河北省唐山某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

2024-2025學(xué)年河北省唐山二中高二(上)月考數(shù)學(xué)試卷(10月份)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.空間直角坐標(biāo)系中，已知4(2,1,3),B(—2,3,1),點(diǎn)4關(guān)于比Oy平面對(duì)稱的點(diǎn)為C,則8,。兩點(diǎn)間的距離為

()

A.6B.2代C.275D.回

2.已知(-3,避)是直線I的一個(gè)方向向量，則直線［的傾斜角為()

A.TB.?C.等D.

3.如圖，M是四面體。4BC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段0M上，點(diǎn)P在線段4N上，且o

MN=|o/V,AP=*4N,用向量力?，~0B,玩表示存，則存=()

A秒+那+初”fX

B.|O1+|OB+|OC"

C.^OA+^OB+^0C

口.初+那+/

4.設(shè)x,yER,向量2=(久,1,1),b=(l,y,l),C=(2,-4,2),Ma1c,b//c,則多+>=().

A.2^/2B.C.3D.4

5.若點(diǎn)(1,1)在圓久2+產(chǎn)一%-￡1=0的外部，貝必的取值范圍為()

A.(-11)B.(11)C.(—8,1)D.(1,+oo)

6.已知直線A：x+(2a—l)y+2a—3=0,I2：ax+3y+a2+4=0,則“a=—是"I，/%"的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知半徑為3的圓C的圓心與點(diǎn)P(—2,1)關(guān)于直線尤—y+1=0對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(%+I)2+(y—I)2=9B.(x—I)2+(y-l)2=81

C.x2+y2—9D.x2+(y+l)2=9

8.直線［的方向向量為拓=(1,1,0),且/過(guò)點(diǎn)4(1,1,1),則點(diǎn)P(2,2,—1)到直線/的距離為()

A.A/2B.A/3C.2D.3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

第1頁(yè)，共8頁(yè)

9.給出下列命題，其中正確的命題是()

A.若直線2的方向向量為"=(1,0,3),平面a的法向量為￡=(一2,0,|),則直線l〃a

B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)0,有加=第了+那+冠，貝"P、4、B、C四點(diǎn)共面

c.若｛3薪｝為空間的一個(gè)基底，貝Ui++c,c+2｝構(gòu)成空間的另一個(gè)基底

D.\a\-\b\=|之+另|是就共線的充要條件

10.下列說(shuō)法正確的是()

A.直線收％+y+1=。的傾斜角為120。

B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,l),且在x,y軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為x-y-l=0

C.直線/：mx+y+2—爪=0恒過(guò)定點(diǎn)(1,—2)

D.直線，1：x+2ay+1=0,%：(a—l)x—y—4—0,若，i-LI2，則。=—1

11.如圖，在正方體ABCD-AiBiCiOi中，。是上底面ABC。的中心，E,F分別

為AB,AO的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.4。1EF

B.直線"1。與平面/i/CiDi所成角的正切值為"

TT

C.平面EF為與平面BBC1C的夾角為I

D.異面直線41。與BiE所成角的余弦值為嚅

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.平面71的法向量是：=(一2,-2,1),點(diǎn)4(一1,3,0)在平面a內(nèi)，則點(diǎn)P(—2,1,4)到平面a的距離.

13.己知圓C：(久一l)2+y2=i,以圓心C和P(3,2)為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

14.直線1的方程為(4+2)x+(2-l)y-3Z=0(4GR),當(dāng)原點(diǎn)。到直線珀勺距離最大時(shí)，4的值為一

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知428。頂點(diǎn)2(3,3),邊4C上的高所在直線方程為x-y+6=0,邊AB上的中線CM所在的直線方程

為5久一3y-14=0.

(1)求直線AC的方程；

(2)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)與△ABC的面積.

第2頁(yè)，共8頁(yè)

16.(本小題15分)

如圖，四棱柱力BCD-&B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)4為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1,且兩兩夾角為

60°.

(1)求力的的長(zhǎng)；

(2)求證：ACilBD；

(3)求BDi與2C夾角的余弦值.

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—A8CD中，底面A8CD為菱形，ABAD=60°,△PCD為等邊三角形，E為棱PC中點(diǎn)，平

面PDC1平面2BCD.

(I)證明：P4〃平面BDE；

(II)求直線PB與平面BDE所成角的正弦值.

18.(本小題17分)

已知坐標(biāo)原點(diǎn)在圓C：x2+y2-2mx+2^my+4機(jī)2—4=0的內(nèi)部.

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若圓C關(guān)于直線1：kx-y-k=0對(duì)稱，求k的取值范圍.

第3頁(yè)，共8頁(yè)

19.(本小題17分)

已知三棱臺(tái)4BC-41B1C1如圖所示，其中力C=2BC==等4止1=4,44=B$=QC.

