高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：集合與常用邏輯用語(yǔ)全章十大基礎(chǔ)題型歸納（基礎(chǔ)篇）解析版

專題1.7集合與常用邏輯用語(yǔ)全章十大基礎(chǔ)題型歸納（基礎(chǔ)篇）

【人教A版（2019）］

對(duì)集合概念的理解。|

1.（2324高一上.重慶?期中）下列敘述能組成集合的是（）

A.接近。的數(shù)B.數(shù)學(xué)成績(jī)好的同學(xué)

C.中國(guó)古代四大發(fā)明D.跑得快的運(yùn)動(dòng)員

【解題思路】根據(jù)集合的確定性逐項(xiàng)分析判斷.

【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)ABD：缺乏統(tǒng)一的判斷標(biāo)準(zhǔn)，均不滿足確定性，故ABD錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：中國(guó)古代四大發(fā)明是確定的，符合確定性，所以能構(gòu)成集合，故C正確.

故選：C.

2.（2324高一上.河北?階段練習(xí)）下列對(duì)象能構(gòu)成集合的是（）

A.本班成績(jī)較好的同學(xué)全體B.與10接近的實(shí)數(shù)全體

C.絕對(duì)值小于5的整數(shù)全體D.本班興趣廣泛的學(xué)生

【解題思路】根據(jù)集合的概念逐項(xiàng)判斷即可.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,成績(jī)較好不是一個(gè)確定的概念，不能構(gòu)成集合，故A不符合；

對(duì)于B,與10接近的不是一個(gè)確定的概念，不能構(gòu)成集合，故B不符合；

對(duì)于C,絕對(duì)值小于5的整數(shù)全體是個(gè)明確的概念，并且給定一個(gè)元素能確定是否屬于這個(gè)整體，故能構(gòu)成

集合，故C符合；

對(duì)于D,興趣廣泛的不是一個(gè)確定的概念，不能構(gòu)成集合，故D不符合.

故選：C.

3.（2324高一?全國(guó)?課堂例題）以下對(duì)象的全體能否構(gòu)成集合？

（1）河北紅星工廠的員工；

（2）平昌冬奧會(huì)速滑比賽中滑得很快的選手；

（3）一次函數(shù)y=kx+b（k豐0）的圖象上的若干個(gè)點(diǎn)；

⑷不超過(guò)2019的非負(fù)數(shù).

【解題思路】根據(jù)集合的概念逐項(xiàng)判斷即可.

【解答過(guò)程】（1）能構(gòu)成集合.河北紅星工廠的員工是確定的，因此有一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，可以確定出來(lái).所

以能構(gòu)成一個(gè)集合.

(2)“滑得很快”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某位選手是否“滑得很快”無(wú)法客觀地判斷，因此，“平昌冬奧會(huì)速滑比

賽中滑得很快的選手”不能構(gòu)成一個(gè)集合.

(3)“若干個(gè)點(diǎn)”是模糊的概念，因此與之對(duì)應(yīng)的對(duì)象都是不確定的，自然它們不能構(gòu)成集合，故“一次函數(shù)

y=kx+b(kN0)的圖象上的若干個(gè)點(diǎn)“不能構(gòu)成一個(gè)集合.

(4)任給一個(gè)實(shí)數(shù)x,可以明確地判斷x是不是“不超過(guò)2019的非負(fù)數(shù)”，故“不超過(guò)2019的非負(fù)數(shù)”能構(gòu)

成一個(gè)集合.

4.(2024高一?江蘇?專題練習(xí))考察下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合.

(1)不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)；

(2)方程/-9=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；

(3)某班的所有高個(gè)子同學(xué)；

(4)8的近似值的全體.

【解題思路】根據(jù)集合的定義和特征依次判斷即可.

【解答過(guò)程】(1)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不是“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成集合.

(2)方程/-9=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解是％=3或%=-3,所以方程能構(gòu)成集合.

