2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)綜壓軸題-相似三角形問題（解析版）

2025年中考復(fù)為二次函數(shù)綜履軸題專題訓(xùn)練:楣倒三角形問題

1.如圖，拋物線,=—/+31+4與a:軸交于A,B兩點（點？1位于點8的左側(cè)），與沙軸交于C點,拋物線

的對稱軸I與必軸交于點N,長為1的線段PQ（點P位于點Q的上方）在T軸上方的拋物線對稱軸上

運動.

⑴直接寫出。三點的坐標；

⑵過點P作夕軸于點當(dāng)△CPM和△QBN相似時,求點Q的坐標.

【答案】（1）4（—1,0）,5（4,0）,。（0,4）；

⑵點Q的坐標是（|■，明或（|■，*或（|■，"答）.

【分析】（1）分別令力=0和"=0,求解即可得出答案；

出求出拋物線的對稱軸,設(shè)（2侏力,則丁（畀+1）,〃'（0工+1）,耳右0）,再分兩種情況也當(dāng)器=

黑時，②當(dāng)鬻=縹時，分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

UNbNQN

【詳解】⑴解:在g=—/+3力+4中，令宏=0得g=4,即。（0,4）,

令g=0,得一/+3/+4=0,解得x=—1或力=4,即A（—1,0）,B（4,0）;

（2）解:拋物線y=—x2+3/+4的對稱軸為直線力=—,

—22

設(shè)Q（y，t），則嗚,計1）,M（0,t+l）,嗚,0）,

-1?5（4,0）,0（0,4）,

：.BN=^-,QN=t,PM=多,CM=\t-3\,

,：4CMP=4QNB=90°,

??.△CPM和"BN相似只需湍=黑或器=器，

①當(dāng)需逐時

2

解得±=與或t=孕，

2o

?-Q（多號）或（多M）；

②當(dāng)空=理時0=工

BNQN'S力'

2

解得t=3+曾或t=3-（舍去）,

KD，

綜上所述，點Q的坐標是得，學(xué)）或（得，嬰）或（33+|<^

v227vZo72/

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點問題、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，、相似三角

形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）請你判斷是什么三角形,并說明理由.

（3）若點P在第二象限，且是拋物線上的一動點,過點P作尸打垂直x軸于點試探究是否存在以

P、H、。為頂點的三角形與△4BC相似？若存在，求出P點的坐標.若不存在,請說明理由.

【答案】⑴Unll8+E一卷；

⑵直角三角形，理由見解析；

⑶存在，點P的坐標為（—瑞，晉）或（—巖，箸），理由見解析.

【分析】（1）將點A及點B的坐標代入函數(shù)解析式，得出a、6的值，繼而可得出函數(shù)解析式：

（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式，求出點。的坐標，然后分別求出AC、的長度，利用勾股定理的逆定理可

證明△ACB是直角三角形；

（3）分兩種情況進行討論，①4DHP?ABCA,②&PHD?ABCA,然后分別利用相似三角形對應(yīng)邊成比例

的性質(zhì)求出點P的坐標.

【詳解】⑴解：由題意得，函數(shù)圖象經(jīng)過點4（—4,3）,5（4,4）,

故可得：[4=表（4+2）（4&+6）'

解得:憶之

故二次函數(shù)關(guān)系式為：y=+2）（13/—20）=-^-x2+-^-x--7-.

484886

故答案為：y=黑■力—

4o00

（2）解：A4CB是直角三角形，理由如下：

由⑴所求函數(shù)關(guān)系式g=條~#2+■力—

4886

當(dāng)g=0時,0=]|■靖+?—]■,

4ooO

解得Xi=-2—

J-O

.?.點C坐標為(一2,0),點D坐標為(魯，0),

又?.?點4—4,3),B(4,4),

AB=V(4+4)2+(4-3)2=V65,

AC=V(-2+4)2+(O-3)2=V13,

BC=V(4+2)2+(4-0)2=2V13,

?.?滿足AB?=3+3。2,

A4CB是直角三角形.

（3）解:存在；

點P的坐標為（-晉需）或（-皆，得）.

