咸陽市重點中學2025屆高三二模數(shù)學試卷（B版）含解析

咸陽市重點中學2025屆高三二模數(shù)學試題試卷（B版）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.拋物線必=3分的準線方程是y=l,則實數(shù)。=（)

3344

A.一一B.-C.一一D.-

4433

2.已知三棱錐D-ABC的外接球半徑為2,且球心為線段的中點，則三棱錐D-ABC的體積的最大值為（）

24816

A.—B.—C.—D.—

3333

3.點P為棱長是2的正方體ABC。-A4Gq的內切球。球面上的動點，點M為與G的中點，若滿足

則動點尸的軌跡的長度為（）

A.叵1B.冥玩C.見巨D8辰

5555

4.一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為2,高為0,有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切，則該球的表面

積為（）

A.4、/^乃B.4萬C.4、/^兀D.3〃

5.在△ABC中，AB=3,AC=2,Z^4C=60。，點D,E分別在線段Afi,CD上，且5。=2AO,CE=2ED,

則麗?亞=（）?

A.-3B.-6C.4D.9

6.已知AABC是邊長為1的等邊三角形，點。，E分別是邊A6,的中點，連接。石并延長到點尸，使得

DE=2E產，則衣.配的值為（）

11511

A.—B.—C.一D.-

8448

7.已知/(%)=l-2cos2(cox+1)(?>0).給出下列判斷:

①若F（xj=l,/l（無2）=-1，且|再_%21mhi=兀，則。=2；

②存在。e（0,2）使得f（x）的圖象向右平移J個單位長度后得到的圖象關于>軸對稱；

O

「447)

③若“X）在［0,2可上恰有7個零點，則。的取值范圍為-24J

④若/（X）在上單調遞增，則3的取值范圍為f0,1

L64jI3.

其中，判斷正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

8.若復數(shù)z滿足（1+，巨=1+2i，則|z|二（）

A.也B.之C.典1

D.-

2222

9.設aeH,b>0,則“3。>2Z?”是“a>抽匕”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.設a=logg0.2/=logo_34,c=403,則（）

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

2019

11.若（l-x）2°i9=%+4（尤+］）_|--F^2019（X+1）,xeR,則％召+出了+…+/oi91①。的值為（）

2019201920192019

A.-1-2B.-1+2C.1-2D.i+2

22

12.已知雙曲線「：二—二=13>。力>0）的一條漸近線為/,圓c：（x—c）2+y2=4與/相切于點A,若AA耳工的

ab

面積為24，則雙曲線「的離心率為（）

2

A。R^3rZnV21

333

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22226

13.已知a>z?>o,橢圓G的方程為三+==1，雙曲線。2方程為3-當=1，G與a的離心率之積為支，

a2b2crb'2

則C2的漸近線方程為.

14.在［2V—的二項展開式中，x的系數(shù)為.(用數(shù)值作答)

15.函數(shù)〃龍)的定義域為［—1,1)，其圖象如圖所示.函數(shù)g(x)是定義域為R的奇函數(shù)，滿足g(2—x)+g(x)=0,

且當九《0,1)時，g(%)=/(%).給出下列三個結論：

?g(0)=0；

②函數(shù)g(x)在(-1,5)內有且僅有3個零點；

③不等式/(f)<0的解集為何―1<x<0}.

其中，正確結論的序號是.

16.已知點4(0,-1)是拋物線_?=2刀的準線上一點，尸為拋物線的焦點，P為拋物線上的點，且歸司=7司網，若

雙曲線C中心在原點，尸是它的一個焦點，且過產點，當m取最小值時，雙曲線C的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在正三棱柱ABC—4月￡中，A5=A4=2,E,歹分別為A3,耳G的中點.

(1)求證：與￡//平面4。5；

(2)求平面CEBX與平面ACF所成二面角(銳角)的余弦值.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*(辦+1),a&R.

(1)求曲線y=/(九)在點〃(0"(0))處的切線方程;

(2)求函數(shù)/(%)的單調區(qū)間；

(3)判斷函數(shù)/(x)的零點個數(shù).

19.(12分)設函數(shù)/(x)=sin(W—2)—2cos2尊+1(。>0),直線y=唐與函數(shù)/'(x)圖象相鄰兩交點的距離為

366

2?.

(I)求口的值；

(II)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別是”,b,c,若點［g,。)是函數(shù)y=/(幻圖象的一個對稱中心，且b=5,

求AABC面積的最大值.