(3)“高個(gè)子”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)人算不算高個(gè)子無(wú)法客觀地判斷，因此不能構(gòu)成一個(gè)集合.

(4)“舊的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個(gè)數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成

集合.

判斷元素與集合的關(guān)系

1.(2324高一上?安徽亳州?期末)給出下列關(guān)系：①0SN；②應(yīng)WQ；③|一3|WN；@|-V3|eQ.其中

正確的個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解題思路】根據(jù)常見(jiàn)數(shù)集的含義即可求解.

【解答過(guò)程】由于06N；迎年Q；|-3|=3￡/V；|一百

故①錯(cuò)誤；②正確；③錯(cuò)誤；④錯(cuò)誤，

故選：A.

2.(2324高一上?湖南常德?期末)集合4={x\x=2k,k€Z},B={x\x=2k+l,kEZ],C=(x\x=4k+

l,keZ},又貝！]()

A.(a+b)eAB.(a+6)6B

C.(a+6)eCD.(a+b)6ABC任一個(gè)

【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求得正確答案.

【解答過(guò)程】集合4的元素是所有的偶數(shù)、集合B的元素是所有的奇數(shù)，

奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，所以9+6)任4(￡1+6)€8,

如a=2,b=l,但a+b=3《C.所以B選項(xiàng)正確.

故選：B.

3.(2324高一上?河北滄州?階段練習(xí))已知集合4={x|x=nt?—n2,7neZ,n」Z},求證：

(1)5GX；

(2)偶數(shù)2(4k-l)(kGZ)不屬于4

［解題思路］(1)將元素5代入驗(yàn)證；

(2)根據(jù)集合元素的特征分析，集合4={幻％=巾2一標(biāo),?162,7162}表示的是4的倍數(shù)與奇數(shù)，從而可

以判斷出偶數(shù)2(4k-l)(kGZ)不屬于4

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)?=32—22,所以56A

(2)因?yàn)閤=m?-n2=(7n+九乂山—兀)，meZ,nGZ,

當(dāng)m,n都為偶數(shù)或奇數(shù)時(shí)，爪+九和爪-??都為偶數(shù)，所以久為4的倍數(shù)；

當(dāng)m,n為一個(gè)偶數(shù)，一個(gè)奇數(shù)時(shí)，m+n和m-ri都為奇數(shù)，所以刀為奇數(shù).

顯然2(軌-1)都不滿足，

所以2(4k-1)《4

4.(2324高一上?北京順義?階段練習(xí))已知4={x\x=3k,kEZ},B={x\x=3fc+l,/c6Z}.

(1)判斷3,5是否在集合A中，并說(shuō)明理由；

(2)判斷6m-2(meZ)是否在集合8中，并說(shuō)明理由；

(3)若a64b&B,判斷a+6是否屬于集合2,并說(shuō)明理由.

【解題思路】(1)根據(jù)集合A中元素的特征判斷求解；

(2)根據(jù)集合8中元素的特征判斷求解；

(3)設(shè)a=3p,pCZ,b-3q+l,q￡Z,進(jìn)而根據(jù)集合B中元素的特征判斷求解.

【解答過(guò)程】(1)：3=3X1,；.3在集合A中，

令3k=5,則k=|《Z,故5不在集合A中.

(2)6m-2=3(2m-1)+1,且27n-1GZ,故6m-2(meZ)在集合B中.

(3)設(shè)a=3p,p￡Z,b=3q+Lq€Z,

則a+b=3(p+q)+Lp+q￡Z,

所以Q+b屬于集合B.

相等問(wèn)題

1.（2324高一上?福建廈門?期末）若集合2={%￡N+I尤是2幾與3n的公倍數(shù)，n6N+},B=（x[x=6n,

且nCN+},則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.X25B.AQBC.2=BD.以上選項(xiàng)均不正確

【解題思路】根據(jù)集合的描述法，對(duì)兩個(gè)集合中描述元素的語(yǔ)言和等式進(jìn)行分析即可.

