四川省成都市某中學(xué)2025屆高三年級(jí)上冊(cè)入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

四川省成都市第七中學(xué)2025屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合M={x\-x+x2<6},N={-2,—1,0,1,2},則MCN=()

A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1}C.{-1,0}D.[-1,0,1,2}

2.命題’勺久>0,/—x+4W0”的否定為()

A.V久>0,久2一萬(wàn)+4>0B.Vx<0,%2—%+4>0

C.>0,x2—x+4>0D.Vx<0,%2—x+4<0

3.已知向量五=(1,1),b=(0,t),若W10+26),則也|=()

A.苧B.1C.yf2D.2

4.已知圓C:(x—4)2+y2=*點(diǎn)M在線段比W3)上，過(guò)點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為4

B,以4B為直徑作圓C',則圓C'的面積的最大值為().

57r

A.7TB.27rc.yD.37r

5.若過(guò)點(diǎn)Qb)可以作曲線y=e%+i的兩條切線，貝U()

A.eb+1<aB,ea+1<bC.0<b<ea+1D.0<a<eb+1

6.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)〃)=《。絲"一》&°I*設(shè)屋氏。是互不相同的實(shí)數(shù)，滿足

I5—\xf&x>16.

f(a)=/(/?)=/(c),貝Ijabc的取值范圍為()

A.(16,25)B.(256,400)C.(64,100)D.(64,256)

7.設(shè)正四面體力BCD的棱長(zhǎng)為2.則所有與此正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面截這個(gè)四面體所得截面的面

積之和為()

A.3B.4+73C.3+/3D./3

8.“布朗運(yùn)動(dòng)”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，在如圖所示的試驗(yàn)容

器中，容器由三個(gè)倉(cāng)組成，某粒子做布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉(cāng)的通道口中等可能隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰

倉(cāng)，且粒子經(jīng)過(guò)n次隨機(jī)選擇后到達(dá)2號(hào)倉(cāng)的概率為匕，已知該粒子的初始位置在2號(hào)倉(cāng)，則Pio=().

1

2

3

A1Z1R511「工D烏

512512512D'128

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.二項(xiàng)式(口一§6的展開(kāi)式中()

A.前三項(xiàng)系數(shù)之和為22B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)

C.常數(shù)項(xiàng)為15D.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為0

10.已知函數(shù)/(%)=cos(2x-2@)(卬6(0,勃的圖象與函數(shù)g(x)=sin(2久+⑴)的圖象重合，貝！］()

A.g((p)=1

B.gO)的單調(diào)區(qū)間為(一曙)

C.直線x=弊g(x)的圖象的對(duì)稱軸

D.直線y=—/3(x-§+3是曲線y=g(x)的切線

11.設(shè)a,b是非零復(fù)數(shù)，Z1,Z2是方程/+ax+6=0的兩個(gè)復(fù)根，且氏+z2|=||z1|一則以下說(shuō)法錯(cuò)

誤的是()

A.存在負(fù)實(shí)數(shù)九使得Z2=B.b是負(fù)實(shí)數(shù)

C.存在實(shí)數(shù)〃N4,使得a?=岫D.存在實(shí)數(shù)v<0,使得口2=訕

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知等比數(shù)列｛冊(cè)｝為遞增數(shù)列，且。3+。7=3,。2/8=2,則如=.

13.tan5°+tan10°+(2--\f3)tan5°tanl0°=.

14.設(shè)。是團(tuán)4BC的外接圓的圓心，G是重心，CD是中線，且。G1CD,貝UsinC的最大值是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知團(tuán)ABC的內(nèi)角2、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知cosAsinB=sinC—gsin4,a=2A/-2.

(1)求B;

(2)若回ABC的面積為2C，求c.

16.(本小題12分)

在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架2BCD,4BEF的邊長(zhǎng)都是1,且它們所在的平面互相垂直.活

動(dòng)彈子M,N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM和BN的長(zhǎng)度保持相等，記CM=BN=a(0<a<

72).

c

（1）求MN的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求平面MM4與平面MNB夾角的余弦值.

