導(dǎo)數(shù)中利用構(gòu)造函數(shù)解決題型-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）

專題突破卷04導(dǎo)數(shù)中利用構(gòu)造函數(shù)解決題型

朦題生顆嵬

V構(gòu)造新函數(shù)匕喈交大小

構(gòu)造新函數(shù)利用單調(diào)性解不等式

導(dǎo)數(shù)中利用構(gòu)造函數(shù)解決題型

構(gòu)造新函數(shù)證明不等式

構(gòu)造新函數(shù)研究方程的根

亳題生各小擊破

題型一構(gòu)造新函數(shù)比較大小

971--

1.已知Q=—,6=cos—,c=e97,貝lj()

987

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=cosx-「一；1xe]o,l]和g(x)=e'-(x+l),(x>0),利用導(dǎo)數(shù)

求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】令/(X)=cosx-11-'],xe[o,|J,則/''(x)=x-siiu,

令夕(x)=x-sinx,xe]o,1^,則“(x)=1-cosx>0,°(x)即/''(x)單調(diào)遞增，所以

/(司>/(0)=0,故〃x)為增函數(shù)，所以/()>〃0)=0,可得cos；>!|,故”6.

令g(x)=e"-(x+l),(x>0),則g〈x)=e￡-l>0,故g(x)為增函數(shù)，所以g]jj>g(0)=

-L92--L97

0,即e97——>o.所以e97<_,故c<〃，所以c<Q<b

9798

故選：B.

43

2.已知〃="；~~-b=~~,c=e,則下列大小關(guān)系正確的是()

ln4m3

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】c

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=m(xte),通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性判斷函數(shù)值的

Inx

大小.

【詳解】由題，c=3.令〃無)=4(xNe),貝1]/(》)=羋二，

IneInxmx

因為x?e,所以廣(x)=*Uo,所〃x)=A在卜,+巧上單調(diào)遞增，

又。=/(4),6=/(3),c=/(e),e<3<4,故c<b<a.

故選：C.

3.己知定義域為火的偶函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),當(dāng)x<0時，礦(x)-/(x)<0,若

〃二出力=94,0=犯，則。，b,c的大小關(guān)系是()

eIn23

A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.c<a<b

【答案】D

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=￡<2,根據(jù)奇偶性及導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.

X

【詳解】令g(x)=&,由偶函數(shù)〃X)知，

X

當(dāng)》€(wěn)(-8,0)口(0,+(?)時，g(-x)=-g(x),

故g(x)=△嘮為奇函數(shù)，

當(dāng)XV。時，g，(x)=、'(x)；"x)<0

則g(x)為減函數(shù)，

由奇函數(shù)知，g(x)在(0,+°°)上為減函數(shù)，

而ln2<l<e<3,

所以g(3)>g(e)>g(ln2),

即c<a<b,

故選：D

4.設(shè)。=10$足0.1,6=(：05-^-,。=205皿工，貝！J()

2020

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，作商比較大小即可得解.

【詳解】解：由題意a=10sin(M=10sin'=20sin-l-cosL,

20sin—cos—<20sin—,即有Q<C.

202020

20sin—]兀

又因為?=——符=20tan—,設(shè)f(x)=tanx-x,0<x<—,

b120-2

cos一

20

.、'2?2112?2

sinxj[cosx+sinx1I〔I-cosxsinx

-1-21—21—2-2一°'

COSXJCOSXCOSXCOSXCOSX

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立；

二函數(shù)〃x)=tanx-x在0段)上單調(diào)遞增，

.?.當(dāng)時〃x)2〃0)=0,即有tanx，，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立;

c11

—=20tan——>20x——=1,即有b<c.

b2020

2“0sin—1cos—1]

又因為2=--------——=20sin—,設(shè)/(%)=sinx—x,0<x<—,

bcos—202

20

則/'(%)=(sinx)-1=cosx-lW0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立；

???函數(shù)/(x)=sinx-x在0,鼻上單調(diào)遞減，

.??當(dāng)0Wx<5時/(x)W/(0)=0,即有sinxWx,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立;

.---=20sin—<20x—=1,即有

b2020

綜上知，a<b<c.

故選：D.

5.設(shè)a*,6=In(1+sin0.02),c=21n|^,則0,b,c的大小關(guān)系正確的是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】分別構(gòu)造函數(shù)/(x)=sinx-x,xe，，m,g(x)=tax-%+l,%e(O,l),A(x)=ex-(1+x)2,

利用其單調(diào)性判斷.

【詳解】解：設(shè)/仁)=5也》7速€(0,2，貝I]-(x)=cosx-lW°,

所以/(x)在xe(0，m上遞減，所以〃x)<〃0)=0,即sinx<x,

設(shè)g(x)=lnx-x+l,xe(0,l),貝I]g[x)=!一1>0,g(x)遞增，

貝1Jg(x)<g(l)=0,即lnx<x-l,

所以b=In(1+sin0.02)<sin0.02<0.02=a,

令〃(x)=e*-(l+x/，則“(x)=e*—2(l+x),/(x)=e*-2,

當(dāng)x<ln2時，〃'(x)<0,則"(x)遞減，又〃(ln2)=-21n2<0,，(0)=-l<0,

所以當(dāng)xe(0,ln2)時，/z,(x)<0,遞減，

則A(x)<M0)=0,即eyi+x)、

因為0.02e(0,ln2),則A(0.02)<0,

所以eRi02-嗚，BPa=-^-<C=21nf^,

e-e5050

i^b<a<c,

故選：D

2111

6.設(shè)。=5，Z?=sin—,c=In—,則下列正確的是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，由時，sinx<x,cosx>l-y,然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，即可判斷.

【詳解】

對工￡(0,'］,因為)=sinx-x,則V=cosx_l<0,即函數(shù)>=sinx—x在［0,^］單調(diào)遞減,

且x=0時，>=0,貝Usinx—x<0,即sinx<x；

當(dāng)工時，"(x)=cosx—1+5,貝I」d(x)=—sinx+x,且當(dāng)XE］。,野時，sinx<x,

貝Ij0'(x)>o,所以函數(shù)°(x)在(0，鼻單調(diào)遞增，貝1」。(％)>。(0)=0,即

X2

cosx〉1-----,

2

先考慮函數(shù)〃x)=sinx-ln(l+x),xe[0,l],則

12(l+x)+2x(x-l)(x+2)

/r(x)=cosx->0

1+x21+x2(l+x)2(l+x)

故/hy>〃°)=0,從而b*

再考慮函數(shù)g(x)=lnx-坐U，

XG[1,+OO),

『一，(；：

貝Ug〈x)=g-4(x+lxl)0

(x+l『x(x+l)x(x+l)

故gm>g(l)=°,=lnH_A

>0故0>Q.

1021

綜上，b>c>a,

故選：B.

7.已知a=21n3-2,6=ln5-G+l,c=31n2-2&+l,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a

【答案】A

【分析】構(gòu)造〃x)=lnx-?+l,貝丑=〃9)、b=f⑸、c=〃8),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)

性，即可判斷a,b,c的大小.

【詳解】a=21n3-2=ln9-囪+1，6=ln5—退+1=ln5-石+1,

c=31n2-2V2+l=ln8-A/8+l,

令〃%)=InX-4+1且定義域為(0,+8),則r?=--—U=與反,

x2、x2x

所以在(4,+8)上/'(x)<0,即/(%)遞減,故/⑸>〃8)>/(9),^b>c>a.

故選：A

32?

8.己知a=ln],6=§,c=e^，則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【分析】

構(gòu)造函數(shù)〃x)=x-lnx-g(x)=e=x-l(x>0),利用導(dǎo)數(shù)分析這兩個函數(shù)的單調(diào)

性，可得出。、；的大小，J，1的大小，利用不等式的基本性質(zhì)可得出e^、；的大小關(guān)

系，由此可得出。、b,c三個數(shù)的大小關(guān)系.