22

20.(12分)在平面直角坐標系x0y中，已知橢圓C：三+4=1(a>b>0)的左、右焦點分別為耳、K,且點耳、

a~b~

F2與橢圓C的上頂點構成邊長為2的等邊三角形.

x

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知直線/與橢圓。相切于點P,且分別與直線x=T和直線x=-l相交于點〃、N.試判斷RI是否為定

\MF2\

值,并說明理由.

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=/—a/

⑴已知直線/：x-y-1=0,2x-y-2=0.若直線4與4關于/對稱，又函數(shù)/⑴在x=l處的切線與垂直,

求實數(shù)〃的值；

(2)若函數(shù)g(x)=(e—2)尤+1,則當％>0,。=1時，求證:

@ex-ex-l>x(lnx-1).

22.(10分)如圖所示,在四棱錐尸-A3CD中，底面ABC。是棱長為2的正方形，側面PAD為正三角形,且面PAD±

面ABCD,及萬分別為棱AB,PC的中點.

(1)求證：E同平面R4D；

(2)求二面角P—EC—。的正切值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據準線的方程寫出拋物線的標準方程，再對照系數(shù)求解即可.

【詳解】

4

因為準線方程為y=1,所以拋物線方程為/=—4y,所以3。=T,即a=.

故選：C

本題考查拋物線與準線的方程.屬于基礎題.

2.C

【解析】

由題可推斷出AABC和ABCD都是直角三角形，設球心為。，要使三棱錐O-ABC的體積最大，則需滿足/i=OD,

結合幾何關系和圖形即可求解

【詳解】

先畫出圖形，由球心到各點距離相等可得，OA^OB^OC,故AABC是直角三角形，設==則有

222

x+y=4>2xy,又5^^=；孫，所以=；孫<4,當且僅當x=y=2&時，5AABC取最大值4,要使三

11Q

棱錐體積最大，則需使高人8=2,止匕時心會昆§x4x2=§'

本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問題，屬于基礎題

3.C

【解析】

設用8的中點為利用正方形和正方體的性質，結合線面垂直的判定定理可以證明出氏0，平面。CH，這樣可以

確定動點尸的軌跡，最后求出動點尸的軌跡的長度.

【詳解】

設用6的中點為X,連接CH,DH,因此有而。CLVB,而。C,C"u平面CDH,DC[}CH=C,

因此有J_平面。CH，所以動點尸的軌跡平面。CH與正方體ABC。-的內切球。的交線.正方體

ABC。-A4GA的棱長為2,所以內切球。的半徑為H=l,建立如下圖所示的以。為坐標原點的空間直角坐標系:

因此有O(l』」),C(0,2,0),H(2,2,l),設平面。CH的法向量為而=(x,y,z),所以有

fh±DCin-DC=02y=0

囚+2?=。*"'°'-2)，因此。到平面。E的距離為:

m±DHm-DH=Q

d=1_j」=2,所以截面圓的半徑為:"R2T2二正,因此動點P的軌跡的長度為2萬廠=述".

m555

故選：C

本題考查了線面垂直的判定定理的應用，考查了立體幾何中軌跡問題，考查了球截面的性質，考查了空間想象能力和

數(shù)學運算能力.

4.B

【解析】

根據正四棱錐底邊邊長為2,高為0,得到底面的中心到各棱的距離都是1,從而底面的中心即為球心.

【詳解】

如圖所示：

因為正四棱錐底邊邊長為2,高為0，

所以如=血，跖=2，

0到SB的距離為d=S0x0B=1,

SB

同理。到SC,劈，必的距離為1,

所以。為球的球心，

所以球的半徑為：1，

所以球的表面積為4萬.

故選：B

本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.

5.B

【解析】

根據題意，分析可得AD=1,由余弦定理求得DC的值，由麗?麗=（而+灰）?通=M?通+庇?通=應5?福

可得結果.

【詳解】

根據題意，AB=3,BD=2AD,則AD=1

在△ADC中，又AC=2,NBAC=60°

則DC~=AD2+AC2-2AD-DCcosABAC=3

則。C=G

則CD_LAB

則赤X§=（M+而）=M?通+加?超=M?通=3x2xcosl80°=—6

故選：B

此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡單題目.

