廣東莞佛深部分學(xué)校2025屆高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

廣東莞佛深部分學(xué)校2025屆高三

10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題+答案

高二數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，請將姓名、班級和學(xué)校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡指定的位置

上，并正確粘貼條形碼.

2.作答選擇題時，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目答案標(biāo)號的信息點(diǎn)框涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.作答非選擇題時，用黑色字跡的鋼筆或

簽字筆把答案寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷或草稿紙上，其答案一律無效.

3.本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試時間120分鐘.

4.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一個選項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.樣本數(shù)據(jù)1，1，5,7,8,8,9,io,io,11的平均數(shù)和第40百分位數(shù)分別為（）

A.7,7B.7,7.5C.7.5,7D.7.5,7.5

2.已知集合4={%0</<5},B=(xeZ|x-l|<2},則()

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{-1,0,1,2,3}

z—1

3.若——=2-i,則z=()

Z

1+i1+i1-i—1+i

A.——B.-------C.——D.

2222

4.已知向量a=B=若a_L(B-4a),b//[b+a^,則》+2y為()

A.12B.8C.9D.-4

已知a、/?￡]兀,|■兀)sin(o—￡)=cos(a+P),貝ijsin2a=()

5.

A.----B.1C.0D.-1

2

6.一個正四面體邊長為3,則一個與該正四面體體積相等、高也相等的圓柱的側(cè)面積為（）

A.342后B.3扇C.6岳D.9Gs

7.已知函數(shù)為/（%）={3,在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

ex+1+ln（x+2）,x>-1

第1頁/共4頁

A,[l,g]B.(-8,/C.[-1,1]D.(-00,1]

8.函數(shù)/(x)=|cosx|-gsin(2x-：)在[0,四]上的零點(diǎn)個數(shù)為()

66

A.3B.4C.5D.6

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個選

項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知變量X服從正態(tài)分布X~N(0,b2),當(dāng)cr變大時，則()

A.P(—g<X<f變小B,P(—g<X<；)變大

C.正態(tài)分布曲線的最高點(diǎn)下移D.正態(tài)分布曲線的最高點(diǎn)上移

10.已知命題P：對于正數(shù)a,b,\/5式0,+")使(5+。)-1。+">1.若P為假命題，則()

14

A.a-eb>1B.ab<—C.a+b<\D.ab2<—

ee

11.函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,若/(%+y+l)=/(%)+/(y)-加，且/(0)=〃，m,neZ,"〉機(jī)則

()

A.=B./(九)無最小值

40

c.Z/⑺=860〃—820機(jī)D./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(—2,2m—〃)中心對稱

Z=1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線/：y=fcr是曲線=和g(x)=lnx+a的公切線，則實(shí)數(shù)°=.

13.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,cJ=L2t/cosB=c-a.當(dāng)'^取最小值時,

b

則4=.

14.為了回饋長期以來的顧客群體，某健身房在五周年慶活動期間設(shè)計(jì)出了一種游戲活動.顧客需投擲一

枚骰子三次，若三次投擲的數(shù)字都是奇數(shù)，則該顧客獲得該健身房的免費(fèi)團(tuán)操券5張，且有2次終極抽獎

機(jī)會(2次抽獎結(jié)果互不影響)；若三次投擲的數(shù)字之和是6,12或18,則該顧客獲得該健身房的免費(fèi)團(tuán)操

券5張，且有1次終極抽獎機(jī)會；其余情況顧客均獲得該健身房的免費(fèi)團(tuán)操券3張，不具有終極抽獎機(jī)

會，已知每次在終極抽獎活動中的獎品和對應(yīng)的概率如下表所示.

獎品一個健身背包一盒蛋白粉

第2頁/共4頁

3

概率

44

則一位參加游戲活動的顧客獲得蛋白粉的概率為

三、解答題：本題共5小題，共77分.