【解答過(guò)程】對(duì)于集合4當(dāng)n€N+時(shí)，久是2n與3n的公倍數(shù)，因此尤是6n的正整數(shù)倍，

即A={%eMJx是2n與3n的公倍數(shù)，nGN+}=\x\x=6kn,kGN+且nGN+},

二由集合中元素的互異性，集合4中元素有6,12,18,24,30,

對(duì)于集合B,當(dāng)nCN+時(shí)，x=6n是6的正整數(shù)倍，

二集合B中元素有6,12,18,24,30,…，

??A—B.

故選：C.

2.（2324高一上?全國(guó)?期末）已知znER,nER,若集合1}={血2,根+九,o},則租2023十九2023的值

為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【解題思路】根據(jù)題意，由集合相等列出方程，即可求得血,71,代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解答過(guò)程】因?yàn)閧犯\,1}={血2,6+幾,0},

'—=0

所以mtm+n，解得{，1:或{；二二

、m2=1

當(dāng)m=l時(shí)，不滿足集合元素的互異性，

故m=-1,n=0,m2023+n2023=（―l）2023+O2023=—1.

故選：B.

3.（2324高一上?安徽馬鞍山?階段練習(xí)）已知集合4={a-3,2a+l,a2+l},集合B={O,l,x}.

（1）若一364，求a的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)a,%,使力=B.

【解題思路】（1）轉(zhuǎn)化條件為a-3=-3或2a+l=-3,驗(yàn)證元素的互異性即可得解；

（2）按照a-3=0、2a+l=0討論，驗(yàn)證即可得解.

【解答過(guò)程】（1）由題意，。-3=-3或2（1+1=—3,解得a=0或。=一2,

當(dāng)a=0時(shí)，A=[-3,1,1）,不成立；

當(dāng)a=-2時(shí)，71={-5,-3,5},成立；

a=—2.

（2）由題意，小+1wo,

若a—3=0,則Q=3,4={0,7,10}不合題意；

若2a+l=0,則。=—工，/=，0,—[，斗不合題意；

2124J

.??不存在實(shí)數(shù)a,x,使得力=B.

4.（2324高一上?河北滄州?期中）已知集合4={2,6}.

（1）若集合B={a+1,a2-23},且4=B,求a的值；

（2）若集合C={/a/-x+6=0},且4與C有包含關(guān)系，求a的取值范圍.

【解題思路】（1）利用集合相等的條件求a的值；

（2）由4與C有包含關(guān)系得C=4再利用集合子集的元素關(guān)系分類討論求解即可.

【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?={2,6},且A=8,

所以{啟3=或或歸UV?，

解乳二篇或。藍(lán)工

故a—5.

（2）因?yàn)锳與C有包含關(guān)系，A={2,6},。={幻。/一“+6=0}至多只有兩個(gè)元素,

所以C=4

當(dāng)a=0時(shí)，C={6},滿足題意；

當(dāng)a豐0時(shí)，

當(dāng)C=0時(shí)，△=l-4ax6＜0,解得a＞工，滿足題意；

24

當(dāng)C={2}時(shí)，△=1-4ax6=0且22a-2+6=0,此時(shí)無(wú)解；

當(dāng)C={6}時(shí)，A=l-4ax6=0且62a—6+6=0,此時(shí)無(wú)解；

當(dāng)。={2,6}時(shí)，A=l—4ax6＞（ka￡a—?+7=?,此時(shí)無(wú)解；

綜上，&的取值范圍為{a|a=0或a＞或}.

題型4集合間關(guān)系的判斷

1.(2324高三上.上海.期中)設(shè)集合M={4=]+手,kez},N={4=聲學(xué),kez},貝!I()

A.M=NB.MUNC.M2ND.MCN=0

【解題思路】通過(guò)變形得到，”=Kk=%詈,kez},N={x|x=0誓,kez},再利用集合間包含

關(guān)系的判斷方法即可求出結(jié)果.

