浙江省A9協(xié)作體高三年級上冊暑假返校聯考試題數學（含解析）

絕密★考試結束前

浙江省A9協(xié)作體暑假返校聯考

高三數學試題卷

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；

2.答題前務必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙

規(guī)定的地方。

3.答題時，請按照答題紙上“注意事項''的要求，在答題紙相應的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙

上答題一律無效。

4.考試結束后，只需上交答題卷。

第I卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。

1.設集合4={x|x>0},B=(X|X2-^<0},則ZD8=

A.{x[0<xWl}B.{x[0<x<l}C.{x[0<xWl}D.{x|04x<l}

2.設復數N滿足(1+3=3-i,則國=

A.72B.y/3C.75D.口

3.已知平面向量”=(1,2),b=(-\,ni),若(2a-b)J_a,則“=

D.U

A.---B.—2C.2

22

2]

4.已知sin(a+6)=],cosorsinP則sin(a-/7)=

1122

A.--B.-C.--D,3

5.函數y=在區(qū)間口,+8)上單調遞增，則a的取值范圍是

A.(-8,2]B.[2,田)C.—JD.[-2,-HO)

6.方程4cos在兀]的根的個數為

A.2B.3C.4D.5

7.一圓柱放置于底面直徑和高都是2的圓錐內，其底面放在圓錐底面上，則圓柱體積最大為

A.電4點八816

B----7TC-—兀D-—兀

27272727

/⑴,李(X)是偶數時’若/⑻.則

8.已知函數/(x)>0,且卸(x+l)=

3/(x)+L當/\x)是奇數時.

浙江省A9協(xié)作體暑假返校聯考高三數學試題卷第1頁共4頁

A./(I)>3B./(2)<10C./(3)<31D./(4)<16

二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目

要求，全部選對得6分，部分選對分別記0分、2分、4分或0分、3分，有選錯的得0分。

9.已知隨機變量X服從正態(tài)分布X~N(2,4),則以下選項正確的是

A.若y=x+2,則E(y)=4B.若y=2X+4,則。(y)=8

C.尸(X<0)=P(XN4)D.P(1<%<4)=1-2P(Z>4)

10.三次函數/卜)=/+辦2+x+l敘述正確的是

A.函數/(x)可能只有一個極值點

B.當。=0時，函數/(x)的圖象關于點(04)中心對稱

C.當飛=-^■時，過點的切線可能有一條或者兩條

D.當時，在點(x°J(x。))處的切線與函數y=/(x)的圖象有且僅有兩個交點

11.數學家笛卡爾研究了很多曲線，傳說笛卡爾給公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一個數學

表達式：r=a(l-sin^),克里斯蒂娜用極坐標知識畫出了該曲線圖象“心形線?！保靼琢说?/p>

卡爾的心意.已知利用關系式一.c和r=)犬+歹2可將信

中表達式轉化為直角坐標系下的曲線方程.如圖，該曲線圖象過

點(0,-2),則

A.a=1

B.曲線經過點(-1,0)

C.當點(X。,九)在曲線上時，-逑〈與〈逑

44

第11題圖

D.當點(X。,”)在曲線上時，-2<j<7

04

第n卷

三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分。

12.雙曲線C：二-匕=1的離心率為▲.

43

13.曲線歹=e、在x=0處的切線恰好是曲線歹=加(％+。)的切線，則實數a=▲.

14.竦(sheng)州是歷史文化名城，早在秦朝已設郡縣，古稱炎U(shan)縣，贍縣、竦縣，古往今

來無數文人墨客都醉心于嫌州的山水風景之中.李白曾夢到：湖月照我影，送我至刺溪.杜甫

有詩曰：物溪蘊秀異，欲罷不能忘.其中萬年小黃山，千年唐詩路，百年越劇是三張重要歷史

文化名片.現有甲、乙兩人到達高鐵煤州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴萬年小黃山、千

年唐詩路之謝靈運垂釣處、越劇誕生地打卡.已知每人都只去1個景點，且甲、乙兩人前往三

地打卡的概率分別是!，!，!和!，!，!，則甲、乙打卡不相同景點的概率為▲.

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四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應該寫出文字說明、證明過程或驗算步驟。

15.(本題滿分13分)在△Z8C中，角Z,8,C所對的邊分別為a,b,c,且2csinZ=3asin3,

,1

cosA=—.

3

(I)證明：a=c；

(11)若b=6,求8C邊上中線ZD的長.

