2023年中考數(shù)學(xué)綜合壓軸題突破：二次函數(shù)

2023年中考數(shù)學(xué)綜合壓軸題突破——二次函數(shù)

一、綜合題

1.如圖，拋物線y=ax2+bx+2交x軸于點(diǎn)A（-3,0）和點(diǎn)B（l,0）,交y軸于點(diǎn)C.

圖1圖2

（1）求這個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（1）求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式（不必寫出x的取值范圍）.

（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ADCP面積的最大

（2）為使獎(jiǎng)杯更加美觀，小敏提出了改進(jìn)方案，如圖2,杯體ACB'所在拋物線形狀不變，杯口直徑

值.

ABf//AB,杯腳高CO不變，杯深CD'與杯高ODr之比為0.6,求AB'的長.

2.已知一個(gè)二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表所示:

4.如圖，拋物線的頂點(diǎn)為￡（-1,4）,且過點(diǎn)A（-3,0）,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是這條拋物線上一點(diǎn),

X-10123

它的橫坐標(biāo)為如且-3VmV-l,過點(diǎn)。作QK_L%軸，垂足為K,QK分別交線段AE,AC于點(diǎn)G,H.

y0-3m-30

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求m的值；

（3）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象;

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：GH=HK；

（3）當(dāng)△CGH是等腰三角形時(shí)，直接寫出根的值.

5.某賓館有若干間標(biāo)準(zhǔn)房，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格為200元時(shí)，每天入住的房間數(shù)為60間.經(jīng)市場調(diào)查表明，該館

每間標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格在170?240元之間（含170元，240元）浮動(dòng)時(shí)，每天入住的房間數(shù)y（間）與每間標(biāo)準(zhǔn)

房的價(jià)格x（元）的數(shù)據(jù)如下表:

X（元）190200210220

（4）這個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,力和（。，與兩點(diǎn)，寫出?=,b=.

y（間）65605550

3.小聰設(shè)計(jì)獎(jiǎng)杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直角坐標(biāo)系中畫出截面示意圖，如圖1,杯體ACB是拋

物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)C在y軸上，杯口直徑AB=4,且點(diǎn)A,B關(guān)于y軸對稱，杯腳高

8=4,杯高￡>0=8,杯底MN在x軸上.

興即y，

(1)求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)(用含m的式子表示)；

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，并畫出圖形

(2)連接0A,若△OAF是等腰三角形，求m的值;

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍.

(3)如圖2,設(shè)拋物線y=a(x-m+6)?+h經(jīng)過A、E兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M,連接AM,若NOAM=90。，

(3)設(shè)客房的日營業(yè)額為w(元).若不考慮其他因素，問賓館標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格定為多少元時(shí)，客房的日營

求a、h、m的值.

業(yè)額最大？最大為多少元？

9.“燃情冰雪，拼出未來”，北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日如約而至.某商家已提前開始冬奧會(huì)吉祥物“冰

6.設(shè)二次函數(shù)yi=(x-a)(x-a-1)+(x-3),其中a為實(shí)數(shù)。

墩墩”紀(jì)念品的銷售.每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)40元，規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元，且不高于52元.銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)yi的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300個(gè)，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷量減少10個(gè).現(xiàn)商家決定提價(jià)銷

(2)若不論a為何值，二次函數(shù)yi的頂點(diǎn)都在同一函數(shù)y2的圖象上，求函數(shù)y2的表達(dá)式;

售，設(shè)每天銷售量為V個(gè)，銷售單價(jià)為％元.

(3)若二次函數(shù)yi的圖象與x軸正半軸始終有交點(diǎn)，求a的取值范圍。

(1)直接寫出y與％之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量％的取值范圍；

7.如圖AB=AC=10>/3，ZBAC=120°，ZDAC=90°，點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度

(2)求當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品的銷售單價(jià)是多少元時(shí)，商家每天獲利2400元；

向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以lcm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，P、(3)將紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？

Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)【問題探究】

(1)如圖1，用含t的式子表示ABPQ的面積求出ABPQ的最大面積；

如圖1,在中，BC=8,點(diǎn)。為A5上一點(diǎn)，且=DELBC于點(diǎn)、E,若△ABC的面積為

(2)如圖1,4BPQ的面積與四邊形AQPC的面積能否相等如果能，求t的值，如果不能說明理由.24,求DE的長.