【解答過(guò)程】因?yàn)?空處=9二所以M=kk=爺里,kez},

2444II4)

又;+§=亨=^^,所以％={久卜=^^#ez},

因?yàn)閗ez,則k+2ez,而2k+1為奇數(shù)，所以NUM,

故選：C.

2.(2324高一上?吉林?階段練習(xí))已知集合"={x|x=2巾€z},N={x|久=n-|,nez},P=

{x|x=p+1,pez},則M,N,P的關(guān)系()

A.M=N^PB.M^N=P

C.M^N^PD.N^P^M

【解題思路】將集合M,P化為與N相同的形式，即可判斷集合間的關(guān)系.

【解答過(guò)程】由M={x|x=(2zn+1)—|,?n6z},P=^x\x=(p+1)-|,pezj,

而2m+1為奇數(shù)，p+1為整數(shù)，又可={x|久=n—|,n€z},

所以M呈N=P.

故選：B.

3.(2324高一上.全國(guó).課后作業(yè))指出下列各組集合之間的關(guān)系：

①2=[-1,1],B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}；

②4={x\x是等邊三角形},B=[x\x是等腰三角形};

③M—{x\x=2n—l,nEN*},N-{x\x=2n+l,nEN*}.

【解題思路】①利用集合的元素類型可判斷集合4B的包含關(guān)系；

②利用集合包含關(guān)系的定義可判斷集合4B的包含關(guān)系；

③利用列舉法可判斷集合M、N的包含關(guān)系.

【解答過(guò)程】①集合4中的元素是數(shù)，集合B中的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，故2與B之間無(wú)包含關(guān)系；

②等邊三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等邊三角形，故4呈8；

③由列舉法知M={135,7,9,…},N={3,5,7,9,…},所以N呈M.

4.(2324高一上.四川成都?階段練習(xí))關(guān)于x的方程/+。=久(a￡R)的解集為4(4力0),關(guān)于X的方

程(久2+a)2+a=x(a6R)的解集為B

(1)對(duì)于集合M,N,若VxeM,xEN,則MUN.求證：AQB

(2)若A=8,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)子集的定義，結(jié)合方程解的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

(2)根據(jù)集合相等的定義，結(jié)合一元二次方程根的判別式分類討論進(jìn)行求解即可.

【解答過(guò)程】(1)設(shè)支()e力，.，.劭？+a=%。，將與帶入方程(%2+。/+a=%等式成立.

二而是方程(/+a)2+a=x的解，

/.x0eB,：.A￡B；

(2)-：A^0,；.x2-x+a=0有實(shí)根,

A1-4a20,aW—,

4

,集合B為方程(汽2+a)2+a=%即/+2ax2—%+a2+a=0的根的集合，

由(1)的結(jié)論/WB

且集合/為方程/—%+a=0根的集合，

*e*因式%4+2ax2—%+a?+。分解后必定含有因式式2—X+。，

由多項(xiàng)式的除法：%4+2ax2—%+a2+a=(%2—%+a)(x2+%+a+1),

\9A=B,

Ax2+x+a+1=0無(wú)實(shí)根或其根為方程％2-x+a=0的根，

當(dāng)/+%+0+1=o無(wú)實(shí)根時(shí)，

△=1-4(a+1)<0,解得a>—,

4

當(dāng)?shù)?+%+。+1=0的根為方程%2—%+。=0的根時(shí)，

①當(dāng)/+汽+。+1=o有兩不等實(shí)根時(shí)，由韋達(dá)定理，其根不可能與第2一%+Q=o的根相同；

②當(dāng)/+%+。+1=o有兩相等實(shí)根時(shí)，即△=1—4(a+1)=0即a=—1時(shí)，

方程的根為％=此根剛好是/-x+a=0的根，滿足條件.

