四川省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級上冊入學(xué)測試數(shù)學(xué)試題

雅安中學(xué)高2024級入學(xué)測試

數(shù)皿「學(xué)、、九

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.不等式2爐一%—1<°的解集是（）

AJ—L；]B.（-1,2）C[-J1]D.（—2,1）

【答案】C

【解析】

【分析】利用了一元二次不等式的解法求解.

【詳解】解：不等式2尤2—X—1<0,可化為（x-l）（2x+l）<0,解得—L<X<1,

2

即不等式2f—%—1<0的解集為

故選：C.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，點+1,2）關(guān)于原點對稱的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】由療+1>0,可知點p"+l,2）在第一象限，則點。（療+1,2）關(guān)于原點對稱的點在第三象

限.

【詳解】因為W+l>0,

所以點P2+1,2）在第一象限，

所以點尸（7^+1,2）關(guān)于原點對稱的點在第三象限.

故選：C

3.若y=（4—x+Jx—4+2,則x，的值為（）

A.8B.16C.-8D.-16

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)可得x=4,進而可得y=2,代入即可求解.

【詳解】由4—xNO且x—420可得x=4,故y=2,則送=42=16,

故選：B

4.已知一組數(shù)據(jù)8,5,無，8,10的平均數(shù)是8,以下說法錯誤的是（）

A.極差是5B.眾數(shù)是8C.中位數(shù)是9D.方差是2.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)解得了=9,將數(shù)據(jù)按升序排列，根據(jù)極差、眾數(shù)、中位數(shù)和方差逐項分析判斷.

_1

【詳解】由題意可知：%=-（8+5+^+8+10）=8,解得x=9,

將數(shù)據(jù)按升序排列可得：5,8,8,9,10,則有：

極差為10—5=5,故A正確；

眾數(shù)是8,故B正確；

中位數(shù)為8,故C錯誤；

方差為S2=,,5—8）2+（8—8）2+（8—8『+（9—8）2+（10—]=2.8,故D正確；

故選：C.

5.在四邊形A3CD中，AD//BC,AB=CD.下列說法能使四邊形ABC。為矩形的是（）

A.ABHCDB.AD=BCC.ZA=ZBD.ZA=ZD

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)矩形需滿足的條件，對四個選項逐個判斷即可.

【詳解】

對于A,由A5//CD,AD//BC,則四邊形ABCD為平行四邊形，但由=CD不能判定四邊形

ABCD為矩形，因此A不正確;

對于B,由AD//5C,AD=BC,則四邊形ABCD為平行四邊形，但由A5=C。不能判定四邊形

ABCD為矩形，因此B不正確;

對于C,由AD/ABC,則NA+NB=180°，又NA=NB，所以NA=NB=90°，「.ABSAD，

AB±BC,

所以A3的長度為與BC兩平行線間的距離，又A5=CD,.?.CDLAO,CD1BC,因此

NC=ZD=90°，

故四邊形ABCD為矩形，因此C正確;

DC

AB

對于D,由AD//6C,則NA+NB=180°，NC+ND=180°，又NA=ND，所以4=NC，又

AB=CD,

則四邊形ABC?？赡転榈妊菪?，因此D不正確;

D

故選：C.

6.已知直線y=3x+a與直線y=-2x+b交于點尸，若點P的橫坐標(biāo)為—5,則關(guān)于x的不等式

3x+a<—2x+b的解集為（）

A.x<—5B.x<3C.x>—2D.x>-5

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意求出b-。，再解一元一次不等式即可.

【詳解】由題意，3義（一5）+。=—2x（—5）+Z?,即一25=b—a,

由3x+a<-2%+》可得5x<6-。=一25,解得l<-5.

故選：A

7.如圖，建筑物CD和旗桿48的水平距離BD為9m,在建筑物的頂端C測得旗桿頂部A的仰角a為30。,

旗桿底部8的俯角B為45。，則旗桿AB的高度為（）

A

訃、C

A.372B.3A/3C.372+9D.3G+9

【答案】D

【解析】

【分析】構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求旗桿A3的長度.

【詳解】如圖，BD=9,戶=45°,則四邊形班）CE是正方形，

所以BE=CE=9,在中，0=30°，

所以AE=EC-tan300=9x—=3y/3,

3

所以=AE+BE=9+3g.