15.如圖，在直角三角形POA中，P01A0,P0=2A0=4,將口PO4繞邊尸。旋轉(zhuǎn)到口P08的位

置，使NA03=TG，得到圓錐的一部分，點(diǎn)C為上的點(diǎn)，且見C=z1反反

（1）在48上是否存在一點(diǎn)。，使得直線。4與平面PC。平行？若存在，指明位置并證明，若不存在，

請說明理由；

（2）設(shè)直線0c與平面所成的角為8,求sin。的值.

16.已知數(shù)列｛““｝滿足3q+32/+…+3'4=Ml,3向+3.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)d=4,記也｝的前“項(xiàng)和為（，求證：一4一＜7；（士一.

冊〃+12〃+1

17.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)（1,交）在橢圓C：1+4=1,（?！?〉0）上，過左焦點(diǎn)片和上頂點(diǎn)A的直

2ab

線4與橢圓相交于點(diǎn)4B.記A,8的中點(diǎn)為有壇M=-g.過上頂點(diǎn)A的直線4與橢圓相交于點(diǎn)c

（C點(diǎn)異于8點(diǎn)）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求AABC面積的最大值，

18.甲乙兩人參加知識競賽活動，比賽規(guī)則如下：兩人輪流隨機(jī)抽題作答，答對積1分，答錯不得分：然

后換對方抽題作答，甲乙兩人各完成一次答題記為一輪比賽.比賽過程中，有選手領(lǐng)先2分者立即晉級，

比賽結(jié)束（不管該輪比賽有沒有完成）.已知甲答對題目的概率為:，乙答對題目的概率為0,答對與否相

第3頁/共4頁

互獨(dú)立，抽簽決定首次答題方，已知第一輪答題后甲乙兩人各積1分的概率為工.記比賽結(jié)束時甲乙兩人

6',''

的答題總次數(shù)為22).

(1)求P；

(2)求在〃=4的情況下，甲晉級的概率；

(3)由于比賽時長關(guān)系，比賽答題不能超過3輪，若超過3輪沒有晉級者，則擇期再進(jìn)行比賽.求甲在3

輪比賽之內(nèi)成功晉級的概率.

19.函數(shù)/(x)=ln尤，g(x)=%2-x-m+2.

(1)若加=e,求函數(shù)E(x)=/(x)—g(x)在［；,2］的最小值；

(2)若f(x)+g(x)</一(無一2)S在無e(0用。>1)上恒成立時,實(shí)數(shù)m的取值范圍中的最小值為

In2,求實(shí)數(shù)r的值.

第4頁/共4頁

高二數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，請將姓名、班級和學(xué)校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡指定的位置

上，并正確粘貼條形碼.

2.作答選擇題時，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目答案標(biāo)號的信息點(diǎn)框涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.作答非選擇題時，用黑色字跡的鋼筆或

簽字筆把答案寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷或草稿紙上，其答案一律無效.

3.本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試時間120分鐘.

4.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一個選項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.樣本數(shù)據(jù)1，1，5,7,8,8,9,io,io,11的平均數(shù)和第40百分位數(shù)分別為（）

A.7,7B.7,7.5C.7.5,7D.7.5，7.5

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和第40百分位數(shù)判斷即可.

2x1+5+7+2x8+9+2x10+11

【詳解】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是==7

10

7+8

由40%x10=4,得樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為——=7.5.

2

故選：B

2.已知集合A={x[0</<5},B=^xeZ||x-l|<2j,則4口3=（）

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{-1,0,1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式化簡集合A8,再利用交集的定義求解即可.

【詳解】集合A={x|0<%2<5}={x|—百<%<0或0<%<6},

B={xeZ||x-11<2}={xeZ|-2<x-1<2}={xeZ|-1<x<3}={0,1,2},

所以AcB={l,2}.

第1頁/共19頁

故選：c

7—1

3.若——=2-i,貝ijz=()

z

1+i1+i1-i

A.——B.-----C.——

222

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得出(l-i)z=-1,利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得復(fù)數(shù)z.