綜上：故a的取值范圍是aw"

44

O1

1.(2324高三上?廣東湛江?階段練習(xí))設(shè)集合2={久I—3<xW4},B={*|%>—1},貝U()

A.AC\B={x\—3<x<-1]B.Ai)B={x>—3]

C.AC\B-{x\-1<x<4}D.A(JB={x\x>-1}

【解題思路】根據(jù)集合交集和并集的定義，可得答案.

【解答過(guò)程】因?yàn)榧?={xI-3<%44},8={x|x>-1},所以ACB={x|-1<%W4},4U8={龍〉

-3},

故選：B.

2.(2324高二下?北京延慶?期末)已知集合2={x|x-2<0},集合B={0|x|21},貝|()

A.BQAB.QVA={x\x>2}

C.AC\B={x\l<x<2}D.A\JB=R

【解題思路】根據(jù)題意求集合4B,根據(jù)集合間的運(yùn)算以及包含關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.

【解答過(guò)程】由題意可得：A={x\x-2<0}={x\x<2},B={x||x|N1}={x|x21或％W-1}.

可得={x\x>2],故B錯(cuò)誤；

可得4nB={K|xW-l或1Wx<2}力B,可知集合B不是集合4的子集，故AC錯(cuò)誤；

可得力UB=R,故D正確.

故選：D.

3.(2324高一上.河北石家莊?期中)已知集合4={2,3},B=[1,2,3,6}.

(1)求4CB及2UB；

⑵求CB4

【解題思路】(1)利用交集并集的定義即可求解.

(2)利用補(bǔ)集的定義即可求解.

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)榱?{2,3},B=[1,2,3,6),

所以4C8={2,3}n{1,2,3,6}={2,3}；

AUB={2,3}U{1,2,3,6}={1,2,3,6).

(2)因?yàn)?={2,3},B=[1,2,3,6},

CB4={1,6).

4.(2324高一上?北京?期中)已知集合A={x|l<x<3],集合B={x\2m<x<1-m].

(1)當(dāng)m=-1時(shí)，求4UB,4ClB,CRB;

(2)若AQB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

【解題思路】（1）由交集并集補(bǔ)集的定義求解；

（2）由集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.

【解答過(guò)程】（1）當(dāng)m=-l時(shí)，B={x\-2<x<2]f

則U={x|-2<%<3},AC\B={x|l<%<2},CRB={x\x<—2或%>2]；

1—m>2m,

(2)由ZMB知2m<1,解得m<-2,

1—m>3,

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-oo,-2].

題型6Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系和運(yùn)算

1.（2324高一上.內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期中）已知全集。=凡集合a={x阿<-4或無(wú)25},B={x|-3<x<

10},那么陰影部分表示的集合為（）

A.\x\x<-3或x>5]B.[x\x<-3或x>5}

C.{x|-3<%<5]D.{x|-3<x<5}

【解題思路】根據(jù)韋恩圖確定集合間的運(yùn)算關(guān)系，進(jìn)而得解.

【解答過(guò)程】由韋恩圖可知陰影部分表示集合(0M)n8,

由A={x|x<-4或x>5},

得如4={x\—4<x<5},

貝iJ(CuA)C8={x|-3<x<5},

故選：D.

2.（2324高一上.安徽淮北?階段練習(xí)）如圖，U是全集，〃/,5是。的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合

A.(MnP)nSB.(MnP)uS

c.(MnP)ncvsD.(MnP)ucvs

【解題思路】根據(jù)題圖中陰影區(qū)域，再利用集合的交、補(bǔ)定義及運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【解答過(guò)程】因?yàn)轭}圖中的陰影部分是MCP的子集，且不屬于集合S,屬于集合S的補(bǔ)集，即是CuS的子集,

則陰影部分所表示的集合是(MnP)ncvs,

故選：c.

3.(2324高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí))設(shè)全集為U=R,集合力={x|—2<%<8},B={x\x<—3或x>6].