8.若關(guān)于尤的不等式組〈八的所有整數(shù)解的和是6,則根的取值范圍是（）

x-m<0

A3<m<4B.3<m<4C.3<m<4D.3WmW4

【答案】B

【解析】

【分析】首先解不等式組，利用機表示出不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組所有整數(shù)解的和是6,即可求

得m的范圍.

3-2x<1fx>l

【詳解】由不等式組＜八，得＜得14xV

x-m＜0[x＜m

因為所有整數(shù)解的和是6,則由1+2+3=6,即整數(shù)解為1,2,3,

所以加的取值范圍是3〈根＜4.

故選：B.

k

9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形Q46C為正方形，且邊3c與y軸交于點反比例函數(shù)y=—(kwo)

X

的圖像經(jīng)過點A,若。f=且S^OBM=二，則上的值為()

【答案】D

【解析】

【分析】先設(shè)正方形。鉆C的邊長為。，4(%,%),然后利用題中條件解出。，然后再利用，

2k

tanZCOM=-,ZCOM=ZAOx,求出點A坐標(biāo)，代入函數(shù)y=—(左wO)求解即可.

3x

【詳解】設(shè)正方形Q43c的邊長為a,因為。0=

則3M所以S-OB”=Lx』axa=U

3235

解得a=J生

V5

由題可知，tanZCOM=-,ZCOM=ZAOx

3

所以tanNAOx=2,又因為。4=J"，

3V5

X=2

所以有<，%>o，x>0

22_78

%+%=《-

3廊

X=

解得《>-二，

2V30

r=-

因為y=~(k豐0)的圖像經(jīng)過點A

所以有％=一k，解得左=36衛(wèi).

占5

故選：D

10.若關(guān)于x的方程爐―4公+34=。的一根小于1,另一根大于1,那么實數(shù)。的取值范圍是()

1,1

A.一<4Z<1B.41>1C.<7<—D.4Z=1

33

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合二次方程根的分布討論函數(shù)零點，只需/(l)=a—4a+3a2<0,解不等式即可.

【詳解】由題：關(guān)于x的方程9一4依+34=。的一根小于1,另一根大于1,

記函數(shù)/(x)=%2—4依+3片，則函數(shù)的兩個零點一個小于1,另一個大于1,

此二次函數(shù)開口向上，只需/(I)=l2-4a+3a2<0即可，

即(3a-1)(a-1)<0,

解得：—<a<1.

3

故選：A

【點睛】此題考查根據(jù)二次方程根的分布求參數(shù)的取值范圍，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)結(jié)合函數(shù)圖象特征簡化運算.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11.因式分解：3m2—6m=-

【答案】3m(m-2)

【解析】

【分析】利用提取公因式法進行因式分解，即得答案.

【詳解】由題意得3帆2—6加=3加（加—2）,

故答案為：3m（m-2）

12.大連某中學(xué)七年級網(wǎng)絡(luò)班級計劃將全班同學(xué)分成若干小組，開展數(shù)學(xué)探究活動，若每個小組8人，則

還余3人，若每個小組9人，則有一個小組的人數(shù)不足7人，但多于4人，則該班學(xué)生的人數(shù)是

【答案】51人或59人

【解析】

【分析】設(shè)全班同學(xué)分成x個小組，根據(jù)題意，列出不等式組運算求解.

【詳解】設(shè)全班同學(xué)分成了個小組，則該班有學(xué)生（8九+3）人，由題意得,

-8x+3-9（x-l）<7

，解得5＜九＜8,九eZ,

8x+3-9（x-l）>4

，x=6或7,

當(dāng)x=6時，8x+3=5L

當(dāng)％=7時，8x+3=59,

所以該班的學(xué)生人數(shù)是51或59人.

故答案為：51或59人.

13.如圖，VA3C是一個小型花園，陰影部分為一個圓形水池，且與VA3C的三邊相切，已知

AB=10m,AC=8m,5C=6m.若從天空飄落下一片樹葉恰好落入花園里，則落入水池的概率為

__________________.（兀取3）

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，確定三角形形狀并求出圓形水池及三角形面積即可得解.

【詳解】在VABC中，由AB=10m,AC=8m,3c=6m,AC2+BC~=100=AB2>貝!1

ZC=90°，

設(shè)圓形水池與VA3C的三邊相切的切點分別為。，及尸，令圓形水池的圓心為。，連接OD,OE,OF,

則AD=AE,CD=CF,BE=BF,又O￡>，AC,OF，5C,于是四邊形CDOE是正方形，

由2CD=CD+。尸=AC—AD+3C—=AC+3C—（AE+BE）=AC+3C—AB=4,

得CD=2,因此圓形水池的半徑r=CD=2m,面積S'=兀/=12,

is'1

而VA3C的面積S=-ACBC=24,所以樹葉落入水池的概率P=—=-.

