《三垂線定理練習(xí)課》課堂實(shí)錄兩篇

第1頁(yè)共13頁(yè)《三垂線定理》練習(xí)課（一）教學(xué)目標(biāo)1．進(jìn)一步理解、記憶并應(yīng)用三垂線定理及其逆定理；2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的證明及其初步應(yīng)用；（課本第122頁(yè)第3題）3．理解正方體的體對(duì)角線與其異面的面對(duì)角線互相垂直及其應(yīng)用；4．了解課本第33頁(yè)第11題．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)的重點(diǎn)是進(jìn)一步掌握三垂線定理及其逆定理并應(yīng)用它們來(lái)解有關(guān)的題．教學(xué)的難點(diǎn)是在講公式cosθ1·cosθ2＝cosθ應(yīng)用時(shí)比較θ2與θ的大?。虒W(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程師：上一節(jié)課我們講了三垂線定理及其逆定理的證明并初步應(yīng)用了這兩個(gè)定理來(lái)解一些有關(guān)的題．今天我們要進(jìn)一步應(yīng)用這兩個(gè)定理來(lái)解一些有關(guān)的題，先看例1．例1

如圖1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α內(nèi)，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，設(shè)∠BAC＝θ．求證：cosθ1·cosθ2＝cosθ．師：這是要證明三個(gè)角θ1，θ2和θ的余弦的關(guān)系，θ1已經(jīng)在直角△ABB′中，我們能否先作出兩個(gè)直角三角形分別使θ2和θ是這兩個(gè)直角三角形中的銳角．生：作B′D⊥AC于D，連BD，則BD⊥AC于D．這時(shí)θ2是直角△B′DA中的一個(gè)銳角，θ是直角△ABD中的一個(gè)銳角．師：剛才的表述是應(yīng)用三垂線定理及其逆定理時(shí)常常使用的“套話”，我們一定要很好理解并能熟練地應(yīng)用．現(xiàn)在已經(jīng)知道θ1、θ2和θ分別在三個(gè)直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)中的余弦的定義分別寫出這三個(gè)角的余弦，再來(lái)證明這公式．師：這個(gè)公式的證明是利用余弦的定義把它們轉(zhuǎn)化成鄰邊與斜邊的比，為此要先作出直角三角形，為了作出直角三角形我們應(yīng)用了三垂線定理．當(dāng)然也可用它的逆定理．這個(gè)公式是在課本第121頁(yè)總復(fù)習(xí)參考題中的第3題．我們?yōu)槭裁匆崆爸v這個(gè)公式呢？講這個(gè)公式的目的是為了用這個(gè)公式，因?yàn)樵诮庠S多有關(guān)題時(shí)都要用到這公式．那我們要問(wèn)在什么條件下可用這個(gè)公式？生：因?yàn)棣?是斜線AB與平面α所成的角，所以只有當(dāng)圖形中出現(xiàn)斜線與平面所成的角時(shí)，才有可能考慮用這公式．師：為了在使用這個(gè)公式時(shí)方便、易記，我們規(guī)定θ1表示斜線與平面所成的角，θ2是平面內(nèi)過(guò)斜足的一條射線與斜線射影所成的角，θ是這條射線與斜線所成的角．下面我們來(lái)研究一下這個(gè)公式的應(yīng)用．應(yīng)用這個(gè)公式可解決兩類問(wèn)題．第一是求值．即已知這公式中的兩個(gè)角，即可求出第三個(gè)角或其余弦值．例如：θ＝60°，這時(shí)θ2＜θ；當(dāng)θ1＝45°，θ2＝135°時(shí)，cosθ＝cos45°·cos135°＝第二是比較θ2與θ的大?。?yàn)槲覀円呀?jīng)規(guī)定θ1是斜線與平面所成的角，一定有0°＜θ1＜90°，它的大小不變，為了比較θ2與θ的大小，下面分三種情況進(jìn)行討論．（1）θ2＝90°，因?yàn)棣?＝90°，所以cosθ2＝0，因此cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．當(dāng)θ＝90°時(shí)，我們也可以證明θ2＝90°．一條直線如果和斜線的射影垂直，那么它就和斜線垂直．這就是三垂線定理．一條直線如果和斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直．這就是三垂線定理的逆定理．所以，我們可以這樣說(shuō)，這個(gè)公式是三垂線定理及其逆定理的一般情況，而三垂線定理及其逆定理是這公式的特殊情況．現(xiàn)在我們來(lái)研究在θ2是銳角時(shí)，θ2與θ的大?。?）0°＜θ2＜90°．師：在這個(gè)條件下，我們?cè)鯓觼?lái)比較θ2與θ的大??？生：因?yàn)?°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又因?yàn)?°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又因?yàn)閏osθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1，而且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2，在銳角條件下，余弦函數(shù)值大的它所對(duì)應(yīng)的角?。驭?＜θ．師：現(xiàn)在我們來(lái)討論當(dāng)θ2是鈍角時(shí)，θ2與θ的大?。?）90°＜θ2＜180°．在這個(gè)條件下，我們不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理論上的證明來(lái)比較θ2與θ的大小，而是一起來(lái)看模型（或圖形）．我們假設(shè)θ2的鄰補(bǔ)角為θ′2，θ的鄰補(bǔ)角為θ′，即θ2＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或圖形）中我們可以看出當(dāng)θ2是鈍角時(shí)，θ也是鈍角，所以它們的兩個(gè)鄰補(bǔ)角θ′2和θ′都是銳角，由對(duì)第二種情況的討論我們知道θ′2＜θ′．由等量減不等量減去小的大于減去大的，所以由θ2＝180°－θ′2，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．根據(jù)以上討論現(xiàn)在小結(jié)如下：當(dāng)θ2＝90°時(shí)，θ＝θ2＝90°，它們都是直角．當(dāng)0°＜θ2＜90°時(shí)，θ2＜θ，它們都是銳角；當(dāng)90°＜θ2＜180°時(shí)，θ2＞θ，它們都是鈍角．關(guān)于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的應(yīng)用，今后還要隨著課程的進(jìn)展而反復(fù)提到．現(xiàn)在我們來(lái)看例2．例2

