中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：平方差和完全平方公式

14.3平方差和完全平方公式

【考點1：平方差公式運算】

【考點2：平方差公式的幾何背景】

【考點3：完全平方公式】

【考點4：完全平方公式下得幾何背景】

【考點5：完全平方公式的逆運算】

知識點1：平方差公式

1.平方差公式：(a+b)(a—b)=a1—b2

語言描述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.

注意：在這里，a,6既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.

2.平方差公式的特征

抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有

相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下

類型：

①位置變化，(x+y)(-y+x)=x2-y2

②符號變化，(-工+雙-工-夕戶㈠尸-廿:苫?-^

③指數(shù)變化，(/+儼)(/廿M4_儼

④系數(shù)變化，(2a+6)(2a-6)=4*_b2

⑤換式變化，

222222222222

[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)-(z+m')=xy—(z+m)(<z+m)=xy-(z+zm+zm+m)=xy-z-2zm-m

⑥增項變化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2—z2=x2-2xy+y2-z2

【考點1：平方差公式運算】

【典例1】

試卷第1頁，共10頁

1.計算：

（l）（x+5）（2x-7）；

（2）20202-2019x2021（用乘法公式簡算）；

【變式1-1]

2.計算：]一口+夫:-9

【變式1-2】

3.計算：（2"36）（2a+36）（4/+蚓）

【變式1-3】

4.計算：

（1）1232-122x124；

（2）（x-2_y）（x+2j）+x（2x-_y）.

【考點2：平方差公式的幾何背景】

【典例2】

5.從邊長為。的正方形中減掉一個邊長為6的正方形（如圖1）,然后將剩余部分拼成一個

長方形（如圖2）.

(1)上述操作能驗證的等式是.

A.a2-2ab+b2=[a-b'yB.a2-b1=(a+b)(a-b)C.a'-ab=a[a-b)

（2）運用你從（1）寫出的等式，完成下列各題:

①已知：a-b=3,a2-b2=21,求的值;

②計算：一卦IT>…'I徐卜]一七｝

【變式2-1]

6.從邊長為。的正方形中剪掉一個邊長為6的正方形（如圖1）,然后將剩余部分拼成一個

試卷第2頁，共10頁

長方形（如圖2）

（1）通過計算兩個圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗證的等式是:

（2）應(yīng)用（1）中得出的等式，完成下列各題：

①已知x?-4廿=12,x+2y=4,求x-2y的值.

②計算：）一一……[「徐一

【變式2-2]

7.如圖，邊長為。的大正方形中有一個邊長為6的小正方形，把圖①中的陰影部分拼成一

個長方形（如圖②所示）.

（1）上述操作能驗證的等式是（）（請選擇正確的一個）.

A./—/=(a+b)(a—b)；B.a2-lab+b2=(a-b)2；C.a2+ab=a(a+b)

⑵請應(yīng)用（1）中的等式完成下列各題：

①已知/一〃=28,a+6=7,則。一6=；

②計算：502-492+482-472+---42-32+22-12.

③計算：I[一…「壺）.

【變式2-3]

8.如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分如圖剪開,

拼成圖②的長方形.

試卷第3頁，共10頁

(1)分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的等式是

A.4—/=(Q+b)(a—b)

B.(Q—b)?=Q?—2uh+A?

C.(tz+bp="+2ab+Z?2

D.a2+ab=a(a+b)

(2)應(yīng)用這個公式完成下列各題.

①已知4加2_〃2=]2,2m+n=4,求2加一〃的值；

②計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+]).

知識點3:完全平方公式1.完全平方公式：(q+b)2=/+2仍+/

(a-b)2=a2-2ab+b2

兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘積的兩倍

注意：公式特點：左邊是兩數(shù)的和(或差)的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和

加(或減)這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：

a2+b2=(a+-2ab=(a-b)2+2ab

(Q+bp=(a-bp+4ab

2.拓展、補(bǔ)充公式

(a+b+c尸=Q?+/+，+^就+lac+2bc

(?±—)2=Q?+4±2bd+x(b+d)+x=(b+x)(d+x)；(^a±b^(a2+ab+b2}=a3±b3；

aav7

(〃±bj=a3±3a2b+3ab2±b3；(^a+b+c^2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

試卷第4頁，共10頁

【考點3：完全平方公式】

【典例3】

9.計算：（2y+3）2=.