設(shè)點P坐標為（應(yīng)士0+2）（134—20））,

則PH—■（劣+2）（136-20）,HD——x+,

若LDHP?/XBCA,

則也=3L

ACBC'

焉■（劣+2）（136-20）一力+瑞^

即W---------------=------

V132V13'

解得：力=—瑞或力=瑞（因為點P在第二象限，故舍去）;

JLDJ-O

代入可得PH=M，

即打坐標為（一5035\

13

若4PHD?ABCA,則黑=嗎,

BCAC

■^■(2;+2)(13iC—20)—

即

2V13

解得：立=—詈或2=患（因為點P在第二象限，故舍去）.

XOJ-O

代入可得。5=鬻，

即呂坐標為：（一巖，箸）.

5035122

綜上所述，滿足條件的點P有兩個，即

13113IT

【點睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，同

時還讓學(xué)生探究存在性問題，本題的第三問計算量比較大，同學(xué)們要注意細心求解.

3.如圖,在平面直角坐標系中，拋物線"=a/++c與力軸交于點A,與0軸交于點C,點力和點

C的坐標分別為（—1,0）和（0,2）

⑵將線段CB繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CD,連接AD,求線段AD的長；

(3)點河是拋物線上位于第一象限圖象上的一動點，連接41f交于點N,連接,當(dāng)S皿v=

時，請直接寫出點雙的橫坐標的值.

【答案】⑴V=^-x2+-|-￡C+2

⑵AD=V^

⑶2一乎

【分析】⑴把A(—l,0),<7(0,2)代入夕=ax2+^-x+c,求出a,c的值即可：

(2)先求出點B的坐標，過點。作DE_L沙軸于點E,證明RtACDE空RtABOC可錄出點D的坐標，再根據(jù)

兩點間距離公式求出入。即可；

⑶過點”作，①軸于點F,過點N作NG，2軸于點G,根據(jù)S^BMN=jSAABJV得AN=4MN,即AN:

4河=4:5,運用待定系數(shù)法求出直線反7的解析式《=—$+2,設(shè)河(恒，一泰2+_|_館+2),

，一當(dāng)1z+2),證明ZVLNG?AAMP,得用■4g=3,代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可.

2'MFAF5

【詳解】⑴：拋物線y=ax2++c經(jīng)過點A(—1,0),(7(0,2)

Q---+C=0

c=2

解得,

c=2

/.拋物線的解析式為：y=―+-yJC+2

⑵對于沙=//+多3+2，

當(dāng)沙=0時，則一""2+玄+2=0

解得，g=—l,g=4

.?.30=4,3(4,0)

C(O,2)

AOC=2

過點。作現(xiàn)；_Lg軸于點石,如圖，

???/DEC=/BOC=9N

???ZDCB=90°

??.ZDCE+ZBCO=90°

?//DCE+”JDE=90°

：.ACDE=ABCO

又CD=CB

???/\CDE^^BOC

??.CE=BO=4,DE=CO=2

???CE=CO+OE

：.OE=2

D(—2,—2)

又4—i,o)

AD=V[-2-(-l)]2+(-2-0)2=V5

(3)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

把點B(4,0),C(O,2)代入得，d"％=°

：.直線BC的解析式為？/=一緊+2

設(shè)--|-m2+-^-m+2）,N（n,--1+2）,

過點“作W_Lc軸于點F,過點N作NG_Lc軸于點G,如圖，

則有：AG—\+n,AF—1+m

?*S、BMN

??.AN=4MN,即AN:AM=4:5,

由MF_L7軸，NG_L力軸得NG〃MF

???RANG?bAMF

.NG=AG=AN=4

，9'MF~^F~AM~~5

?1+九二」①

**1+m5°

-+2A

--------J--------=9②

—1-m2+-|-m+25

由①得，幾=!(4?72—1)③

5

一9x七(47九一1)+2A

把③代人②得，2T----------二A

-ym2+-1m+25

整理得，4m2—16m+5=0

解得：7711=2+巧1,館2=2一巧L

*/m<4

5

...m=02----V-T--T-

.?.點M的橫坐標為2—

【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)合的

思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系.

4.如圖，已知拋物線y=—/—24+3與c軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C.

⑴求點4B,。的坐標；

（2）拋物線的對稱軸Z與t軸的交點為。，連接AC,在拋物線上是否存在點E、斤（點E、尸關(guān)于直線Z

對稱，且E在點斤左側(cè)），使得以。、E、F為頂點的三角形與△AOC相似，若存在,求出點E的坐標，若

不存在，請說明理由.