如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G為正△C1DB的中心；（3）A1G＝2GC．師：我們先來(lái)證明第（1）問(wèn)．要證直線與平面垂直即要證什么？生：要證A1C與平面C1DB內(nèi)兩條相交的直線垂直．師：我們先證A1C為什么與DB垂直？生：連AC，對(duì)平面ABCD來(lái)說(shuō)，A1A是垂線，A1C是斜線，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因?yàn)锳C⊥DB（正方形的性質(zhì)），所以

A1C⊥DB．（三垂線定理）同理可證A1C⊥BC1．因?yàn)锳1C⊥平面C1DB（直線與平面垂直的判定理）（在證A1C⊥BC1時(shí)，根據(jù)情況可詳、可略，如果學(xué)生對(duì)應(yīng)用三垂線定理還不太熟悉，則可讓學(xué)生把這證明過(guò)程再敘述一遍，因?yàn)檫@時(shí)是對(duì)平面B1BCC1來(lái)說(shuō)，A1B1是垂線，A1C是斜線，B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影，由B1C⊥BC1，得A1C⊥BC1）師：現(xiàn)在來(lái)證第（2）問(wèn)，垂足G為什么是正△C1DB的中心？生：因?yàn)锳1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．師：現(xiàn)在來(lái)證第（3）問(wèn)，我們注意看正方體的對(duì)角面A1ACC1，在這對(duì)角面內(nèi)有沒(méi)有相似三角形？生：在正方體的對(duì)角面A1ACC1內(nèi)，由平面幾何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．師：例2是在正方體的體對(duì)角線與其異面的面對(duì)角線互相垂直引申而來(lái)，而例2也是一個(gè)基本的題型，對(duì)于以后證有關(guān)綜合題型時(shí)很有用．所以對(duì)例2的證明思路和有關(guān)結(jié)論，盡可能的理解、記?。F(xiàn)在我們來(lái)看例3．例3