【變式3-1】

10.計算：（w—2?）2=.

【變式3-2]

11.（/=4/+12。6+9/

【變式3-3】

12.計算：（。+6+1）2=.

【考點4：完全平方公式下得幾何背景】

【典例4】

13.若x滿足（9-x）（x-4）=4,求（9-xy+（x-4）2的值.

解：設(shè)9—x=a,x-4=b,貝|(9_x)(x_4)=ab=4,a+/?=(9-x)+(x-4)=5.

j5fflU(9-x)2+(x-4)2=a2+Z)2=(a+6)2-2.6=52-2x4=17.

請仿照上面的方法求解下面問題：

⑴若x滿足（5-x）（x-2）=2,求（5-耳2+（X一2）2的值；

（2）如圖，已知正方形/8C。的邊長為x,E,尸分別是。。上的點，且4E=1,CF=3,

長方形EMED的面積是24,分別以兒彳，。尸為邊作正方形.

①正方形河網(wǎng)N的邊長為0,正方形。尸G"的邊長為6,則。-6=；ab=

試卷第5頁，共10頁

②利用你學(xué)過的平方差公式和完全平方公式求圖中陰影部分面積.

【變式4-1]

14.圖1是一個長為2.、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后

按圖2的形狀拼成一個正方形.

aa

b

b

圖1圖2

(1)圖2中陰影部分的正方形的周長為二

⑵觀察圖2,請寫出下列三個代數(shù)式(a+6)2,(a-6)2,仍之間的等量關(guān)系；

(3)運用你所得到的公式，計算：若加、”為實數(shù)，且〃加=-3,m-n=4,試求加+〃的

值.

【變式4-2]

15.【觀察】如圖①是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長

方形，然后用四塊小長方形拼成一個大正方形，如圖②所示，請直接寫出(。+6)2,

(a-6)2,1之間的等量關(guān)系

b

圖1圖2

［應(yīng)用］若機(jī)+〃=6,mn-5,貝=

【拓展】如圖③，正方形ABC。的邊長為x,AE=5,CG=15,長方形EFG。的面積是

200,四邊形NG?！焙退倪呅蜯E。。都是正方形，四邊形是長方形，求圖中陰影部

分的面積.

試卷第6頁，共10頁

【變式4-3]

16.圖1是一個長為2a、寬為26的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后

按圖2的形狀拼成一個正方形.

圖1圖2圖3

⑴觀察圖2,請你寫出下列三個代數(shù)式(。+6)2,(。-之間的等量關(guān)系為一.

(2)運用你所得到的公式，計算：若加、〃為實數(shù)，且〃HZ=-3,m-n=4,試求加+〃的

值.

(3)如圖3,點C是線段上的一點，以4C、為邊向兩邊作正方形，設(shè)/8=8,兩正方

形的面積和百+$2=28,求圖中陰影部分面積.

【考點5：完全平方公式的逆運算】

【典例5】

17.已知。+6=4,ab--5,求：

(1)/+方的值;

(2)。-6的值.

【變式5-1]

18.已知a+b=3,ab=-4,求下列代數(shù)式的值:

(l)a2+Z；2

⑵(7)2

【變式5-2]

19.已知。-6=7,ab=-12.

(1)求)+下的值;

(2)求a+6的值.

【變式5-3]

20.已知：a-b=3,ab=\,試求：

試卷第7頁，共10頁

(1)/+3tzZ?+Z?2的值;

(2)g+W的值.

達(dá)標(biāo)測試

21.（a+l『的展開式是（）

A.a1+1B.2〃+2C.a?+2a+1D.Q?+Q+1

22.下列各式能用平方差公式計算的是

A.(2x-y)(x+2y)B.(x-y)(y-x)

C.(b+a)(b-c)D.(-Q+6)(Q+6)

23.下列運算正確的是（)

A.a2-a3=a6B.“6C.-a3D.(a-1)?="—1

24.若4/-即+16可以配成一個完全平方公式，則加的值為)

A.-8B.±8C.16D.±16

25.若x+y=8,x2+y2=40,求V的值是()

A.8B.-8C.±12D.12

26.(a+“(〃為非負(fù)整數(shù))當(dāng)〃=0,1,2,3,....時的展開情況如下圖所示:

(。+6)。=1

(a+by=a+b

(a+b)2=a2-^2ab+b2

(a+by=a3+3a2b+3ab2+b3

(。+6)4=。4+4。36+6。262+4疝+〃

(4+6)5=/+5。彷+10"〃+1o第〃+5?！?65

觀察上面式子，我們得出了下表:

1

11

121

1331

14641

15101051

這就是南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中列出的一個神奇的“圖。他揭示了

試卷第8頁，共10頁

S+6)"展開后的各項系數(shù)的情況，被稱為“楊輝三角”.據(jù)這個表，你認(rèn)為(。+6)9的展開式

中所有項系數(shù)的和應(yīng)該是()

A.128B.256C.512D.108

22

27.&+2y]()=ix-4y.

28.計算：+.

29.計算：20202-2022x2018=.

30.已知無2+TMX+36=(X+6『，則加的值為_.

31.若。-6=7,ab=3,則/+片的值為.

32.計算：

(1)(?6-4)2—(ab+3)(ab+5)；

⑵(機(jī)+2〃-1)(加+2〃+1).

33.利用公式計算：

(1)20232-2022x2024；

(2)992-1.

34.計算：

(1)-2。.(-2盯2了+(2孫)3.(孫2)

⑵(x-2y)(x+2y)-(x+2y『.

35.先化簡，再求值，(x-y)(x+y)+(x+?-2尤2,其中x=-2,>=

36.數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為。的正方形，B

種紙片是邊長為6的正方形，C種紙片是長為6,寬為。的長方形?并用A種紙片一張，8種

紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.

試卷第9頁，共10頁

b

s

⑴請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積：方法1：；方法2：；

⑵觀察圖2,請你寫出代數(shù)式：（。+6）2,a2+b2tg之間的等量關(guān)系；

⑶根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：

①已知：a+b=5,a2+b2=13,求ab的值；

②已知（2020-a）2+（a-2019>=5,求（2020—。）（。一2019）的值；

37.從邊長為。的正方形減掉一個邊長為6的正方形（如圖1）,然后將剩余部分拼成一個

長方形（如圖2）.

（1）上述過程所揭示的因式分解的等式是；

（2）若9--16/=30,3x+4y=6,求4y-3尤的值;

試卷第10頁，共10頁

1.(1)2X2+3X-35

(2)1

【分析】本題考查了多項式乘以多項式、平方差公式，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)

鍵.

（1）根據(jù)多項式乘以多項式的法則進(jìn)行計算即可得出答案；

（2）利用平方差公式進(jìn)行計算即可得出答案.

【詳解】⑴解:（x+5）（2x-7）

=2x~—7x+10x—35

=2x2+3x-35；

（2）解：20202-2019x2021

=202（）2_（2020-l）x（2020+1）

=20202-（20202-l））

=20202-20202+l

=1.

11

2.-/2——x22

4-9

【分析】本題考查平方差公式.根據(jù)平方差公式（“+6）（。-3=力-62計算即可得到答案.

3.16a4-81Z?4

【分析】本題考查平方差公式.根據(jù)平方差公式?計算即可得到答案.

【詳解】解：（20-36）（20+33（4/+962）

=（4a2-%2）（4a2+%2）

=16a4-81Z?4.

答案第1頁，共18頁

4.(1)1

(2)3%2—4y2—xy

【分析】本題考查平方差公式以及單項式乘多項式.

(1)將原式化為1232-0237)x(123+1),利用平方差公式進(jìn)行計算即可；

(2)利用平方差公式以及單項式乘多項式展開，再合并即可求解.

【詳解】(1)解：1232-122x124

=123z-(123-1)x023+1)

=1232-1232+1

=1；

(2)解:(x-2y)(x+2y)+x(2x-y)

—x2—4+2廠—xy

=3x—~4y之一xy.

5.(1)B

2025

⑵①7；②加i

【分析】本題考查平方差公式的幾何背景及其在計算中的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解題

的關(guān)鍵.

(1)分別表示出圖1剩余部分的面積和圖2的面積，由二者相等可得等式；

(2)①將已知條件代入(1)中所得的等式，計算即可；

②利用平方差公式將原式的各個因式進(jìn)行拆分，計算即可.