【詳解】令/(x)=xTnx-l,其中x>l,

1r_1

則/(%)=1——=——>0,所以，函數(shù)/⑺在(1,+8)上為增函數(shù),

XX

331

故當(dāng)x>l時，/(x)>/(l)=0,則lnx<x—1,所以QMln'V'—ln',

二11

因為0〈五<2,貝!Jc=e2=—j=>—,

當(dāng)x>0時，證明e，>x+l,令g(x)=e、-x-l,其中x>0,則g<x)=e*-1>0,

所以函數(shù)g(x)在(0,+e)上為增函數(shù)，故當(dāng)x>0時，g(x)>g(O)=O,

11a7

所以當(dāng)x>0時，e">x+l,貝lJ/〉±+l=±,所以e5<±,

223

31--2

所以In—<—<e2<—,因此avc<6.

223

故選：D.

9.若。=sin—,b=—,c=In1.1,則()

1111

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】根據(jù)。也c的形式，分別構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-sinx(x>0)和

g(x)=x+ln(l-x)(O<x<l),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性后，通過比較x=［和x=0時的函

數(shù)值可得大小關(guān)系.

【詳解】令/(x)=x—sinx(x〉O),貝U/'(x)=l—cosxNO,

.?./■(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，.>/(0)=0,即5>sin，.?)>.；

…111110if,n

c=In1.1=In—=-In—=-In1---,

1011I11J

i丫

令g(x)=x+ln(l-x)(O<x<l),貝=————<0,

l—xl-x

.?.g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，一(5卜8⑼=。，即，<-ln，一\，:.b<c-,

綜上所述：a<b<c.

故選：B.

2023[

10.設(shè)0=聲,6=——,c?=ln—,貝I()

20242024

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)“x)=x-ln(x+l)(0WxWl),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可比較6,c,由

2023

Ce詞〉D,-—1,可比較。，b,從而得到答案

1丫

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/(x)=xTn(x+l)(0<x<l),所以“x)=l-—=1_>0,即/⑸在(0,1)

1+X1+X

上單調(diào)遞增，

所以/(擊)>〃0)=0,1112025

即------ln(l+-----)>0,gp-——所以b〉c,

2024202420242024

又因為「麗、p0__所以。>八則a>b>c,

故選：B

11.已知4,b滿足aea=61nb-6=e3(e是自然對數(shù)的底數(shù))，貝！J()

A.ea+i<bB.ab<e123

513723

C.—<a<QD.—e<b<—Q

223

【答案】D

【分析]由題知3_Q_lnQ=0,2_(lnb_l)Tn(lnb_l)=0,^2-c-lnc=0,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)

/(x)=2-x-lnx,再根據(jù)函數(shù)〃無)的單調(diào)性得c+l=ln6,a>c,再與2-c=lnc求和整

理即可判斷A、B,再由零點存在性定理判斷C、D.

【詳解】因為ae"=/,所以a=e""，即lna=3-(z,也即3-a-lnq=0,

即2-a-lna=-1,

令2-。-lnc=O,

由61n6-6=e3,BP6(ln/)-l)=e3,所以lnb+ln(lnb-1)=3,

即=0,

令/(x)=2-x-lnx,XG(0,+OO),/，卜)=_1一,<0在(0,+力)恒成立，

所以函數(shù)/(x)=2-x-lnx在定義域(0,+”)上單調(diào)遞減，

由/(。)=/(1昉-1)=0,/(^)=-1<0,

所以c=lnb—l,a>c,所以c+l=lnb,貝！J〃+l〉lnb,所以故A錯誤；

又因為lnc=2—。，得2—lnc+l=Inb,所以lnc+lnb=lncb=3,解得c6=e，

所以必>加=/,故B錯誤；

令g(x)=3-x-lnx,則g(x)在定義域(0,+向上單調(diào)遞減，

Xg(e)=3-e-lne=2-e<0,g(2)=3-2-ln2=l-ln2>0,

⑸々5?51?5—?5i2e：4八

2—=3------In—=—In—=Ine2-In—=In-----<In—<0'

⑴2222255

則g(x)在上存在唯一零點，又g(〃)=3-〃-lna=0,所以2<q<g,故C錯誤；

因為/(2)=2-2-ln2=-ln2<0,

(n2:

因為2e2=4e>2x2.5=10>9,所以2丁〉3，所以巨>1，

k)3

.3?31.3,i.3,2e7

f—=2------In—=—In—=Ine2-In—=m----->0n'

UJ222223

所以/(X)在仁,21上存在唯一零點，即：<c<2,則又cb=e',

<2)22c3

3],

貝i」b=上，所以彳e3<6<；e3,故D正確.

c23

故選：D

12.已知機=2「°2,〃=用心7?=2.04,則巾，小0的大小關(guān)系為（）

A.m<p<nBn<m<p

Q_p<n<mD.m<n<p

【答案】A

【分析】將0.02換成x,分別構(gòu)造函數(shù)/(x),g(x),,利用導(dǎo)數(shù)分析其在。的右側(cè)包括0.02

的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合/(0)=0,g(0)=0即可得出m,n,p的大小關(guān)系.

【詳解】令x=0.02,則m=2102=21+0-02=21+Sn=7424=74+0.24=j4+12x，

p=2.04=2+0.04=2+2x,

當(dāng)0<x<；,0<12x<4,j4+12x<J4+5

設(shè)〃x)=2+2x-j4+12x,貝ijf'(x]=2-.6=,

''j4+12xj4+12x

,f'__6.2V^m-62V475-6_

'(x]=2J4+12尤j4+12x<j4+12x0；

/(x)=2+2x-j4+12x在，J單調(diào)遞減，A/(O)=0>/(0.02)=(2+0.04)-J4+0.24,

.-.0>(2+0.04)-V4+0.24nJ4+0.24>2+0.04n7424>2.04,

p<nf

當(dāng)0<x<g,.-.0<12x<4,j4+12x<j4+12

設(shè)g(x)=2+2x—2,+x,

則g'(x)=2-2『n2=2(l-21n2)>0,

g(x)=2+2x-21+I在(0。單調(diào)遞增，：.g(O)=0<g(0.02)=2+0.04-21+0-02,

.21+002<2+0.04,:.m〈p,

故選：A.

題型二構(gòu)造新函數(shù)利用單調(diào)性解不等式

13.定義在R上的函數(shù)〃x)導(dǎo)函數(shù)為/'(x),若對任意實數(shù)x,有且

/卜)+2024為奇函數(shù)，則不等式/(x)+2024e，<0的解集為()

A.(一8，0)B.(0,+a)C.-JD.^-,+ooj

【答案】B

【分析】構(gòu)造g(x)=Z(d，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究g(x)單調(diào)性，結(jié)合已知將問題化為g(x)<g(0),

e

再根據(jù)g(x)的單調(diào)性即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)g(x)=要，則g'(x)=:(x)一/(X),

ee

對任意實數(shù)X,有/(x)>_T(x),

所以g'(x)<0,則以x)在R上單調(diào)遞減.

因為/(“+2024為奇函數(shù)，且人工)的定義域為R,

所以〃0)+2024=0,所以〃0)=-2024,所以g(0)=-2024.

因為e、>0,所以求不等式/(x)+2024e，<0的解集，

即求學(xué)<-2024的解集，即求g(x)<g(0)的解集，

e

因為g(x)在R上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(0)的解集為x>Q,

所以不等式/(x)+2024^<0的解集為(0,+動.

故選：B

14.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足若則他的取值范

圍是()

A.(-℃,-!]B.(-00，；】C.[-1,+(?)D.[；，+◎

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于加的不等式，解出即

可.

【詳解】令g(x)=/(x)-x,貝ljg(x)=/(x)-1<0,故g(x)單調(diào)遞減，

/(?0-/(I-2m)3m-1gpg(m)>g(l-2m),得加V1-2%,解得：

故選：B.

15.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,且

(x-l)[r(x)+/(x)]>0,/(2-x)=/(x)e2jc-2,則不等式空到的解集是()

ex

A.(0,e2)B.(l,e2)C.(e,e2)D.(e2,+(?)