(3)如圖2,點(diǎn)P為圓心，PQ為半徑作圓，點(diǎn)P、。在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，直線AC(2)【問題解決】

與。尸相切度填寫出t的值.如圖2,某小區(qū)有一塊三角形空地ABC,其中AB=AC=5O米，3C=60米，開發(fā)商計(jì)劃在這片空地上進(jìn)行

8.如圖1,矩形ABCD的一邊BC在直角坐標(biāo)系中x軸上，折疊邊AD,使點(diǎn)D落在x軸上點(diǎn)F處，折痕為綠化和修建運(yùn)動(dòng)場地，在3C邊上選一點(diǎn)。，邊上取一點(diǎn)E,使得=過點(diǎn)E作EF〃BC交AC

AE,已知AB=8,AD=10,并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(m,0),其中mVO.于點(diǎn)尸，連接在中和把區(qū)域內(nèi)綠化，在四邊形CD￡戶區(qū)域內(nèi)修建運(yùn)動(dòng)場地.若設(shè)的長為

%(米)，運(yùn)動(dòng)場地(四邊形儀出尸)的面積為y(平方米).

①求y與％之間的函數(shù)關(guān)系式；

②運(yùn)動(dòng)場地(四邊形8E尸)的面積是否存在最大值？若存在，求出運(yùn)動(dòng)場地(四邊形COE尸)面積的最大

值及取得最大值時(shí)的長；若不存在，請說明理由.

11.如圖，二次函數(shù)廣-；x2+2x+l的圖像與一次函數(shù)y=-x+l的圖像交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

的頂點(diǎn)，P是x軸下方線段AB上一點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合)，過點(diǎn)P分別作x軸的垂線和平行線，垂足為E,平

(2)若M是OB上的一點(diǎn)，作MN〃AB交OA于N,當(dāng)4ANM面積最大時(shí)，求MN的長；

行線交直線BC于點(diǎn)F.

(3)P是x軸上的點(diǎn)，過P作PQ，x軸與拋物線交于Q,過A作ACJ_x軸于C(點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合)，當(dāng)

以O(shè),P,Q為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè),A,C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B,C重合)，作PD±x軸，垂足為D,連接

(1)若反比例函數(shù)y=-的圖像正好過點(diǎn)C,求k的值；

XPC.

(2)求當(dāng)在EF面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；

①如圖1,若點(diǎn)P在第三象限，且NCPD=45。,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,將二次函數(shù)y=1x2+2x+l關(guān)于x軸對稱得到新拋物線y',y'的頂點(diǎn)為C,再將

②直線PD交直線BC于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)、E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)E落在V軸上時(shí)，求四邊形

V沿直線AB的方向平移得到新拋物線y〃，y〃的頂點(diǎn)為C〃.在平移過程中，是否存在一個(gè)合PECE'的周長.

14.如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(2,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)

適的位置，使得小ABC"是一個(gè)直角三角形?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存

動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m(0<m<2).連接AC,BC,DB,DC.

在，請說明理由.

12.如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)0(0,0),A(8,4),與x軸交于另一點(diǎn)B,且對稱軸是直線x=3。

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式

35

(2)△BCD的面積何時(shí)最大？求出此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)和最大面積；(3)把拋物線y=ax2+bx+c(a^0)向右平移1個(gè)單位，再向上平移弓個(gè)單位得新拋物線，在新

216

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)

拋物線對稱軸上找一點(diǎn)M,在新拋物線上找一點(diǎn)N,直接寫出所有使得以點(diǎn)A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是

M,使得以點(diǎn)B,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請

平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的過程寫出來.