(1)求如圖陰影部分表示的集合；

(2)已知集合C={久|a<久<2a,a>0},若BnC=0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)圖中陰影部分表示JOICB),再根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；

(2)依題意可得{為：1,解得即可.

【解答過(guò)程】(1)解：因?yàn)?={x|-2<x<8},B={x|xW—3或x26},

所以4rB={%|6<%<8},

所以圖中陰影部分表示C，％A^)={%|—2<%<6]；

(2)解：因?yàn)镃={x\a<x<2a,a>0},B={x\x<—3或%>6}且BnC=0,

所以解得OvaS3.

12a<6

4.(2223高一上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))已知全集U=R,集合4={%|2x-1<3,|x-2<%-3],B=

{%|-1<%<3}.

⑴求4UB,CuB

(2)如圖，陰影部分表示集合求

【解題思路】(1)先求出集合4,再利用交集和補(bǔ)集的定義求解，

(2)由圖可知陰影部分表示集合為(CuA)CB,然后利用補(bǔ)集和交集的定義求解.

【解答過(guò)程】⑴因?yàn)榱?{X忸一1<3京-2Wx—3}={x||〈x<2},B={x\-l<x<3],

所以ZUB={x|—1<%<3},CuB=[x\x<—1或%>3],

（2）由圖可知陰影部分表示集合為（C〃l）n8,

因?yàn)榱?{x||w久<2}

所以CcM={x|x<|或x>2},

因?yàn)?={x|-l<x<3},

所以GM）CB={x|-l<x<|或2WxW3}.

判斷命題的真假。|

1.（2324高一上.重慶.期中）下列命題中，是真命題的是（）

A.如果a>b,那么小>/）2B.如果a>b,那么ac?>人小

C.如果a>b,c>df那么—>-D.如果a>b,c<.d,那么a—c>b—d.

dc

【解題思路】ABC選項(xiàng)舉出反例即可判斷，D選項(xiàng)結(jié)合不等式的性質(zhì)即可判斷.

【解答過(guò)程】A選項(xiàng)：若@=0"=一1,滿足a>b,但是小<扭，因此是假命題，故A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng)：若。=3,6=一1,c=0,滿足a>b,但是de?=be?,因此是假命題，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：若a=3,b=-l,c=2fd=滿足a>b,c>d,但是號(hào)V因此是假命題，故C錯(cuò)誤;

3ac

D選項(xiàng)：因?yàn)閏<d,則一c>-d,且a>b,因此a-c>6-d,因此是真命題，故D正確，

故選：D.

2.（2324高一上.上海閔行?期中）下列命題中：

①關(guān)于x的方程m/一2%+3=。是一元二次方程；

②空集是任意非空集合的真子集;

③如果x>3,那么久>0；

④兩個(gè)實(shí)數(shù)的和是有理數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)都是有理數(shù).其中是真命題的有（）

A.①②③B.②③C.②③④D.①②④

【解題思路】根據(jù)一元二次方程的定義、空集的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)、有理數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【解答過(guò)程】①：當(dāng)m=0時(shí)，方程變?yōu)?2久+3=0,顯然不是一元二次方程，因此本序號(hào)命題不是真命

題;

②：因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹?，所以本序?hào)命題是真命題;

③：由x>3顯然能推出％NO,所以本序號(hào)命題是真命題；

④：因?yàn)?+8與2-百的和是有理數(shù)4,但是2+舊和2-百都不是有理數(shù)，所以本序號(hào)命題不是真命題,

故選：B.

3.(2324高一上?江蘇?課前預(yù)習(xí))把下列命題改寫(xiě)成“若p,則q”的形式，并判斷命題的真假.

(1)偶數(shù)不能被2整除；

(2)當(dāng)|a—+g—=o時(shí)，口=b=1；

(3)兩個(gè)相似三角形是全等三角形.

【解題思路】根據(jù)題意，逐一判斷即可.