【答案】（1）點A的坐標為（一3,0）,點3的坐標為（1,0）,點。的坐標為（0,3）

-3-V17-1-V17

⑵存在，點E的坐標為

22

【分析】（1）令夕=0,，=0,解方程即可；

（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式得到點。的坐標為（一1,0）,求得XAOC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，得到

ZOAC=45°,如圖，設(shè)EF交Z于點G,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到DF=DE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出

結(jié)論.

【詳解】（1）解：在V=—x2—2x+3中，令沙=0,—X2—2x+3=0,

解得②=-3,x2=l,

點入的坐標為（一3,0）,點B的坐標為（1,0）,

在y=—x2-2a;+3中，令2=0,夕=3,

.?.點。的坐標為（0,3）;

（2）解；存在，由y=—x2—2z+3=—（cc+l）2+4知拋物線的對稱軸，為直線，=—1,

.?.點。的坐標為（-1,0）;

???4―3,0）,。（0,3）,

OA—OC—3,

：.ZVIOC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，

.?.ZOAC=45°,

如圖，設(shè)EF交/于點G,

?.?點E,F關(guān)于直線/對稱，

:.DF=DE,

?.?△ED尸?△AO。，

則NEDF=90°,/DEF=45°,

DG=FG.

分兩種情況討論:

當(dāng)點E在工軸上方時，設(shè)瓦的橫坐標為n(n<-l),

則E]Gi——1—Ti,DG\—E]Gi——1—TI,—1—n),

將其代入g=—/—2%+3中，得一1—n——n—2n+3,

解得n1=\恒,n2=夫近(舍去),

.四(T-ViT-1+V17)

當(dāng)點E在力軸下方時，設(shè)石2的橫坐標為九S<—1),則E2G2=-1一九，OG2=E2G2=-1一九，

：.E2(n,l+n),

將其代入"=-x2—2/+3中，得1+九——ri—2n+3,

解得%=-3日.,n2=-3\47(舍去),

.nf-3-V17-1-V17\

,，即2'2人

綜上所述，在拋物線上存在點E、F(點E、F關(guān)于直線I對稱，且E在點F左側(cè))，使得以D、E、F為頂點的

三角形與△AOC相似，

77

.?.點E的坐標為.(T丁,T產(chǎn))，星(一③丁，TJ7).

【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性

質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，已知拋物線與①軸交于4―1,0),B(3,0)兩點，與“軸交于點。(0,3),。為頂點，點P是①軸上

方的拋物線上的一個動點，PMLc軸于點雙,與交于點E.

(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及頂點D的坐標；

(2)設(shè)點尸的橫坐標為t(O<t<3),

①當(dāng)［為何值時，線段PE的長最大；

②連接CD,證明：ABCD為直角三角形；

(3)是否存在點P,使得以點P、M、B為頂點的三角形與ABCD相似？若存在，求出點尸的坐標；若

不存在，請說明理由.

【答案】(1)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式V=—，2+22+3,頂點為￡>(1,4)

(2)①當(dāng)t="|■時，線段PE的長最大值為日,②證明見詳解

【分析】(1)設(shè)拋物線解析式為y^ax2+bx+c(aWO),將點代入求得函數(shù)解析式，再化為頂點式即可；

(2)①利用待定系數(shù)法求得直線的函數(shù)關(guān)系式為g=—a?+3.設(shè)—F+2t+3),則E(3—方+3).

那么，PE=—,一方)，(■，結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可求得答案;②根據(jù)點的坐標利用兩點之間的公式和

勾股定理逆定理即可判定;

⑶由⑵知,⑵是直角三角形，且乙BCD=90°,CD=&,BC=30分兩種情況(I)APMB?

△BCD,貝”第=等；(II)ABMP?△BCD,貝寸黑=萼，分另U求解即可.

JDIVI1Ivl(_y.Lz

【詳解】(1)解:設(shè)拋物線解析式為V=a/+b,+c(a#O),

?/拋物線與立軸交于A(-1,O),5(3,0)兩點，與夕軸交于點(7(0,3),

(O—a—b+cfa=—1

(0=9a+3b+c,解得(b=2,

[3=c1c=3

拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式v=—x2+2,+3,

經(jīng)配方，得夕=-(,-1)2+4,則拋物線的頂點為。(1,4).

⑵解:①拋物線沙=—/+2c+3與多軸交點坐標為A(-1,O),5(3,0).

設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=far+b(%WO),

則比產(chǎn)。,解得

[3=6[6=3

直線B。的函數(shù)關(guān)系式為g=—6+3.

設(shè)P(t,-/+2力+3),則E(t,—力+3).

PE———力2+2力+3—(——1+3)———力2+31———(t—,

a=—1<0,且0V1V3,

當(dāng)時，線段PE的長最大值為小

②亍正明：：B(3,0),C(0,3),D(l,4)

則BC=V32+32=3V2,BD=V(3-l)2+42=275,CD=Vl2+(4-3)2=V2,

?：BC2+CD1BD1,

.?.△BCD為直角三角形；

⑶解:存在.

由(2)知△BCD是直角三角形，且/BCD=90°,CD=戊，BC=3#1.

(I)如圖3.2,若△P7WB?△BCD,則善4=

13M

BC

~CD7

日n—七2+2力+3_3^/2^

即3T="

整理，得t2—54+6=0,解得4=2,右=3(舍去).

.-.F(2,3).

(II)如圖3.3,若?△BCD,

則理上=生

PMCD'

即3T=區(qū)2

一力2+2力+3

整理，得3/一7右一6=0,解得唾=―|-,力2=3(舍去).

???P(得士

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、待定系數(shù)法求一次函數(shù)、兩點之間距離公式和

相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì).

6.在平面直角坐標系rrOy中，已知拋物線F：y=-a?+b①+。經(jīng)過點A(_3,—1),與夕軸交于點B(O,

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)在直線上方拋物線上有一動點C,連接OC交于點。，求器的最大值及此時點。的坐

標.

【答案】(l)g=—宏2—2%+2

⑵率(一1寸)

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)：

(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

⑵過點。作2軸的垂線CH交于點”，交c軸于點H,則CM〃夕軸，可知4CDM?/\ODB，由此可得

綜=_§^='^，設(shè)0(力一嚴—2t+2),且一3＜力＜0,則知。,1+2),所以。"=一U+2)2+*，當(dāng)1=

OL)2'2，4

―方時，CM有最大值，即可求出點。的坐標.

【詳解】⑴解:將4(—3,—1),B(0,2)代入g=—/+匕力+c,

,日f—9—3b+c——1,

HC=2,

解得憶'

拋物線的函數(shù)表達式為g=-/—2/+2;

⑵解:如圖，過點。作力軸的垂線CH交AB于點河，交力軸于點H,則CM"y軸,

：./XCDM-/XODB,

.CD=CM=CM

設(shè)直線AB的表達式為y—mx+n,

把4一3,—1),B(O,2)代人表達式得，］—3?+九=T'

⑺=2,

解得卜=1，

m=2,

???直線AB的表達式為g=c+2.

設(shè)C(t,—1?—2方+2),且—3V1V0,則M{t,t+2),

CM———力2—2t+2——t——2=——?——3力=——(力+-^一)T—?，

—3VIVO,

當(dāng)t——時，CM有最大值，

9.

CD的最大值為3,此時點C的坐標為(—1"，A1").

2o'24，

7.直線g=—3力+3與/軸交于點8,與g軸交于點C,拋物線g=—/+W+c經(jīng)過8,。兩點，與二軸的

另一交點為連接AC,點P為4。上方的拋物線上一動點.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖①，連接BP交線段人。于點。，若PDB0=5:16,求此時點P的坐標；

⑶如圖②，連接PC.過點P作PE〃9軸，交線段ZC于點石，若△FCE與△ABC相似,求出點P的

橫坐標及線段PE長.

【答案】（l）g=—x2—2x+3

⑵T宇或（丁+）

（3）xP=—|-，PE=三或xP=~,PE=^~

【分析】（1）先確定點B、。的坐標，再用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；

（2）先求直線AC和BP的解析式，再聯(lián)立求出交點的橫坐標，證明"DG?△BPH，根據(jù)相似三角形對應(yīng)

邊成比例建立方程求解即可；

（3）分兩種情況：AABC?△EPC或△AB。?/\ECP，根據(jù)對應(yīng)邊成比例建立方程求解即可.

【詳解】（1）解：直線9——3x+3與。軸交于點B,與沙軸交于點C,

令2=0,則沙=3;令y=0,則2=1,

.\B（1,O）,0（0,3）

,/拋物線y——X2+bx+c經(jīng)過B,C兩點、,

將B、。的坐標代入解析式可得

-l+b+c=O

c=3

b=-2

解得

c=3

.,?拋物線解析式為：?/=—T*2—2T+3;

(2)解：令拋物線y=—x2—2力+3=0,可得比=1或6=—3,

???4—3,0),

VC(O,3),

???設(shè)直線AC的解析式為：g=k/+bi,

將4(—3,0),C(O,3)代入直線g=k力+仇,得

J—3fc+bi=0

⑤=3'

k=l

解得:

氏=3

?,.直線AC的解析式為：g=/+3,

設(shè)P點坐標為(rn,—m2—2m+3),

設(shè)直線BP的解析式為：y=ax+n,

將_8(1,0),F(m,—m2—2m+3))代入解析式g=a/+口中，得

fa+n=0

1am+n=—m2—2m+3'

直線BP的解析式為："=—(771+3)/+771+3,

聯(lián)立直線BP與直線

(y=-(jn-\-3)x+m+3

[y=x+3'

如圖過點P作PH_L/軸于點作DG±x軸于點G

??,DG//PH

：.ABDG=ABPH,ABGD=ABHP=90°

又???ADBG=APBH

:?ABDG?4BPH

?：PD:BD=5:16

：.BG:BH=16:21

*.*BG=x—x=l犯7,BH—x—Xp—1—m

BDm+4B

]m

,771+4_16

,?1—m21

解得:m=-或m=--晟-,

經(jīng)檢驗，m=―m――都是方程的根，

當(dāng)m=--時，一in2—2m+3=-^7-;

24

當(dāng)m=--時，一m2—2m+3=-1-???

故點P的坐標為(一］,?),(——，)；

⑶解:設(shè)P點坐標為(a,-a2-2a+3),

?，.E(Q,Q+3),

222--2

PE=-CL—2a+3—(a+3)——CL—3a,AC—V?1O+OC7=A/3I3=3A/2^,

EC—d(Q—0)2+(a+3—3)2=d2a2=_^/2Q,

,:PE//y軸,

：./PEC=/ACO,

又???04=OA=3,OC±OA,

??.ZCAB=ZACO=45°,

???/PEC=ACAB,

①當(dāng)△AB。?AEP。時，

AC=AB

~EC~^P"

即避遑_=4,

——(i—2a+3-a—3

解得：a=-I"或a=0,

經(jīng)檢驗a=0不是方程的根，應(yīng)舍去，

PE=-a?-3a=;

②當(dāng)4ABC?/\ECP時，

ABAC

京一訪,

即_3V2______,

——(I—2Q+3-a—3

解得:a=--或a=0,

經(jīng)檢驗a=0不是方程的根，應(yīng)舍去，

9Q

:.PE=-a—3G-—-.

4

【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,

解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

8.如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線夕=a/+be+3；與刀軸交于點人和。，與"軸交于點R點

P為直線AB上方拋物線上一動點,過點P作PQ，比軸于點Q，交線段于點河，已知點4(4,0),

且AC=5.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）求當(dāng)雙是PQ中點時的P點坐標；

⑶作PN，4B,垂足為N,連接PB,

請從下列兩個問題中任選一個問題完成.

問題①:求PN的最大值；問題②：求4PAB的面積最大值.

（4）連接r，當(dāng)①為何值時，四邊形QMP3為平行四邊形？四邊形能為菱形嗎？若能求出尸

點坐標;若不能，說明理由.

【答案】⑴沙=—■|-2：2+■工+3;

（2）點P（%）；

（3）選①當(dāng)z=2時，PN的最大值為孕，理由見解析;②4PAB的面積最大值為6.

（4）立=2時，四邊形是平行四邊形；不可能為菱形，理由見解析.