2S2

故答案為：一

2

A

CFB

2

14.設(shè)%,x2是一元二次方程x-3%-2=0的兩個實數(shù)根，則片+3X/2+的值為.

【答案】7

【解析】

【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得到玉+々=3,占々=-2,又X；++第=（玉+%y+的龍2，代入即可

求解.

【詳解】由與是一元二次方程/—3%—2=0的兩個實數(shù)根，

則%+/=3,xxx2=-2,

又才+3%龍2+%；=（玉+%2）2+%％2-32-2=7.

故答案為：7.

15.己知三點（。,加）、（瓦〃）和（c#）在反比例函數(shù)y（5>0）的圖象上，若a<0<b<c,則一、

〃和f的大小關(guān)系是.（用連接）

【答案】m<t<n

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，由橫坐標(biāo)坐標(biāo)的大小確定即可確定縱坐標(biāo)的大小.

【詳解】?.?左>0,

???反比例函數(shù)圖象在一、三象限，且都是隨著自變量的增大而減小，

且a<0<b<c,所以"z<0</<〃，即根

故答案為：m<t<n.

16.二次函數(shù)丁=依2+桁+4。>0)的頂點為「，其圖像與X軸有兩個交點A(—m,0),5(1,0),交了軸

于點C(0,-3aHi+6。)以下說法中正確的是()

A.m=3

B.當(dāng)NAP5=120°時，tz=—

3

C.當(dāng)NAP3=120°時，拋物線上存在點M(M與尸不重合)，使得AABM是頂角為120°的等腰三角形

D.拋物線上存在點N,當(dāng)△ABN為直角三角形時，有

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】二次函數(shù)丁=以2+法+。與x軸有兩個交點A(一根,0),5(1,0),交>軸于點C(0,-3々〃+6。)

am2—bm+c=0

代入拋物線<a+0+c=0，

c=-3am6a

解方程組"2=巴心，可得6=2?？膳袛郃；

a

由加=3,可得拋物線解析式為y=a(x+3)(尤—l)=a(x+l)2—4a,拋物線的頂點P(—l,Ta)由

ZAPB=120°;可求/口43=/尸64=弛二幺竺=30°,由尸G=AG?tan/P4G=氈，可判斷

23

B；

先在第一象限內(nèi)作NABM=120°,AB==4求出點M(3,26)代入拋物線驗證可判斷C；

由點N在拋物線上，AABN為直角三角形，ZANB=90°-以AB為直徑作OG,點N在OG上，QG

與拋物線有交點，交點就是點N,當(dāng)點尸在0G上或0G外，拋物線與0G只有3個交點，或4個交點,

存在直角三角形，可得GP22即4a22,解得可判斷D.

2

【詳解】對于A選項：因為二次函數(shù)丁=依2+法+。與X軸有兩個交點A(一肛0),3(1,0)交y軸于點

C(0,-3am+6a),

am1-bm+c=0

所以＜〃+b+c=0,所以加二"2,解得b=2〃,

c=-3。am+b,aQ

a+ba+2a「

m------=--------=3,故選項A正確；

aa

對于B選項：如下圖所示：

■：m=3,AA(-3,0),設(shè)拋物線解析式為y=a(x+3)(x—l)=a(尤+爐—4a,.?.拋物線的頂點

P(—l,Ta),8兩點關(guān)于對稱軸對稱，ZAPB=120\：-PA=PB，

NPAB=ZPBA=18°—4APB=30。，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于G,則

2

PG±AB,PG=AGtanZPAG=2x—=—,

33

：.而=正，：,a=2,故選項B錯誤;

36

在第一象限內(nèi)作ZABM=120°,AB=BM=4,過點M作聞H，1軸于H,

:.ZMBH=180°-ZABM=6()>所以

MH=BM.sin/MBH=4x與=25BH=BM?cos/MBH=4xg=2，所以點M（3,26），當(dāng)

x=3時，y=2^（x+3）（x—1）=器x（3+3）x（3_1）=2?，

...點M在拋物線上，點M關(guān)于拋物線的對稱軸對稱點M'也在拋物線上，故選項C正確；

對于D選項：如下圖所示：

:點N在拋物線上，44乳為直角三角形，NANB=9。，以AB為直徑作。G,點N在0G上，

0G與拋物線有交點，交點就是點N,當(dāng)點p在。G內(nèi)，拋物線與。G只有兩個交點，不存在直角三角

形，當(dāng)點P在0G上或0G外，拋物線與0G只有3個交點，或四個交點，存在直角三角形，所以

GP?2即4a22解得故選項D正確.