【詳解】因?yàn)槿?2—i,則z—l=(2—i)z,可得(1—i)z=-1,

11+i11.

所以，z=-口----------=------]

(l-i)(l+i)22-

故選：B.

4.已知向量a=b=(x,y),若—町，bll(b+a^,則無+2》為()

A.12B.8C.9D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示以及平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于％、y的方程組，解出這兩

個未知數(shù)的值，即可求得x+2y的值.

【詳解】因?yàn)閍=b=(%,j),則B—4a=(x,y)—4(l,l)=(x-4,y—4),

?

聯(lián)立①②可得x=y=4,因止匕，x+2y=4+2x4=12.

故選：A.

5.已知a、/3eH4sin(a-0=cos(a+p),貝!Jsin2a=()

1

A.——B.1C.0D.-1

2

第2頁/共19頁

【答案】B

【解析】

【分析】求出a—的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,推導(dǎo)出cos(a—￡)=sin(a+￡),

再利用兩角和的正弦公式可求出sin2a的值.

【詳解】因?yàn)閟in(a—#=cos(a+0,貝ilsin^a—￡)=cos2(a+￡),

所以，cos2(<z-^)=l-sin2((z-^)=l-cos2((z+^)=sin2((z+^),

因?yàn)閍、)3G,則—]<一￡<—兀，

TT7T

所以，2兀<。+/?<3兀，——<a—§<一，

22

貝ijcos(a—月)>0,sin(a+〃)〉O,所以，cos(a-￡)=sin(a+/?),

所以，sinla-sin[(i+￡)+(0一￡)]=sin(a+￡)cos(a—￡)+cos(a+￡)sin(a—/?)

=sin2(a+￡)+cos2(a+￡)=1.

故選：B.

6.一個正四面體邊長為3,則一個與該正四面體體積相等、高也相等的圓柱的側(cè)面積為()

A.3出后B.3房C.6岳D.9Gs

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出正四面體的高和體積，再利用圓柱的體積公式及側(cè)面積公式求解即可.

【詳解】在正四面體A3CD中，。是正△5CD的中心，則49,底面BCD,

而3O=gx3xsin60°=G,則正四面體A3CD的高-BO?=a，

體積匕BCO=JS口B°.AO=』義走X32XJ^=W2,

3UZ>Viz3

設(shè)圓柱的底面圓半徑為「，依題意，a2.遍=2徨，解得「=工班，

4

所以該圓柱的側(cè)面積S=2兀r?曰_3J26兀.

2j兀

故選：A

第3頁/共19頁

A

D

八—九3+a%?+%%<—i

7.已知函數(shù)為/(%)=3,在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

ex+1+ln(x+2),x>-1

A.[l,g]B.(-co,—]C.[一弓]D.(-oo,1]

【答案】D

【解析】

【分析】利用/(*)=3/+。/+*在(_",_1)上單調(diào)遞增，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出。的范圍，再利用分段函數(shù)是

增函數(shù)求出范圍即可.

【詳解】依題意，函數(shù)/(*)=［/+依2+*在(_",_1)上單調(diào)遞增，

則/'(%)=x2+lax+1>0對恒成立，

11

即VxW-1,x29+1>-laxo2〃V-(%+—),而函數(shù)y=-(工+-)在(-8,-1］上單調(diào)遞減，

X%

即—(x+4)22恒成立，因此2aW2,解得aWl,

X

顯然函數(shù)/(x)=ei+ln(尤+2)在［-1,+8)上遞增,

47

又函數(shù)/(x)在R上遞增，則a—解得。三耳，于是。<1,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故選：D

8.函數(shù)/(x)=|cosx|-6sin(2x—今在［0,巨E］上的零點(diǎn)個數(shù)為()

66

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】求出給定函數(shù)的周期，在區(qū)間［0,汨上利用導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)個數(shù)即可得解.

