADCE均為等腰直角三角形，AACB=ZDCE=90°,

AC=BC,CD=CE,

：.ZACE+ZECB=2BCD+4ECB=90°,

/ACE=/BCD,

/\ACE空ABCD（SAS）,

：.AE=BD,NCAE=4CBD,

ZCAE+ZAOC=90°,ZAOC=ZBOH,

：.NBOH+NCBD=90°,

：./AHB=90°,

二AELBD.

故答案為:AE=BD,AELBD.

（2）ZADB=90°,AD^2CM+BD-,

理由如下：如圖2中，

?//\ACB和^JDCE均為等腰直角三角形，ZACB=NDCE=90°,

:"CDE=NCED=45°,

：.NAEC=180°一/CED=135°,

由（1）可知：/\ACE烏4BCD,

AE=BD,2BDC=NAEC=135°,

NADB=Z.BDC-2CDE=135°-45°=90°;

在等腰直角三角形。CE中，CM為斜邊DE上的高，

：.CM=DM=ME,

DM=2cM,

：.AD=DE+AE=21CM+BD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等

三角形解決問題.

題目可（2023.山東棗莊.統(tǒng)考二模）感知:如圖①，△ABC和△4DE都是等腰直角三角形，/A4C=/D4￡；

11

=90°,點B在線段AD上，點。在線段AE上，我們很容易得到=CE,不需證明.

⑴探究:如圖②，將4ADE繞點、A逆時針旋轉(zhuǎn)?（0<?<90°）,連接5。和CE,此時RD=CE是否依然成

立？若成立，寫出證明過程;若不成立，說明理由.

（2）應(yīng)用：如圖③，當(dāng)△4DE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),使得點D落在BC的延長線上，連接CE.求：

①/ACE的度數(shù)；

②若48=47=3，^,CD=3,則線段DE的長是多少？

【答案】（1）BD=CE成立，證明見解析

（2）①45°②3/W

【分析】（1）只需要利用SAS證明/\ABDWAACE即可證明BD=CE;

（2）①由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AABC=AACB=45°,再證明AABD篤/\ACE即可得到NABD=

NACE=45°;②先由勾股定理得到BC=6,由全等三角形的性質(zhì)得到NACE=AABD=45°,BD=CE,

則ZBCE=90°,CE=9;則DE=VCE2+C￡>2=3V10.

【詳解】（1）解：BD=CE成立，證明如下：

AABC和都是等腰直角三角形，

：.AB=AC,AD=AE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/BAD=ZCAE,

AABD空AACE（SAS）,

:.BD=CE;

⑵解:①ZVIBC和△4DE都是等腰直角三角形，

NABC=AACB=45°,ABAC=ADAE=90°,

NBAD=NCAE,

AB=AC,ABAD=CAE,AD=AE,

：.AABD篤LACE（SAS）,

/ABD=/ACE=45°;

②—4。=3僅

BC=y/AB2+AC2=6,

?/^ACE^/XABD,

NACE=NABD=45°,BD=CE,

：.ABCE=AACB+AACE=90°,CE=BD=BC+CD=6+3=9;

DE=VCE2+CD2=A/92+32=3V10.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟知全等三角形的

性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

【類型三共頂點的一加腰三角形】

如圖，△ABC和ADEC是等腰三角形，且

曲［（2023春,山東泰安?七年級校考開學(xué)考試）如圖，△48。與△CDE都是等腰三角形，=CD=

CE,2ACB=NDCE=42°,A。、BE相交于點”.

（1）試說明：AD=BE；

（2）求乙4MB的度數(shù).

【答案】（1）見解析

（2）42°

【分析】⑴由“SAS”可證4ACD星ABCE，可得BE=AD;

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得ACAD=/CBE,再利用三角形內(nèi)角和定理計算NAMB.

【詳解】（1）解:證明：；NACB=NDCE,

：.ZACD=2BCE,

（CA^CB

在△4CD和,您中，（乙4CD=/BCE,

［CD^CE

：./\ACD星ABCE（SAS）,

：.AD=BE;

（2）V4ACD咨NBCE,

：.NCAD=NCBE,

?/ABAC+/ABC=180°-42°=138°,

ABAM+4ABM=ABAC-ACAD+AABC+ACBE=ABAC+NABC=138°,

AAMB=180°-138°=42°.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

題目1］（2023秋?遼寧撫順?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC中，ABWACWBC.分別以AB、AC為腰

在AB左側(cè)、力。右側(cè)作等腰三角形ABD.等腰三角形ACE，連接CD、BE.

