2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)：分式（原卷版）

清單05分式（23個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）

【知識(shí)導(dǎo)圖】

ac_a?c

絲愁9—分式有意義的條件1乘法運(yùn)算.

a.cada

分子為。且分母不為9—分式值為o的條件，際法運(yùn)算.b'dbcb

分子與分母沒(méi)有公因式幕普辦#乘方("為正整數(shù))

----------------------.取回7r入(g)"=M

同分母分式的加減法法則

A=A-CAA^C

石=BC萬(wàn)=B-C加減法法則

T異刎允區(qū)的蛆叫幽

U7#0)基本性質(zhì)

結(jié)

果負(fù)整數(shù)（為正整數(shù)）

簡(jiǎn)SaL=2"O,n

娜*

A-C=A

整

式

戰(zhàn)

B?C一萬(wàn)法

（C為公因式）

概念分母中含有未知數(shù)的方程

A力CAAD

石和萬(wàn)■，石=而，分式

解分式一化，二解，

程

方J百一應(yīng)

卷=器（分母都為皿通分方程三檢驗(yàn)要檢驗(yàn)

列分式方程解應(yīng)用題

【知識(shí)清單】

考點(diǎn)一.科學(xué)記數(shù)法一表示較小的數(shù)

用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為aX10「"，其中l(wèi)W|a|<10,〃為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)

字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

【規(guī)律方法】用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)尤的規(guī)律

X的取值范圍表示方法。的取值n的取值

|x|210aX10n1W|〃|整數(shù)的位數(shù)-1

W<iaX10~n<10第一位非零數(shù)字前所有0的個(gè)數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)

前的0）

1.（2022秋?肇慶期末）奧密克戎是一種新型冠狀病毒，它的直徑約為60?140納米（1納米=0.000000001

米）.其中“140納米”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

A.L4X10「ll米B.1.4X10〃米

C.14義10一8米D.0.14X10」°米

考點(diǎn)二.分式的定義

（1）分式的概念：一般地，如果48表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式.

B

（2）因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0.

（3）分式是兩個(gè)整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號(hào)，還兼有括號(hào)

的作用.

（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是&的形式，從本

B

質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡(jiǎn).

（5）分式是一種表達(dá)形式，如x+2+2是分式，如果形式都不是A的形式，那就不能算是分式了，如：（尤+1）

xB

+（x+2）,它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次幕表示的某些代數(shù)式如（〃+8）

",J1,則為分式，因?yàn)椋?=工僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形式.

y

2.（2022秋?望城區(qū)期末）下列式子中，是分式的是（）

A.-3xB.旦C.x+1D.5—

兀25+y

3.（2022秋?高邑縣期末）如圖，甲、乙、丙、丁四人手中各有一個(gè)圓形卡片，則卡片中的式子是分式的有

甲乙丙丁

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

考點(diǎn)三.分式有意義的條件

（1）分式有意義的條件是分母不等于零.

（2）分式無(wú)意義的條件是分母等于零.

（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào).

（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào).

4.（2023秋?嵯恫區(qū)期末）分式）-有意義，x的取值范圍是（）

x+2

A.xWOB.x#-2C.D.x2-2

5.（2023秋?喀什市期末）若分式迎也有意義，則尤—.

2x-l

考點(diǎn)四.分式的值為零的條件

分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.

注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少.

6.（2023春?宣漢縣期末）已知分式工的值為0,那么x的值為（）

X-1

A.0B.-1C.1D.±1

7.（2023秋?嶺洞區(qū)期末）若分式底1-4的值為0,則x的值等于.

x+4

考點(diǎn)五.分式的值

分式求值歷來(lái)是各級(jí)考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時(shí)應(yīng)從已知條

件和所求問(wèn)題的特點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑.

8.（2023春?開(kāi)江縣校級(jí)期末）若則型當(dāng)紇空的值為（）

l-2xy+xy-x

A.AB.-1C.上D.J-

333

,2

9.（2023春?清苑區(qū)期末）如圖，若包則表示M?一2?的值的點(diǎn)落在（）

b02,2

Da-b

①②③④

L、」a

-2-1012

A.段①B.段②C.段③D.段④

考點(diǎn)六.分式的基本性質(zhì)

（1）分式的基本性質(zhì)：

分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.

（2）分式中的符號(hào)法則：

分子、分母、分式本身同時(shí)改變兩處的符號(hào)，分式的值不變.

【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問(wèn)題

1.分式中的系數(shù)化整問(wèn)題：當(dāng)分子、分母的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或小數(shù)時(shí)，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中

的系數(shù)化為整數(shù).

2.解決分式中的變號(hào)問(wèn)題：分式的分子、分母及分式本身的三個(gè)符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不

變，注意分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，分子、分母應(yīng)為一個(gè)整體，改變符號(hào)是指改變分子、分母中各項(xiàng)的符號(hào).

3.處理分式中的恒等變形問(wèn)題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的.

10.（2022秋?劍閣縣期末）在分式區(qū)中，若將尤、y都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則所得分式的值（）

x+y

A.不變B.是原來(lái)的2倍

C.是原來(lái)的4倍D.無(wú)法確定

11.（2022秋?海陽(yáng)市期末）下列各式中，與分式的值相等的是（

1-x

A-Tic.一

B?貴l+x

考點(diǎn)七.約分

（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.

（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來(lái)分別確定.

①分式約分的結(jié)果可能是最簡(jiǎn)分式，也可能是整式.

②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號(hào)時(shí)，一般把負(fù)號(hào)提到分式本身的前面.

③約分時(shí)，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式.

（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最

大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分.

12.（2022秋?舒蘭市期末）下列約分正確的是（

2,2

Aa-ba-b-

A-------=a+bB.

a-b丁丁1

21

2a+4ba_1

「D.

。---=a+4b2,2b

ab0

13.（2023春?遂寧期末）如果一個(gè)分式的分子或分母可以因式分解，且這個(gè)分式不可約分，那么我們稱這

個(gè)分式為“和諧分式”，下列分式中是和諧分式的是（）

_x2_y2

AB.x+y

'（X4y）222

x-y

C.乂歷

D.

x2-y2X2+2

考點(diǎn)八.通分

（1）通分的定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，這樣的分式變形叫做

分式的通分.

（2）通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母.

①最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù).

②最簡(jiǎn)公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次基的積.

（3）規(guī)律方法總結(jié)：通分時(shí)若各分式的分母還能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最簡(jiǎn)公

分母，最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)，因式為各分母中相同因式的最高次哥，各分母中不相

同的因式都要作為最簡(jiǎn)公分母中的因式，要防止遺漏因式.

14.（2022秋?澧縣期末）分式°3a的分母經(jīng)過(guò)通分后變成2（a-b）2Q+b）,那么分子應(yīng)變?yōu)椋ǎ?/p>

2,2

a-b

A.6a（.a-b）2（a+6）B.2（a-b）

C.6a（a-b）D.6a（a+b）

考點(diǎn)九.最簡(jiǎn)分式

最簡(jiǎn)分式的定義：

一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式.

和分?jǐn)?shù)不能化簡(jiǎn)一樣，叫最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù).

15.（2022秋?匯川區(qū)期末）下列各分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（）

2,222

A.a?B.m-n

a2+abm+n

C3（x-y）Dx2_y2

22

?7年打）'x+2Xy+y

16.（2023春?連州市期末）下列各分式中是最簡(jiǎn)分式的是（）

A12（x-y）B.x?+y2

22

15（x4y）Xy+Xy

2222

C.*7D..-

（x+y）2x+y

考點(diǎn)十.最簡(jiǎn)公分母

（1）最簡(jiǎn)公分母的定義：

通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次幕的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母.（2）

一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡(jiǎn)公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次幕，所

有不同字母都寫(xiě)在積里.②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個(gè)分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小

公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的塞的因式都要取最高次幕.

17.（2022秋?匯川區(qū)期末）分式一|—與等L的最簡(jiǎn)公分母是（）

3a3bcab2

A.3abeB.4%3cC.3。%2cD.a%2c

18.（2022秋?江漢區(qū)校級(jí)期末）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)x=2時(shí)，分式無(wú)意義

X-2

B.當(dāng)x>5時(shí)，分式,的值為正數(shù)

x-5

2_Q

C.當(dāng)分式耳——時(shí)，±3

m+3

D.分式2與一J的最簡(jiǎn)公分母是3"2

2

3aab

考點(diǎn)十一.分式的乘除法

（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母.

