人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊學(xué)案：1 1 1 第2課時 共線向量與共面向量

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊PAGEPAGE1第2課時共線向量與共面向量學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解向量共線、向量共面的定義.2.掌握向量共線的充要條件和向量共面的充要條件，會證明空間三點共線、四點共面．導(dǎo)語我們知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移動，平面內(nèi)兩個向量若方向相同或相反，就說它們是共線的，那么在空間內(nèi)向量共線又是怎么回事呢？今天我們就來探究一下．一、空間向量共線的充要條件問題1平面向量共線的充要條件是什么？它適用于空間向量嗎？〖提示〗對任意兩個平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb，由于空間向量共線的定義與平面向量相同，因此也適用于空間向量．知識梳理1．對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.2.如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，可知eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量，直線l上任意一點都可以由直線l上的一點和它的方向向量表示．注意點：(1)直線可以由其上一點和它的方向向量確定．(2)向量a，b共線時，表示向量a，b的兩條有向線段不一定在同一條直線上．例1如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，則eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線？解方法一∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).①又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，②①＋②得2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線．方法二∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(CE,\s\up6(→)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(CE,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(CE,\s\up6(→))共線．反思感悟向量共線的判定及應(yīng)用(1)判斷或證明兩向量a，b(b≠0)共線，就是尋找實數(shù)λ，使a＝λb成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡或用同一組向量表達(dá)．(2)判斷或證明空間中的三點(如P，A，B)共線的方法：是否存在實數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→)).跟蹤訓(xùn)練1(1)已知A，B，C三點共線，O為直線外空間任意一點，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，則m＋n＝________.〖答案〗1〖解析〗由于A，B，C三點共線，所以存在實數(shù)λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1.(2)如圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點，且eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→)).求證：四邊形EFGH是梯形．證明∵E，H分別是AB，AD的中點，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up6(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(CG,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up6(→))，∴eq\o(EH,\s\up6(→))∥eq\o(FG,\s\up6(→))且|eq\o(EH,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(FG,\s\up6(→))|.又F不在直線EH上，∴四邊形EFGH是梯形．二、空間向量共面的充要條件問題2空間任意兩個向量是共面向量，則空間任意三個向量是否共面？〖提示〗不一定，如圖所示，空間中的三個向量不共面．問題3對兩個不共線的空間向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系？反過來，向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系時，p＝xa＋yb?〖提示〗向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.知識梳理1．向量與平面平行：如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.2．共面向量定義平行于同一個平面的向量三個向量共面的充要條件向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)使p＝xa＋yb問題4對于不共線的三點A，B，C和平面ABC外的一點O，空間一點P滿足關(guān)系式eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？〖提示〗x＋y＋z＝1.證明如下：(1)充分性∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))可變形為eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－y－z)eq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝y(tǒng)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋z(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))，∴點P與A，B，C共面．(2)必要性∵點P在平面ABC內(nèi)，不共線的三點A，B，C，∴存在有序?qū)崝?shù)對(m，n)使eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝m(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋n(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－m－n)eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，又∵點O在平面ABC外，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共面，∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1.例2(1)(多選)對空間任一點O和不共線的三點A，B，C，能得到P，A，B，C四點共面的是()A.eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))〖答案〗BC〖解析〗方法一A選項，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，不能轉(zhuǎn)化成eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))的形式，所以A不正確；B選項，∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，∴3eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))，∴P，A，B，C共面．故B正確；C選項，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,8)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up6(→)).∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up6(→))，由共面的充要條件知P，A，B，C四點共面，故C選項正確．D選項，eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，無法轉(zhuǎn)化成eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))的形式，所以D項不正確．方法二點P與A，B，C共面時，對空間任意一點O，都有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1，可判斷出只有選項B，C符合要求．(2)(鏈接教材P5例1)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點，N∈AC，且AN∶NC＝2，求證：A1，B，N，M四點共面．證明設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則eq\o(A1B,\s\up6(→))＝b－a，∵M(jìn)為線段DD1的中點，∴eq\o(A1M,\s\up6(→))＝c－eq\f(1,2)a，又∵AN∶NC＝2，∴eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(b＋c)，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(b＋c)－a＝eq\f(2,3)(b－a)＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,2)a))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1M,\s\up6(→))，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))，eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(A1M,\s\up6(→))為共面向量．又∵三向量有相同的起點A1，∴A1，B，N，M四點共面．反思感悟解決向量共面的策略(1)若已知點P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．(2)證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個不共線的向量來表示．跟蹤訓(xùn)練2已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)BD∥平面EFGH.證明如圖，連接EG，BG.(1)因為eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由向量共面的充要條件知向量eq\o(EG,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(EH,\s\up6(→))共面，即E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)因為eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.1．知識清單：(1)空間向量共線的充要條件，直線的方向向量．(2)空間向量共面的充要條件．(3)三點共線、四點共面的證明方法．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、類比．3．常見誤區(qū)：混淆向量共線與線段共線、點共線．1．對于空間的任意三個向量a，b,2a－b，它們一定是()A．共面向量B．共線向量C．不共面向量D．既不共線也不共面的向量〖答案〗A〖解析〗由向量共面定理可知，三個向量a，b,2a－b為共面向量．2．(多選)下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq