2024-2025學(xué)年河北省唐山一中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河北省唐山一中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè){i、j，k}是單位正交基底，已知向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中a=i+jA.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,12,10) D.(4,3,2)2.過點(diǎn)P(?1,2)且方向向量為a=(?1,2)的直線方程為(

)A.2x+y=0 B.x?2y+5=0 C.x?2y=0 D.x+2y?5=03.已知A(2,3)，B(?1,2)，若點(diǎn)P(x，y)在線段AB上，則yx?3最大值為

(

)A.1 B.35 C.?124.已知n1=(?1,9,1)，n2=(m,?3,2)，n3=(0,2,1)，若A.3 B.1 C.5 D.75.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為ABA.15 B.55 C.26.已知三條直線l1：ax?by+4=0，l2：(a?1)x+y+b=0，l3：bx+2y+a=0，若l1⊥l2A.2 B.4 C.2或1 D.4或17.在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，四面體SABC各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為S(2,2,4)，A(6,6,4)，B(6,6,0)，C(2,6,4)，則該四面體外接球的表面積是(

)A.12π B.16π C.32π D.48π8.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提的定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0)，B(0,4)，若家歐拉線方程為x?y+2=0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(

)A.(?4,0) B.(?2,0) C.(?3,0) D.(?4,2)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有AB+BC+CD+DA=0

B.若a//b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a=λb

C.若AB,CD共線，則AB//CD

D.對空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若OP=x10.已知點(diǎn)M(?1,1)，N(2,1)，且點(diǎn)P在直線l：x+y+2=0上，則(

)A.存在點(diǎn)P，使得PM⊥PN B.存在點(diǎn)P，使得2|PM|=|PN|

C.|PM|+|PN|的最小值為29 D.||PM|?|PN||最大值為11.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，E，F(xiàn)分別為BB1，A.A1F⊥平面AD1E

B.平面AD1E截正方體ABCD?A1B1C1D1的截面面積為18三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若圓C1：(x+1)2+(y?2)2=r2(r>0)上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線13.如圖，二面角α?l?β的棱長上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱l，若AB=4，AC=6，BD=8，若平面α與平面β的夾角為π3，則CD的長為______．14.如圖，棱長為3的正方體的頂點(diǎn)A在平面α上，三條棱AB，AC，AD都在平面α的同側(cè)，若頂點(diǎn)B，C到平面α的距離分別為2，2，則頂點(diǎn)D到平面α的距離是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知直線m：(a?1)x+(2a+3)y?a+6=0，直線n：x?2y+3=0．

(1)求證：直線m過定點(diǎn)；

(2)當(dāng)a=0時(shí)，直線l過m與n的交點(diǎn)，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線l的方程．16.(本小題15分)

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC邊上的高AD所在直線的方程為x?2y+2=0，∠A的平分線所在直線的方程為y=0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3)．

(1)求直線BC的方程；

(2)求直線AC的方程及點(diǎn)C的坐標(biāo)．17.(本小題15分)

已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(?1,1)和B(?2,?2)，且圓心在直線l：x+y?1=0上．

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)(?2,1)作圓C的切線，求該切線方程．18.(本小題17分)

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，A1A=AB=AC=3，B1C∩BC1=P，G是△A1B1C1的重心，點(diǎn)Q在線段AB(不包括兩個(gè)端點(diǎn))上．

(1)若Q為19.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，AD=AB=PA=PB=2，BC=1，AC⊥PD，M為線段PD中點(diǎn)，線段PC與平面ABM交于點(diǎn)N．

(1)證明：平面PAB⊥平面ABCD；

(2)求平面PAC與平面ABM夾角的余弦值；

(3)求四棱錐P?ABNM的體積．

參考答案1.A

2.A

3.C

4.B

5.C

6.D

7.D

8.A

9.BCD

10.BCD

11.AB

12.(3,5)

13.214.515.(1)證明：直線m：(a?1)x+(2a+3)y?a+6=0，化為a(x+2y?1)+(?x+3y+6)=0，

因?yàn)閍∈R，方程恒成立，可知x+2y?1=0?x+3y+6=0，解得x=3y=?1，直線恒過定點(diǎn)(3,?1)．

(2)解：由?x+3y+6=0x?2y+3=0，解得x=?21y=?9，即m與n的交點(diǎn)為(?21,?9)．

當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，直線l的方程為3x?7y=0；

當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l的方程為，將(?21,?9)代入得b=?12，

所以直線l的方程為x?y+12=0．

故滿足條件的直線l的方程為3x?7y=016.解：(1)∵BC與AD互相垂直，且AD的斜率為12，

∴直線BC的斜率為k=?2，

結(jié)合B(1,3)，可得BC的點(diǎn)斜式方程：y?3=?2(x?1)，

化簡整理得：2x+y?5=0，

所以直線BC的方程為2x+y?5=0．

(2)由x?2y+2=0和y=0聯(lián)解，得A(?2,0)

由此可得直線AB方程為：y?03?0=x+21+2，即y=x+2，

∵AB，AC關(guān)于角A平分線x軸對稱，

∴直線AC的方程為：y=?x?2，

∵直線BC方程為y=?2x+5，

∴將AC、BC方程聯(lián)解，得x=7，y=?9，

因此，可得17.(1)解：因?yàn)辄c(diǎn)A(?1,1)和B(?2,?2)，所以線段AB的中點(diǎn)為(?32,?12)，kAB=3，

則線段AB的中垂線方程為y+12=?13(x+32)，即

x+3y+3=0，

由x+3y+3=0x+y?1=0，解得x=3y=?2，則圓心為(3,?2)，r=(3+1)2+(?2?1)2=5，

所以圓的方程為：(x?3)2+(y+2)2=25；

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=?2，

則圓心到直線的距離18.(1)證明：連接C1G并延長，交A1B1于點(diǎn)D，

則D為A1B1的中點(diǎn)，連接BD，DQ，

因?yàn)锳BC?A1B1C1為直三棱柱，

所以平面ABC/?/平面A1B1C1，A1B1/?/AB，A1B1=AB，

又D，Q分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，

所以A1D//BQ，A1D=BQ，

所以四邊形BQA1D為平行四邊形，

所以BD//A1Q，

又因?yàn)槠矫鍯QDC1∩平面ABC=CQ，平面CQDC1∩平面A1B1C1=CD，

所以C1D//CQ，因?yàn)镃1D?平面A1CQ，CQ?平面A1CQ，

所以C1D/?/平面A1CQ，同理可得BD/?/平面A1CQ，

因?yàn)锽D，C1D?平面BDC1，且BD∩C1D=D，

所以平面BDC1/?/平面A1CQ，

又PG?平面BDC1，所以PG//平面A1CQ；

(2)解：以A為原點(diǎn)，分別以AC，AB，AA1所在直線為x，y，z軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

19.解：(1)證明：∵PA=AD，且M為線段PD中點(diǎn)，∴AM⊥PD，

又AC⊥PD，AC∩AM=A，

∴PD⊥平面ACM，又CM?平面ACM，

∴PD⊥CM，∴PC=CD=5，

取AB的中點(diǎn)O，連接OP，OC，

∵AB=PA=PB=2，∴PO⊥AB，PO=3,OC=2，

∴PO2+OC2=PC2，∴PO⊥OC，又AB∩OC=O，

∴PO⊥平面ABCD，又PO?平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABCD；

(2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：

則A(?1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,3),D(?1,2,0),M(?12,1,32)，

∴AP=(1,0,3),AC=(2,1,0),AB=(2,0,0),AM=(12,1,