（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方.

（4）分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算.運(yùn)算順序應(yīng)先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即

“先乘方，再乘除”.

（5）規(guī)律方法總結(jié)：

①分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分.

②整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式.

③做分式乘除混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，乘除法是同級(jí)運(yùn)算，要嚴(yán)格按照由左到右的順序進(jìn)行運(yùn)算，切

不可打亂這個(gè)運(yùn)算順序.

號(hào)的結(jié)果是（

19.（2023秋?喀什市期末）化簡(jiǎn)4)

mm

A.mB.—C.-mD.--1

mm

2

20.（2023春?鯉城區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：包?冬的結(jié)果是（)

2

“a

222

A.cB.-2-C.cD.a

2,

abababbe

考點(diǎn)十二.分式的加減法

（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過(guò)通分，異分

母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減.

說(shuō)明：

①分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把分

母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘.

②通分是和約分是相反的一種變換.約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡(jiǎn)單的形式；通

分是分別把每一個(gè)分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個(gè)較簡(jiǎn)單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形

式.約分是對(duì)一個(gè)分式而言的；通分則是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來(lái)說(shuō)的.

21.（2022秋?冠縣期末）由「工值的正負(fù)可以比較A二1￡與工的大小，下列正確的是（）

3+c33+c3

A.當(dāng)c=-3時(shí)，代1B.當(dāng)c=0時(shí)，女盧工

C.當(dāng)c<-3時(shí)，A>4D-當(dāng)c<0時(shí)，A<2

33

2

22.（2022秋?淄川區(qū)期末）已知分式工一^^生化簡(jiǎn)后的結(jié)果在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于原點(diǎn)左側(cè)，則尤的

x-5x-5

值可以是（）

A.4B.5C.6D.7

考點(diǎn)十三.分式的混合運(yùn)算

（1）分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有

括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.

（3）分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)

算.

【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問(wèn)題

1.注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

2.注意化簡(jiǎn)結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式

或整式.

3.注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的

運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

23.（2022秋?韓城市期末）下列計(jì)算正確的是（）

A.工—■B.3J

aba+babah

22

「a-b_D&b

J-a-b5--------------=1

a-ba-ba-b

24.（2022秋?河北期末）若小r小則下列分式化簡(jiǎn)正確的是（)

2

Am+2型Birr7』CmD.

n+2nn-7nn2n-3nn

考點(diǎn)十四.分式的化簡(jiǎn)求值

先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要

化成最簡(jiǎn)分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡(jiǎn)求值時(shí)需注意的問(wèn)題

1.化簡(jiǎn)求值，一般是先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式或整式，再代入求值.化簡(jiǎn)時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟，

代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式=

2.代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法.當(dāng)

未知數(shù)的值沒(méi)有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0.

25.（2022秋?新市區(qū)校級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：g二3__L）_1_,其中a=5.

2

a-2a+l曠1a-Va+2

2

26.（2023秋，嶺恫區(qū)期末）先化簡(jiǎn)：（1一^）-20,再?gòu)?3,1,2中選取一個(gè)合適的數(shù)作為x

x+32x+6

的值代入求值.

考點(diǎn)十五.負(fù)整數(shù)指數(shù)塞

負(fù)整數(shù)指數(shù)幕：a-P=^-QW0,p為正整數(shù)）

ap

注意：①aWO；

②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕時(shí)，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)累的意義計(jì)算，避免出現(xiàn)（-3）一2=（-3）X（-2）的

錯(cuò)誤.

③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序.

27.（2023春?信都區(qū)期末）2”的值是（

A.-6B.-8C.AD.-A

88

28.（2022秋?金灣區(qū)期末）計(jì)算：（-3）、+（-旦）°=

2—

考點(diǎn)十六.列代數(shù)式（分式）

（1）定義：把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)，就是列代數(shù)式.