說明理由.17.如圖，已知拋物線y=^x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-l,0)、B(5,0)

(1)求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)C在拋物線上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為8,求四邊形AMBC的面積.

(3)定點(diǎn)Z)(0,m)在>軸上，若將拋物線的圖象向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位得到一條新

的拋物線，點(diǎn)P在新的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求定點(diǎn)D與動(dòng)點(diǎn)P之間距離的最小值d(用含m的代數(shù)式

表示).

18.如圖1,拋物線y=^+bx+c過點(diǎn)A(4,-l),，點(diǎn)C為直線AB下方拋物線上一

(2)①直接寫出點(diǎn)An,及點(diǎn)Bn的坐標(biāo)(用含n的代數(shù)式表示)動(dòng)點(diǎn)，M為拋物線頂點(diǎn)，拋物線對稱軸與直線AB交于點(diǎn)N.

②點(diǎn)Bi,B2,B3,…，Bn是否在同一條拋物線上？若在，求出此拋物線的解析式；若不在，請說明理

由.

(3)①求NOB2A5的度數(shù)；②若△AiBzAn,與△A1B2A11+3相似，求n的值.

16.如圖1,拋物線y=阮+c(〃wo)與x軸交于A(T,0),B(l,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0,3)

(1)求拋物線的表達(dá)式與頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

(2)在直線AB上是否存在點(diǎn)。，使得C,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若

存在，請求出D點(diǎn)坐標(biāo);

(3)在)軸上是否存在點(diǎn)。，使ZAQM=45°?若存在，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由.

圖I圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)P為直線AC上方且拋物線對稱軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線

于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H,求PD+PH的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

答案解析部分???根=T；

(3)解：函數(shù)圖象如下所示:

2

9a—3Z?+2=0,“=一寸

1.【答案】(1)解：將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得,解得

a+b+2=0,4

b~3

2汽4

故拋物線的表達(dá)式為：y=—x2——x+2

33

(2)解：連接OP，

設(shè)點(diǎn)0［羽一3"一§%+2）,

由（1）中表達(dá)式可得點(diǎn)C（0,2）,3.【答案】(1)解：設(shè)y=ax2+4,

則S=S四邊形的尸=5A?。+S&CPO_SQDC=gxAOx%+gxOCx上尸|-；xCOx00???杯口直徑AB=4,杯高DO=8,

5(2,8)

將尤=2,J=8代入，得a=l，

317

V-l<0，故S有最大值，當(dāng)％=—1時(shí)，S的最大值為1.

24/.y=x2+4

2.【答案】(1)解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)解析式為丁=辦2+"+小CD'

（2）解：----=0.6,

ODf

a-b+c=0CD'“

/.------=0.6,

4。+2Z?+c=-3,4+CD

c=-3:.CDr=6,3=10,

a=l當(dāng)y=10時(shí)，10=爐+4,

b=-2,

c=-3%=&或%2=—A/6,

；?二次函數(shù)解析式為y=/一2%-3；/.A!B'=276,

(2)解：???二次函數(shù)解析式為了二爐―2%—3,即杯口直徑AB'的長為26

???當(dāng)％=1時(shí)，j=l2-2xl-3=-4,4.【答案】（1）解：???拋物線的頂點(diǎn)為E（-1,4）,

???設(shè)拋物線的解析式為：

y=a(x+l)2+4(。wO),:.GH=HK；

3

（3）m的值為一]或3-30

???拋物線過點(diǎn)A(-3,0),將其代入解析式為：

4。+4=0,

解得：a=—l,

拋物線的解析式為：J=-(X+1)2+4；

(2)證明：設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+b(k^O),

將點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)E(-1,4)代入解析式：

{-3k+b=0

\-k+b=^，

[k=2

解得：人(，

[b=6

將(200,60)、(220,50)代入，得："盤獸二??，

直線AE的解析式為：y=2x+6,(.ZzOfc+b=50,

解得,=一義,

設(shè)直線AC的解析式為：y=k1x+bl(kl^O),

(b=160,

拋物線的解析式為：丁=一(％+1『+4化簡得：y=—/―2%+3

Jj=--x+160(170<x<240)

2

當(dāng)=0時(shí)，y=3,11,

x(3)解：w=xy=x(--x+16O)=--x2+160x,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為：C(0,3),b

對稱軸為直線x=———=160,

2a

將點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)C(0,3)代入解析式：

■:ct=—<0,

卜3勺+4=02

?

