人教版六年級下冊數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第十八講同余問題（含答案）

第十八講同余問題第一部分：趣味數(shù)學(xué)韓信巧點(diǎn)兵大將軍韓信去校場清點(diǎn)兵馬。1000名左右的士兵整整齊齊地排列在操場上。韓信身披戰(zhàn)袍,威風(fēng)凜凜地?fù)]動(dòng)令旗,開始指揮軍隊(duì)。韓信把手中的令旗向左一揮,士兵們的隊(duì)形立刻開始變化,排成了3列縱隊(duì),韓信看到,最后一排不足3人,只有2人。接著,令旗向右一揮,隊(duì)形又變化了,這回變成了5列縱隊(duì),仍然還有一排人數(shù)不足5人,只有3人，韓信又記下了這一排的人數(shù)。最后,令旗向上一揚(yáng),士兵們馬上又變成了7列縱隊(duì),最后一排是兩個(gè)人。閱兵結(jié)束,韓信叫來值日官,說:“你知道一共有多少士兵嗎?”值日脹紅了臉,說:“這個(gè),我得先去查查花名冊?！表n信笑道:“不用查了,一共有1073個(gè)士兵?！敝等展俜浅ｓ@訝,說:“大將軍真是神人啊,居然可以未卜先知?！表n信搖搖頭,說:“我是根據(jù)士兵的隊(duì)列變化算出來的?！蹦敲?韓信是怎么算的呢?原來啊,韓信看到,士兵排成3列剩2人,排成5列剩3人,排成7列剩2人,那么,根據(jù)余數(shù)的性質(zhì),總?cè)藬?shù)除以3余2，除以5余3,除以7余2。所以,只要求出滿足以上條件的1000附近的數(shù)就行了。韓信經(jīng)過計(jì)算,得出這個(gè)數(shù)是1073。因此,士兵的總?cè)藬?shù)就是1073個(gè)。第二部分：習(xí)題精講專題簡析：同余這個(gè)概念最初是由偉大的德國數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)的。同余的定義是這樣的：兩個(gè)整數(shù)a，b，如果它們除以同一自然數(shù)m所得的余數(shù)想同，則稱a，b對于模m同余。記作：a≡b（modｍ）。讀做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它們有相同的余數(shù)2，這時(shí)我們就說，對于除數(shù)5，12和47同余，記做12≡47（mod5）。同余的性質(zhì)比較多，主要有以下一些：性質(zhì)（1）：對于同一個(gè)出書，兩個(gè)數(shù)之和（或差）與它們的余數(shù)之和（或差）同余。比如：32除以5余數(shù)是2，19除以5余數(shù)是4，兩個(gè)余數(shù)的和是2+4=6?！?2+19”除以5的余數(shù)就恰好等于它們的余數(shù)和6除以5的余數(shù)。也就是說，對于除數(shù)5，“32+19”與它們的余數(shù)和“2+4”同余，用符號表示就是：32≡2（mod5），19≡4（mod5），32+19≡2+4≡1（mod5）性質(zhì)（2）：對于同意個(gè)除數(shù)，兩個(gè)數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余。性質(zhì)（3）：對于同意個(gè)除數(shù)，如果有兩個(gè)整數(shù)同余，那么它們的差就一定能被這個(gè)除數(shù)整除。性質(zhì)（4）：對于同意個(gè)除數(shù)，如果兩個(gè)整數(shù)同余，那么它們的乘方仍然同余。應(yīng)用同余性質(zhì)幾萼體的關(guān)鍵是要在正確理解的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用同余性質(zhì)。把求一個(gè)較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)較小的數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)，使復(fù)雜的題變簡單，使困難的題變?nèi)菀?。例題1：求1992×59除以7的余數(shù)。應(yīng)用同余性質(zhì)（2）可將1992×59轉(zhuǎn)化為求1992除以7和59除以7的余數(shù)的乘積，使計(jì)算簡化。1992除以7余4，59除以7余3。根據(jù)同余性質(zhì)，“4×3”除以7的余數(shù)與“1992×59”除以7的余數(shù)應(yīng)該是相同的，通過求“4×3”除以7的余數(shù)就可知道1992×59除以7的余數(shù)了。因?yàn)?992×59≡4×3≡5（mod7）所以1992×59除以7的余數(shù)是5。1.求4217×364除以6的余數(shù)。2.求1339655×12除以13的余數(shù)。3.求879×4376×5283除以11的余數(shù)。例題2：已知2001年的國慶節(jié)是星期一，求2010年的國慶節(jié)是星期幾？一星期有7天，要求2010年的國慶節(jié)是星期幾，就要求從2001年到2010年的國慶節(jié)的總天數(shù)被7除的余數(shù)就行了。但在甲酸中，如果我們能充分利用同余性質(zhì)，就可以不必算出這個(gè)總天數(shù)。2001年國慶節(jié)到2010年國慶節(jié)之間共有2個(gè)閏年7個(gè)平年，即有“366×2+365×7”天。因?yàn)?66×2≡2×2≡4（mod7），365×7≡1×7≡0（mod7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod7）答：2010年的國慶節(jié)是星期五。練習(xí)2：1.已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期幾？2.已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“十月一日”是星期幾？3.今天是星期四，再過365的15次方是星期幾？例題3：求2001的2003次方除以13的余數(shù)。2001除以13余12，即2001≡12（mod13）。根據(jù)同余性質(zhì)（4），可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod13），但12的2003次方仍然是一個(gè)很大的值，要求它的余數(shù)比較困難。