(1)若直線/u平面ABB1公,且I1AB,求證：直線11平面4BC；

(2)若平面ABC與平面Ai/Ci之間的距離為3,求平面4聲中與平面4停18所成角的余弦值.

第4頁(yè)，共8頁(yè)

參考答案

l.A

2.D

3.X

4.C

5.4

6.C

7.0

8.C

9.BC

IQ.ACD

11.ABD

12.y

13.(x-2)2+(y—l)2=2

14.-5

15.解：(1)由于邊AC上的高所在直線方程為x—y+6=0,

所以設(shè)直線47的方程為x+y+c=0,由于點(diǎn)力(3,3)滿足直線4c的方程，故c=-6；

故直線2C的方程為x+y-6=0.

⑵由于點(diǎn)C既滿足直線5x-3y-14=0的方程，又滿足x+y-6=0的方程，

故伊;誓Y(T°,解需等，故C(4,2).

設(shè)由于點(diǎn)B滿足直線％-y+6=0,

故a-b+6=0；

設(shè)A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為(貸A號(hào))，滿足5x-3y-14=0,

故5x審-3x審-14=0,整理得5a-36-22=0,

^^(50-36-220,解得糖=盥故5(20,26)；

故點(diǎn)B(20,26)到直線x+y—6=0的距離d=股贄辿=20啦，\AC\=&

故531=已&x20&=20.

第5頁(yè)，共8頁(yè)

16.解：(1)設(shè)=五，AD=bfAAi=c,

、—?i,—〔>>—

由已知得，a-b=-,b-c=-,a-c=-f\a\=\b\=|c|=1,

,>—>—>—>

又AC】=a+b+c,

???\AC\=J(Z+1+』)2="l+l+l+l+l+l=g

(2)證明：由題意結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則可得何=2+3+2,BD=b-a,

--->>—>—>—>"—>—>->>—>—>>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

AC1?BD=(a+b+c)?(b-a)=a-b+網(wǎng)'+c-b—\a\z-a-h—a-c=c-b—a-c=0,

所以布，說(shuō)，

所以力Cl1BD；

(3)解：由題意結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則可得西=加+"-Z,AC^a+b,

所以8s西苑=f=略

即BDi與2C夾角的余弦值為坐.

17.解：(/)證明：連接2C交BD于F,連接EF,

■.?底面ZBCD為菱形，F(xiàn)是4C中點(diǎn)，又E為棱PC中點(diǎn)，

故FE7/P4,又EFu平面BOE,P2C平面8DE；

???P4〃平面BDE；

(〃)取CD的中點(diǎn)。，連接。8,OP,

PCD為等邊三角形，PO1CD,

?平面PDC_L平面48CD.平面PDCC平面ABC。=CD.

.-.OP1平面4BCD又底面4BCD為菱形，乙BAD=60°,OB1CD,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。8,OC,OP所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)CD=4,則B(2*,0,0),0(0-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2?E(0,l,避)，

則而=((0,3,包而=(2避,2,0),

設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為五=(x,y,z),

第6頁(yè)，共8頁(yè)

2

E

則口?囂二;臆令y=B則x=—1，z=-3,

???平面BDE的一個(gè)法向量為￡=(-1,73-3),

又方=(2眄0「2避)，

設(shè)直線PB與平面BDE所成角為0,

.I77DT、I1尸8,川48A/2€

???sinOn=cos<PB,n>\=^=；—,=----M—

11\PB\?\n\JlM+3o+9xJ12+1213

直線PB與平面BDE所成角的正弦值為逆.

18.解：⑴???原點(diǎn)在圓C的內(nèi)部，4m2-4<0,-1<m<1,m的范圍為：（一1,1）.

（2）由圓C方程得。（血,一73m）,

???圓C關(guān)于直線/對(duì)稱，???圓心C在直線/上，

即km+通m—k=0,??.fc（m-1）=—巡TH,

當(dāng)?n=1時(shí)，0=-避不成立.

當(dāng)加*1時(shí)，k=―史％=絲二11土史=—p—JL,

m—1m—1m—1

11.J3__V3

—1<m<1,???—2<m—1<0,-------V,<1

m-1-------2'm—12

避-￡>-*,則k>-學(xué),

m—122

即々的取值范圍為（一*+8）.

第7頁(yè)，共8頁(yè)

19.(1)證明：依題意，BC=2,B1C1==75.

如圖所示，延長(zhǎng)三條側(cè)棱交于點(diǎn)。，

由4遇=B1B=CiC,可得D4=DB=DC,

且必，Bi，Ci分別為線段DB,DC的中點(diǎn)，

取4B的中點(diǎn)M,則DM1AB,

由筆器，可得裝=小貝1MB=2&Bi=26

DCZADZ

XAC2+BC2^AB2,貝!]C41CB,所以4M=CM,

則△DAM^△DCM,故NDMA=乙DMC=90°,

即DM1MC,而48nMC=M,且AB,MCu