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"(x),根據(jù)已知討論導(dǎo)數(shù)符號可得單調(diào)性，由

〃2-x)=〃x)e2-可得名⑵=且⑼，將不等式/駕<型轉(zhuǎn)化為g(Ex)<g⑵，然后

ex

利用單調(diào)性可解.

【詳解】記g(x)=e，/(x),則g，(x)=e，〃x)+<f(x)=e，[〃x)+/(x)],

因為(xT)[/'(x)+/(x)]>0,

所以當(dāng)x>l時,r(x)+/(x)>0,則g'(x)>0,g(x)在(1,+。)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x<l時，r(x)+/(x)<0,則g'(x)<0,g(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減.

又/(2-X)=f(x)e2x-2oe2-x/(2-x)=e"(x),即g(2-x)=g(x),

所以g(2)=g(0),

因為坐1<q1。e-/(lnx)<e2/(2)=g(lnx)<g(2),

所以0<lnx<2,解得Ice?.

故選：B

16.已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足且當(dāng)X2>xgl時，恒有

一”*)<。則不等式〃x7)>〃2x+l)的解集為()

/—X]

A.(-2,0)B.C.(一8,-2川(|',+8)D.(-<?,-2)u(0,+<?)

【答案】C

【分析】先根據(jù)〃2-x)=〃x)得出對稱軸，再根據(jù)單調(diào)性結(jié)合對稱性列出不等式求解.

【詳解】由"2-x)=〃x)得，〃x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

令g(x)=〃x+l),則g(x)是偶函數(shù)，又當(dāng)%>再21時，恒有/(馬)-/(不)<0,

故〃x)在［1,+動上單調(diào)遞減，所以g(x)在［0,+力)上單調(diào)遞減,

則/（》-1）>/（2丫+1）=8（"2）>8（20=>卜-2|<|2X,

即得(X-2)2(4/,3/+4X-4〉0,(3X-2)(X+2)>0

2

解得xV-2或x>］.

故選：C.

17.已知定義在R上的函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為了'(%),且滿足八力-2/(力>0,/(1012)=e2024,

則不等式的解集為()

A.(0,2024)B.(O,e2024)C.(2024,+⑹D.(e2024,+?)

【答案】B

【分析】令仁;Inx,不等式轉(zhuǎn)化為$<1,構(gòu)造函數(shù)8⑺二誓，求導(dǎo)得到單調(diào)性，結(jié)

合g(1012)=空%=1,得到g⑺<g(1012),根據(jù)單調(diào)性解不等式，求出解集.

e

【詳解】令t=(lnx,則x=e”，

2

所以不等式/glnx)<x等價轉(zhuǎn)化為不等式<e,即歲<1,

構(gòu)造函數(shù)g(f)=誓，則g，

由題意，g?)『⑺>0,所以g⑺為R上的增函數(shù)，

又〃1012)=e2。"，所以g(ioi2)="孕=1,

e

所以g?)=gjl<l=g(1012),解得t<1012,即:lnx<1012,

所以0<x<e2叫

故選：B

18.m知定義域均為R的函數(shù)/(無),g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為了'(x),g'(x),且

g（x）>0,/（5）=g（5）,<0，則不等式/(x)<g(x)的解集為(

加卜甘）

A.B.（5,+oo）C.（-8,1）D.（1,+（?）

【答案】B

/(x)g(龍)-/(x)g'(x)

【分析】運用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運算構(gòu)造新〃口)=笳,〃(x)<0

[g(x)T

則用新函數(shù)的單調(diào)性解題即可.

【詳解】令人X=一",則〃(x)=1g(x)j<°，所以〃(x)單調(diào)遞減.

由/"⑺缶⑴名⑺加/⑸二名⑸，

得“村=坐<//(5)=嚕=1,所以x>5.

g⑺g⑸

故選：B.