2

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用拋物線的性質(zhì)，拋物線內(nèi)接等腰三角形，內(nèi)接直角三角形，銳角三角函數(shù)，以

及輔助圓的點與圓的位置關(guān)系解題是關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共5個小題，共52分）

17.（1）計算：2sin60°+（—g]+|V3-2|-（7i-3）°

（12）4-x

（2）先化簡，再求值：x+2-----—卜-,其中x=A/2-4-

Ix-2Jx-2

【答案】（1）10；（2）—尤―4,_72

【解析】

【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)、整數(shù)指數(shù)塞的運算性質(zhì)及絕對值的性質(zhì)可求代數(shù)式的值；

（2）通分后可求代數(shù)式的化簡結(jié)果，從而可求當(dāng)x=4時對應(yīng)的值.

【詳解】(1)原式=2sin60°+，g]+|T3-2|-(7i-3)°

=2x#+9+2—3—1=10.

4-xx2-164-x

(2)x+2-二-(x+4).

x—2x—2x—2

當(dāng)％=&—4，原式=—（四—4+4）=—四.

18.某零食店購進A、B兩種網(wǎng)紅零食共100件，A種零食進價為每件8元，8種零食進價為每件5元，在

銷售過程中，顧客買了3件A種零食和2件2種零食共付款65元，顧客乙買了2件A種零食和3件B種

零食共付款60兀.

（1）求48兩種零食每件售價分別是多少元？

（2）若該零食店計劃A、8兩種零食的進貨總投入不超過656元，且銷售完后總利潤不低于600元，則購

進A、B兩種零食有多少種進貨方案？

（3）在（2）的條件下，哪種進貨方案可使獲利最大？最大利潤是多少元？

【答案】（1）15,10；

（2）答案見解析；（3）購進A種零食52件，購進8種零食48件，獲利最大，最大利潤是604元.

【解析】

【分析】（1）設(shè)A種零食每件的售價是尤元，B種零食每件的售價是y元，再列出方程組求解即得.

（2）設(shè)購進A種零食機件，則購進8種零食（100-桃）件，列出不等式組并求解即得.

（3）求出（2）中每種方案所獲利潤，再比較大小而得.

【小問1詳解】

設(shè)A種零食每件的售價是x元，B種零食每件的售價是y元,

3x+2y=65x=15

依題意,解得《

2x+3y=60y=10

所以A種零食每件的售價是15元，B種零食每件的售價是10元.

【小問2詳解】

設(shè)購進A種零食機件，則購進8種零食（100-加）件，

由進貨總投入不超過656元，且銷售完后總利潤不低于600元，

f8m+5(100—m)<656

得《,解得50<相<52,

[(15—8)m+(10-5)(100-in)<600

而相為整數(shù)，則，〃可取50,51,52,因此購進A、B兩種零食有3種進貨方案：

①購進A種零食50件，購進8種零食50件；

②購進A種零食51件，購進B種零食49件；

③購進A種零食52件,購進B種零食48件.

【小問3詳解】

設(shè)獲利w元，

當(dāng)購進A種零食50件，2種零食50件時,w=(15—8)x50+(10—5)x50=600(元)，

當(dāng)購進A種零食51件，8種零食49件時，w=(15-8)x51+(10-5)x49=602(元),

當(dāng)購進A種零食52件，8種零食48件時,w=(15—8)x52+(10—5)x48=604(元)，

而600<602<604,

所以購進A種零食52件，B種零食48件，獲利最大，最大利潤是604元.

19.如圖，一次函數(shù),=履+雙左/0)與反比例函數(shù)y=0(awO)的圖象在第一象限交于A3兩點，A點

X

的坐標(biāo)為(m,6),3點的坐標(biāo)為(2,3),連接Q4,過臺作軸，垂足為C.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

(2)在射線CB上是否存在一點。，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的。點坐標(biāo).

【答案】(1)y=-,y=-3x+9；

X

(2)豆，3或(19,3)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)所過的點可求。，再求出A的坐標(biāo)后可求一次函數(shù)的解析式.

(2)就不同的直角頂點分類討論后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)或距離公式可求。的坐標(biāo).

