橢圓、雙曲線中的焦點三角形問題-高考數(shù)學題型歸納與方法總結（原卷版）

【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）

素養(yǎng)拓展32橢圓、雙曲線中的焦點三角形問題（精講+精練）

、知識點梳理

一、橢圓'雙曲線中的焦點三角形面積公式

n

1.如圖1所示，耳、鳥是橢圓的焦點，設P為橢圓上任意一點，記/片尸鳥=6,貝隆尸7笆的面積S=/tan].

證明：如圖，由余弦定理知同居「=閥『+|尸聞2-2兩卜|尸&3a=41*①

由橢圓定義知：|P￡|+『”|=2a,②

則②2一①得|尸片"尸工|=]+￡a，=；|班;/軍卜也夕=；.產(chǎn)一sina=&2tan|.

當e=90°時，S&F、PR-b2tan45°-b2.

b2

2.如圖2所示，小月是雙曲線的焦點，設P為雙曲線上任意一點，記HP*=0,貝U嶼用的面積S=

-O'

tan—

2

證明：如圖，由余弦定理知21尸片歸聞cosa=|咫「+盧周2甲4,

2忸用忸工|cosa=（忸用一忸見了+2忸月產(chǎn)尸卜閨工「,

2|P7=]||cosa=(2a)2+2|P7^||P7^|-(2c)2,

卜一），河明二三b2

陷

2M|(cosa-l)=4?2，

sm—a

2

b24.aab2

?=^\^i11-^21sina=?2sin—cos—=-------

c?2a22,a?

2sin—tan一

22

當a=90°時，S△即居=Z?2tan450=b2.

二、橢圓、雙曲線的焦點三角形中的離心率

1.如圖1所示，在焦點三角形背景下求橢圓的離心率，一般結合橢圓的定義，關鍵是運用已知條件研究出

△產(chǎn)片月的三邊長之比或內(nèi)角正弦值之比.

八一c2cI可用sinZFPR

工I■e=—=——----!------!......------------------1--------------

'a2a忸片|+忸刃sinZPF^+smZPF^

2.如圖2所示，在焦點三角形背景下求雙曲線的離心率，一般結合雙曲線的定義，關鍵是運用已知條件研究

出APFF。的三邊長之比或內(nèi)角正弦值之比.

八一c2c閨引sinZF.PF,

工I-e=————----：------!-----------------i—_----------

a2a忸周一|尸照||sinZPF}F2-sinZPF^\'

二、題型精講精練

22

【典例1】設片、工是橢圓,+?=1的兩個焦點，點P在橢圓上，乙學岑=60。，則”＞片8的面積為

【解析】由焦點三角形面積公式，SPFF＞*2

△.尸尸1尸2=Ztan2-=4xtan30°=—3.

2

【典例2】已知雙曲線C:/-1_=1的左、右焦點分別為耳、耳，點P在。上，＞ZFXPF2=60°,貝！IAP;但

的面積為.

【解析】由焦點三角形面積公式，S.PFF=/=」一=3人.

.嗎4,9tan30°

tan—

2

【典例3】（2018?新課標II卷）已知片、鳥是橢圓。的兩個焦點，尸是橢圓C上的一點，若年;，小，

且/PF遇、=60°,則C的離心率為（）

A.1--B.2-73D.V3-1

22

【解析】解法：如圖，PFJPF2,故可設忸周則歸用，

1^PF2FX=60°,=2,=6=

所以C的離心率廠庫I

|阿?+|明

5#上E1/P月月二60。“csinZFPKsin90。

解法2：如圖，210/PFF?=30=>e=-------------------------------=A/3—1.

[PFPFZPFF

X12sinZPFXF2+sin2Xsin30°+sin60°

r22

【典例4】已知片、鳥是雙曲線C:=-勺=1的左、右焦點，點尸在。上，PR上PF2,且/尸片乙=30。,

ab

則雙曲線C的離心率為_______.

【解析】解法L如圖，由題意，不妨設怛周=1,則|尸用=百，閨閭=2,

所以e

KI-RII

sinN片尸月

解法2：如圖，由題意，NPF2K=60。,NF]PF2=90。,所以e==A/3+1.

卜in/0片皂—sinN尸月團

【題型訓練-刷模擬】

1.橢圓中的焦點三角形

①離心率公式的直接應用

一、填空題

22

1.設片、鳥是橢圓C:^+%=l(a>6>0)的左、右焦點，尸在C上且尸居，x軸，若NFFB=3Q°，則橢圓

C的離心率為

2.在△48C中，ABVAC,tanZABC=-則以5、。為焦點，且經(jīng)過點4的橢圓的離心率為.

f3-----------

22

3.過橢圓\+==1(。>6>0)的左焦點耳作x軸的垂線交橢圓于/、8兩點，橢圓的右焦點為外，若

ab

cosZAF2B=1,則橢圓的離心率為.