【分析】（1）可求出點。坐標為（一1,0）,將A、C點坐標代入解析式求出a、b的值，即可求出函數(shù)解析式；

⑵根據(jù)題意可得：MQ=Jy;QA=4—cQ>0）,有〃。區(qū)可證AAMQ?△ABO,可得票=

丫巴,即二^^■，這里的y=―yrc2+-^-x+3,可求出關(guān)于力的一元二次方程的解，從而求出力、y的

OJ34344

值，進而求出P點坐標；

⑶①設(shè)P（，,一；/+4+3）,有△4WQ?A4BO,則哭:=等《=曾■，從而求出人從仁與小一c）,

'44/AOAIDJDU4

MQ=1~（4-，）,PN=v-MQ=—%+3rc,再證4PMN?/\AMQ,有第=,即=

—苴力2+3力

T------，得到關(guān)于PN的函數(shù)關(guān)系式，再求最大值即可；

黜-⑼

②為定值，故求APAB面積最大值，相當(dāng)于求PN最大值,在①的基礎(chǔ)上再計算面積即可求解；

（4）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，當(dāng)刊以二。^時，四邊形OMPB是平行四邊形，此時有一春/+32；=3,求解出

7即可；此時，0口=2,1@=~!,那么0"=^^談互涯=￡,所以。6力。河,所以不可能為菱形.

【詳解】（1）解：???4（4,0）,人。=5,

.Jl6a+46+3=0

"[a-b+3=0'

解得,"J.

._32I9.Q

??y~~~^x+1力+3

⑵解：由題意知：點8（0,3）

當(dāng)7W時PQ中點時，MQ=-^-y;QA=4—x（x>0）

???PQ_L/軸

??.MQ//OB

??.△yWQ~AABO

.QA=MQ4—C=方y(tǒng)

"OAOBf]43

解得9X1=1,X2=4（舍去）.

.*.?/=—yXl2+-TX1+3=V，即點P(l，3).

"442

（3）解：由勾股定理得，AB=5,

?//\AMQ-/\ABO

.AQAMMQ4-x_AM_MQ

=，即

'9~^O~~ABBO4—5一^-

AM—-~（4—x）,MQ—~^~（4—6）,

PM—y—MQ=―1■力2+3]，

?：PN±AB,PQ_LOAf

：.4PNM=AMQA=90°,

?//PMN=/AMQ,

：.4PMN~AMQ,

-PK=PM_即且L=十+3工

IQAM-4-X式4_0

PN=-^x2+=—1■（工一2）2+率,

5555

當(dāng),=2時，PN的最大值為早；

5

②4B=J0A2+CR2=5,當(dāng)PN取最大值時,△R4B面積最大,

最大面積為：1-><5x卓=6;

/o

故APAB的面積最大值為6.

⑷解：?.?PM7/OB,

當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，

即，—+3*=3>

解得x—2,

；.，=2時，四邊形O7WPB是平行四邊形，

此時，OQ=2,MQ=1■，那么。河=再應(yīng)談=合

所以O(shè)BWOA7,所以不可能為菱形.

【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、坐

標與圖形、平行四邊形的性質(zhì)等知識點，構(gòu)建相似三角形，找到相應(yīng)線段的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.

9.已知在平面直角坐標系比加中，拋物線夕=a/+五+c(a/0)經(jīng)過點A(—l,0)、B(3,0)、。(0,3)三

點，點。和點。關(guān)于拋物線對稱軸對稱，拋物線頂點為點G.

備用圖

⑴求該拋物線的解析式；

(2)連接CG、BG,求△GCB的面積；

⑶在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一點平面內(nèi)是否存在一點N,使得C、G、M、N為頂點的四邊形

是菱形？若存在，求出點N的坐標，若不存在,請說明理由；

(4)連接4D、BD,將拋物線向下平移后，點。落在平面內(nèi)一點E處，過兩點的直線與線段40

交于點斤，當(dāng)與△48。相似時，直接寫出平移后拋物線的解析式.

【答案】⑴y=——+2x+3

⑵3_

⑶存在，(1,2)或(二1產(chǎn)，汽疸)

(4)y——X2+2c+■或v——X2+2x

【分析】(1)改設(shè)拋物線的解析式為交點式，代入點。坐標，求得a,進一步得出結(jié)果；

(2)可推出△BCG是直角三角形，進一步得出結(jié)果；

(3)只需△CGW是等腰三角形，分為當(dāng)MG=CG時，點Af是點。關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點；當(dāng)CM=

GM時，此時同在CG的垂直平分Affi■線上，可求得的解析式，進一步得出結(jié)果；

(4)分為當(dāng)點E在x軸的上方和在7軸上兩種情形：當(dāng)點H在7軸上方時，作DH±AB于作FQ±AB

于Q,根據(jù)4BDF?/XADB得出第=--，可求得。F的長，進而得出AF的長，可求得4AFQ是等腰直

AUIDL)

角三角形，進而求得FQ和AQ,進而得出直線BF的解析式，進一步得出結(jié)果；當(dāng)點E在多軸上時，進一步

得出結(jié)果.