【解答過(guò)程】(1)若一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則它不能被2整除，

根據(jù)偶數(shù)的定義可知，偶數(shù)能被2整除，為假命題；

(2)若|a-1|2+\b-1|2=0,貝!|a-b—1,

要想滿足(a—+(b—1)2=0,則《］；二:，解得a=b=l,是真命題；

(3)若兩個(gè)三角形是相似三角形，則這兩個(gè)三角形是全等三角形，

兩個(gè)三角形相似，則形狀相同，但大小不一定相等，故不一定全等，為假命題.

4.(2324高一.江蘇?課后作業(yè))判斷下列命題的真假：

(1)若a=b,則a2=墳；

(2)若a2=貝"a=。；

(3)全等三角形的面積相等

(4)面積相等的三角形全等.

【解題思路】依次判斷即得.

【解答過(guò)程】(1)當(dāng)a=b時(shí)，顯然有。2=。2,所以命題為真.

(2)當(dāng)a=1,b=—1時(shí)，a2=b2=1,即由a2=b2,不能推出&=匕，所以命題為假.

(3)由全等三角形的定義可知，當(dāng)兩個(gè)三角形全等時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積一定相等，命題為真.

(4)如圖，直角三角形與三角形&BC同底等高，這兩個(gè)三角形的面積相等，但這兩個(gè)三角形不全等,

所以命題為假.

■n

1.（2324高一上.甘肅白銀?期中）設(shè)四邊形A8CD的兩條對(duì)角線為4&BD,則“四邊形48CD為菱形”是“AC，

BD”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】結(jié)合菱形的定義和幾何性質(zhì)，判斷“四邊形力BCD為菱形”和“力C1BD”之間的邏輯關(guān)系，即可

得答案.

【解答過(guò)程】當(dāng)四邊形力BCD為菱形時(shí)，必有兩條對(duì)角線互相垂直，即4C1BD；

當(dāng)四邊形4BCD的兩條對(duì)角線垂直時(shí)，即不一定能推出四邊形48CD為菱形，

還需要再加上對(duì)角線力C,BD互相平分這一條件，才可推出四邊形ZBCD為菱形，

故“四邊形4BCD為菱形”是“AC1BD”的充分不必要條件，

故選：A.

2.（2324高一上.北京?期中）“a〉6”是a2＞抉的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解題思路】取特殊值，利用充分和必要條件的性質(zhì)判斷即可.

【解答過(guò)程】當(dāng)a=1,6=-1時(shí)，滿足a＞b,但不滿足。2＞。2,故充分性不成立；

當(dāng)a=—1,6=0時(shí)，滿足。2＞爐，但不滿足a＞6,故必要性不成立；

所以“a＞b”是a?＞爐的既不充分又不必要條件，

故選：D.

3.（2023高一?全國(guó)?專題練習(xí)）指出下列各組命題中，p是q的什么條件（充分不必要條件，必要不充分條

件，充要條件，既不充分又不必要條件）.

（1）/?：ab—0,q：a2+b2=0；

(2)p：xy>0,q：\x+y\=|x|+|y|；

(3)pm>0,q：方程式2—%—m=0有實(shí)根；

(4)夕：|x—1|>2,q：x<—1.

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，逐個(gè)判定，即可求解.

【解答過(guò)程】(1)解：由協(xié)=0,即Q/中至少有一個(gè)為0,

又由〃+Z)2=0,可得a=0且b=0,即a,b同時(shí)為0,

即pAq,qnp,所以ab=0是M+接=0的必要不充分條件.

(2)解：由1%+y|=|%|+|y|,可得(1%+y|)2=(|x|+|y|)2,即/+y2+2xy=%2+y2+2|xy|,

所以％y=|%y|,可得%yNO,即p=>q,q=>p,

所以%y>0是|久+y|=|%|4-|y|的充要條件.