第4頁/共19頁

【詳解】函數(shù)丁=|85X|,丁=65由(2%—2)都是周期函數(shù)，其最小正周期為兀，

6

則函數(shù)/(x)的最小正周期為兀，

當(dāng)0V%K巴時，/(x)=cosx-V3sin(2x-—),求導(dǎo)得了'(%)=-sin%-26cos(2x-—),

266

當(dāng)0V%V巴時，一三42%—巴《乙，r(x)<0,函數(shù)/(%)在(0,9上單調(diào)遞減，

36623

/A=COSY-V3sin(2xy-^)=0,函數(shù)f(x)在(0月上有唯一零點(diǎn)；

66663

當(dāng)史<x?殳時,令g(x)=/'(x),求導(dǎo)得g'(x)=-cosx+4Gsin(2x-K),

326

—<2x--<—,273<4A/3sin(2x--)<4^/3,而OVcosxc」，則g'(%)〉0,

26662

函數(shù)/'(X)在(［，$上單調(diào)遞增，而/X-)=—@<o,r(4)=V3-I>o-

32322

存在不€《仁)，使得/'(%)=0,當(dāng)］<x<x°時，r(x)<0,

7T

當(dāng)時，r(x)>o,

函數(shù)/(%)在q,%)上單調(diào)遞減，在(/申上單調(diào)遞增，/(%0)</(!)<0,

/(x0)</(|)=-^<o,函數(shù)fM在(*三上無零點(diǎn)；

當(dāng)(巴，兀］時，f(x)=-cosx-V3sin(2x--),求導(dǎo)得f\x)=sinx-2Gcos(2x-—),

266

./兀5兀r,—兀/5兀3兀r/八兀、/八._/、八

當(dāng)x￡(一,—］時，2%—€(—,—］,cos(2x—)V0,sinx>0>f(冗)>0,

266626

函數(shù)/(X)在弓,g］上單調(diào)遞增,/《)<0"(g)=孚〉0,

77Sir

則函數(shù)/(X)在(￡一］上存在唯一零點(diǎn)；

26

當(dāng)次￡(里,兀］時，令h(x)=f'(x),求導(dǎo)得/(尤)=cos%+4gsin(2%-3,

66

—<2x~—<——,-4A/3<4^/3sin(2x--)<-273,而cos%<0,則//(x)<0,

2666

STT57rI

函數(shù)/'(x)在(^，汨上單調(diào)遞減，而/'(?)=；〉0"'(無)=-3<0,

662

57rST?

存在石6(二,兀)，使得/(占)=0,當(dāng)L<X<X］時，f'(x)>0,

66

當(dāng)兀時，f\x)<0,

第5頁/共19頁

函數(shù)/（X）在（g,Xi）上單調(diào)遞增，在（%,兀］上單調(diào)遞減，/（系）〉0,/（兀）=1+，〉0,

5兀

函數(shù)/（X）在（L，汨上無零點(diǎn);

6

從而函數(shù)/（X）在［0,7T］有且只有2個零點(diǎn)，函數(shù)/（x）在m,2兀］有2個零點(diǎn),

.7兀,人工J—13兀7兀r八，13兀、八

在［2兀,一二1］上有1個零點(diǎn)，而一丁w［2兀,：且/（3—）=0,

3636

所以函數(shù)/（x）=1cosA-I-V3sin（2x一今在［0,—］上有5個零?點(diǎn)

66

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解零點(diǎn)個數(shù)，探討函數(shù)的周期，再在區(qū)間［0,汨上分段討論零點(diǎn)個數(shù)是關(guān)鍵.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個選

項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.已知變量X服從正態(tài)分布X~N（0,tr2）,當(dāng)cr變大時，則（）

A.P（—L<x<L）變小B.P（—L<X<L）變大

2222

C.正態(tài)分布曲線的最高點(diǎn)下移D.正態(tài)分布曲線的最高點(diǎn)上移

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.