【詳解】(1)???從邊長為。的正方形中減掉一個邊長為6的正方形(如圖1),然后將剩余部

分拼成一個長方形(如圖2),

二圖1剩余部分的面積為/-圖2的面積為(。+6)(。-6),二者相等，從而能驗證的等

式為：a2-b2=(a+b){a—b).

故選：B.

(2)(T)a-b=-b?=21,tz2—b^=(a+b)(a-6),

答案第2頁，共18頁

.,.21=(〃+b)x3,

q+b=7；

②原式

「盛11+總■￡小壺

1324352022202420232025

=—X—X—X—X—X—X...........X------------X------------X------------X------------

2233442023202320242024

=—1x-2-0-2-5

22024

_2025

-4048,

6.⑴/-/=(a+b)(a-b)

2025

⑵①3;②

4048

【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)

鍵.

（1）用代數(shù)式表示圖1、圖2陰影部分的面積即可；

（2）①由平方差公式進(jìn)行計算即可；

②將原式化為"?1或1+3…I募）I卡森）即9滔*…

據(jù)此求解即可.

【詳解】（1）解：圖中陰影部分可以看作兩個正方形的面積差，即/一拼成的圖2是長

為a+b,寬為的長方形，因此面積為（。+6）（。-6）,

所以有a~—b~=(a+b)(a—b),

故答案為：a12-b2=(a+bXa-b)；

(2)解：①?7-4/=12,即(x+2y)(x-2y)=12,而x+2y=4,

％-2歹=12+4=3；

1+

132420232025

——X—X—X—X...X-----------X------------

223320242024

=—1x-2-0-2-5

22024

答案第3頁，共18頁

2025

4048

7.(1)A

(2)①4；②1275；③葛

【分析】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提.

(1)分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積即可得出答案；

(2)①利用平方差公式化簡計算即可；

②利用平方差公式將原式轉(zhuǎn)化為1+2+3+…+99+100即可.

③利用平方差公式將解答即可.

【詳解】(1)解：圖1中陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即/-62,

圖2中的陰影部分是長為(“+明寬為(。-6)的長方形，因此面積為(。+6)(。-6),

所以有a?-b~=(a+6)(0—6),

故答案為：A；

(2)解：①,?,。2-從=(a+?(a-b),/-〃=28,a+b=l,

。—6=4；

②原式=(50+49)(50—49)+(48+47)(48—47)+…+(4+3(4—3)+(2+1)(2—1)

=50+49+48+47+???+4+3+2+1

③原式=X---X

50485149

=-X—X—X—X---X——X—X—X—

223349495048

—_1V_5_1—_5_1_

一250-100-

8.(1)A

(2)①3；②2-

【分析】本題考查了平方差公式的幾何背景以及平方差公式的計算；

(1)圖①陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即/-而圖②的陰影部分為長為

g+6),寬為的矩形，可表示出面積為

答案第4頁，共18頁

（2）①用平方差公式分解4病一二，將已知值代入可求解；

②原式乘以（2-1）,應(yīng)用平方差公式展開后合并同類項即可.

【詳解】（1）解：圖①中陰影部分的面積為圖②陰影部分是長為（0+6）,寬為（0-6）

的長方形，因此面積為（。+?（。-9，

由圖①，圖②中陰影部分的面積相等可得，a2-b2=（a+bXa-b）,

故選：A；

（2）①；4療一/=12,

[lm+n）（2m—nj-12,

又，:2加+〃=4,

2加一〃=12+4=3；

②（2+DQ2+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（216-1）（216+1）（232+1）

=（232-1）（232+1）

=264-1.

9.4/+12^+9

【分析】本題主要考查了完全平方公式，根據(jù)（x+y）2=/+2盯+/進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：（27+3『=4/+12y+9,

故答案為：4y2+12y+9.

10.m2-4mn+4n2

【分析】本題考查完全平方公式，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵，根據(jù)完全平方公式計算即可.

答案第5頁，共18頁

【詳解】解：(m-2n)2=m2-4mn+4n2

故答案為：m2-4mn+4n2.

11.2a+3b

【分析】本題考查完全平方公式，掌握完全平方公式的特點是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：442+12ab+962=(2a)2+2-2e3b+(3葉=(2°+36)2,

故答案為：2a+36.

12.ci~++h~+2a+2b+1

【分析】本題考查了完全平方公式，根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計算即可得，掌握完全平方公式

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：(a+6+iy

=[(a+Z>)+l]2

=(a+b￥+2(a+b)+\

=+2ab+b~+2a+2b+1?

