人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊學案：§1 2 第2課時 空間向量基本定理的初步應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊PAGEPAGE1第2課時空間向量基本定理的初步應(yīng)用學習目標1.會用基底法表示空間向量.2.初步體會利用空間向量基本定理求解立體幾何問題的思想．知識點一證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.思考怎樣利用向量共線、向量共面解決幾何中的證明平行、共線、共面問題？〖答案〗平行和點共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題．知識點二求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.思考怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求夾角、證明垂直問題？〖答案〗幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍．知識點三求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．思考怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求距離(長度)問題？〖答案〗幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用數(shù)量積可以求得．1．四點A，B，C，D構(gòu)成平行四邊形ABCD的充要條件是eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).(×)2．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點共線．(×)3．已知兩個向量eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))的夾角為60°，則∠NMP＝60°.(×)4．如果eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，則四點O，P，M，N一定共面．(√)一、證明平行、共面問題例1如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′，E，F(xiàn)分別為AA′和CC′的中點．求證：BF∥ED′.證明eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up6(→))，eq\o(ED′,\s\up6(→))＝eq\o(EA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(ED′,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))∥eq\o(ED′,\s\up6(→))，∵直線BF與ED′沒有公共點，∴BF∥ED′.反思感悟證明平行、共面問題的思路(1)利用向量共線的充要條件來證明點共線或直線平行．(2)利用空間向量基本定理證明點線共面或線面平行．跟蹤訓練1如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.求證：A，E，C1，F(xiàn)四點共面．證明因為eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))共面，所以A，E，C1，F(xiàn)四點共面．二、求夾角、證明垂直問題例2如圖所示，在三棱錐A－BCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E為BC的中點．(1)證明：AE⊥BC；(2)求直線AE與DC的夾角的余弦值．(1)證明因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))－eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))－\o(DA,\s\up6(→))))·(eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))2－eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))，又DA，DB，DC兩兩垂直，且DB＝DC＝DA＝2，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，故AE⊥BC.(2)解eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))－\o(DA,\s\up6(→))))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))2－eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))2＝2，由eq\o(AE,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))－\o(DA,\s\up6(→))))2＝eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))2＋eq\o(DA,\s\up6(→))2＝6，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AE,\s\up6(→))))＝eq\r(6).所以cos〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(DC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AE,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DC,\s\up6(→)))))＝eq\f(2,\r(6)×2)＝eq\f(\r(6),6).故直線AE與DC的夾角的余弦值為eq\f(\r(6),6).反思感悟求夾角、證明線線垂直的方法利用數(shù)量積定義可得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，進而求得線線角，兩直線垂直可作為求夾角的特殊情況．跟蹤訓練2在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分別是AD，DC的中點．求異面直線MN與BC1所成角的余弦值．解eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(DN,\s\up6(→))－eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(DA,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(DA,\s\up6(→))＋\o(DD1,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(\r(5),2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC1,\s\up6(→))))＝eq\r(2)，所以cos〈eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(MN,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC1,\s\up6(→)))))＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\r(2))＝eq\f(\r(10),10)，故異面直線MN與BC1所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).三、求距離(長度)問題例3已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有兩點A，B，線段AC?α，線段BD?β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，則CD＝________.〖答案〗26〖解析〗∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有兩點A，B，線段AC?α，線段BD?β，AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BD,\s\up6(→))2＝64＋36＋576＝676，∴CD＝26.反思感悟求距離(長度)問題的思路選擇已知長度和夾角的三個向量作為基向量，利用基底表示向量，將距離(長度)問題轉(zhuǎn)化為向量的模的問題．跟蹤訓練3正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，點N為B1B的中點，則|eq\o(MN,\s\up6(→))|等于()A.eq\f(\r(21),6)a B.eq\f(\r(6),6)aC.eq\f(\r(15),6)a D.eq\f(\r(15),3)a〖答案〗A〖解析〗∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(4,9)|\o(AB,\s\up6(→))|2＋\f(1,36)|\o(AA1,\s\up6(→))|2＋\f(1,9)|\o(AD,\s\up6(→))|2)＝eq\f(\r(21),6)a.1．(多選)已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外的任一點，則“點M與點A，B，C共面”的充分條件是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)“eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，若x＋y＋z＝1，則點M與點A，B，C共面”，因為2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(11,6)≠1，eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，由上可知，BD滿足要求．2．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，則△BCD是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定〖答案〗B〖解析〗在△BCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＞0，∴B為銳角，同理，C，D均為銳角．3．如圖，三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2eq\r(2)，則SC與AB所成角的大小為()A．90° B．60°C．45° D．30°〖答案〗B〖解析〗因為SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以eq\o(AS,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以∠BAC＝45°，AC＝2eq\r(2).因此eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))cos45°＝2×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝4，所以eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AS,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝4，又SA＝2eq\r(2)，所以SC＝eq\r(SA2＋AC2)＝4，因此cos〈eq\o(SC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(SC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(SC,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→)))))＝eq\f(4,4×2)＝eq\f(1,2)，所以SC與AB所成