【詳解】變量X服從正態(tài)分布乂~2\^0。2）,當(dāng)o■變大時，峰值逐漸變小，正態(tài)曲線逐漸變“矮胖”，

隨機(jī)變量X的分布逐漸變分散，因此P（-g<X<；）變小，正態(tài)分布曲線的最高點(diǎn)下移，AC正確，BD

錯誤.

故選：AC

10.已知命題P：對于正數(shù)。，b,\//€［0,+。）使（5+。"3>1.若P為假命題，則（）

4

A.〃.e">1B.ab<—C.a+b<1D.ab?—-

ee

【答案】BD

【解析】

【分析】由命題P結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得心^〉1，再由命題P是假命題可得aWe"，然后借助導(dǎo)數(shù)逐項(xiàng)分

析判斷即得.

第6頁/共19頁

A+fe

［詳解1Vx0e［0,+e)使(x0+a)-e°>1<=>^(4+。)+巾>1qln(x0+a)+x0+b>0,

而函數(shù)/Uo)=ln(Xo+a)+/+b在［0,+8)上單調(diào)遞增，

/(xo)min=ina+b=\n(a-eh)>0,

解得〉1，

又命題P是假命題，

于是aKe"，a>0,b>0,A錯誤；

對于B,ab<加"，

令函數(shù)gS)=g,求導(dǎo)得g's)=k，

當(dāng)0<b<l時，g'(6)>0,

當(dāng)b>l時,g'S)<0,

函數(shù)gS)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，

g3)〈g(l)=J,B正確；

e

對于C,取。=工,6=1,滿足a〈e"，而。+6>1,C錯誤；

4

對于D,ab1<b2Qb>

令函數(shù)9(。)=?，求導(dǎo)得"

ee

當(dāng)0<b<2時,g'3)>0,

當(dāng)b>2時,g'S)<0,

函數(shù)g(6)在(0,2)上遞增，在(2,+s)上遞減，

4

g(Z?)<g(2)=—,D正確.

e

故選：BD

11.函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(x+y+1)=f(x)+f(y)-m,且/(0)=〃，m,neZ,機(jī)則

()

A./(-l)=-mB./(x)無最小值

40

c.^/(0=860n-820mD.7(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(—2,2機(jī)—〃)中心對稱

1=1

第7頁/共19頁

【答案】BCD

【解析】

【分析】令％=-1?=0計(jì)算判斷A；令y=0得/(x+l)=/(x)+〃—m，取x為正整數(shù)，利用等差數(shù)列

前九項(xiàng)和計(jì)算判斷C；

令丁=-4-x得/(x)+/(-4—x)=4根—2”，結(jié)合中心對稱的定義判斷D；對選項(xiàng)C中z?取負(fù)整數(shù)，求出

/(0并確定值的情況判斷B.

【詳解】對于A,令x=—l,y=O,得/(())=/(—1)+/(0)-機(jī)，解得/(一1)=機(jī)，A錯誤；

對于C,令y=0,/(x+1)=/(%)+/(O)-m=/(x)+n-m,/(I)=2n-m,

當(dāng)*N*時,f(i+l)-f(i)=n-m,數(shù)列｛/(，)｝是等差數(shù)列，

4040x39

Z/(0=40/(1)H---------x(n-m)=40(2〃-m)+780(〃-m)=860〃一820m,C正確；

/=i2

對于D,令y=_4—x,得/(_3)=/(x)+/(_4-x)_〃z,令x=-3,y=3,

得/(D=/(-3)+/(3)-m,即/(一3)=/(I)-/(3)+m=-2(n-m)+m=3m-2n,

因此/(x)+/(—4—x)=/(—3)+機(jī)=4加一2〃，函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一2,2加一〃)中心對稱，D正

確；

對于B,由選項(xiàng)C知，取7eZ,/(z+1)-/(z)=n-m,

當(dāng)，eZ,iW0時，

/(0=/(O)+[/(-l)-/(O)]+[/(-2)-/(-l)]+-+[/(O-/(i+l)]=n+(W-n)(-0,

由“一加＞0知，隨著整數(shù)，無限減小，="+(“-m)，無限減小，則函數(shù)/(x)無最小值，B正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镈VxeD,

①存在常數(shù)a,6使得/0)+/(2。一%)=26=/(。+》)+/(。一；0=2。，則函數(shù)丁=/(%)圖象關(guān)于點(diǎn)

(a,b)對稱.