故答案為：a1+2ab+〃+2a+2b+1.

13.(1)5

(2)①2；24；②20

【分析】(1)設(shè)5-尤=a,x-2=b,則(5-x)(x-2)=a6=2,a+6=(5—x)+(x-2)=3,根

據(jù)(5-x)2+(x-2)2=/+/=(°+z,)2_2ab代入計算即可解答；

(2)①根據(jù)正方形/BCD的邊長為x,即可表示出MB與。巴正方形AffTW的邊長為a,

正方形DbG”的邊長為6,表示出和必即可；②根據(jù)矩形的面積公式、正方形的面積

公式以及完全平方公式求解即可.

【詳解】(1)解:設(shè)5-x=a,x-2=6,則

(5-x)(x-2)="=2,a+6=(5-x)+(x-2)=3.

所以(5—尤)2+(工一2)2=/+/=(“+6『-2a6=32-2x2=5.

(2)解：①由題意得，MF=DE=AD-AE=x-l,DF=CD-CF=x-3.

???正方形M7的V的邊長為。，正方形G”的邊長為6

答案第6頁，共18頁

x—1—6Z,x-3=6,

q_6=(x_l)_(x_3)=2,

???長方形EMFD的面積是24,

■.MF-DF=24,9?ab=24.

故答案為2,24.

②由圖形可知：陰影部分的面積為：a2-b2

■■■a-b=2,ab=24

.?.(a+/>)2=(”6)2+4“6=22+4義24=100,即a+b=10

2

$陰影=$正方WEffiv—S正方形GFDH=(x-1)一—(x-3)2=a-b~=(a+b)(a-b)=10x2=20.

【點睛】本題主要考查完全平方公式的幾何背景、平方差公式等知識點，熟練掌握完全平方

公式與平方差公式是解答本題的關(guān)鍵.

14.(1)4。-4b

(2)(a+b)~=(a—b)°+4ab

⑶2或-2

【分析】(1)由拼圖可得陰影正方形的邊長，進(jìn)而表示周長即可；

(2)根據(jù)圖形中各個部分面積之間的關(guān)系即可得出答案；

(3)由(2)的結(jié)論代入計算即可.

【詳解】(1)解：由圖可得：陰影部分的正方形邊長為。-6,

.,.周長為:4(a-<)=4a-46,

故答案為：4a-4b；

(2)解:由圖可得：

大正方形面積可以看作四個矩形面積加陰影面積，故可表示為：4ab+(a-b)2,

大正方形邊長為a+b,故面積也可表達(dá)為：(a+b)2,

(a+by=(a-+4ab；

(3)解：由(2)知：(〃?+〃)-=(加-,

m-n=4,mn=-3,

答案第7頁，共18頁

(m+/j)2=42+4x(-3)=16-12=4,

，機(jī)+〃=2或-2.

【點睛】本題考查了列代數(shù)式、完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)果特征是

解題的關(guān)鍵.

15.觀察：(a+6)2-(a-6)2=4M；應(yīng)用：士4；拓展：900

【分析】觀察：根據(jù)大正方形的面積減去小正方形的面積等于4個長寬分別為a,b的長方

形面積，可得答案；

應(yīng)用：將加+〃=6,=5代入(1)中公式即可求解；

拓展：由正方形的邊長為％,則?！?x—5,DG=x-\5,得(x-5)(x-15)=200,設(shè)

m=x—5,n=x-15,mn=200,得加一〃二10,則S陰影=(加+幾＞=(加一〃/+4機(jī)〃，代入即

可.

【詳解】解：觀察：由圖形知，大正方形的面積為(〃+6)2,中間小正方形的面積為3-4)2,

大正方形的面積減去小正方形的面積等于4個長寬分別為Q,b的長方形面積，

???(a+b)2-{a-bp=Aab,

故答案為：(a+b)2—(a—b)2=4ab；

應(yīng)用：;(a+6)2-("6)2=4ab,

(m+n)2-(m—n)2=Amn,

將加+〃=6,加〃=5代入得：62-(m-w)2=4x5,

(m-n)2=16,

：.m-n=±4,

故答案為：±4；

拓展：???正方形/BCD的邊長為x,

DE=x-5,DG=x-15,

.-.(x-5)(x-15)=200,

設(shè)加=%—5,n=x-l5,mn=200,

???加一〃=10,

答案第8頁，共18頁

S陰影=(m+”)

=(m-n)2+4mn

=102+4X200

=900,

???圖中陰影部分的面積為900.