這時(shí)的關(guān)鍵就是要找出12的幾次方對模13與1是同余的。經(jīng)試驗(yàn)可知12的平方≡1（mod13），而2003≡2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod13），即12的2002次方≡1（mod13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。根據(jù)同余性質(zhì)（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod13）因?yàn)椋?001的2003次方≡12的2003次方（mod13）12的平方≡1（mod13），而2003≡2×1001+112的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12（mod13）所以2001的2003次方除以13的余數(shù)是12。練習(xí)3：1.求16的200次方除以13的余數(shù)。2.求2001的2003次方除以13余幾。3.9個(gè)小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分給他們，最后剩下幾粒？例題4：自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，m最大是多少？自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，換句話說就是16520≡14903≡14177（modm）。根據(jù)同余性質(zhì)（3），這三個(gè)餓數(shù)同余，那么它們的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它們差的最大公約數(shù)是多少？因?yàn)?6520—14903=1617=3×7的平方×1116520—14177=2343=3×11×7114903—14177=726=2×3×11的平方M是這些差的公約數(shù)，m最大是3×11=33。練習(xí)4：1.若2836、4582、5164、6522四個(gè)整數(shù)都被同一個(gè)兩位數(shù)相除，所得的余數(shù)相同。除數(shù)是多少？2.一個(gè)整數(shù)除226、192、141都得到相同的余數(shù)，且余數(shù)不為0，這個(gè)整數(shù)是幾？3.當(dāng)1991和1769除以某一個(gè)自然數(shù)m時(shí)，余數(shù)分別為2和1，那么m最小是多少？例題5：某數(shù)用6除余3，用7除余5，用8除余1，這個(gè)數(shù)最小是幾？我們可從較大的除數(shù)開始嘗試。首先考慮與1模8同余的數(shù)，9≡1（mod8），但9輸以7余數(shù)不是5，所以某數(shù)不是9。17≡1（mod8），17除以7的余數(shù)也不是5。25≡1（mod8），25除以7的余數(shù)也不是5。33≡1（mod8），33除以7的余數(shù)正好是5，而且33除以6余數(shù)正好是3，所以這個(gè)數(shù)最小是33。上面的方法實(shí)際是一種列舉法，也可以簡化為下面的格式：被8除余1的數(shù)有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，……其中被7除余5的數(shù)有：33，89，……這些數(shù)中被6除余3的數(shù)最小是33。練習(xí)5：1.某數(shù)除以7余1，除以5余1，除以12余9。這個(gè)數(shù)最小是幾？2.某數(shù)除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此數(shù)最小值。3.在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔（如圖38-1），小明像玩跳棋那樣從A孔出發(fā)沿逆時(shí)針方向每隔幾個(gè)孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先試著每隔2孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。問：這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔？第三部分：數(shù)學(xué)史高斯有多偉大同余這個(gè)概念最初是由偉大的德國數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)的。高斯（Gauss,CarlFriedrich,1777-1855）,德國數(shù)學(xué)家，科學(xué)家，他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才。和牛頓、阿基米德，被譽(yù)為有史以來的三大數(shù)學(xué)家。高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列，有“數(shù)學(xué)王子”之稱。高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。他還把數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)、大地測量學(xué)和磁學(xué)的研究，發(fā)明了最小二乘法原理。高斯的數(shù)論研究總結(jié)在《算術(shù)研究》（1801）中，這本書奠定了近代數(shù)論的基礎(chǔ)，它不僅是數(shù)論方面的劃時(shí)代之作，也是數(shù)學(xué)史上不可多得的經(jīng)典著作之一。高斯對當(dāng)代數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)是證明了代數(shù)基本定理，他的存在性證明開創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的新途徑。高斯一生共發(fā)表1