6.D

【解析】

設麗=W，BC=b'作為一個基底，表示向量瓦=工恁=!,一辦DF^-DE^-(b-a),

22V'24'，

AF^AD+DF^--a+-(b-^\=--a+-b,然后再用數(shù)量積公式求解.

24V744

【詳解】

設BA=a，BC-b，

所以瓦=工衣=工傷一￡)，DF^-DE--(b-^\,AF=AD+DF^--a+-(b-a]^--a+-b,

22、124、'24、,44

____53]

所以赤?品=——a-b+-b-b^~.

448

故選：D

本題主要考查平面向量的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

7.B

【解析】

7T

對函數(shù)f(x)化簡可得/(x)=sin(2ox+—),進而結合三角函數(shù)的最值、周期性、單調性、零點、對稱性及平移變換,

6

對四個命題逐個分析，可選出答案.

【詳解】

JT27r7T27rjr

因為/(%)=1-2COS2(G1+—)=一COS(2G%H----)=sin(2G4+一),所以周期T=——=——.

3362a)co

1JT1

對于①，因為N―=兀=-T，所以7=2兀=—,即。=—,故①錯誤；

112|min2CD2

對于②，函數(shù)f(x)的圖象向右平移F個單位長度后得到的函數(shù)為y=sin(2ox-"+烏)，其圖象關于V軸對稱，則

636

〃萬T7T7T

——+—=—+E(左eZ),解得力=—1—3左(左￡Z),故對任意整數(shù)左，口七(0,2),所以②錯誤；

362

對于③，令/Cx)=sin(2ax+3=0,可得2s:+巴=攵兀(左wZ),則％=&■———,

662co\2co

因為/(O)=sin工＞0,所以/(無)在[0,2可上第1個零點占＞0,且玉=」———,所以第7個零點

62a)12a)

7171__717137141兀]

、-------------H3T=-------—I-----=---，右存在弟8個零點/,則

Ico12G2a)12Gco12G

-兀------兀--1-7T[兀---兀------1-7兀-4--7-兀-

82a)12G22①12G2G12G

41兀47兀4147

所以九7?2兀＜/，即---＜2TI＜-----,解得一＜G)＜——,故③正確；

12G12口2424

c71兀、71

「2627------H—N----

對于④，因為，(0)=sin2,且Oe—,所以|I6162,解得?！垂ぃ挚凇?。，所以。<,

6164」?兀兀兀33

2(z)x--1--<—

I462

故④正確.

故選:B.

本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調性、零點、對稱性，考查學生的計算

求解能力與推理能力，屬于中檔題.

8.C

【解析】

1313

化簡得到N="z=-----------i,再計算復數(shù)模得到答案.

2222

【詳解】

1+2/(1+2;)(1+/)-1+3/13.

(l+i)z=l+2i,故彳=—+—1

1+z-(l+z)(l-z)-222

13.

-----1巫

2F

故選：c.

本題考查了復數(shù)的化簡，共輾復數(shù)，復數(shù)模，意在考查學生的計算能力.

9.A

【解析】

根據對數(shù)的運算分別從充分性和必要性去證明即可.

【詳解】

若3'>2b，b>0,則a>log326,可得a>log3b；

若心噫人,可得3">b，無法得到3a>26,

所以"3">2b”是“a>log36”的充分而不必要條件.

所以本題答案為A.

本題考查充要條件的定義，判斷充要條件的方法是：

①若。=4為真命題且40〃為假命題，則命題「是命題4的充分不必要條件;

②若。=q為假命題且qn。為真命題，則命題P是命題q的必要不充分條件;

③若為真命題且qnp為真命題，則命題「是命題4的充要條件；

④若0=4為假命題且qn，為假命題，則命題P是命題g的即不充分也不必要條件.

⑤判斷命題p與命題g所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題g的關系.

10.D

【解析】

結合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調性，可判斷出—l<a<O,Z?<-l,c>1,即可選出答案.

【詳解】

由logo,34<log03y=

又T=log80.125<log80.2<log81=。,即一1<a<0,

403>l,BPc>l,

所以vavc.

故選:D.

本題考查了幾個數(shù)的大小比較，考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性的應用,屬于基礎題.

11.A

【解析】

取X=—1,得至必0=22°19,取x=2,則/+。「3+。2-32+…+%019.32°"=—1,計算得到答案.

【詳解】

取x=—1,得到&=2如9;取尤=2,則+q,3+。2H--------1-622019-32019=—1.