【詳解】(1)解:設(shè)拋物線的解析式為：y=aQ+1)(2一3),

3=a?1x(—3),

,a=-1,

y――(x+1)(x—3)——x2+2c+3;

(2)解:y=-a?2+2x+3=—(x—I)2+4,

AG(l,4),

CG2=廿+(4—3)2=2,BG2=(1—3)2+4?=20,

?.?BC2=32+32=18,

：.BC2+CG2=BG2,

：./BCG=90°,

??.S,G*CG?BC=-1-XV2X3V2=3;

⑶解：當(dāng)四邊形CGW是菱形時，此時MG=CG,

由對稱性可得，

M(2,3),

???N(1,2),

如圖1,

當(dāng)四邊形CMGN是爰形，MC=MG,

作MH_LCG,

:.CH=GH,

vC(O,3),G(l,4),

.?.CG的中點坐標為：(1,]),

由(1)知：BC_LCG,

?：(7(0,3),5(3,0),

.?.B。的解析式為：g=—c+3,

^HM=-1,

...HW的解析式為:沙=一1+4,

由一x+4——x2+2x+3得，

3+V53一區(qū)應(yīng)士、

―2-'02=-2—(舍去),

-3+V55-V5

-y~2+4-2

.“/3+函5—>/5\

22

22

-1-V59+V5

綜上所述：N點的坐標為(1,2)或

22

(4)解:如圖2,

當(dāng)點E在力軸上方時，

作。H_LAB于作FQ_LAB于Q,

???ZBDF=4ADB,

：.4BDF?/XADB,

.BD=DF

,?布一詼’

VB(3,O),P(2,3),A(-1,O),

.-.BO=V(3-2)2+32=VTO,AD=V(2+l)2+32=3V2,DH=AH=

3,

,/DAH=/LADH=45°,

3A/2VW

：.DF=,NAFQ=90°—/FAQ=45°,

o

AF^AD-DF^3V2-^-=^-,

tjo

**.FQ—AQ—AF?cos/.FAQ—x—日,

OQ=AQ—OA-—1—

oo

???義卷），

r.直線BF的解析式為：y=—*+

1Q1

當(dāng)c=2時，y=-yx2+-1-=y,

：.ED=3-^=^,

：.平移后的拋物線的解析式為：夕=七+2a?+3-y=七+2c+。，

當(dāng)點E在力軸時，點F和點？1重合，

此時△BDF與4ABD全等，

二.拋物線的解析式為：y=—x2+2x,

綜上所述：當(dāng)4BDF與AABD相似時，平移后拋物線的解析式為：y=-x2+2x+'■或夕=—/+2x.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判

定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是分類討論.

10.如圖,拋物線y=ax1+bx+c經(jīng)過4（—3,0）,B（l,0）,C（0,-3）三點，點。為頂點，直線DE為對稱

軸，點E在刀軸上.

（1）求拋物線的解析式

（2）在直線DE上求一點尸，使點P到直線BD的距離等于到x軸的距離；

⑶在對稱軸左側(cè)，拋物線上存在一點河（不與A重合）.使S^ACM=求點河的坐標.

【答案】（1切=%?+2x—3;（2）P點坐標為（—1,1—A/5）或（一1,A/5+1）;點坐標為（—與或

f_1996\

【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

（2）分點P位于E點下方和上方兩種情況，過點P作PH_LBD,連接,利用三角形面積法及勾股定理列

方程求解；

⑶根據(jù)三角形面積公式求得要讓=第，然后利用平行線分線段成比例定理求得N點坐標，從而確定

b^BCMBQ

直線CN的解析式，然后求直線與拋物線的交點坐標，從而求解，注意分類討論

【詳解】解：⑴將/（一3,0）,B（1,O）,C（0,-3）代入解析式，得：

ea—3b+c=0（a=l

<a+b+c=O，解得：lb=2

[c=-3[c=-3

?,.拋物線的解析式為y=x^+2x-3

（2）如圖1,過點P作連接BP,由題意可知=

g="+26一3=（力+1）?—4

???拋物線頂點。的坐標為(-1,-4)，石點坐標為(-1,0)

:?DE=4,BE=2,在RtABDE中，BD=VBE2+DE2

=2V5

SABPD=\PD-BE=^BD.PH

①當(dāng)點P在E點下方，設(shè)PE=PH=a,則PD=4-a

S/\npn="^-(4—G)X2=；x2^/5a.,解得：a,=A/5^—1

.?.p點坐標為(一1,1一，^)

②當(dāng)點P在E點上方，設(shè)PE=PH=b,則PD=4+b

SABPO=:(4+b)X2=yX2斯6,解得：&=V5+1圖1

r.P點坐標為(一1,JK+1)

綜上，P點坐標為(-1,1—A/5)或(-1,、后+1)

(3)①如圖2,延長CM■交c軸于點N,過點A作AH_LC7V,過點B作BQ_LCN

S^ACM=.CM,S^BCM=^CM-BQ

.S^ACM_AH

S^BCMBQ

又**S^ACM~

.AH

??瓦一萬

?.?AH±CN,BQ±CN

：.AHIIBQ

:,普T器H用A為BN的中息

：.AN=AB=4,則N點坐標為（一7,0）

設(shè)直線CN的解析式為y=kx+b,^C,N兩點代入可得

6=-3

解得

直線CW的解析式為y=—於-3

17

尸一尸一3，解得:力1=062

由此可得7

—3"=-3'96

V2=—49?M

.??加點坐標為（一年，一招）

②如圖3,同理AHV/BQ,第=*=!，此時BN+AN=4B

BNBQ2

=4

/.⑷V=E，則ON=3—卷=1■，即N點坐標為(-4.0)

OOOO

設(shè)直線C/V的解析式為g=nz/+九，將C,N兩點代入可得

fn=-3fn=—3

河+九=0,解得［館=T

直線CN的解析式為夕=-3，一3

5

L卡-3，解得:/為:0電=一萬

由此可得

\=-3'\y-^

y=x~+2x—3yi

?5坐標為T趣）

綜上田點坐標為（—苧—瑞）或（T患）

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到平行線分線段成比例定理，一次函數(shù)、圖形的面積計算等,

掌握相關(guān)性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

11.如圖,拋物線y=義/+近+c與c軸交于A、B兩點（點A在點8左邊），與0軸交于點。.直線夕=

、?劣一2經(jīng)過B、C兩點.

⑴求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上的一動點，過點P且垂直于?軸的直線與直線BC及x軸分別交于點D、M.PN

垂足為N.設(shè)河（小，0）.當(dāng)點P在直線8c下方的拋物線上運動時,是否存在一點P,使

△PNC與△40。相似.若存在，求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】（l）y=~^-x2—^-x—2;

?M

【分析】(1)先求出3、。的坐標，再代入拋物線解析式中，即可求解；

(2)先求出P、河、。的坐標，再判斷出2Aoe與△COB相似，得出AOAC=AOCB,AACO二/OBC,①

當(dāng)△PNC?△AOC,得出ZFC7V=/ACO,繼而得出CP〃OB,即可得出結(jié)論;②當(dāng)AFNC、△84,得

出2PCN=/CAO,繼而得出PC=P。，即可得出結(jié)論；

【詳解】(1)針對于直線“=。2-2,

令2=0，則g=-2,

(7(0,—2),

令9=0,則0=ya;—2,

二力=4,

???6(4,0),

將點。坐標代入拋物線g=E/2+法+。中，得,

218+4b+c=。

|c=-2

.,?拋物線的解析式為y=-^-x2-^-x-2;

⑵存在，

???PN_LBC,垂足為N.設(shè)河(M，0),

P(^rYb,~'W?—^-?72-2),D(m,/館-2)

由⑴知，拋物線的解析式為y=yX2-^-x-2,

令g=0,則0=-yx2--|-x—2,

/.x=—1或6=4,

???點4—i,o),

/.OA=1,

VB(4,O),C(O,-2),

:.OB=4,OC=2,

.OA=OC

"~OC~OB，

???AAOC=ACOB=9Q°,

：./\AOC-/\COB,

：.AOAC=AOCB,AACO=ZOBC,

?/APM7與A4O。相似，

???①當(dāng)APNC?AAOC,

：.APCN=AACO,

??.APCN=AOBC,

：.CPIIOB