2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之填空題：一、二次函數(shù)及方程、不等式（10題）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：一、二次函數(shù)及方程、

不等式（10題）

一.填空題（共10小題）

x+y>2,

x-y<2,則z=y-x的最大值為.

（y<2,

'X+2y-1<0+3

2.（2024?古藺縣校級模擬）已知尤,y滿足約束條件2久+y+1>0,則一的取值范圍為___________.

-2y+3>0x+2

3.（2024?普陀區(qū)校級三模）已知集合4={0,1,2,3,4},8={x|-/+2無+3>0},則ACB中的元素個

數(shù)為.

4.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）若關(guān)于x的不等式-5x+m^0的解集為R,則實數(shù)m的取值范圍

是?

5.（2024?石家莊模擬）已知集合〃={尤|/-2x-3<0},N={x\x2-ax<Q,xEZ].若集合MAN恰有兩個

元素，則實數(shù)。的取值范圍是.

%+2y—2<0

6.（2024?巴宜區(qū)校級三模）若入、y滿足約束條件k-2y-240,則z=x+5y的最大值

,3x—2y+6>0

為.

7.（2024?浦東新區(qū)三模）已知全集。=凡集合A={尤*-3x+220},則I=.

8.（2024?永嘉縣校級模擬）函數(shù)/（x）=7-4ax+2a2上有一個動點p,定點A（0,-1）,則|AP|的最小

值是.

9.（2024?長寧區(qū)校級三模）已知集合4={0,1,2},B={4?-3xWl},則AC2=.

10.（2024?安陽三模）已知集合A={x\-?-2x+a>0],B=R,若AAB=0,貝Ua的取值范圍

是

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：一、二次函數(shù)及方程、

不等式（10題）

參考答案與試題解析

一.填空題（共10小題）

X+y>2/

x-y<2,則z=y-x的最大值為2.

{y<2,

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】2.

【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

由圖可知，當(dāng)直線過點（0,2）時，z取得最大值，最大值為2.

故答案為：2.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

rx+2y-1<03

2.（2024?古藺縣校級模擬）已知x,y滿足約束條件2x+y+lN0,則^^—的取值范圍為（-2,4].

-2y+3>0x+2

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓；不等式；直觀想象；數(shù)學(xué)運算.

【答案】（-2,4].

【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，設(shè)々=密，/表示點（x,y）與點（-2,-3）連線的斜率,

觀察圖像計算可得取值范圍.

x+2y—140

【解答】解：作出不等式組2支+y+lNO表示的平面區(qū)域，如圖所示:

—2y+3>0

設(shè)k=祟，則人表示點（無，>）與點尸（-2,-3）連線的斜率,

又kpA=-2+1=%

所以-2W4,

V+3―

即---的取值范圍為（-2,4].

x+2

【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

3.（2024?普陀區(qū)校級三模）己知集合4={0,1,2,3,4）,8={x|-/+2尤+3>0},則ACB中的元素個

數(shù)為3.

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交集及其運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運算.

【答案】3.

【分析】求解一元二次不等式解得集合B，再求AA8,即可求得其元素個數(shù).

【解答】解：由-/+2x+3>0,得所以8={x|-l<x<3},

AAB={0,1,2},故中的元素共有3個.

故答案為：3.

【點評】本題主要考查交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）若關(guān)于x的不等式rm2-5x+m<0的解集為R,則實數(shù)m的取值范圍是

,51

（-八，一引.

【考點】由一元二次不等式的解求參數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】（一8,—1].

【分析】根據(jù)一元二次不等式解集的性質(zhì)進行求解即可.

【解答】解：當(dāng)加=0時，不等式為-5xW0今x>0,顯然不符合題意；

當(dāng)wiWO時，因為關(guān)于x的不等式MU2-5x+加W0的解集為R,

所以有卜<°m<

（4=（-5）2—4m2<02

所以實數(shù)”的取值范圍是（—8,—1],

故答案為：（一8,-1.

【點評】本題主要考查一元二次不等式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2024?石家莊模擬）己知集合知={小2-2x-3<0},N={x|/-"家0,xGZ}.若集合MAN恰有兩個

元素，則實數(shù)。的取值范圍是{°任>2}.