（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義.②分清數(shù)量關(guān)系.③注意運(yùn)算順序.④規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式.⑤正

確進(jìn)行代換.

注意代數(shù)式的正確書(shū)寫(xiě)：出現(xiàn)除號(hào)的時(shí)候，用分?jǐn)?shù)線代替.

29.（2023春?皇姑區(qū)期末）甲從A地到8地要走機(jī)小時(shí)，乙從8地到A地要走w小時(shí)，若甲、乙二人同時(shí)

從A、B兩地出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)相遇（）

A.（優(yōu)+〃）小時(shí)B.空R小時(shí)C.空R小時(shí)D.1m.小時(shí)

2mnm+n

30.（2023春?金寨縣期末）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需加小時(shí)完成，若與乙合作20小時(shí)可以完成，則乙單獨(dú)完

成需要的時(shí)間是（）

A.20m小時(shí)B.2clm小時(shí)

m-20m+20

C.11r20小時(shí)D.m+20小時(shí)

20m20m

考點(diǎn)十七.分式方程的定義

分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù).

31.（2022秋?西豐縣期末）下列方程中，是分式方程的是（）

A.A+A=lB.x+—=2C.2x=x-5D.x-4y=1

32x

考點(diǎn)十八.分式方程的解

求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解.

注意：在解方程的過(guò)程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增

根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

32.（2023秋?南關(guān)區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程上+1=工的解為非負(fù)數(shù)，則根的取值范圍是（）

x-ll-x

A.1J!Lm#-1B.-1JLC.m<lM-1D.機(jī)>-1且機(jī)

考點(diǎn)十九.解分式方程

（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論.

（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：

①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解.

②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式方程的解.

所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn).

33.（2022秋?楊浦區(qū)期末）解方程：1+1.

1-x2x-1

考點(diǎn)二十.換元法解分式方程

1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法.

換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象

的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理.

2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)

化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn).

34.（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）解分式方程匚工=匡時(shí)，設(shè)年-=y,則原方程化為關(guān)于y的整

x-1x3x2-l

式方程是.

35.（2022秋?華容區(qū)期末）閱讀下面材料，解答后面的問(wèn)題.

解方程：211-/工=0.

XX-1

解：設(shè)則原方程化為：y-1=0,

xy

方程兩邊同時(shí)乘y得：/-4=0,

解得：yi=2,y2=-2.

經(jīng)檢驗(yàn)：yi=2,-2都是方程y-9=0的解.

y

當(dāng)y=2時(shí)，211=2,解得：x=-1；

x

當(dāng)y=-2時(shí)，2^1=-2,解得：x=l.

x3

經(jīng)檢驗(yàn)：尤1=-1或皿=工都是原分式方程的解.

3

...原分式方程的解為XI=-1或％2=」.

3

上述這種解分式方程的方法稱為換元法.

問(wèn)題：

（1）若在方程二上=0中，設(shè)>=工1,則原方程可化為：

4xx-lx

（2）若在方程二1-絲里=0中，設(shè)>=二1,則原方程可化為:

x+1x-lx+1

（3）模仿上述換元法解方程：主工-2-1=0.

x+2x-l

考點(diǎn)二十一.分式方程的增根

（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為?；?/p>

是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根.

（2）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未

知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方

程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方

程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根.

（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0,如果

為0,則是增根；如果不是0,則是原分式方程的根.

36.（2023春?蒲城縣期末）若關(guān)于x的分式方程上-1=且有增根，則a的值為（）

x-22-x

A.-3B.3C.2D.--Z.

2

37.（2023春?榆陽(yáng)區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程_^=3」一有增根，則。的值為（）

x-5x-5

A.4B.5C.6D.-5

考點(diǎn)二十二.由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程

由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系.

（1）在確定相等關(guān)系時(shí)，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問(wèn)題中的相遇問(wèn)題和追

擊問(wèn)題，最重要的是相遇的時(shí)間相等、追擊的時(shí)間相等.

（2）列分式方程解應(yīng)用題要多思、細(xì)想、深思，尋求多種解法思路.

38.（2023秋?蛟河市期末）某化肥廠原計(jì)劃每天生產(chǎn)化肥尤噸，由于采取了新技術(shù)，每天多生產(chǎn)化肥3噸，

實(shí)際生產(chǎn)180噸與原計(jì)劃生產(chǎn)120噸的時(shí)間相等，那么適合尤的方程是（）

A.120=180B.120=180

x+3xx-3x

c120=180D120=180

xx+3xx-3

39.（2023秋?蛟河市期末）小明家離學(xué)校2000米，小明平時(shí)從家到學(xué)校需要用x分鐘，今天起床晚，怕遲

至IJ,走路速度比平時(shí)快5米/分鐘，結(jié)果比平時(shí)少用了2分鐘到達(dá)學(xué)校，則根據(jù)題意可列方程.

考點(diǎn)二十三.分式方程的應(yīng)用

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、歹U、解、驗(yàn)、答.

必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫(xiě)出單位

等.

2、要掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：速度=路程時(shí)間；工作量問(wèn)題：工作效率=工作量工作時(shí)

間

等等.

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力.

40.（2023春?衡山縣期末）某市開(kāi)發(fā)區(qū)在一項(xiàng)工程招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書(shū)，工程領(lǐng)導(dǎo)小

組根據(jù)甲、乙兩隊(duì)的投標(biāo)書(shū)測(cè)算，共有三種施工方案：①甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，剛好如期完工；②乙

隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程要比規(guī)定工期多用5天；③二剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也

正好如期完工.某同學(xué)設(shè)規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意列出了方程：匡卡工=],則方案③中被墨水污

xx+5

染的部分應(yīng)該是（）

A.甲乙合作了4天B.甲先做了4天

C.甲先做了工程的工D.甲乙合作了工程的」

44

41.（2023秋?喀什市期末）元旦晚會(huì)上，王老師要為她的學(xué)生及班級(jí)的六位科任老師送上賀年卡，網(wǎng)上購(gòu)

買賀年卡的優(yōu)惠條件是：購(gòu)買50或50張以上享受團(tuán)購(gòu)價(jià).王老師發(fā)現(xiàn)：零售價(jià)與團(tuán)購(gòu)價(jià)的比是5：4,

王老師計(jì)算了一下，按計(jì)劃購(gòu)買賀年卡只能享受零售價(jià)，如果比原計(jì)劃多購(gòu)買6張賀年卡就能享受團(tuán)購(gòu)

價(jià)，這樣她正好花了100元，而且比原計(jì)劃還節(jié)約10元錢；

（1）賀年卡的零售價(jià)是多少？

（2）班里有多少學(xué)生？

q【核心素養(yǎng)提升】

1邏輯推理一一類比分?jǐn)?shù)解分式問(wèn)題

L(2。23上.吉林長(zhǎng)春.八年級(jí)校聯(lián)考期末)觀察下列各式：3$=$=)5

11111111

20-4^5-4-5,30-5^6-56,

(1)由此可推測(cè)：圭=;

⑵依照上述規(guī)律，寫(xiě)出京的推測(cè)過(guò)程；

(3)請(qǐng)你猜想出能表示以上式子的一般規(guī)律，用含加(加表示整數(shù))的等式表示出來(lái)，并說(shuō)明理由;

121

(4)請(qǐng)直接用(3)中的規(guī)律計(jì)算(一)(1)一正1)正3)+(1心-2)的直

2數(shù)學(xué)運(yùn)算

2.(2023上?江蘇南京?八年級(jí)南京大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?(1)已知加+3加一2=0,求代數(shù)式

(m+2)(2m-l)+(m+3)2的值；

(3)4—4a+4

(2)先化簡(jiǎn)「+1+--------,然后從-2WaW2的范圍內(nèi)選擇一個(gè)合適的整數(shù)作為〃的值代入求

值.

3數(shù)學(xué)建模一一構(gòu)建方程模型，解決實(shí)際問(wèn)題

Y]丫2

3.（2022上.湖北咸寧?八年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀理解】閱讀下面的解題過(guò)程：己知：告=：，求上的

x12+l3x4+l

值.

X1丫2.11

解：由一:—=—知xw0,-------=3,即xH—=3①

尤?+13xx

...x=/+二=（x+-2=32—2=7②，故-—的值為！.

2