2020-2021學(xué)年安徽省六安市第一中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages33頁2020-2021學(xué)年安徽省六安市第一中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．從數(shù)字1，2，3，4中，有放回地抽取2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于4的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得出所有的兩位數(shù)的個數(shù)，再列舉出其各位數(shù)字之和為4的兩位數(shù)，根據(jù)古典概率公式可得選項.【詳解】兩位數(shù)共有個，其各位數(shù)字之和為4的兩位數(shù)有：13，31，22共3個數(shù)，所以各位數(shù)字之和等于4的概率為，故選：D.2．若直線與直線平行，則它們之間的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩條直線平行可得，求出，再利用兩平行線之間的距離即可求解.【詳解】直線與直線平行，則，且，求得，兩直線即為直線與直線，它們之間的距離為，故選：C．3．已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將，兩邊平方，利用空間向量的數(shù)量積即可得選項.【詳解】設(shè)與的夾角為．由，得，兩邊平方，得，所以，解得，又，所以，故選：C．4．如圖，在矩形中，，直線的斜率為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用直角三角形求，設(shè)直線的傾斜角為，由直線的傾斜角為，應(yīng)用兩角和正切公式即可求直線的斜率.【詳解】由題意，在中，，，∴，即.設(shè)直線的傾斜角為，則，∴直線的傾斜角為，故.故選：A.5．已知點，，點在軸上，則的最小值為（）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】利用對稱性，結(jié)合兩點間線段最短進行求解即可.【詳解】點，，點在軸上，點關(guān)系軸的對稱點為，.故選：B.6．下列敘述錯誤的是（）A．互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件B．甲?乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿镃．從裝有個紅球和個黑球的口袋內(nèi)任取個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事件D．在件產(chǎn)品中，有件一等品和件二等品，從中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率為【答案】C【分析】對于A，由互斥事件與對立事件的意義及關(guān)系可作判斷；對于B，由給定條件求出甲不輸?shù)母怕识髋袛?；對于C，兩個事件有一紅一黑的公共基本事件而作判斷；對于D，計算給定事件概率而作判斷.【詳解】對于A選項：互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，它可以同時不發(fā)生，對立事件是必有一個發(fā)生的互斥事件，A正確；對于B選項：甲不輸?shù)氖录窍鲁珊推宓氖录c甲獲勝的事件和，它們互斥，則甲不輸?shù)母怕蕿?，B正確；對于C選項：由給定條件知，至少有一個黑球與至少有一個紅球這兩個事件都含有一紅一黑的兩個球這一基本事件，即它們不互斥，C錯誤；對于D選項：5件產(chǎn)品中任取兩件有10個基本事件，它們等可能，其中“至多一件一等品”的對立事件為“恰兩件一等品”，有3個基本事件，從而所求概率為，D正確.故選：C7．已知直線恒經(jīng)過定點，則點到直線的距離是（）A．6 B．3 C．4 D．7【答案】B【分析】把直線方程整理為關(guān)于的方程，由恒等式知識求得定點坐標(biāo)，然后由點到直線距離公式求解．【詳解】由直線方程變形為：，由，解得，所以直線恒經(jīng)過定點，故點到直線的距離是，故選：B.8．已知是直線上的一個動點，定點，是線段延長線上的一點，且，則點的軌跡方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)點，根據(jù)已知條件可知點為線段的中點，求出點的坐標(biāo)，代入直線的方程即可得出點的軌跡方程.【詳解】設(shè)點、，由題意可知，點為線段的中點，所以，，可得，由于點在直線上，則，所以，，化簡可得.故選：C.【點睛】方法點睛：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點法：用動點的坐標(biāo)、表示相關(guān)點的坐標(biāo)、，然后代入點的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.二、多選題9．以下命題正確的是（）A．若直線的斜率，則其傾斜角為B．已知，，三點不共線，對于空間任意一點，若，則，，，四點共面C．不經(jīng)過原點的直線都可以用方程表示D．若點在線段上運動，則的最大值為【答案】BD【分析】根據(jù)傾斜角的定義判斷A，根據(jù)空間向量基本定理判斷B，根據(jù)截距式方程判斷C，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷D；【詳解】解：對于A：因為傾斜角的取值范圍為，顯然，但是不是直線的傾斜角，故A錯誤；對于B：知，，三點不共線，對于空間任意一點，若，則，即，則，，，四點共面，故B正確；對于C：平行于軸或軸的直線不能用方程表示，故C錯誤；對于D：因為點在線段上運動，所以，因為，所以，，所以，故的最大值為，故D正確；故選：BD10．