如圖3，已知：Rt△ABC在平面α內(nèi)，PC⊥平面α于C，D為斜邊AB的中點(diǎn)，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：（1）P，D兩點(diǎn)間的距離；（2）P點(diǎn)到斜邊AB的距離．師：現(xiàn)在先來(lái)解第（1）問(wèn)，求P，D兩點(diǎn)間的距離．師：現(xiàn)在我們來(lái)解第（2）問(wèn)，求P點(diǎn)到AB邊的距離．生：作PE⊥AB于E，連CE則CE⊥AB．（三垂線定理的逆定理）PE就是P點(diǎn)到AB邊的距離．師：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜邊上的高，已知直角三角形的三邊如何求它斜邊上的高呢？生：可用等積式CE·AB＝AC·CB，即斜邊上的高與斜邊的乘積等于兩直角邊的乘積．師：這個(gè)等積式是怎樣證明的？生：有兩種證法．因CE·AB是Rt△ABC面積的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面積的二倍，所以它們相等；也可用△BCE∽△ABC，對(duì)應(yīng)邊成比例推出這個(gè)等積式．師：這個(gè)等積式很有用，根據(jù)這個(gè)等積式，我們可以由直角三角形的三邊求出斜邊上的高，這個(gè)等積式以后在求有關(guān)距離問(wèn)題時(shí)會(huì)常常用到，所以要理解、記住、會(huì)用．現(xiàn)在就利用這等積式先求CE，再求PE．師：通過(guò)這一題我們要區(qū)分兩種不同的距離概念及求法；在求點(diǎn)到直線距離時(shí)，經(jīng)常要用到三垂線定理或其道定理；在求直角三角形斜邊上的高時(shí)會(huì)利用上述的等積式來(lái)求斜邊上的高．現(xiàn)在我們來(lái)看例4．例4