【點睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，圖形的面積，解題的關(guān)鍵是能從整體和

部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義，并能進(jìn)行公式的變形應(yīng)用.

16.⑴(Q+=(q-bp+4仍

⑵2或-2

⑶9

【分析】(1)根據(jù)圖2中，各個部分面積與大正方形面積之間的關(guān)系可得答案；

(2)由(1)的結(jié)論，進(jìn)行應(yīng)用即可；

(3)設(shè)/。=加，BC=n,得出用+〃=8,m2+n2=28,根據(jù)完全平方公式計算出相〃的

值即可.

【詳解】(1)解：由圖形面積得(。+6)2=("4+4M,

故答案為：(4+6)2=(Q—6)2+4ob；

(2)由(1)題所得(Q+6)2=(a-bp+4仍，

.??(m+"J=(加一〃了+4機(jī)〃,

???當(dāng)mn=-3,初一〃=4時，

(加+幾『-42+4x(-3)=4,

?,?加+〃=2或?2；

(3)解：設(shè)機(jī)，BC=n,

則加+〃=8,機(jī)2+/=28,

又由(加+〃『=加2+2加〃+〃2,得

2mn=(m+n)2-(m1+〃？)=64—28=36,

答案第9頁，共18頁

???圖中陰影部分的面積為：1w?=9.

【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及圖形中面積

之間的關(guān)系是解決問題的前提.

17.(1)26

⑵士6

【分析】本題考查了完全平方公式的運用，代數(shù)式求值，平方根的求解，熟練掌握相關(guān)運算

法則是解題關(guān)鍵.

(1)禾U用完全平方公式得到/+/=(a+b)2_2H,代入求解即可；

(2)利用完全平方公式得到=.+6)2-4a6,求出的值，再求其平方根即可.

【詳解】(1)解：?.?a+b=4,ab=-5,

.-.a2+/)2=(6?+Z?)2-2a/)=42-2x(-5)=16+10=26；

(2)'：a+b=A,ab=-5,

(a-bf=((z+ft)2-4aZ?=42-4x(-5)=16+20=36

a-b=±6.

18.(1)17

(2)25

【分析】本題考查了完全平方公式變形求值.

(1)根據(jù)〃？+/=(。+6)2—2。6計算即可；

(2)根據(jù)=(〃+/)『_4/計算即可.

【詳解】(1).??a+b=3,ab=-4,

.-.a2+Z?2=(o+Z))2-2a/>=32-2x(-4)=17；

(2)Q+6=3,ab=-4,

??.(a-bp=(q+b)2-4ab=32-4x(-4)=25.

19.(1)25

(2)a+6=±1

答案第10頁，共18頁

【分析】本題考查了通過完全平方公式變形求值，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

(1)利用完全平方公式進(jìn)行變形即可；

(2)利用完全平方公式進(jìn)行變形即可.

【詳解】(1)解：-：a-b-7,ab--12,

二/+/=gw+2.=49-24=25；

(2)解：'：a-b=1,ab=-12,

(a+bf=(a-b)2+4a6=49-48=1.

:.a+b=+l.

20.(1)14

⑵13

【分析】本題主要考查完全平方公式，熟記公式的幾個變形公式對是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)完全平分公式的變形即可求解

【詳解】(1)解：?.?a-b=3,ab=l

a1+3ab+b2

=+5ab

=9+5

二14；

⑵(a+6廣

=(Q-6)2+4H

=9+4

=13.

21.C

【分析】本題考查多項式乘多項式，利用完全平方公式把原式展開即可.

【詳解】解：(a+l『="+24+1,

故選：C.

22.D

答案第11頁，共18頁

【分析】本題考查了平方差公式.運用平方差公式計算時，關(guān)鍵要找相同項和相反項，其結(jié)

果是相同項的平方減去相反項的平方.

根據(jù)平方差公式(a+6)(a-b)=a2-/對各選項分別進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A、(2x-y)(x+2y)不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；

B、(x-y)b-x)不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；

C、3+a)(b-c)不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；

D、(-。+6)(。+與能用平方差公式計算，故本選項符合題意；

故選：D.

23.C

【分析】本題考查了同底數(shù)募的乘除法、累的乘方、完全平方公式，熟練掌握各知識點是解

答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)同底數(shù)幕的乘除法、幕的乘方法則，完全平方公式逐項分析即可.

【詳解】解：A.a2-a3=a5,故不正確；

B.a6a3=a3,故不正確；

C.,正確；

D.((7—1)~=a~—2a+1,故不正確；

故選C.

24.D

【分析】本題考查了完全平方式，根據(jù)完全平方式得出-mx=±4-x-4,求出即可.

【詳解】解：；4必-加y+16是一個完全平方式，

-mx=±4?x-4,

解得：加=±16,

故選：D.

25.D

【分析】本題考查了完全平方公式變形應(yīng)用，由完全平方公式得(x+y丫-2孫=40,代值計

算，即可求解；掌握x+了、刈、/+丁之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：.?.X2+/=40,

答案第12頁，共18頁

（x+y）2-2xy=40,

82-2xy=40,

解得：孫=12,

故選：D.

26.C

【分析】本題考查完全平方公式，楊輝三角的有關(guān)知識，由特殊情況，可以總結(jié)出一般規(guī)

律.

【詳解】當(dāng)〃=0時展開式所有系數(shù)的和為：1=2°.

當(dāng)"=1時展開式所有系數(shù)的和為：1+2=2=2】.

當(dāng)〃=2時展開式所有系數(shù)的和為：1+2+1=4=22.

當(dāng)〃=3時展開式所有系數(shù)的和為：1+3+3+1=8=23.

當(dāng)"=4時展開式所有系數(shù)的和為：1+4+6+4+1=16=2".

當(dāng)"=5時展開式所有系數(shù)的和為:1+5+10+10+5+1=32=25.

.?.當(dāng)”=9時展開式所有系數(shù)的和為：29=512.

故選：C.

【分析】本題考查了整式的除法，平方差公式.利用整式的除法列式]:--4/1+（；1+2了

再利用平方差公式計算即可求解.

【詳解】解：++

心+2心-0+2y]

故答案為：g尤-2九

28.—X2-3xy+9y2

【分析】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式（?！?）2=/±2"+/是解答本

題的關(guān)鍵.根據(jù)完全平方公式計算即可.

答案第13頁，共18頁

【詳解】解：+=（gx-3yj=-^-x2-3xy+9y2.

故答案為：|x2-3xy+9/.

29.4

【分析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.將

20202-2022x2018變形為20202_（2020+2）X（2020-2）,利用平方差公式計算即可.

【詳解】解：20202-2022x2018

=20202-（2020+2）x（2020-2）

=20202-（20202-22）

=202（）2-202（）2+4

=4,

故答案為：4.

30.12

【分析】本題考查完全平方公式，熟記完全平方公式是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)完全平方公式即可求解；

【詳解】解：（x+6）2=x?+12x+36,

即加=12

故答案為：12

31.55

【分析】本題考查了完全平方公式的變形，熟練掌握完全平方公式是解答此題的關(guān)鍵.

直接利用完全平方公式進(jìn)行變形即可.

【詳解】解：,「a—b=7,

:.（a-b）2=49,

即a2-2ab+b2=49,

又■:ab=3,

々2-2x3+62=49,

a2+b2=55?

故答案為：55.

答案第14頁，共18頁

32.(l)-16aZ)+l

(2)m2+4mn+4/72-1

【分析】本題考查整式的乘法運算.

(1)先根據(jù)完全平方公式，多項式乘多項式法則進(jìn)行計算，再合并同類項即可；

(2)先添加括號，運用平方差公式進(jìn)行計算，再運用完全平方公式進(jìn)行計算即可.

【詳解】(1)解：一(a6+3)(a6+5)

=[a'b1-8a6+16)-(a%。+8ab+15)

=a2b2-Sab+16-a2b2-Sab-15

=-\6ab+\；

(2)解：(m+2/7-l)(/w+In+1)

=[(〃?+2〃)一1][(%+2〃)+1]

=(機(jī)+2〃y-1

=m2+4mn+4n2—1.

33.(1)1

(2)9800

【分析】本題考查利用平方差公式簡化運算，熟記平方差公式是解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題目式子的結(jié)構(gòu)特征，將式子化為20232-