16.(本題滿分15分)已知三棱錐尸一月3C,尸力J_平面48C,ABLBC,AC=2,PA=AB=\,

E為PB的中點，。為胡延長線上一點.

(I)證明：AELCPx

(II)當二面角力-尸。-。余弦值大小為好時，求B。的長.

4

第16題圖

浙江省A9協(xié)作體暑假返校聯考高三數學試題卷第3頁共4頁

17.(本題滿分15分)已知橢圓C：￡+￡=1(a>6>0)的上頂點力(0,2),點P(乎,1)在橢圓。上,

斜率為左的?直線/過點Z交橢圓C于另一點。.

(I)求橢圓C的方程；

(II)當△力尸。的面積是竽時，求仁

18.(本題滿分17分)設函數/(*)=*+即(工+1)]2,g(x)=ln(x+l)[ln(x+l)+〃7+l]+〃.

(I)求/'(x)的最大值；

(H)若函數“X)的極小值點為天,證明：-g</<0；,

(山)若/(x)Ng(x)恒成立，證明：ni+n<e-2.

19.(本題滿分17分)設〃為大于3的正整數，數列｛4｝是公差不為零的等差數列，從中選取〃?項

組成一個新數列，記為也J,如果對于任意的i。=1,2,…,〃-2),均有(4-如油-〃+2)<。，

那么我們稱數列｛bm｝為數列｛冊｝的一個〃一數列.

(I)若數列｛4｝為】23,4,加=4,寫出｛a”｝所有的〃一數列；

(II)如果數列應｝公差為1,m=2k+l,證明:也-??；

(III)記“從數列｛4｝中選取加項組成一個新數列｛",｝為數列｛%｝的〃一數列”的概率為匕，證

明：Pm<\.

浙江省A9協(xié)作體暑假返校聯考高三數學試題卷第4頁共4頁

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高三數學參考答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。

1.答案：A.【解析】因為力={x|x>0},3={x|0WxWl},所以，力n3={x［0<xWl},故選A.

2.答案：C.【解析】因為z===CT)。二。=3:4/+/；=3二4,二1一、方,所以￡=1+2,，

1+/(1+/-XI-022

\z\=y/\2+22=y/5,故選C.

3.答案：D.【解析】因為(2a-b)_L〃，所以(2"6)?°=0,則(2〃-b)?o=3x1+(4-⑼x2=0,所

以7M=U,故選D.

2

21

4.答案：B.【解析】因為sin(a+4)=sinacosA+cosasinA=—,cosasin#=—,

36

所以sinacos/?=；,則sin(a-/?)=sinacos夕一cosasin￡=g-：=；,故選B

5.答案：A.【解析】因為函數夕=2，”+|在區(qū)間［1,?)上單調遞增，所以^=/一。+1在［］,內)上

單調遞增，則即。42,故選A.

2

jr1

6.答案：B.【解析】畫出函數在同一坐標系內畫出，(x)=cos(x)和g(x)=-(x-l)圖象，

34

因為/(--■)=-1<g(~—)=---—,所以/'(x)=cos(x-')與g(x)=圖象在區(qū)間［一肛幻

336434

上有三個不同的交點，即方程4cos(x-。)=x-l有三個不同的根.故選B.

八y

7.答案：C.【解析】設圓柱的底面半徑為廣，高為h，由白心=乙，則〃=2-2"，

r1

所以廠=初26=2勿2。-尸)，因為『(/?)=_24(3「2-2「)，令『&)=0,則r=[,

所以P(r)a=P(|)=/*故選C.

8.答案：D.【解析】由〃8)=1逆推得，

/⑻=1f/⑺=2f/(6)=4-/(5)=8f/(4)=16f/(3)=32f/⑵=64f/(I)=128；

/(8)=lf/(7)=2f〃6)=4-?〃5)=8->/(4)=16f〃3)=32f/(2)=64T/(1)=21；

/⑻=lf/(7)=2->/(6)=4f/(5)=8f/(4)=16f/(3)=5f/(2)=10->〃l)=20；

浙江省A9協(xié)作體暑假返校聯考高三數學參考答案第1頁共7頁

/(8)=1->/(7)=2^/(6)=4^/(5)=8-?/(4)=16->/(3)=5->/(2)=10->/(1)=3;

/(8)=lf/(7)=2->/(6)=4f〃5)=1-/(4)=2-?/⑶=4->/(2)=8f/⑴=16；

/(8)=1->/(7)=2->/(6)=4->/(5)=1->/(4)=2->/(3)=4->/(2)=1-^/(1)=2.