17.（本小題12分）

小葉紫檀是珍稀樹(shù)種，因其木質(zhì)好備受玩家喜愛(ài)，其幼苗從觀察之日起，第無(wú)天的高度為“根，測(cè)得數(shù)據(jù)

如下：

為近似描述y與x的關(guān)系，除了一次函數(shù)甘=bx+a,還有夕=bQ+a和『=b/+a兩個(gè)函數(shù)可選.

（1）從三個(gè)函數(shù)中選出“最好”的曲線擬合y與x的關(guān)系，并求出其回歸方程@保留到小數(shù)點(diǎn)后1位）；

（2）判斷說(shuō)法“高度從1000cm長(zhǎng)到1001CM所需時(shí)間超過(guò)一年”是否成立，并給出理由.

￡之1（%「幻（%—歹）_騫Li%叫一位歹

參考公式:b=X%（陽(yáng)一盼2一￡%*_疝2，

參考數(shù)據(jù)（其中3=/五,it—xf）：±=20,u=4,i=668,y=8,Yd=ixt—4676,E7=i數(shù)=140,

￡7=1年=7907396,￡理々%=1567,￡；=1%%=283,￡憶3%=56575.

18.（本小題12分）

已知6、尸2分別為橢圓C:務(wù)，=l（a〉b〉0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（竽,1）在橢圓C上，且回6PF2的垂心

sr^^2/65、

為耿丁，一》

（1）求橢圓C的方程;

(2)設(shè)4為橢圓C的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸2的直線/叫橢圓C于0、E兩點(diǎn)，記直線AD,AE的斜率分別為七，k2,若

用+電==",求直線，的方程.

(3)設(shè)d是從橢圓中心到橢圓在點(diǎn)Q處切線的距離，當(dāng)Q在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷d2|Q&||QF2l是否為定值.若

是求出定值，若不是說(shuō)明理由.

19.(本小題12分)

已知函數(shù)/(%)=xlnx,

(1)判斷g(x)=+/(久)的單調(diào)性.

11

(2)求函數(shù)h(%)=%1"+(1—x)ln(l—%),xE[0,1)的值域.

(3)證明|f(y)-/(x)|<\y-xl10<%<y<1.

參考答案

l.D

2.X

3.B

4.0

5.C

6.5

7.C

8.X

9.BCD

10.AD

ll.BC

12.2

13.2-0

14苧

15J?：(1)

由sinC=sin(i4+B)=sin^cosB+sinBcosA,

貝”有cosZsinB=sinZcosB+sinBcosA--sin^,

BPsinXcosB=-sinA,由ZE(0,兀)，故sinZH0,

故cosB=又Be(0,n),

故8=與；

(2)

由B=*a=2V-2,

故S回ZBC=1acsinB=|x2V-2x^-c=2V~3,

解得c=272.

16.解：（1）

以B原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝|力(1,0,0),C(O,O,1),F(1,1,O),F(O,1,O),

因?yàn)镃M=BN=a,所以M（各0,1-N島，壺,0）,

\MN\-a2-V-2a+1=J(a-苧)+當(dāng)口=苧時(shí)，|MN|最小，

此時(shí)，M,N為中點(diǎn)，則wQ,|,0)),取MN的中點(diǎn)G,連接4G,BG,

則G因?yàn)?M=2N,BM=BN,所以4G1MN,BG1MN,

C\Z，：424)/，

所以N4GB是平面MM4與平面MNB的夾角或其補(bǔ)角，

因?yàn)槟?(m，而=V-1

所以cos(就函=潟篇=V，

所以平面MM4與平面MNB夾角的余弦值是今

17.1?：⑴

由散點(diǎn)圖可知，這些數(shù)據(jù)集中在圖中曲線的附近，

而曲線的形狀與函數(shù)y=Q的圖象很相似，

因此可以用類似的表達(dá)式9=+a來(lái)描述y與x的關(guān)系，

即三個(gè)函數(shù)中亨=a的圖象是擬合y與x的關(guān)系“最好”的曲線.

