人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊第二章 直線和圓的方程章末復習

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊PAGEPAGE1章末復習一、兩直線的平行與垂直1．判斷兩直線平行、垂直的方法(1)若不重合的直線l1與l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則k1＝k2?l1∥l2.(2)若直線l1與l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則k1·k2＝－1?l1⊥l2.(討論兩直線平行、垂直不要遺漏直線斜率不存在的情況)2．討論兩直線的平行、垂直關系，可以提升學生的邏輯推理素養(yǎng)．例1(1)已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(a＋1,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,3)))，C(2－2a，1)，D(－a，0)四點，若直線AB與直線CD平行，則a＝________.〖答案〗3〖解析〗kAB＝eq\f(－\f(1,3)＋\f(a＋1,3),0－1)＝－eq\f(a,3)，當2－2a＝－a，即a＝2時，kAB＝－eq\f(2,3)，CD的斜率不存在．∴AB和CD不平行；當a≠2時，kCD＝eq\f(0－1,－a－2＋2a)＝eq\f(1,2－a).由kAB＝kCD，得－eq\f(a,3)＝eq\f(1,2－a)，即a2－2a－3＝0.∴a＝3或a＝－1.當a＝3時，kAB＝－1，kBD＝eq\f(0＋\f(1,3),－3)＝－eq\f(1,9)≠kAB，∴AB與CD平行．當a＝－1時，kAB＝eq\f(1,3)，kBC＝eq\f(1＋\f(1,3),4)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(1－0,4－1)＝eq\f(1,3)，∴AB與CD重合．∴當a＝3時，直線AB和直線CD平行．(2)若點A(4，－1)在直線l1：ax－y＋1＝0上，則l1與l2：2x－y－3＝0的位置關系是________．〖答案〗垂直〖解析〗將點A(4，－1)的坐標代入ax－y＋1＝0，得a＝－eq\f(1,2)，則＝－eq\f(1,2)×2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2.反思感悟一般式方程下兩直線的平行與垂直：已知兩直線的方程為l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0)，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.跟蹤訓練1(1)已知直線l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，則實數(shù)a的值為________．〖答案〗－3(2)已知兩直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，則m＝________.〖答案〗－1〖解析〗因為直線x＋my＋6＝0與(m－2)x＋3y＋2m＝0平行，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1×3－mm－2＝0，,2m≠6m－2，))解得m＝－1.二、兩直線的交點與距離問題1．兩條直線的位置關系的研究以兩直線的交點為基礎，通過交點與距離涵蓋直線的所有問題．2．兩直線的交點與距離問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．例2(1)若點(1，a)到直線y＝x＋1的距離是eq\f(3\r(2),2)，則實數(shù)a的值為()A．－1 B．5C．－1或5 D．－3或3〖答案〗C〖解析〗∵點(1，a)到直線y＝x＋1的距離是eq\f(3\r(2),2)，∴eq\f(|1－a＋1|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，即|a－2|＝3，解得a＝－1或a＝5，∴實數(shù)a的值為－1或5.(2)過點P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，求直線l的方程．解設l1與l的交點為A(a，8－2a)，則由題意知，點A關于點P的對稱點B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.反思感悟跟蹤訓練2(1)設兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是關于x的方程x2＋x－2＝0的兩個實數(shù)根，則這兩條直線之間的距離為()A．2eq\r(3)B.eq\r(2)C．2eq\r(2)D.eq\f(3\r(2),2)〖答案〗D〖解析〗根據(jù)a，b是關于x的方程x2＋x－2＝0的兩個實數(shù)根，可得a＋b＝－1，ab＝－2，∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3，故兩條直線之間的距離d＝eq\f(|a－b|,\r(2))＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).(2)已知直線l過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點，且點P(0,4)到直線l的距離為2，則這樣的直線l的條數(shù)為()A．0B．1C．2D．3〖答案〗C〖解析〗方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,2x＋3y－8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即直線l過點(1,2)．設點Q(1,2)，因為|PQ|＝eq\r(1－02＋2－42)＝eq\r(5)＞2，所以滿足條件的直線l有2條．故選C.方法二依題意，設經過直線l1與l2交點的直線l的方程為2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由題意得eq\f(|12－8λ＋3λ－8|,\r(2＋λ2＋3－2λ2))＝2，化簡得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或eq\f(18,5)，代入得直線l的方程為y＝2或4x－3y＋2＝0，故選C.三、直線與圓的位置關系1．直線與圓位置關系的判斷方法(1)幾何法：設圓心到直線的距離為d，圓的半徑長為r.若d<r，則直線和圓相交；若d＝r，則直線和圓相切；若d>r，則直線和圓相離．(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，其判別式為Δ.Δ＝0?直線與圓相切；Δ>0?直線與圓相交；Δ<0?直線與圓相離．2．研究直線與圓的位置關系，集中體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．例3已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.(1)m∈R時，證明l與C總相交；(2)m取何值時，l被C截得的弦長最短？求此弦長．(1)證明直線的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，由點斜式可知，直線恒過點P(4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點P在圓內，故直線l與圓C總相交．(2)解圓的方程可化為(x－3)2＋(y＋6)2＝25.如圖，當圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時，線段AB的長度最短．