所以，/(4)<16.故選D.

二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目

要求，全部選對得6分，部分選對分別記。分、2分、4分或0分、3分，有選錯的得0分。

9.答案：AC.【解析】

A選項：E(y)=E(X+2)=E(X)+2=4,故A正確；

B選項：D(y)=Z)(2X+4)=4O(X)=16,故B錯誤;

C選項：由正態(tài)分布密度曲線知其關于X=2對稱，利用對稱性知P(XWO)=尸(X24),故C正確;

D選項：因為尸(XW1)+P(1WXW4)+P(XN4)=1,P(%>4)=P(%<0)P(X<1),

所以，P(lWX44)+2P(XN4)wl,故D錯誤.

10.答案：BD.【解析】

A選項：f\x)=3x2+2ax+l,令/<x)=0,即3/+2GX+1=0,A=4a2-12,當A>0時，方

程/口)=0有兩個不同根，/(X)有兩個極值點；當△4()時，/(x)無個極值點，故A

錯誤；

B選項：〃x)=x3+x+l歹=/+》是奇函數，故B正確：

C選項:設切點(演J(xJ),則切線方程為歹-/區(qū))=/'(耳)(箕-演)，因為過點(x°J(x。)),所以

f(x。)-/區(qū))=Lf),

即_須3+。(飛2_xj)+X。一為=(3x：+2ax,+1)(見一現)，

整理得(X。一內門。。+。+2玉)=0,所以玉=5，或占=一三區(qū)，由于％=-5，

乙J

則兩根相等，即只有一個切點.，即只有一條切線，故c錯誤；

D選項：在點(xo，/(x。))處的切線為j，-/(xo)=/'(xo)(x-xj,與曲線聯立方程組

y-fM=/Voz,、2/c、cg、]

?,化簡得H，(x-Xo)2(X]+a+2x)=0,所以，x=x(),

y=x+ax+x+1

或x=-生也，

2

由于為。-女，則方程組有兩個不同解，即有兩個不同交點，故D正確.

11.答案：ABD.【解析】

:X=rcos。

因為廠=a0-sin6),所以，/=。&_小山6),利用關系式｛.4得/=a(「一y)，…(*)

y=rs\nG

A選項：因為曲線圖象過點(0,-2),所以此時,=々77=2,代入(*)得4=a(2-(-2)),

所以。=1,故A正確；

B選項：因為。=1,所以(*)化為/="-歹，所以直角坐標系下的曲線方程為

x2+y2+y=ylx2+y2,代入點(一1,0)滿足，故B正確；

C選項：x=rcos6=(l-sin6)cos6,設/(6)=(l-sin6)cos6,貝"

/'(6)=2sin26-sin6-l,令/(6)=0,得sin。=-；或sin6=1,

浙江省A9協(xié)作體暑假返校聯考高三數學參考答案第2頁共7頁

則/(6)有極值士述，由對稱性，所以，一空&X&空,故C錯誤;

444

D選項：方法1：由+/+歹=巧7r兩邊平方整理得，(f+y2)2+(2y-1)(x2+/)+/=0,

^-t=x2+y2,則『+(2/_1)/+/=0(*),由判別式△=(2y_1了一4/20,得

4

令/(/)=〃+(2y-。+歹2，由于方程(*)在飛LA+CQ)有解，

(1)當對稱軸/=^~^^^2,即或時，由/(/)<0f#-2<y<0,

所以-2?yW--~；

(2)當對稱軸”上亙〉/,即一土叵<7<9叵時，由△2(),得)yL,

2224

所以一11^<歹4]_,綜上，-2<y<^-.

244

方法2：^=/-sin^=(l-sin^)sin0=-(sin0--)2+—,sin0e[-1,1],所以

2/44

故D正確.

三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分。

12.答案：也.【解析】e，=>.

2a2

13.答案：。=2.【解析】曲線y=e，在x=0處的切線為y=x+l,g'(x)=—-—，

x+a

1_1,

設切點(x°,ln(Xo+a)),由,與+4，得1°c.

-■Ia=2

'ln(.v0+a)=X。+1i

14.答案：2.【解析】甲乙打卡相同景點的概率為Lxl+LxL+LxL=L,所以甲、乙打卡不相同

33633323

景點的、概率為i_=1=92.