②存在常數(shù)a使得/(x)=/(2a-x)o于(a+x)=f(a-x),則函數(shù)y=/(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

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12.已知直線/：丁=右是曲線/(x)=e"i和g(x)=lnx+a的公切線，則實(shí)數(shù)〃=.

【答案】3

【解析】

［分析］先設(shè)在y=上的切點(diǎn)，然后求出切點(diǎn)和切線，然后再設(shè)在y=g(%)上的切點(diǎn)，即可求出“的值.

【詳解】設(shè)直線/與曲線y=/(x)相切于點(diǎn)(％，%)，

由r(x)=e>i,得左=/(%)=蜻"，因?yàn)?與曲線“力=產(chǎn)1相切,

v=e'b+ijv

所以消去為，得eM/=eM,解得x0=L

[為=e°,

設(shè)/與曲線y=g(x)相切于點(diǎn)(X],yj,由g，(x)=L得k=e?12,

一，即e2x.=1,

JC%

因?yàn)?孫又)是/與曲線g(x)=lnx+a的公共點(diǎn),

y=ex,°1

所以《11消去%,得e2%=lnxi+a,即1=也^+。，解得。=3.

%=1叫+”，e

故答案為：3.

13.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c且2acos5=c-a.當(dāng)土也取最小值時，

b

則A=.

77

【答案】-

4

【解析】

【分析】由已知2。<：058=。-。結(jié)合余弦定理得0=￡-0,代入弛網(wǎng)結(jié)合基本不等式得取得最小值

ab

的取等條件為Z?=6//,從而。=〃，進(jìn)而求出A.

22—A2扇

【詳解】由2QCOS5=C—。及余弦定理得：2aa=c—a,整理得c=2~—o,

a

b2Q

----ci+3a,當(dāng)且僅當(dāng)2=在

則c+3aa--------即6=夜。時取等

ab

bb

號,

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止匕時c=^——a=———a=a，a2+c2=2a2=b1，則5=C=A=；

aa24

77

故答案為：一

4

14.為了回饋長期以來的顧客群體，某健身房在五周年慶活動期間設(shè)計(jì)出了一種游戲活動.顧客需投擲一

枚骰子三次，若三次投擲的數(shù)字都是奇數(shù)，則該顧客獲得該健身房的免費(fèi)團(tuán)操券5張，且有2次終極抽獎

機(jī)會（2次抽獎結(jié)果互不影響）；若三次投擲的數(shù)字之和是6,12或18,則該顧客獲得該健身房的免費(fèi)團(tuán)操

券5張，且有1次終極抽獎機(jī)會；其余情況顧客均獲得該健身房的免費(fèi)團(tuán)操券3張，不具有終極抽獎機(jī)

會，已知每次在終極抽獎活動中的獎品和對應(yīng)的概率如下表所示.

獎品一個健身背包一盒蛋白粉

3j_

概率

44

則一位參加游戲活動的顧客獲得蛋白粉的概率為

【解析】

【分析】事件4="顧客有兩次終極抽獎機(jī)會"，事件兒="顧客有一次終極抽獎機(jī)會”，求出P（A）=:，

O

=利用全概率公式得到答案.