令u=C，則=根據(jù)已知數(shù)據(jù)，

得五=4fy=8,￡7=13%=283,=?=i密=得0,

所以務(wù)=學(xué)盧=暮發(fā)=1^2.1,

￡乙1雀-7/140-7x1628

又回歸直線#=bu+a經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,8),所以a=8—2.1x4=-0.4,

所以y關(guān)于工的回歸直線方程為亨=2.1u—0.4,即產(chǎn)=2.1，亍—0.4；

(2)

說(shuō)法”高度從1000CM長(zhǎng)到1001cm所需時(shí)間超過(guò)一年”成立.

設(shè)其幼苗從觀察之日起，第m天的高度為1000cm,

有1000=2.1布一0.4,解得小?226939,

第?i天的高度為1001cm,

<1001=2.1/n-0.4,解得n《227393,

n-m=227393-226939=454天，

所以說(shuō)法“高度從1000cm長(zhǎng)到1001cm所需時(shí)間超過(guò)一年”成立.

18.1?：(1)

設(shè)&(—c,0)/2(c,0)，由團(tuán)6PF2的垂心為H(孚》知1P4，

_5

故kF[H,kpFz=大壽一,市一=-1，化簡(jiǎn)得，y-C2=3>解得c=l，

—+c—"c

又因點(diǎn)P(竽,1)在橢圓C上，則靛+玄=1，

因尼—a2—1,故得赤7+。2_]—L解得a—2,b—V-3>

故橢圓C的方程為。+*=1.

4o

(2)

如圖，由(1)知，4(—2,0),4(1,。)，若直線1的斜率不存在，

由對(duì)稱性可得，七+七=0,不合題意；

若直線1的斜率為k,貝心的方程為y=k(x-1),

(y=k(x—1)

由12y2消去y得，(4爐+3)/一81%+4k2-12=o,①

+9=1

8k24k2-12

顯然4>0,設(shè)。（%1，%）,￡（%2，丫2），則無(wú)1+x2,%2=2

24k'+3t加+3

于是，七+七=黑+焉=華詈+華富=/1—亮+1一4）

%］十N%2十/%］十Z%2十/1］十/％2十乙

3(-8k^2+4)

=碓-得黑焉』=此一4d+3]=—t=—；,解得，k=7,

4/C2-1216k2

2'7+4i

4d+34廿+3

則直線，的方程為7久—y—7=0.

⑶

先來(lái)證明過(guò)橢圓C*+昌=1,（小〉”0）上一點(diǎn)QQo，y°）的切線方程為第+整=1.

由橢圓c：與+m=1,可得，4=1-4

1

當(dāng)y>0時(shí)，y=幾%求導(dǎo)可得：y'=

1_n1_n2x（）

??.當(dāng)yo>。時(shí)，k=-冷。?=一裾X。.藥=一密.克，

nu

二切線方程為y-yo=-森,微(％-沏)，

22222

整理為：nx0x+m2yoy=myo+nXg=mn,

兩邊同時(shí)除以病聲得：等+縛=i.

mznz

同理可證：當(dāng)<0時(shí)，切線方程也為老+警=1.

mznz

當(dāng)y0=0時(shí)，切線方程為X=±爪滿足等+警=L

綜上，過(guò)橢圓上一點(diǎn)Q（xo，y0）的切線方程為零+等=L

依題意，設(shè)橢圓上的點(diǎn)Q（x0,y。），則過(guò)點(diǎn)QOo，yo）的切線方程為平+岑=1,

即3久0刀+4yoy-12=0,原點(diǎn)到切線的距離為d=?12"

J9亞+16兆J9必+4（12-3福）j48-3xg

由橢圓的第二定義，產(chǎn)￡=￡，則IQ&I="o+4|，同理IQ3I=抄0—4］,

卜o+2|a

則IQ&IIQBI=；1就一161=；（16-就），

故d2|Q0||QF21=-詔）=12為定值.

19.解：⑴

由題意9(久)=/(%+§-/(%)=(%+])E(%+2)-%ln%，其定義域?yàn)?0,+8)

則“(%)=In(%+3+1-(In%+1)=In(1+劫，

因%>0,故g'(%)=In(1+—>0,故g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增

(2)

考慮"(%)=(1-；)x~e-ln(l

令“(%)=ln(l—%)+%,得〃(%)=1—,

當(dāng)％e[0,1)時(shí)，〃'(%)=1-<o,故“(%)在[0,1)上單調(diào)遞減,