設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則的最小值是【答案】ABD【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的運算法則以及共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷A、B，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義可判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義即可判斷選項D，進而可得正確選項.【詳解】設(shè)，對于選項A：，所以，所以，故選項A正確；對于選項B：，所以，即，故選項B正確；對于選項C：，則，故選項C不正確；對于選項D：即表示點到點和到點的距離相等，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡為線段的垂直平分線，因為中點為，，所以的中垂線為，整理可得：，所以表示點到的距離，所以，故選項D正確，故選：ABD.11．百年大計，教育為本.十四五發(fā)展綱要中，教育作為一個專章被提出.近日，教育部發(fā)布2020年全國教育事業(yè)統(tǒng)計主要結(jié)果.其中關(guān)于高中階段教育（含普通高中、中等職業(yè)學(xué)校及其他適齡教育機構(gòu)）近六年的在校規(guī)模與毛入學(xué)率情況圖表及2020年高中階段教育在校生結(jié)構(gòu)餅圖如下，根據(jù)圖中信息，下列論斷正確的有（）（名詞解釋：高中階段毛入學(xué)率≡在校生規(guī)模÷適齡青少年總?cè)藬?shù)×100%）A．近六年，高中階段在校生規(guī)模與毛入學(xué)率均持續(xù)增長B．近六年，高中階段在校生規(guī)模的平均值超過4000萬人C．2019年，未接受高中階段教育的適齡青少年不足420萬D．2020年，普通高中的在校生超過2470萬人【答案】BD【分析】根據(jù)圖表，對各項逐個分析判斷即可得解.【詳解】對A，在前四年有下降的過程，故A錯誤；對B，六年的在校生總數(shù)為24037，平均值為4006以上，故B正確；對C，，未接受高中階段教育的適齡青少年有468萬人以上，故C錯誤；對D，，故D正確.故選：BD12．正方體的棱長為1，??分別是棱??的中點，下列結(jié)論正確的有（）A．面B．面C．過三點所得正方體的截面的面積為D．在面上的投影為【答案】ABC【分析】先作出截面圖形，再根據(jù)點線面的位置關(guān)系進行求解.【詳解】如圖，分別取BB1，C1D1，AD的中點H，J，K，易得：過點的正方體的截面為正六邊形.對A，易有BD∥EK，又面，面，所以面，A正確；對B，連接，易有，且，所以面，所以，因為，所以，同理：，又，所以面，故B正確；對C，易有，如圖，O為正六邊形的中心，則，則截面的面積為：，故C正確；對D，如圖，由前面證明可知，面，所以在面上的投影為，易知，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題13．已知一組數(shù)據(jù)，，的方差是2，那么另一組數(shù)據(jù)，，的方差是___________.【答案】8【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)可得答案.【詳解】數(shù)據(jù)，，的方差是數(shù)據(jù)的方差的4倍，所以數(shù)據(jù)，，的方差是，故答案為：8.14．設(shè)，，若從集合中一次性隨機抽取兩個數(shù)，分別記為，則滿足的概率為______．【答案】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可得，從而列出滿足條件的，再利用古典概型即可求解.【詳解】，，若，則，即，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以滿足的概率為.故答案為：15．已知四棱柱的底面為菱形，底面，，，，點是線段上靠近的四等分點，動點在四棱柱的表面，且，則動點的軌跡長度為___________.【答案】【分析】畫出圖形，連接，說明，在上取點，使得，設(shè)與的交點為，連接，說明的邊即為點的軌跡；然后求解即可．【詳解】解：依題意，平面，所以，在上取點，使得，連接，則，，在上取點，使得，設(shè)與的交點為，連接，在中，，，，在中，，，，所以，故，所以，故的邊即為點的軌跡；而，，，則動點的軌跡長度為．故答案為：．四、雙空題16．如圖所示的平行六面體中，已知，，，為上一點，且．若，則的值為__；若為棱的中點，平面，則的值為__．【答案】【分析】①，不妨取，利用，即可得出．②連接，與交于點．連接，交于點，連接．平面，可得．根據(jù)點為的中點，可得點為的中點．延長交線段的延長線于點．利用平行線的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：①，不妨取，．．②連接，與交于點．連接，交于點，連接．平面，．點為的中點，點為的中點．延長交線段的延長線于點．，．．，．則．故答案為：，．【點睛】本題考查了向量三角形法則、數(shù)量積運算性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．