如圖4，已知：∠BAC在平面α內(nèi)，POα，PO⊥平面α于O．如果∠PAB＝∠PAC．求證：∠BAO＝∠CAO．（這個(gè)例題就是課本第32頁(yè)習(xí)題四中的第11題．這個(gè)題也可以放在講完課本第30頁(yè)例1以后講．不論在講課本第30頁(yè)例1，還是在講這個(gè)例時(shí)，都應(yīng)先用模型作演示，使學(xué)生在觀察模型后，得出相關(guān)的結(jié)論，然后再進(jìn)行理論上的證明，這樣使學(xué)生對(duì)問(wèn)題理解得具體、實(shí)在，因而效果也較好）師：當(dāng)我們觀察了模型后，很容易就猜想到了結(jié)論．即斜線PA在平面α上的射線是∠BAC的角平分線所在的直線，現(xiàn)在想一想可以有幾種證法？生：作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，連PD，PE，則PD⊥AB，PE⊥AC．所以Rt△PAD≌Rt△PAE，因此PD＝PE，故OD＝OE，所以∠BAO＝∠CAO．師：今天我們講了公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．能否用這公式來(lái)證明這題．（利用這公式來(lái)證明這個(gè)題，完全是由學(xué)生想到的，當(dāng)然如果有的班學(xué)生成績(jī)較差，思路不活，也可做些必要的提示）生：因?yàn)椤螾AO是斜線與平面α所成的角，所以可以考慮用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．∠PAO相當(dāng)于θ1；∠PAB＝∠PAC它們都相當(dāng)于θ，由公式可得θ2＝θ′2，即∠BAO＝∠CAO．師：今天我們是應(yīng)用三垂線定理及其逆定理來(lái)解這四個(gè)例題．例1、例2、例4是三個(gè)基本題．對(duì)這三個(gè)題一定要會(huì)證、記住、會(huì)用．關(guān)于這三個(gè)題的應(yīng)用，以后還會(huì)在講課過(guò)程中反復(fù)出現(xiàn)．在高考題中也曾用到．作業(yè)課本第33頁(yè)第13題．補(bǔ)充題1．已知：∠BSC＝90°，直線SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求：SA和平面BSC所成角的大小．［45°］2．已知：AB是平面α的一斜線，B為斜足，AB＝a．直線AB與平面α所成的角等于θ，AB在平面α內(nèi)的射影A1B與平面α內(nèi)過(guò)B3．已知：P為Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，∠ACB＝90°，P到直角頂點(diǎn)C的距離等于24，P到平面ABC的距離等于12，P到AC4．已知：∠BAC在平面α內(nèi)，PA是平面α的斜線，∠BAC＝60°，∠PAB＝∠PAC＝45°．PA＝a，PO⊥平面α于O．PD⊥AC于D，PE⊥AB于E．求：（1）PD的長(zhǎng)；《三垂線定理》練習(xí)課（二）教學(xué)目標(biāo)1．進(jìn)一步理解、鞏固并應(yīng)用三垂線定理及其逆定理；2．應(yīng)用上一節(jié)課上所講的兩個(gè)基本題來(lái)解有關(guān)的綜合題；3．通過(guò)解綜合題提高學(xué)生解綜合題的能力．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)的重點(diǎn)是進(jìn)一步掌握三垂線定理及其逆定理，并能靈活的應(yīng)用它們來(lái)解有關(guān)的題．教學(xué)的難點(diǎn)是在空間圖形中有許多平面時(shí)，如何選好“基準(zhǔn)平面”和“第一垂線”．教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程師：上一節(jié)我們應(yīng)用三垂線定理及其逆定理講了四個(gè)例題．其中大多是基本題．今天我們一方面要在應(yīng)用這些基本題的基礎(chǔ)上解有關(guān)的綜合題；另外我們?cè)賮?lái)解其它的綜合題來(lái)提高我們的解綜合題的能力．現(xiàn)在看例1．例1

如圖1，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求證：△ABC是銳角三角形．師：這一題證法很多，所以我們要多想幾種證法．所以

∠BAC是銳角．同理可證∠ABC，∠ACB都是銳角．師：我們能不能直接用三垂線定理來(lái)證？生：由已知可得PA⊥平面PBC．在直角三角形PBC中，作PD⊥BC于D，因?yàn)椤螾BC，∠PCB都是銳角，所以垂足D一定在斜邊BC內(nèi)部，連PD，則PD⊥BC（三垂線定理）．對(duì)于△ABC來(lái)說(shuō)，因垂足D在BC邊內(nèi)部，所以∠ABC，∠ACB都是銳角，同理可證∠BAC也是銳角．師：能不能用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ來(lái)證明△ABC為銳角三角形？生：因AP⊥平面PBC，所以∠ABP是線面角，相當(dāng)于θ1，∠PBC相當(dāng)于θ2，因θ1，θ2都是銳角．所以cosθ1＞0，cosθ2＞0，cosθ＝cosθ1·cosθ2＞0，所以θ為銳角。即∠ABC是銳角，同理可證∠BAC，∠ACB都是銳角．師：我們用了三種方法來(lái)證明△ABC是銳角三角形，現(xiàn)在我們換一個(gè)角度來(lái)研究這個(gè)基本圖形另外一個(gè)性質(zhì)．看例2．例2

如圖2，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．PH⊥平面ABC于H．求證：H點(diǎn)是△ABC的垂心．師：垂心是三角形三邊垂線（高線）的交點(diǎn)，要證H是△ABC的垂心，只要證AH⊥BC即可．生：因?yàn)?/p>