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交集及其運算.

【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算.

【答案】{a|a>2}.

【分析】先求出集合再對。分情況討論，求出集合N,結(jié)合集合MCN恰有兩個元素求解即可.

【解答】解：集合用={尤|/-2『3<0}=兇-1<尤<3},

①當(dāng)a=0時，N={尤-ax<0,xeZ}={x|x2<O}=0,此時MCN=0,不符合題意，

②當(dāng)a>0時，N={x|/-ax<0,xEZ}=[x\O<x<a,xEZ],

若集合MCN恰有兩個元素，則。>2,

③當(dāng)a<0時，N={X\J?-ax<0,xEZ}—[x\a<x<0,xGZ],

若aW-1,則MAN={x|-l<x<0,xeZ）=0,不符合題意，

若-l<a<0,則AfCN={x[a<x<0,x￡Z]—0,不符合題意，

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是{a|a>2}.

故答案為：{a|a>2}.

【點評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題.

（X+2y-2<0?

6.（2024?巴宜區(qū)校級三模）若天、y滿足約束條件x—2y-2W0,則z=x+5y的最大值為—.

3x—2y+620?

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

13

【答案】y.

【分析】畫出可行域，將z=.t+5y變形為＞=-1+',平移直線可得到點A處取得最大值，計算點A的

坐標，代入求解即可.

【解答】解：作出可行域如圖所示：

將z=x+5y變形為y=-^+

在圖中作出過原點的直線產(chǎn)Y，

可知當(dāng)直線平移到點A處時，z=_r+5y取最大值，

所1d；6==°（），得r/

即A（—1,卞.

片匚“I_,仁313

所以zmax--1+5X

13

故答案為：—.

【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，作出可行域是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2024?浦東新區(qū)三模）已知全集。=凡集合A={x|/-3x+220},則:=（1,2）

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；補集及其運算.

【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算.

【答案】（1,2）.

【分析】先求出集合4然后結(jié)合集合的補集運算即可求解.

【解答】解：因為U=R,集合A={x|f-3x+220}={x|x22或尤W1},

則彳=(1,2).

故答案為：(1,2).

【點評】本題主要考查了集合的補集運算，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2024?永嘉縣校級模擬)函數(shù)/(x)=/-4ax+2/上有一個動點p,定點A(0,-1),則|AP|的最小

&口遮

值是T-

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】y.

【分析】設(shè)點尸的坐標，求出|AP|的表達式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得|AP|的最小值.

【解答】解：設(shè)尸(x,y),可得y=/-4QX+2〃2,

可得|4尸|2=/+(y+1)2=/+(/_4QX+2〃2+1)2=X2+[2(〃-X)2+1-x2]

》/+(1-02=元4_/+]=(x2-i)2+1>I，

所以|4P|2亭.

V3

故|AP|的最小值為三.

V3

故答案為：y.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.(2024?長寧區(qū)校級三模)已知集合4={0,1,2},B={x|x3-3x^1},則A28={0,1}.

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交集及其運算.

【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算.

【答案】{0,1}.

【分析】由已知結(jié)合集合交集運算即可求解.

【解答】解：因為集合4={0,1,2},B={x|?-3x^l},

則ACB={0,1}.

故答案為：{0,1}.

【點評】本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎(chǔ)題.

10.(2024?安陽三模)己知集合A={x|-7-2x+a>0},B=R,若ACB=0,則a的取值范圍是』必

W-1}.

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交集及其運算.

【專題】集合思想；判別式法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)AC2=0得A=0，即不等式-/-2x+a>0無解，利用AWO求解即可.

【解答】解：集合A={R-f-2x+a>0},B=R,

若AnB=0,則A=0,

所以不等式-x2-2x+a>0無解，即x?+2x-。<0無解，

所以A=4+4〃WO,解得-1,

所以a的取值范圍是-1).

故答案為：

【點評】本題考查了集合的運算與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

考點卡片

1.交集及其運算

【知識點的認識】

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與8的交集，記作AAB.

符號語言：AnB={x|x6A,且底8}.

AC2實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素.

當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集.

運算性質(zhì)：

①②AC0=0.③④AH3UA,AP\BQB.⑤AnB=AQAUB.⑥AClB=0,兩個

集合沒有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(AAB)=(CuA)U(CuB).

【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖.

【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集.

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)

合命題.

2.補集及其運算

【知識點的認識】

一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作

U.(通常把給定的集合作為全集).

對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡

稱為集合A的補集，記作CuA,BPCuA={x\x&U,且娓A}.其圖形表示如圖所示的Venn

【解題方法點撥】

常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補集常用于對立事件，否命題，反證法.

【命題方向】

通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補集的選擇題，有時出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、

值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn).

3.二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象

【知識點的認識】

二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自變

量的變化而變化.它的一般表達式為：y=ax1+bx+c(ci#O)

【解題方法點撥】

二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有

可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達定理以及高中學(xué)的拋物

線的焦點、準線和曲線的平移.

這里面略談一下他的一些性質(zhì).

①開口、對稱軸、最值與X軸交點個數(shù)，當(dāng)40(<0)時，圖象開口向上(向下)；對稱軸x=-梟

最值為：/(—/);判別式4=62-4ac,當(dāng)△=()時，函數(shù)與x軸只有一個交點；△>?時，與x軸有兩

個交點；當(dāng)時無交點.

②根與系數(shù)的關(guān)系.若△》()，且XI、尤2為方程y=a/+b尤+c的兩根，則有尤i+x2=—，，xi*x2-

③二次函數(shù)其實也就是拋物線，所以/=2py的焦點為(0,1),準線方程為>=-與含義為拋物線

上的點到到焦點的距離等于到準線的距離.

④平移：當(dāng)y=a(x+b)2+c向右平移一個單位時，函數(shù)變成y=a(x-1+b)2+c；

【命題方向】

熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會畫出拋物線的準確形狀，特別是注意拋物線焦點和準線的關(guān)系，拋物線最值得

取得，這也是一個常考點.

4.一元二次不等式及其應(yīng)用

【知識點的認識】

含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是a^+bx+cX)

或ax2+bx+c<0(a不等于0)其中「2+法+(?是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式.

特征

當(dāng)△=%2-4ac>0時，

一元二次方程af+fex+cn。有兩個實根，那么a/+6x+c可寫成a（x-xi）（x-X2）

當(dāng)△=/?2-4ac=0時，

一元二次方程°7+廄+°=0僅有一個實根，那么m2+版+<:可寫成a（x-xi）2.

當(dāng)△=?-4ac<0時.

一元二次方程a/+fcv+c=O沒有實根，那么ajr+bx+c與x軸沒有交點.

【解題方法點撥】

例1：一元二次不等式d<x+6的解集為.

解：原不等式可變形為（尤-3）（x+2）<0

所以，-2<x<3

故答案為：（-2,3）.

這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成^^bx+cVO的形式；然后應(yīng)用了特征

當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解.

【命題方向】

①一元二次不等式恒成立問題：

一元二次不等式a^+bx+cX）的解集是R的等價條件是：a>0且△<0；一元二次不等式av2+Z?x+c<0的

解集是R的等價條件是：。<0且△<（）.

②分式不等式問題：

I，>0=/（尤）（%）>0；

。（久）

~~~（x）?g（x）<0；

。（無）

g⑶IgO）豐o;

f。）（久）?。（久）wo

。㈤IgO）豐o-

5.由一元二次不等式的解求參數(shù)

【知識點的認識】

含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是a^+bx+cX）或

ajT+bx+c<0（a不等于0）其中a^+fec+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式.

特征

當(dāng)△=/??-4ac>0時，

一元二次方程（U^+fcr+cuO有兩個實根，那么a/+6x+c可寫成a（x-xi）（尤-X2）

當(dāng)△=/?2-4ac=0時，

一■元二次方程。/+以+。=0僅有一■個實根，那么cu^+bx+c可寫成°（%-xi）~.

當(dāng)△=/-4ac<0時.

一元二次方程a^+bx+c=O沒有實根，那么a^+bx+c與x軸沒有交點.

【解題方法點撥】

例1：一元二次不等式/<x+6的解集為.

解：原不等式可變形為（尤-3）（x+2）<0

所以，-2<x<3

故答案為：（-2,3）.

這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成a?+bx+c<o的形式；然后應(yīng)用了特征

當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解.

【命題方向】

一元二次不等式a^+bx+cX）,

-設(shè)定一元二次不等式的解，并根據(jù)解的形式建立不等式.

-求出根，結(jié)合數(shù)軸分析區(qū)間.

-通過區(qū)間分析，確定參數(shù)的取值范圍.

設(shè)a,b,c為常數(shù)，若不等式a^+bx+c>Q的解集是（-3,2）,則不等式ax2-bx+c<0的解集是（）

解：不等式ax2+fer+c>0的解集是（-3,2）,

可得-3,2是方程a/+法+c=o的兩根，且a<0,

（b

-3+2=—bc

則｛「°，解得一=1,一=-6,

-3x2=-aa

Ia

不等式aj?-bx+c<0整理可得x2—9+>0,

即/-x-6>0,

解得尤>3或x<-2,

所以不等式數(shù)2-bx+c<o的解集為(3,+8)U(-8,-2).

6.簡單線性規(guī)劃

【知識點的認識】

線性規(guī)劃主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一種重要的數(shù)學(xué)模型.簡

單的線性規(guī)劃指的是目標函數(shù)含兩個自變量的線性規(guī)劃,其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出.我們高中階

段接觸的主要是由三個二元一次不等式組限制的可行域，然后在這個可行域上面求某函數(shù)的最值或者是斜

率的最值.

【解題方法點撥】

1.畫出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標準化.

Zz

2.在通過求直線的截距工的最值間接求出z的最值時，要注意：當(dāng)人>0時，截距工取最大值時，z也取最

bb

zzz

大值；截距工取最小值時，Z也取最小值；當(dāng)匕V0時，截距工取最大值時，z取最小值；截距三取最小值時，

bbb

Z取最大值.

【命題方向】

%+2y>8

例：若目標函數(shù)z=;c+y中變量x,y滿足約束條件0WXW4.

,0<y<3

(1)試確定可行域的面積；

(2)求出該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解.

解：⑴作出可行域如圖：對應(yīng)得區(qū)域為直角三角形48C,

其中B(4,3),A(2,3),C(4,2),

則可行域的面積s=-AB=^xlx2^1.

（2）由z=x+y,得＞=-天+2,則平移直線y=-x+z,

則由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點A（2,3）時，直線y=-x+z得截距最小，

止匕時z最小為z=2+3=5,

當(dāng)直線經(jīng)過點B（4,3）時，直線y=-x+z得截距最大，

此時z最大為z=4+3=7,

故該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解為（4,3）,（2,3）

這是高中階段接觸最多的關(guān)于線性規(guī)劃的題型，解這種題一律先畫圖，把每條直線在同一個坐標系中表示

出來，然后確定所表示的可行域，也即范圍；最后通過目標函數(shù)的平移去找到它的最值.

題型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域

典例1：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線＞=日+分為面積相等的兩部分，則左的值是（）

7343

A.—B.—C.—D.—

3734

44

分析：畫出平面區(qū)域，顯然點（0,-）在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點（0,結(jié)合圖形尋找直線

33

平分平面區(qū)域面積的條件即可.

解答：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.

3x+y=4\fy/

13(1.1)

4

'43

廣〃+虧

A4A

由于直線丁=丘+可過定點（0,因此只有直線過A3中點時，直線丁=丘+可能平分平面區(qū)域.

15

因為A(1,1),B(0,4),所以AB中點。-).

22

.4、t-15,57

當(dāng)〉=丘+與過點(-,-)時，-=一+一，所以左=5.

?3222233

答案：A.

點評：二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點定域.

注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線.測試點可以選一個，也

可以選多個，若直線不過原點，則測試點常選取原點.

題型二：求線性目標函數(shù)的最值

X——3