4.在中，AB=2,BC=1,且60。V//BCW90。，若以8、C為焦點的橢圓經(jīng)過點4則該橢圓的離

心率的取值范圍為.

5.在AP/B中，PALAB,tanZPBA=-,則以/、3為焦點，且經(jīng)過點尸的橢圓的離心率為

2-----------

224

6.設片、月是橢圓Cx:=+v方=l(a>b>0)的左、右焦點，點尸在C上，且/尸片月=45。，cos/尸與耳=不

則橢圓C的離心率為.

7.在A48C中，NABC=30°,48=百，BC=1,若以8、C為焦點的橢圓經(jīng)過點4則該橢圓的離心率為

22

8.過橢圓C奈+方=l(a>6>0)的左焦點/作x軸的垂線交橢圓C于/、8兩點，若A4B。是等腰直角三

角形，則橢圓C的離心率為.

22

9.設耳、耳是橢圓C:1r+2=1(〃>6>0)的左、右焦點，過耳且斜率為G的直線/與橢圓C交于/、B

兩點，AF2±F}F2,則橢圓C的離心率為.

22

10.設耳、B是橢圓￡：與+方=1(°>6>0)的左、右焦點，以月月為直徑的圓與橢圓的4個交點和片、F2

恰好構成一個正六邊形，則橢圓E的離心率為.

22

11.已知尸、。為橢圓C：?+1r=1(。>6>0)上關于原點對稱的兩點，點P在第一象限，F(xiàn)「鳥是橢圓C

的左、右焦點，|。尸|=|。胤若駕之"，則橢圓C的離心率的取值范圍為

1111|?用3-----------

②綜合應用

一、單選題

1.設斗鳥為橢圓C：?+F=l的兩個焦點，點?在。上，若麗.西=0,貝”列訃「與卜()

A.1B.2C.4D.5

22_

2.己知耳、鳥是橢圓C：二+4=1(。>方>0)的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且可，成.若△兩耳的

ab

面積為9,則實數(shù)6的值為()

A.3B.4C.5D.6

22

3.已知6,鳥分別為橢圓C:二+匕=1的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，則△尸與心內(nèi)切圓半徑的最大

1612

值為（）

B.迪「26

A.V3V/?-----D.V2

33

22

4.已知點P在橢圓C:++]=l（a>6>0）上，點耳,匕分別為橢圓。的左、右焦點，并滿足|OPH°W，A°PG

面積等于4,則/等于（）

A.2B.4C.8D.16

5.已知一個離心率為■長軸長為4的橢圓，其兩個焦點為耳，耳，在橢圓上存在一個點尸，使得4/”=60。,

設△片尸鳥的內(nèi)切圓半徑為％則r的值為（）

A.—B.—C.—D.—

6323

6.已知耳（一。，0），《（。，0）是橢圓￡的兩個焦點，P是E上的一點，若兩?成=0,且S陰%=。2,則￡的

離心率為（）

A2百?V6「逝nV3

?JJ?L?\-）?

5322

2

f3

7.設。為坐標原點，耳,匕為橢圓C：二+v二=1的兩個焦點，點P在。上，cos/F；PB=?,貝小。尸|=（）

965

13聞14J35

A.—B.4C.—D.莊

5252

8.片，耳是橢圓C的兩個焦點，尸是橢圓。上異于頂點的一點，/是△尸片工的內(nèi)切圓圓心，若△理工的

面積等于△用工的面積的4倍，則橢圓。的離心率為（）

A.-B.yC.—D.—

3222

X?V2

9.設尸2是橢圓C：酸+6=1（心6>0）的左、右焦點，。為坐標原點，點尸在橢圓。上，延長交

D.逑

B,正C.V3

33

22

10.已知耳，耳分別是橢圓￡:「+方=1（。>6>0）的左，右焦點，若在橢圓E上存在點使得AMF；耳的

a

面積等于2/sin/呼叫，則橢圓E的離心率e的取值范圍為（

A.B.C.D.加

22

11.已知耳，修分別是橢圓￡：=+勺=1（a>6>0）的左、右焦點，點M在橢圓￡上，ZF1MF2=6,

ab

△兒久居的面積為/sing,則橢圓￡的離心率e的取值范圍為（）

21］〃行］n后］S八

A.0,—B.0,--C.-D.--J

（2」I2［122jL2）

22

12.已知耳，匕是橢圓工+上一=1（%>1）的左、右焦點，點A是橢圓上的一個動點，若△/￡區(qū)的內(nèi)切圓半徑

mm-\

的最大值是立，則橢圓的離心率為（）

3

,萬

A.V2-1B.-C.—D.V3-1

22

二、填空題

13.已知橢圓：+指=1（0<6<3）的兩個焦點分別為百，耳，離心率為半，點尸在橢圓上，若麗.麗=0,

則△尸4g的面積為.