【詳解】記事件A="顧客有兩次終極抽獎機(jī)會"，事件&=“顧客有一次終極抽獎機(jī)會"，事件8=“獲得

蛋白粉”，

則尸（A）=X，尸⑵4）=1弋了P（叫）=；,

Oo4104

事件4包括的事件是：“3次投擲的點(diǎn)數(shù)之和為6”，“3次投擲的點(diǎn)數(shù)之和為12”，“3次投擲的點(diǎn)數(shù)之和為

18”，

①若“3次投擲的點(diǎn)數(shù)之和為6”，則有“1,1,4”、“1,2,3”、“2,2,2”三種情形，故共有C；C；+A；+1=10

種；

②若“3次投擲的點(diǎn)數(shù)之和為12”，則有“1,5,6"、"2,5,5”、“2,4,6”、“3,4,5”、“3,3,6”、“4,4,4”六種

情形,

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故共有A；+C；C；+A；+A：+C；C：+1=25種；

③若“3次投擲的點(diǎn)數(shù)之和為18”，則只有“6,6,6”一種情形,

…10+25+11

則P(4)=-—=--

所以p(5)=尸(A)尸但4)+尸(4)尸(5|A)=r記+^^=訕.

,37

故答案為：——

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用全概率公式求隨機(jī)事件2的概率問題，把事件2分拆成兩個互斥事件A3與初的

和，再利用條件概率公式計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題：本題共5小題，共77分.

15.如圖，在直角三角形尸。4中，POLAO,PO=2AO=4,將口POA繞邊尸。旋轉(zhuǎn)到口「。8的位

。1

置，使NAOB=T，得到圓錐的一部分，點(diǎn)C為上的點(diǎn)，且qc=a反反

（1）在2B上是否存在一點(diǎn)。，使得直線。1與平面PCD平行？若存在，指明位置并證明，若不存在，

請說明理由；

（2）設(shè)直線OC與平面所成的角為6,求sin。的值.

【答案】（1）存在，42=1；

AB3

（2）2同.

17

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，證得P。，平面A05,以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，再由線面平行的性

質(zhì)，結(jié)合向量計(jì)算推理即得.

（2）利用（1）中信息，求出平面的法向量，再利用線面角的向量法求解即得.

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【小問1詳解】

依題意，POLAO,POLBO,4。門3。=0,4。,3。＜=平面4。5,則P。，平面A05,

G1

由NA03=」，耍C」UB,得NAOC=巴，ZBOC^-,即CO，50,

3462

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OC,OB,OP分別為羽二z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(2,0,0),5(0,2,0),P(0,0,4),A(V3,-1,O).OA=(A-1,0),AB=(-6,3,0),

假設(shè)在AB上存在一點(diǎn)D,使得直線OA與平面PC。平行，

由。4u平面AO3,平面AOBA平面PCO=CD,得CD//OA,

令&=語=(-也13,0),則。((1T)百,3”1,0),CD=((1-0A/3-2,3?-1,0),

于是&Z嵯二Z=&二1,解得《=無，

V3-13

所以在4D上存在一點(diǎn)。，使得直線。4與平面PCO平行，—

AB3

【小問2詳解】

由(1)知，AB=(-V3,3,0),PB=(0,2,-4),OC=(2,0,0)，

-n-AB=-yj3x+3y=0

設(shè)平面243的法向量”=(%,y,z)，貝叫一^，

[n-PB=2y-4z=Q

令z=l,得x=2百，丁=2,

所以］=(273,2,1)為平面PAB的一個法向量,

-----?In.0CI4百_2同

所以sin9=|cos(n,OC)\=————r-

|H||OC|717x2—17

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16.已知數(shù)列｛4｝滿足+32%+…+3"an=(21)43向+3

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)d=3,記｛4｝的前幾項(xiàng)和為《，求證：—<Tn<^~

4n+12n+l

【答案】(1)a0=n

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和的關(guān)系求解；

,1111144(11、

(2)由4=三■>—^~不=-----<——-=2,利用裂項(xiàng)相消

-,bn=—2=22

nn\n+\)nn+1n4n4?-1^2n-l2n+l)

法求解.