故q?3+4.3?+…+4019-32019=-1-22°19.

故選：A-

本題考查了二項式定理的應用，取x=-1和尤=2是解題的關鍵.

12.D

【解析】

由圓C:(x—cy+V=4與/相切可知，圓心C(c,0)到/的距離為2,即匕=2.又5白明92=25?。弓=。匕=2百，由此

求出a的值，利用離心率公式，求出e.

【詳解】

由題意得b=2,SAAF^F2=ab=2^/3，

故選：D.

本題考查了雙曲線的幾何性質，直線與圓相切的性質，離心率的求法，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.x+>/2y=0

【解析】

求出橢圓與雙曲線的離心率，根據離心率之積的關系，然后推出關系，即可求解雙曲線的漸近線方程.

【詳解】

22

a>b>0,橢圓G的方程為鼻+a=1，

Q的離心率為:

a

22

雙曲線G方程為T—3=1,

的離心率：—+/?2>

a

???G與g的離心率之積為走,

—2

aa2

"UJ

的漸近線方程為：y=土與x，即x±0y=O.

故答案為：x+y/2y=0

本題考查了橢圓、雙曲線的幾何性質，掌握橢圓、雙曲線的離心率公式，屬于基礎題.

14.-40

【解析】

由題意，可先由公式得出二項展開式的通項(+1=仁25f(—1/■九83"再令10-3-1,得片3即可得出X項的系數(shù)

【詳解】

的二項展開式的通項公式為(+i=6(2必=C；25-r(-l)r?°-3r，

r=0,1,2,3,4,5,

令10-3廠=1/=3,

所以12x2—1的二項展開式中X項的系數(shù)為Cf22-(-l)3=-40.

故答案為：-40.

本題考查二項式定理的應用，解題關鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式，屬于基礎題.

15.①③

【解析】

利用奇函數(shù)和g(2—x)+g(x)=O,得出函數(shù)y=g(x)的周期為2，由圖可直接判斷①；利用賦值法求得g⑴=0,

結合g(0)=0,進而可判斷函數(shù)y=g(x)在(-1,5)內的零點個數(shù)，可判斷②的正誤；采用換元法，結合圖象即可得

解，可判斷③的正誤.綜合可得出結論.

【詳解】

因為函數(shù)丁=8(%)是奇函數(shù)，所以g(x)=—g(—x),

又g(2—x)+g(x)=。，所以g(2—x)=g(—x),即g(x+2)=g(x),

所以，函數(shù)y=g(x)的周期為2.

對于①，由于函數(shù)y=g(x)是R上的奇函數(shù)，所以，/(0)=0,故①正確；

對于②，：g(2—x)+g(x)=0,令x=l,可得2g⑴=0,得g⑴=0,

所以，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間［T1］上的零點為。和1.

因為函數(shù)y=g(x)的周期為2,所以函數(shù)y=g(x)在(T5)內有5個零點，分別是0、1、2、3、4,故②錯誤；

對于③，令/=—x,則需求/(。＜0的解集，由圖象可知，所以故③正確.

故答案為：①③.

本題考查函數(shù)的圖象與性質，涉及奇偶性、周期性和零點等知識點，考查學生分析問題的能力和數(shù)形結合能力，屬于

中等題.

16.0+1

【解析】

由點A坐標可確定拋物線方程，由此得到歹坐標和準線方程；過P作準線的垂線，垂足為N,根據拋物線定義可得

\PN\

=可知當直線亂與拋物線相切時，機取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得P點坐標，根據雙曲

\PA\

線定義得到實軸長，結合焦距可求得所求的離心率.

【詳解】

???4（0,1）是拋物線好=20；準線上的一點：.p=2

,拋物線方程為V=4y/.F（0,l）,準線方程為y=-l

過P作準線的垂線，垂足為N,PJIJ|/W|=|PF|

-.■\PF\=m\PA\

設直線的傾斜角為“，貝!lsina=7〃

當加取得最小值時，sina最小，此時直線K4與拋物線相切

設直線叢的方程為丁=區(qū)—1，代入好=分得：4區(qū)+4=0

.?.△=16左2—16=0，解得：左=±1或(―2,1)

二雙曲線的實軸長為|以卜歸刊=2（0-1），焦距為|河|=2

二雙曲線的離心率e=72+1

故答案為：、歷+1

本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標準方程的應用、雙曲線定義的應用；關鍵是能夠確定當m取

得最小值時，直線K4與拋物線相切，進而根據拋物線切線方程的求解方法求得P點坐標.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見詳解；(2)

19

【解析】

(1)取AC中點為“，通過證明府進而證明線面平行；

(2)取中點為。，以。為坐標原點建立直角坐標系，求得兩個平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.