33

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應該寫出文字說明、證明過程或驗算步界。

15.(本題滿分13分)

(I)證明：因為2csinN=3asinB,由正弦定理得，2ca=3ab,所以c=—b,...2分

2

因為cos4=1,由余弦定理，cos.二仁」,……4分

3J+2-bc3

代入c=?b得，.+%_/=],化簡得c=￡b,……6分

23b2~32

所以a=c,即證；……7分

33萬一>1—.―.

(II)方法1.因為b=&,a=c=-b=—,AD=-(AB+AC),……10分

222

浙江省A9協(xié)作體暑假返校聯考高三數學參考答案第3頁共7頁

所以IN512=L(|萬|2+2AB?JC+IJC|2)

12分

4

1,9c3應或1*

=—(一+2x---xv2x-+2)=—,

42238

故AD=....13分

4

方法2.因為a=c,所以Z=c,所以cosC=cos力=g,

在△4C。中，由余弦定理,

AD2=CA1+CD2-2CAxCDcosC……10分

=2+--2x^x—x-=—……12分

8438

故AD=1工....13分

4

方法3.因為6=J^，所以a=c=gb=,

由40是邊上中線知，BC2+(240)2=2(44+力。2),即分

可得力。=叵.……13分

4

16.(本題滿分15分)N分

(I)因為以平面力,BCu平面力8C,所以加_L8C,4分

又AB上BC,所以BC_L平面P45,

所以3CJ.力E,又E為P8的中點，所以4E_LP8,所以力E平面PBC,分

,76

因為PCu平面PBC,所以4E1CP；分

(H)建系如圖,設3。=/,5(0.0,0),2(0,/,0),P(OJl),C(百,0,0),

分

取平面APQ的法向量m=(1,0,0),..8

設平面CPQ的法向量〃=(xj,二)，

因為*=(3T,0),PC=(V3,-1,-1),由笠,"二°,則

\PC-n=0

一?一，取〃=?,省,6(1-1)),……11分

yj3x-y-z=0

由cos<m,n>=,得2/-%+9=0,...13分

\fn\\n\4

33

解得/=3,或/=2,故8。=3或80=2……15分

2~~2

浙江省A9協(xié)作體暑假返校聯考w我第4頁共7頁

17.(本題滿分15分)

22

⑴。匕=1;6分

94

y=kx+2

(II)設直線的方程為夕=丘+2,聯立<Jy2得(4+9標*+36Ax=0,8分

T+T=

-36A8-18氏2

則2(一)，9分

4+9/'4+9公

AP=^-,又直線"：2G-8=0,

10分

則。到直線的距離為

08-18公_

〃s石/-x石-36討k+9x有元■一網/_324公—72風

12分

J12+81-(4+9&2)聞

貝ijJ-324公-72麻|_-(324/+72阮)

若-324/-72?<0,

、(4+9公)屈(4+9/C2)V93

八小小的石妨011VH|324/+72園|1573

所以A/1P。的面積S=-4PxdJ=-x^—xJ-------晨..三J=^_,

~222(4+9標)聞7

化簡整理得54公+7&+10=0,無解;

若―72展。,則旦生將1=空巨逑,

(4+9A2)V93(4+9A2)V93

的面積S苧八*x條券甯邛

整理得，9爐+7麻-10=0,解得左=且或—小

39

綜上，&=立或—速

.15分

39

18.(本題滿分17分)

(I)八刈=1+21心+1),1分

x+\

浙江省A9協(xié)作體暑假返校聯考高一.數，：“：匕本案第5頁共7頁

2(1-ln(x+I))

2分

/⑶=一石+11-，

當xe(-l,e-l)時，f*(x)>0>當xw(e-L+oo)時，/"(x)<0,

所以/'(x)在xe(-l,e-1)單調遞增，在xe(e-l,+oo)上單調遞減，

所以，/'(x)的最大值為/，(e-l)=l+2;4分

e

(II)由⑴知，/'(X)在單調遞增,

又/，(_》=l_4ln2<0，f'(0)=1>0……6分

由零點定理可得必然存在唯一的w(-；,0),使得r(x())=0，...8分

且當xc(-；,Xo)時，f'(x)<0,當xw(Xo,O)時，r(x)>0，.

所以，函數/(X)的極小值點X。滿足-;<x°<0.……10分

(III)由/(x)Ng(x),得*一(加+l)ln(x+1)—〃20,F(x)=x-(w+1)ln(jc+1)-M