D

（1）如圖1,當(dāng)ABAD=/CAE=60°時，

①△ABD、AACE的形狀是；

②求證：BE=DC.

（2）若ABAD=2CAE豐60°,

①如圖2,當(dāng)AB=AD,AC=4E時，BE=OC是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由；

②如圖3,當(dāng)AB=DB,AC=EC時，BE=DC是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由.

【答案】（1）①等邊三角形；②證明見解析

（2）①成立，理由見解析:②不成立，理由見解析

【分析】（1）①根據(jù)有一個內(nèi)角是60度的等腰三角形是等邊三角形即可求解;②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可

得AB=AD,AE=AC,/DAB=/CAE=60°,證明ABAE豈△ZZ4C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；

⑵①證明ABAEn△TL4C,根據(jù)全等三能形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;②根據(jù)已知可得ABAE與ADAC不全

等，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）①,//\ABD是等腰三角形，4ACE是等腰三角形，ABAD=NCAE=60°

△ABD、△ACE是等邊三角形，

故答案為：等邊三角形.

②證明：：△ABD、AACE是等邊三角形，

：.AB^AD,AE^AC,ADAS=/CAB=60°,

?/ADAC=NDAB+ABAC,/BAE=4CAE+ZBAC,

：.NDAC=NBAE,

在△BAE與△DA。中，

（AB^AD

■：\^BAE=^DAC,

[AE=AC

：.△BAE第△D4C（SAS）.

:.BE=DC.

（2）①當(dāng)AB^AD,AE=AC時，成立.

理由：如圖，

?：ABAD,ABAE=ADAC,AE^AC,

：./\BAE咨/XDAC（SAS）,

:.BE=DC;

②當(dāng)AB=_DB,AC=E。時，不成立.

理由：如圖，

?/ZBAD=ZCAE^60°,

：.AB=DB^AD,AC=EC^AE,

：.ABAE與△ZX4C不全等，

:.BE不DC.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握全

等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題目區(qū)］（2023秋?全國?八年級專題練習(xí)）定義:頂角相等且頂點重合的兩個等腰三角形叫做“同源三角形”,

我們稱這兩個頂角為“同源角”.如圖，ZVIB。和△CDE為“同源三角形"，CD=CE,4ACB

與ZDCE為“同源角

C

圖2

（1）如圖1,△48。和4CDE為“同源三角形”,試判斷AD與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑵如圖2,若“同源三角形”△48。和△CDE上的點B,在同一條直線上，且/水汨=90°,則2EMD

⑶如圖3,44BC和△CDE為“同源三角形”,且“同源角”的度數(shù)為90°時,分別取AD,BE的中點Q,P,

連接CP,CQ,PQ,試說明APCQ是等腰直角三角形.

【答案】⑴AD=BE,詳見解析

⑵45

⑶詳見解析

【分析】（1）由“同源三角形”的定義可證NACD=NBCE,然后根據(jù)SAS證明/XACD空ABCE即可；

⑵由“同源三角形”的定義和乙4CE=90°可求出/DCE=ACB=45°,由（1）可知△ACD空△BCE,得

AADC=/BEC,然后根據(jù)“8”子三角形即可求出NEMD的度數(shù)；

⑶由⑴可知△ACD篤△BOE,可得/C4Q=/CBP,BE=AD根據(jù)S4S證明△ACQ篤△BCP,可得

CQ=CP,乙4。。=/8。。,進而可證結(jié)論成立.

【詳解】⑴=

理由：因為△ABC和△CDE是“同源三角形”,

所以NACB=4DCE,所以ZACD=NBCE.

（AC=BC,

在△ACD和ABCE中，（ZACD=NBCE,

（CD^CE,

所以LACDZABCE（SAS）.

所以AD=BE.

⑵△ABC和△CDE是“同源三角形”，

NACB=ZDCE.