(3)解：方程/—萬(wàn)一爪=0有實(shí)數(shù)根的充要條件是△=1+4爪20,解得m2—；,

所以p0q,q*p,所以m>0是/-%-m=0有實(shí)數(shù)根的充分不必要條件.

(4)解：由不等式—1|>2,解得汽>3或久V-1,

所以pAq,qnp,所以％<一1是|久-1|>2的必要不充分條件.

4.(2324高一上.全國(guó)?課后作業(yè))下列各題中，p是q的什么條件(指充分不必要、必要不充分、充要、既

不充分也不必要條件)？

(1)口四邊形對(duì)角線互相平分，q：四邊形是矩形；

(2)p：%=1或x=2,q：x2—3x+2=0；

(3)/?：m>0,q：方程/+元一機(jī)=0有實(shí)根.

【解題思路】(1)根據(jù)矩形的定義進(jìn)行判斷即可；

(2)根據(jù)一元二次方程的根的情形進(jìn)行判斷即可

(3)根據(jù)一元二次方程的根與判別式的關(guān)系判斷即可.

【解答過(guò)程】(1)???四邊形對(duì)角線互相平分R四邊形是矩形；四邊形是矩形=>四邊形對(duì)角線互相平分，

??山是q的必要不充分條件.

(2)Vx=1或％=2=>%2—3x+2=0,X2—3x+2=0=>x=1或％=2,

，〃是q的充要條件.

(3)Vm>0=>方程%2+%—m=0的4=1+4m>0,即方程有實(shí)根；

方程%2+%—m=。有實(shí)根，即4=1+4m>0m>0,

.二〃是q的充分不必要條件.

全稱量詞命題與存在量詞命題的真假。|

1.（2324高一上?遼寧鞍山?期中）下列命題中為真命題的是（）

A.p^.JxeR,x2+1<0

B.p2'^xG.R,x+|x|>0

C.p3:VxGZ,|x|￡N

2

D.p4:3%e/?,x—7%+15=0

【解題思路】對(duì)A：由/+121>0判斷命題為假；對(duì)B：當(dāng)久=。時(shí)命題不成立；對(duì)C：由Z及N關(guān)系判

斷命題為真；對(duì)D：由△=72-4x15<0判斷命題為假.

【解答過(guò)程】VxeR,%2+1>1>0,故以是假命題；

當(dāng)X=0時(shí)，X+|x|=0,故P2是假命題；

VxeZ,\x\EN,故P3是真命題；

方程/一7%+15=0中A=72-4x15<0,此方程無(wú)解，故是假命題.

故選:：C.

2.（2324高一上.河北?階段練習(xí)）下列命題中，既是全稱量詞命題又是真命題的是（）

A.每一個(gè)命題都能判斷真假

B.存在一條直線與兩條相交直線都平行

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,若a<6,則a?<爐

D.存在久￡R,使Sc2一久+1=o

【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題以及存在量詞命題的概念以及命題的真假判斷，一一判斷各命題，即得答

案.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,“每一個(gè)命題都能判斷真假”是全稱量詞命題，命題都能判斷真假，

A是真命題，符合題意；

對(duì)于B,“存在一條直線與兩條相交直線都平行”是存在量詞命題，不符合題意；

對(duì)于C,該命題是全稱量詞命題，當(dāng)a=-2,b=-1時(shí)，a2>b2,C中命題是假命題，不符合題意；

對(duì)于D,該命題是存在量詞命題，不符合題意，

故選：A.

3.（2324高一上?遼寧?階段練習(xí)）判斷下列命題是全稱量詞命題，還是存在量詞命題，并判斷它們的真假.

（1）所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)；

（2）3（2GN,a2—6.

【解題思路】(1)根據(jù)全稱命題的定義判斷即可；

(2)根據(jù)存在量詞的命題判斷即可.

【解答過(guò)程】(1)該命題是全稱量詞命題.

所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，故該命題是真命題.

(2