五、解答題17．在中，已知，.（1）若直線過點，且點，到的距離相等，求直線的方程；（2）若的角平分線所在的直線方程為，求直線的方程.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）直線過的中點或直線平行兩種情況分別求出直線的方程即可；（2）設(shè)關(guān)于的角平分線的對稱點為，根據(jù)點關(guān)于直線對稱求出對稱點的坐標(biāo)，再由，在直線上，即可求出直線的方程；【詳解】（1）∵點，到的距離相等，∴直線過線段的中點或，①當(dāng)直線過線段的中點時，直線斜率不存在，則的方程為；②當(dāng)時，則斜率，則的方程為，即；綜上，的方程為或；（2）設(shè)關(guān)于的角平分線的對稱點為，，解得，∴，再由，在直線上，所以所以的方程為整理得.18．如圖，在三棱柱中，平面，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）首先連接，交于點，連接，根據(jù)三角形中位線得到，再利用線面平行的判定證明即可.（2）首先根據(jù)題意得到或其補角為異面直線與所成角，再利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）連接，交于點，連接，如圖所示：因為分別為，的中點，所以.又因為平面，平面，所以平面.（2）因為，所以或其補角為異面直線與所成角，因為，所以.因為，，，所以.即直線與所成角的余弦值為.19．某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段，，…，后得到如下部分頻率分布直方圖觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；（2）估計本次考試數(shù)學(xué)成績的第55百分位數(shù)；（3）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2個，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的概率.【答案】（1）分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為：，直方圖答案見解析；（2）；（3）.【分析】（1）由頻率分布直方圖，計算分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，可以補全頻率直方圖；（2）根據(jù)百分位數(shù)的概念可得；（3）用分層抽樣的方法計算出分?jǐn)?shù)段為中抽取的學(xué)生數(shù)和分?jǐn)?shù)段為中抽取的學(xué)生數(shù)，再運用古典概率公式可得答案.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，得：分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為：.頻率除以組距為，補全后的直方圖如圖所示.（2），得.（3）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，則分?jǐn)?shù)段為中抽取的學(xué)生數(shù)為：人，分?jǐn)?shù)段為中抽取的學(xué)生數(shù)為：人，將該樣本看成一個總體，從中任取2個，基本事件總數(shù)，至多有1人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)包含的基本事件為：，∴至多有1人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的概率.20．如圖，四棱臺的上?下底面均為菱形，，，平面，，，.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成的角.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）先證明得四邊形為平行四邊形，可得，即可求證；（2）如圖建系，寫出各點坐標(biāo)，由求出，計算平面的法向量，面的法向量，由即可求解.【詳解】（1）由四棱臺的上?下底面均為菱形，且，連接.則，為的中點，所以因為平面平面，平面平面,平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理可得，即，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為面，所以面.（2）以為原點，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，所以，，，則，所以，若為面的法向量，則，易得，若為面的法向量，則，易得，所以，平面與平面所成的角為，所以.21．如圖，已知斜三棱柱，，，的中點為.且面，.（1）求證：；（2）在線段上找一點，使得直線與平面所成角的正弦值為.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量證明線線垂直；（2）利用空間向量法，求出平面的法向量和直線方向向量，利用向量的夾角公式，即可得解.【詳解】（1）作交于點，分別以，，所在直線為，，軸建系，，，，所以，，，所以（2）設(shè)，，設(shè)面的一個法向量為有∴∴∴因為若直線與平面所成角的正弦值為.，即，解得.所以當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了立體幾何的線線垂直的證明，考查了求二面角的大小，有一定的計算量，屬