PA⊥BP，PA⊥CP，所以

PA⊥平面PBC．故

PA⊥BC．對(duì)于平面ABC來(lái)說(shuō)，PH是垂線，PA是斜線，AH是PA在平面ABC內(nèi)的射線．因?yàn)?/p>

PA⊥BC，所以

AH⊥BC．同理可證BH⊥AC，CH⊥AB．故H是△ABC的垂心．師：由例2的演變可得例3，現(xiàn)在我們來(lái)看例3．例3

如圖3，△ABC中，∠BAC是銳角，PA⊥平面ABC于A，AO⊥平面PBC于O．求證：O不可能是△PBC的垂心．師：要證明O不可能是△PBC的垂心，用什么方法？生：用反證法．師：為什么想到用反證法？生：因?yàn)橹苯幼C不好證．師：對(duì)，因?yàn)橹苯觼?lái)證不好利用條件，而用反證法，假設(shè)O是△PBC的垂心，則這樣證明的思路就“活了”，就可利用已知條件，現(xiàn)在我們用反證法來(lái)證明．生：假設(shè)O是△PBC的垂心，則BO⊥PC．對(duì)平面PBC來(lái)說(shuō)，AO是垂線，AB是斜線，BO是AB在平面PBC內(nèi)的射影．因?yàn)?/p>

BO⊥PC，所以

AB⊥PC．又因?yàn)?/p>

PA⊥平面ABC，PA⊥AB，所以AB⊥平面PAC，AB⊥AC，∠BAC是直角，與已知∠BAC是銳角相矛盾．所以假設(shè)不能成立，所以O(shè)不可能是△PBC的垂心．師：分析例3我們可以看出例3是由例2演變而來(lái)．也就是說(shuō)在PA⊥AB，PA⊥ACO是△PBC的垂心條件下一定可以推導(dǎo)出AB⊥AC．是例2的逆命題再加以演變而得．現(xiàn)在我們來(lái)看例4．例4

如圖4，已知：∠AOB在平面α內(nèi)，∠AOB＝60°，PO是平面α的一條斜線段，∠POA＝∠POB＝45°，PP′⊥平面α于P′，且PP′＝3．求：（1）PO與平面α所成的角的正弦；（2）PO的長(zhǎng)．師：我們?nèi)绾卫蒙瞎?jié)課所講的兩個(gè)基本題來(lái)解這題．生：因∠POA＝∠POB，所以O(shè)P′是∠AOB的平分線，∠POP′相當(dāng)于θ1，θ2＝30°，θ＝45°，由cosθ1·cos30°＝cos師：在我們腦中如果“儲(chǔ)存”許多基本題，那么在我們解有關(guān)綜合題時(shí)，就能“得心應(yīng)手”．所以在平時(shí)我們一定要注意對(duì)基本題的理解、掌握，解這題的思路就是一個(gè)典型．下面我們來(lái)看例5．（1）直線MN是異面直線A1B和B1D1的公垂線；（2）若這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為a，求異面直線A1B和B1D1的距離．師：我們是在講三垂線定理及其逆定理應(yīng)用時(shí)講這個(gè)例題的．所以我們想法用三垂線定理或它的逆定理來(lái)證明這一題．要用三垂線定理首先要確定對(duì)于哪一個(gè)平面來(lái)用三垂線定理．生：對(duì)于平面A1B1C1D1來(lái)用三垂線定理．師：這時(shí)MN是平面A1B1C1D1的斜線，我們?nèi)绾巫髌矫鍭1B1C1D1的垂線呢？生：作MP⊥A1B1于P，又因?yàn)镈1A1⊥平面A1ABB1，所以A1D1⊥PM，故PM⊥平面A1B1C1D1．師：對(duì)于平面A1B1C1D1來(lái)說(shuō)，MP是垂線，MN是斜線，NP是MN在平面A1B1C1D1上的射影．我們要證MN⊥B1D1，只要證PN⊥B1D1即可．在正方形A1B1C1D1中，我們知道