此時PC⊥l，又kPC＝eq\f(－3－－6,4－3)＝3，所以直線l的斜率為－eq\f(1,3)，則2m＝－eq\f(1,3)，所以m＝－eq\f(1,6).在Rt△APC中，|PC|＝eq\r(10)，|AC|＝r＝5.所以|AB|＝2eq\r(|AC|2－|PC|2)＝2eq\r(15).故當m＝－eq\f(1,6)時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為2eq\r(15).反思感悟直線與圓問題的類型(1)求切線方程：可以利用待定系數(shù)法結合圖形或代數(shù)法求得．(2)弦長問題：常用幾何法(垂徑定理)，也可用代數(shù)法結合弦長公式求解．跟蹤訓練3已知圓C關于直線x＋y＋2＝0對稱，且過點P(－2,2)和原點O.(1)求圓C的方程；(2)相互垂直的兩條直線l1，l2都過點A(－1,0)，若l1，l2被圓C所截得的弦長相等，求此時直線l1的方程．解(1)由題意知，直線x＋y＋2＝0過圓C的圓心，設圓心C(a，－a－2)．由題意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得a＝－2.因為圓心C(－2,0)，半徑r＝2，所以圓C的方程為(x＋2)2＋y2＝4.(2)由題意知，直線l1，l2的斜率存在且不為0，設l1的斜率為k，則l2的斜率為－eq\f(1,k)，所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，l2：y＝－eq\f(1,k)(x＋1)，即x＋ky＋1＝0.由題意，得圓心C到直線l1，l2的距離相等，所以eq\f(|－2k＋k|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－2＋1|,\r(k2＋1))，解得k＝±1，所以直線l1的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.四、圓與圓的位置關系1．圓與圓的位置關系：一般利用圓心間距離與兩半徑和與差的大小關系判斷兩圓的位置關系．2．圓與圓的位置關系的轉化，體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng)．例4已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0與圓C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.(1)證明圓C1與圓C2相切，并求過切點的兩圓公切線的方程；(2)求過點(2,3)且與兩圓相切于(1)中切點的圓的方程．解(1)把圓C1與圓C2都化為標準方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.圓心與半徑長分別為C1(－2,2)，r1＝eq\r(13)；C2(4，－2)，r2＝eq\r(13).因為|C1C2|＝eq\r(－2－42＋2＋22)＝2eq\r(13)＝r1＋r2，所以圓C1與圓C2相切．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x－4y－5＝0，,x2＋y2－8x＋4y＋7＝0，))得12x－8y－12＝0，即3x－2y－3＝0，就是過切點的兩圓公切線的方程．(2)由圓系方程，可設所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.點(2,3)在此圓上，將點坐標代入方程解得λ＝eq\f(4,3).所以所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋eq\f(4,3)(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－eq\f(20,3)y－9＝0.反思感悟兩圓的公共弦問題(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．跟蹤訓練4(1)已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點，則線段AB的中垂線方程為________．〖答案〗x＋y－3＝0〖解析〗AB的中垂線即為圓C1、圓C2的連心線C1C2.又C1(3,0)，C2(0,3)，所以C1C2所在直線的方程為x＋y－3＝0.(2)已知圓C1：x2＋y2－4x＋2y＝0與圓C2：x2＋y2－2y－4＝0.①求證：兩圓相交；②求兩圓公共弦所在直線的方程．①證明圓C1的方程可化為(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圓C2的方程可化為x2＋(y－1)2＝5，∴C1(2，－1)，C2(0,1)，兩圓的半徑均為eq\r(5)，∵|C1C2|＝eq\r(2－02＋－1－12)＝2eq\r(2)∈(0,2eq\r(5))，∴兩圓相交．②解將兩圓的方程相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程，(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，即x－y－1＝0.1．(2019·天津改編)設a∈R，直線ax－y＋2＝0和圓x2＋y2－4x－2y＋1＝0相切，則a的值為________．〖答案〗eq\f(3,4)〖解析〗由已知條件可得圓的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，其圓心為(2,1)，半徑為2，由直線和圓相切可得eq\f(|2a－1＋2|,\r(a2＋1))＝2，解得a＝eq\f(3,4).2．(2017·北京改編)在平面直角坐標系中，點A在圓C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0上，點P的坐標為(1，0)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AP))的最小值為________．〖答案〗1〖解析〗x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圓心坐標為C(1,2)，半徑長為1.∵點P的坐標為(1,0)，∴點P在圓C外．又∵點A在圓C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.3．(2017·天津改編)已知點C在直線l：x＝－1上，點F(1,0)，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC＝120°，則圓的方程為________________．〖答案〗(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1〖解析〗由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切，可得點C的橫坐標為－1，圓的半徑為1，∠CAO＝90°.又因為∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝eq\r(3)，所以點C的縱坐標為eq\r(3).所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1.4．(2019·江蘇改編)如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB(AB是圓O的直徑)．規(guī)劃在公路l上選兩個點P，Q，并修建兩段直線型道路PB，QA.規(guī)劃要求：線段PB，QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A，B到直線l的距離分別為AC和BD(C，D為垂足)，測得AB＝10，AC＝6，BD＝12(單位：百米)．(1