【小問1詳解】

小上〔I（2xl-l）x31+I+3

解：當(dāng)〃=1時，3%=---------------=3,

所以％=1；

、,，cqq，（2/7-1）-3"+1+3

當(dāng)“22時，由3q+32%+…+3”/-----匕-------，

得3%+32%+…+3"T%_]=——---------，

由一加竹f（2n-l）-3n+1+3\2（n-l}-l\-3n-M+3

兩式相減得3"a=--------------——L_J------------=〃.3”，

"44

所以4=n,

當(dāng)〃=1時也成立.所以a.=〃.

【小問2詳解】

,11

證明：由（1）知"=—an7=二n，

,1111

所以4==>（,1、=-----77'

nn^n+l）nn+1

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所以7；="+偽+…+〃〉1一g+9一;+…+:一占n

=1———

〃+1〃+1

714411

又"〃=-T---y<-----=2

n24n24n2-12n—l2n+l

所以(=4+2+…+勿<2。-3+21-口+-一+2[.1

2n+l

=2-4-n

2n+l

n4〃

綜上：——<T<-------

n+\n27/+1

口r2

17.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)（1，注）在橢圓C：j+=1,（a〉A(chǔ)〉O）上，過左焦點(diǎn)耳和上頂點(diǎn)A的直

2a-

線4與橢圓相交于點(diǎn)A,B.記A,2的中點(diǎn)為M,有4.M=—g.過上頂點(diǎn)A的直線4與橢圓相交于點(diǎn)C

（C點(diǎn)異于3點(diǎn)）.

（1）求橢圓C的方程;

（2）求AABC面積的最大值,

2

【答案】（1）—+/=1；

2

⑵2』+2

-3

【解析】

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)6（-c,0）,求出直線/1方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再結(jié)合書籍求出。力即

得.

（2）由（1）求出直線/］方程及線段A5長，再求出橢圓上的點(diǎn)到直線4的距離，并列出三角形面積的函數(shù)

關(guān)系，進(jìn)而求出最大值.

【小問1詳解】

b

設(shè)耳（—c,0）,而點(diǎn)4。/），則直線4的方程為丁=—%+匕，

c

y=-x-\-b

c112

由＜消去y并整理得(0+-v)x2+—%=o,則點(diǎn)口的橫坐標(biāo)為

22

2=1acc4+C

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卜「21

其縱坐標(biāo)為等F，由自“=—7,得c/2=2bc，而/=/+°2,因此6=C,a=6b，

a+c2

橢圓C:二+y2=/,由點(diǎn)(1,1)在橢圓C上，得廿=工+(也)2=1，

2222

所以橢圓C的方程為三+必=1.

2

【小問2詳解】

由(1)直線4：x—y+l=O,點(diǎn)M(—g,；),A(O,l),\AB\=2\AM\=2^(1)2+(1-1)2=,

設(shè)點(diǎn)C(V2cos0,sin0)(0eR),則點(diǎn)C到直線AB距離

[IV2cos-sin+11|Gcos(O+0)+l|,6田…

d=!------------------L=J-------、匚+~L,其中銳角。由tan9二上一確定，

V2A/22

因此AABC的面積S=-\AB\-d=速1=2函8s('+0)+l|w273+2,當(dāng)且僅當(dāng)cos(，+^)=1

2333

時取等號，

所以△ABC面積的最大值是2用2.

18.甲乙兩人參加知識競賽活動，比賽規(guī)則如下：兩人輪流隨機(jī)抽題作答，答對積1分，答錯不得分：然

后換對方抽題作答，甲乙兩人各完成一次答題記為一輪比賽.比賽過程中，有選手領(lǐng)先2分者立即晉級，

比賽結(jié)束(不管該輪比賽有沒有完成).已知甲答對題目的概率為:，乙答對題目的概率為p,答對