19.已知函數(shù)“X)及其導(dǎo)函數(shù)/'(無)的定義域均為R,"0)=0且〃x)+/'(x)>0,則不等

式/(*+4x—5)>0的解集為()

A.(-co,-5)U(l,+<?)B.(-co,-l)U(5,+co)

C.(-5,1)D.(-L5)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)="/(x),判斷g(x)的單調(diào)性，將所求不等式進(jìn)行同解

變形，利用單調(diào)性得到一元二次不等式，解之即得.

【詳解】設(shè)g(x)=e"(x),則g'(x)=e'[/(x)+/'(x)]>0,故g(x)單調(diào)遞增.

又g(0)=e°/(0)=0,故/(x2+4x—5)>0可轉(zhuǎn)化為e'+4x-5/(x2+4x—5)>0,即

g(x2+4x—5)>g(0),

由g(x)單調(diào)遞增可得X2+4X-5>0,解得X<-5或X>1,

即不等式/(/+4x—5)>0的解集為(一'-5)U(1,+8).

故選：A.

20.已知可導(dǎo)函數(shù)/⑴的定義域為(-叫。)，其導(dǎo)函數(shù)/‘(X)滿足切'(x)+2/(x)>0,則不等

式(x+2024)L/(x+2024)-/(-l)<0的解集為()

A.(-2025-2024)B.(-2024,-2023)C.(-巴-2024)D.(^>,-2023)

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=Y/(x)(x<0),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，原不等式可轉(zhuǎn)化為

g(x+2024)<g(-l),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】令g(x)=/f(x)(x<o),JU!)g'(x)=x[xf\x)+2/(x)]<0,

故g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

不等式(x+2024)2./(X+2024)-/(-1)<0可變形為

(x+2024)2./(x+2024)<(-1)2-/(-1),

即g(x+2024)<g(-l),

所以x+2024>-l且X+2024<0,解得-2025<%<-2024.

故選：A

21.已知函數(shù)J=/(X)的定義域是(T?,0)U(0，+00),對任意的國，%€(0,+8),x^x2,

都有x,H)-Z〃xj<0,若函數(shù)了=/(2x+l)的圖象關(guān)于點對稱，且〃2)=2,

X。一%\2)

則不等式/的解集為()

A.(-2,0)u(0,2)B,(-2,0)u(2,+oo)

C.(―℃,—2)u(0,2)D.(―oo,—2)u(2,+co)

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)△2，結(jié)合題目給的對任意的孫X2E(0,+OO),X^X2,都有

%了㈤一團叫)＜o(jì),得出血的單調(diào)性，再利用j=/(2x+l)的圖象關(guān)于點對稱,

力一再xV2J

得到了(%)的奇偶性求解最后的不等式.

【詳解】因為任意的孫々￡(0，+。)，石都有玉)(0

/(尤2)/(再)

所以———匚＜0,令3＞為＞0,貝IJ小)＜檢1,

flX2演

xxx2

4g?=-＞則g(x)在(o,+s)單調(diào)遞減，

X

又函數(shù)V=/(2x+l)的圖象關(guān)于點，;,0卜寸稱,

則，(x)關(guān)于(o,o)對稱，即為奇函數(shù)，

所以g(x)=Z12為偶函數(shù)，

X

則g(x)=△2在(-8,0)上單調(diào)遞增，

由/(x)>x,

可得當(dāng)x>0時，￡區(qū)>1,

X

又"2)=2,則與=1,

所以當(dāng)x>0時，。<%<2,

當(dāng)、<。時，且上1=組=1,

x-22

所以x<-2,

則解集為印-2或0<x<2}

故選：C.

22.已知函數(shù)〃x)及其導(dǎo)數(shù)廣⑺的定義域均為R,對任意實數(shù)x,/(%)=/(-%)-2%,且

當(dāng)xNO時，/'(x)+x+l>0.不等式/(2x-2)-/(x)〈一言+3x的解集為()

A.(-=0,2)B.1|,2)03'+0°)D-(一°°，g[u(2,+co)

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)+g/+x,從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)與所給條件得到函數(shù)g(x)的單調(diào)性

與對稱性，在將所給不等式中“X)化為g(x)即可得解.