(4=3???在1700x0240范圍內(nèi)，w隨x的增大而減小，

???當(dāng)x=170時(shí)，w有最大值，最大值為12750元

億=1

解得：.，2

山=36.【答案】(1)解：由題意知，yi=(x-a)+a-3

所以函數(shù)yi圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a-3),

直線AC的解析式為：y=x+3,

當(dāng)a=0時(shí)，通數(shù))的圖像的點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3)

???D的橫坐標(biāo)為m,DKLx軸，

(2)解：因?yàn)楹瘮?shù)yi圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a-3),

代入AE的解析式為：y=2m+6,又因?yàn)椴徽揳為可值，一次函數(shù)y2=kx+b都經(jīng)過yi的頂點(diǎn)，所以一次函數(shù)y2的函數(shù)表達(dá)式為y2=x-3

代入AC的解析式為：y=m+3,(3)解：當(dāng)二次函數(shù)yi的圖象過原點(diǎn)時(shí)，0=(0-a)2+a-3

-1-岳

GK=2m+6，HK=m+3，a=(此時(shí)圖象對稱軸在y軸左側(cè))

2

：.GH=GK-HK=m+3，

或2=T+W（此時(shí)圖象對稱軸在y軸右側(cè)）=10+20-2?

2=30—2/

當(dāng)二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，a=3oS.BPQ=；BP.QE

由圖可知，若二次函數(shù)yi的圖象與x軸正半軸始終有交點(diǎn)，+岳<x<3

2=g(30-2t冷

7.【答案】（1）解：如圖，過點(diǎn)Q作QE1BC于E，務(wù)+峭

22

由題意可知DQ=t,CP=2t

\'ZDAC=90°,ZBAC=120°,AB=AC=10^

■-?當(dāng)”號(hào)時(shí)，S,11PB最大值=空叵

:.ZBAD=ZACD=ZABD=30°28

:.ZADC=6O°,BD=AD

(2)解：S四邊形AQPC=^&ADC~SADQP

:.QE=QDsinZADC

=^ADAC-SADPQ

=QDx——=——t

22=-xl0xl0>/3--x(20-2r)x—z

222

——=sinZADC

DC=50囪-5"+02

DC=———2

sinZADC

當(dāng)ABPQ的面積與四邊形AQPC的面積相等時(shí)，有

10A/3

=—^=20

—烏2+叫=50百一5后+烏2

2

222

/.BD=AD=DC-cosZADC

整理得：y/3t2-—^t+50^=0

2

=-DC=10

2

即：2?-25/+100=0

:.DP=DC-PC=20-2t

2

VA=25-4X2X100<0

:.BP=BC-PC

???原方程沒有實(shí)數(shù)解.

BD+DC-CP

?.&BPQ的面積與四邊形AQPC的面積不相等.???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m-10,3),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m-6,0)

(2)解：分三種情形討論：

(3)解：如圖：作PF1AC，

若AO=AF,

VAB±OF,BF=6,

.\OB=BF=6,

.\m=-6；

若OF=AF,則m-6=-10,得m=-4；

若AO=OF,

在RtAAOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64,

7

(m-6)2=m2+64,得m=--；

PF=PQ3

7

ZACB=30°由上可得，m=-6或-4或--

:.ZFPC=60°(3)解：由(1)知A(m,8),E(m-10,3),

:.FP=PCcosZFPC=-PC=t'?,拋物線y=a(x-m+6)2+h經(jīng)過A、E兩點(diǎn),

2

a(m—m+6)2+h=8

\DQ=t,ZADC=60°.J

[a(m-10-m+6)2+/i=3'

:.DP=DQ=PQ=t