小問1詳解】

?.?點8(2,3)在反比例函數(shù)y=三的圖象上，a=3x2=6,

...反比例函數(shù)的表達式為y=-,

X

:點A的縱坐標(biāo)為6且點A在反比例函數(shù)y=9圖象上,

x

,、[2k+b=3

A(1,6),/.<,k=—3,b=9,

')k+b=6

一次函數(shù)的表達式為y=-3x+9.

【小問2詳解】

如圖，①當(dāng)A=90°時，

設(shè)3C與AO交于E,則E；,3,而4(1,6),故E為。4的中點,

:.AE=OE=D]E=LOA=^L2的橫坐標(biāo)為i+'方,

1222

[2J

②當(dāng)/。4￡>2=90°，設(shè)2(m,3)(m>0),

222

則m+9=1+6+(m—以+(3—6『，解得加=19,

故2。9,3),

綜上所述，當(dāng)△AOD是直角三角形,,3或。(19,3).

)

(1)在給出的坐標(biāo)系中作出y=|V一2》|的圖象；(提示：先作出y=V—2x的圖象，x軸上方圖象不

變，將x軸下方的圖象沿x軸作翻折，就得到了y=|f—2x|的圖象)

(2)若方程I/—2x|=。有三個實根，求實數(shù)a的值;

(3)在同一坐標(biāo)系中作直線丁二光，觀察圖象寫出不等式|/一2%|＜九的解集.

3

2

1

->

-1O123X

-1

【答案】(1)圖象見解析

(2)1(3){x|l<x<3}.

【解析】

【分析】(1)利用列表-描點-連線，可作出函數(shù)圖象，或利用函數(shù)圖象的平移以及翻折也可得到函數(shù)圖象;

(2)數(shù)形結(jié)合，觀察與y=|九2—2%|的圖象的交點情況，即得答案;

(3)作直線丁=%,觀察其與丁=|必-2x|的圖象的交點情況，即得答案;

【小問1詳解】

方法一：列表-描點-連線，

X101234

y301038

即可得到y(tǒng)=|尤2—2x1的圖象,如圖:

方法二：先作出丁=爐-2工的圖象，龍軸上方圖象不變,

將x軸下方的圖象沿龍軸作翻折，就得到了y=|f—2x|的圖象

函數(shù)y=/(x)的圖象如上圖；

【小問2詳解】

由題意得，方程|好-2x|=a恰有三個不等實根，

結(jié)合直線丁=。的圖象可知，實數(shù)。的值為1.

【小問3詳解】

作直線丁=%,如圖所示，

結(jié)合圖象可得，不等式/(%)<x的解集為{x11<x<3}.

21.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=依2+2]+/?(。/0)與工軸交于48兩點，4(—1,0),3(4,0),交

y軸于點C.

(2)如圖2,直線y=x+〃7與x軸和拋物線分別交于點E、P,交C。于點。，尸點的橫坐標(biāo)為r,CD的

長用d表示，求d與f的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出f取值范圍)；

(3)如圖3,在(2)問條件下，點M是。2上一點(點M的橫坐標(biāo)大于f),連接PM,尸。的垂直平分線

OF

交8M于點凡交PM于點N,當(dāng)cos/DPO=——,PN=3MN,時，求相的值.

PM

2Q

【答案】(1)y——%2+2%H—

33

,22

(2)d——t—t

3

(3)m=2

【解析】

【分析】(1)將點A(—l,。),5(4,0)代入拋物線解析式解得心。，即可得結(jié)果;

/28、28

⑵設(shè)+,根據(jù)題意可得加=——t2+t+-,即可得結(jié)果；

133)33

DT1

(3)做輔助線，可知四邊形尸QOG是矩形，點Q、0、N、尸共圓，根據(jù)三角形可得一=—,分析可知

PT3

—=2,代入運算求解即可.

Xp

【小問1詳解】

將點A（-l,0）,5（4,0）代入y=加+2x+/?（aw0）,

2

a=——

a-2+b=03

則，解得《

16a+8+b=0一

3

2Q

所以拋物線解析式y(tǒng)=-j^2+2x+-.

小問2詳解】

對于直線＞=%+加，令X=0,則丁=加，即。（0,7小，

2Q

對于拋物線y=--x2+2x+-,

因為P點的橫坐標(biāo)為t,則P1〃+2/+|,

令y=0,則x=9，即C(0,外8，則d=98一7〃,

3I3J3

I28

因為P[/,一耳/+2%