【詳解】令g(x)=/(x)+；x2+x,則g〈x)=r(x)+x+l,

由題意可得，當(dāng)X20時，r(x)+x+l>0,即g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

由/(x)=/(_工)_2尤,則g(x)_]x2-x=x2+x-2x,

即g(x)=g(-x),故g(x)為偶函數(shù)，故g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

則不等式y(tǒng)(2x-2)-/(X)〈一程+3x可化為：

iIo2

g(2x-2)-—(2x-2)2-(2x-2)-g(x)+—x2+x<——1-+3x,

即g(2x_2)<g(x),則有|2x—2|<國，BP(2X-2)2<X2,

即(2x—2+x)(2x—2—x)<0,即(3x—2)(x—2)<0,

解得x€《,2]

故選：B.

23.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),且〃l)=e,當(dāng)x>0時，r(x)<：+e"則不等式

/口)一12>1的解集為()

e

A.(0,1)B.(0,+動C.(1,+ao)D.(O,l)u(l,+(?)

【答案】A

【分析】由不等式化簡構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，即可求解原不等式.

【詳解】不等式―'>1等價于/(x)>e*+lnx,即/(x)-e*+lnx>0,

ex

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-e'+lnx,x>0,所以g'(x)=/'(x)-e*,

因為x>0時，r(x)<|+e\所以g'(x)<0對於e(0,”)恒成立，

所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，

又因為g⑴=/■⑴-e-lnl=0,

所以不等式/(X)-e'+lnx>。等價于g(x)>g(l),所以0<xvl,

即/3一、>1的解集為(0,1).

e

故選：A.

24.已知定義在R上的奇函數(shù)〃x),其導(dǎo)函數(shù)為/''(X),/(-3)=0,當(dāng)x>0時，

3/(x)+礦(x)<0,則使得/(x)<0成立的x的取值范圍是().

A.(-<x>,-3)u(O,3)B.(-3,0)。(3,+8)

C.(一8,-3川(3,+⑹D.(-8,-3)5-3,0)

【答案】B

【分析】設(shè)g(x)=x3/(x),根據(jù)題意可得函數(shù)g(x)為偶函數(shù)以及其單調(diào)性，再分x>o以及

x<0討論即可得出答案.

【詳解】設(shè)g(x)=x?(x),則g'(x)=3x2/(x)+x3/(x)=x2[3/(x)+礦(切，

由于當(dāng)x>0時，3/(x)+礦(x)<0,

則當(dāng)x>0時，g'(x)<0,g(x)在(0,+co)單調(diào)遞減，

又“X)為奇函數(shù)，/(x)=一/(一x)，貝Ig(-x)=(-x)3/(-%)=?/(%)=g(x),則函數(shù)g(x)為偶

函數(shù)，

可得函數(shù)g(x)在(-*0)上單調(diào)遞增，

又〃-3)=0,則g(-3)=g(3)=0,

當(dāng)x>0時，由/(x)<0,可得g(x)<0,即g(x)<g⑶，解得x>3；

當(dāng)x<0時，由〃x)<0,可得g(x)>0,即g(x)>g(3),解得一3<x<0；

綜上，不等式/?<0的解集為(-3,0)0(3,+功.

故選：B.

題型三構(gòu)造新函數(shù)證明不等式

25.若貝I]()

X2X1X2%1

A.e+liUj>e+lnx2B.e+iwcx<e+lnx2

%1X2%1X2

C.x2e>x1eD.x2e<xxe

【答案】C

【分析】根據(jù)選項構(gòu)造兩個函數(shù)〃x)=e=lnx,g(x)=?，再利用導(dǎo)數(shù)思想，來研究在

(0,1)上是否是單調(diào)函數(shù)，即可作出選項判斷.

【詳解】令〃x)=e-lnx,則廣(x)=e::,令7z(無)=e，-：,貝叫(x)=e'+：>0恒成

立，

即r(x)=e"—在定義域(0,+動上單調(diào)遞增，且J=e-l〉o,

因此在區(qū)間F上必然存在唯一看,使得/'(%)=0,

所以當(dāng)xe(O,x°)時〃x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(x0,l)時〃x)單調(diào)遞增，故A,B均錯誤;

令gG）=￡,g，（x）=e'（；J）,當(dāng)0＜無＜1時，g，（x）＜0,

；心（無）在區(qū)間（0,1）上為減函數(shù)，

x

e>e"2

0<再</<1,，—>—，即〉再?々，.,.選項C正確，D不正確.