14.P為橢圓<+1上的一點①和名是其左右焦點，若4時=60°,則△甲里的面積為_______.

a64

15.設點尸是橢圓;+?=1上的點，耳，鳥是該橢圓的兩個焦點，若△咫工的面積為則

sinZF{PF2=.

22

16.已知點尸是橢圓宗+,=1上的點，點耳，匕是橢圓的兩個焦點，若△片尸工中有一個角的大小為。，則

4F\PF°的面積為.

17.已知橢圓/+，=1（。>6>0）的兩個焦點分別為大，工，5=，點尸在橢圓上，若鈍笆W,且

△郎旦的面積為4,則橢圓的標準方程為.

18.已知橢圓C：］+g=l的焦點為大，F(xiàn)2,第一象限點尸在C上，且尸片/工=^,則△對工的內(nèi)切圓

半徑為.

22萬

19.已知橢圓C:=+4=l（a>6>0）的兩個焦點分別為耳、F2,離心率為三，點尸在橢圓上，若

ab2

,且△尸片工的面積為百，則C的方程為

20.耳，匕是橢圓C的兩個焦點，P是橢圓C上異于頂點的一點，/是△因乙的內(nèi)切圓圓心，若△尸片耳的

面積等于巴的面積的3倍，則橢圓C的離心率為.

22

21.已知橢圓C：]+}=l(a>6>0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,若橢圓C上存在點W使三角形孫旦的

面積為標2,則橢圓C的離心率e的取值范圍是.

2.雙曲線中的焦點三角形

①離心率公式的直接應用

一、單選題

22

1.已知耳、E是雙曲線E:?-2=1的左、右焦點，點M在￡上，上陰與X軸垂直,sinZMF.F.=-,貝l]￡

ab213

的離心率為()

A.V2B.-C.V3D.2

2

二、填空題

22

2.已知耳、工是雙曲線。:三-冬=1的左、右焦點，過耳且與x軸垂直的直線與雙曲線C交于/、5兩點,

ab

若"BB是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為.

22

3.已知打、工是雙曲線C:/方=1的左、右焦點，點P在C上，/尸片用=30。，|*=叱|,則雙曲線

C的離心率為.

22

4.已知打、工是雙曲線°：三-彳=1的左、右焦點，過耳且與x軸垂直的直線與雙曲線C交于/、8兩點,

ab

若A4B￡是正三角形，則雙曲線C的離心率為.

22

5.過雙曲線C:0-4=1的左焦點尸作x軸的垂線交C于/、8兩點，若是等腰直角三角形，則雙曲

ab

線。的離心率為.

②綜合應用

一、單選題

1.己知：雙曲線反-/=1的左、右焦點分別為耳，鳥，點尸為其右支上一點，若4%=60。，則轉(zhuǎn)尸區(qū)

的面積是（）

A.1B.41

C.V3D.2

22

2.已知雙曲線C：V=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別是耳，F(xiàn)2,P是雙曲線。上的一點，且忸引=5,

ab

|尸用=3,桃=120。，則雙曲線C的離心率是（）

7-77

A.-B.一C.—D.一

5432

B是雙曲線《-q=1的左、

3.設片,右焦點，尸為雙曲線上一點，且歸耳|=3|尸局，則△聲;巴的面積等

46

于()

A.6B.12C.6V10D.3屈

22

4.設B，F(xiàn)2是雙曲線C:亮-方=1伍〉0）的兩個焦點，P是雙曲線。上一點，若/耳尸8=90。，且

的面積為9,則C的離心率等于（）

A.-B.2C.-D.-

342

5.設耳、與分別是雙曲線C:/一片=1的左、右焦點，過心作x軸的垂線與C相交于A、B兩點，若“BK

b

為正三角形，則。的離心率為（）

A.V2B.C.2后D.百

6.已知耳，耳是雙曲線C的兩個焦點，尸為C上一點，且/片根=120。，|尸用=4|尸閶，則C的離心率為（）

A.—B.—C.V7D.V13

35

7.已知雙曲線=1的左右焦點分別為耳巴，若雙曲線上一點P使得/片尸乙=60。，求△片「￡的面

積（）

A.—B.C.773D.14月

33

2

8.已知雙曲線C:/-匕=1的左、右焦點分別為片,與，點尸是C上的一點（不同于左，右頂點），且

3一

sin/PFE=2sinNPF{F2,則△尸片工的面積是（）

A.2B.3C.2GD.V15

22

9.設耳，鳥是雙曲線?-3=19>0）的左、右焦點，過耳的直線/交雙曲線的左支于A,B兩點,若直線

了=修苫為雙曲線的一條漸近線，|/a=2尸，則|/閭+忸閶的值為（）

A.11B.12C.14D.