國x2

故選：C.

26.若則()

e

A.ba<bb<aa<ahB.ba<aa<bb<ab

C.ab<aa<bb<baD.ab<bb<aa<ba

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合〃X)=xlnx(-<X<1)的單調(diào)性分析判斷.

e

【詳解】因為y=a'd<a<D在R上遞減，且

ee

所以M〉Q"〉/〉q，

11

因為歹="(—<6<1)在R上遞減，且一

ee

所以加

令/W=xlnxd<x<1),則f\x)=lnx+1,

e

因為」v%vl,所以/'(x)>0,

e

所以/(X)在上遞增，

因為！<。<6<1,所以/'(a)</(6),

e

所以alna<61nb,所以lna"<lnbJ

所以a"<bb,

所以d(優(yōu)<bb<ba.

故選：C

27.已知k)g〃2021>log“2021>0,則下列結(jié)論正確的序號是()

①0.2"<0.2",②二>」，③ln6+a>lna+b,④若加>0,貝［‘<f

abbb+m

A.①②B.①③C.①④D.②④

【答案】B

【分析】推導(dǎo)出利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷①，利用作差法可判斷②④，利用

函數(shù)〃x)=x-lnx在(1,+8)上的單調(diào)性可判斷③.

【詳解】因為1陶2021>log.2021>0,即絆手>半空>0,則lna>lnb>0,得

Inb\na

a>b>\.

對于①，因為指數(shù)函數(shù)y=0.2'為R上的減函數(shù)，則0.2”<0.2J①對;

11b2-a2伍一。)伍+。):0則"

對于②,②錯;

a2b2a2b2a2b2

1r_1

對于③，構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-lnx,其中x>l,則=l--=—>0,

XX

所以，函數(shù)/(X)在(1,+8)上為增函數(shù)，則/⑷>/9)，即"lnq>6-Inb,

故lnb+Q〉lnQ+b,③對;

a+mab[a+m)-a(b+m)m(b-a)

nIaa+m

對于④，,/m>0,<0,則④錯.

b+mbb(b+m)b[b+m)bb+m

故選：B.

28.下列不等式中不成立的是()

A.e0081-1>coslB.itIn4<4Init

20233+1〉20234+1

cD.log2021<log2023

'2023?+120233+120222024

【答案】C

【分析】由不等式e'之x+1可得A正確，構(gòu)造函數(shù)/(%)=三，利用單調(diào)性可得B正確,

作差之后化簡可得C錯誤，構(gòu)造函數(shù)g(x)=[n(x+i)，利用單調(diào)性可得D正確.

【詳解】由e-zcosl-1+1：令y=e'—X—1,則了=爐一1,

所以(-8,0)上了'<0,?遞減，(。,+8)上y'>0,?遞增，故出e°-0-l=0,

所以1之工+1,而cos1-1^0,所以ecos1-1>cos1-1+1=cos1,所以A正確；

?In4InTtAZ./\Inx訕_?x—Inx,1.

由兀l1n4〈41n兀知，——<---：令/(%)=---，貝_1-Inx,

x

471''xJ\)--%2

令/'(x)<0得:X>e,所以〃x)在(e,+s)上遞減，所以〃4)<〃兀),

即*竽所以小―所以B正確;

20233+120234+1(20233+1)(20233+1)-(20234+1)(20232+1)

?20232+1-20233+1~(20232+1)(20233+1)

(2023。+2x20233+1)-(20236+20234+20232+1)-20232x20222

-2：-------------------------L_1---------------------------------L=-----------------------------<0

(20232+1)(20233+1)(20232+1)(20233+1)

20233+120234+1

即nn----\—<----；—，所以C錯誤:

20232+120233+1

黑H令g(x)J(x