【詳解】

(1)證明：取AC的中點M，連結石"，F(xiàn)M,如下圖所示：

在AABC中，因為E為AB的中點,

:.EM//BC,且

2

又歹為31cl的中點，ByCJ/BC,

B.F//BC,且B]F=gBC,

EM//BXF,且EM=Bp,

四邊形EMEB］為平行四邊形，,B.EHFM

又叱u平面ACN,成仁平面

，4片//平面4。/，即證.

(2)取中點。，連結AO,OF,則AOL3C,平面ABC,

以。為原點，分別以08,AO,OF為x,y,z軸，

建立空間直角坐標系，如下圖所示：

則A(0,一6,0),3(1,0,0),C(-l,0,0),E；，—#，0，^(0,0,2),4(1,0,2)

t'7

=

CE5,—，CF=(L0,2),CA=(1，—8,0),CB{=(2,0,2)

7

設平面CEB,的一個法向量沅=(x,yz),

m-CE=0

則―.

mCBx=0

令x=l.則沅=(1,6,—1),

C73

同理得平面ACN的一個法向量為為=

[1，3CC2)

則cos(機亢性與4^/286

19

故平面CEB1與平面ACN所成二面角(銳角)的余弦值為叵5.

19

本題考查由線線平行推證線面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，屬綜合中檔題.

18.(1)(a+l)x-y+l=0(2)答案見解析(3)答案見解析

【解析】

(1)設曲線y=/(x)在點M(0,f(。))處的切線的斜率為左，可求得左=/(0)=。+1,/(0)=1,利用直線的點斜式

方程即可求得答案;

(2)由(I)知，f\x)=e\ax+a+\),分。=0時，a>0,。<0三類討論，即可求得各種情況下的/'⑶的單調區(qū)

間為；

(3)分a=0與aw0兩類討論，即可判斷函數(shù)Ax)的零點個數(shù).

【詳解】

(1)Q/(x)=ex{ax+1),

/.f\x)=ex(ax+1)+aex=ex(ax+a+1),

設曲線y=/U)在點M(O,/(o))處的切線的斜率為k,

則k=1(0)=ex(ax+1)+aex=e°(〃+1)=〃+1,

又〃。)=1,

???曲線y=/(x)在點M(0，”0))處的切線方程為：y-i=(a+Dx,即3+1)九-y+l=o；

(2)由(1)知，fr(x)=ex(ax+a+I),

故當〃=0時，r(x)=e”＞0,所以/(%)在R上單調遞增；

當〃＞0時，XG(—00,-------),r(%)＜。；xG(-------,+00),/'(X)＞。；

aa

???/(X)的遞減區(qū)間為(口，-但)，遞增區(qū)間為(-4里，+◎；

aa

當。＜0時，同理可得F(x)的遞增區(qū)間為(口，-但)，遞減區(qū)間為(-3,+8)；

aa

綜上所述，。=0時，/(X)單調遞增為(—8,+8),無遞減區(qū)間；

當。＞0時，f(X)的遞減區(qū)間為(F,-但)，遞增區(qū)間為(-3,+8)；

aa

當。＜0時，/(X)的遞增區(qū)間為(F,-但)，遞減區(qū)間為(-3,+8)；

aa

(3)當a=0時，/(x)=e"〉O恒成立，所以/(%)無零點；

當awO時，由/0)=/(以+1)=0,得：x=--,只有一個零點.

a

本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查分類討論思想與推理、運算能力，

屬于中檔題.

19.(1)3；(II)竺叵.

12

【解析】

(1)函數(shù)/(%)=豆11(竿—9)—2852竿+1,利用和差公式和倍角公式，化簡即可求得；

366

(II)由(I)知函數(shù)/(x)=Gsin(x—0),根據點是函數(shù)y=/(x)圖象的一個對稱中心，代入可得3,利用余

弦定理、基本不等式的性質即可得出.

【詳解】

//、?/0X71._2OX1

(I)v/(%)=sin(—-——)-2cos—+1

3oo

1cox

I+cos—

.COX71COX.71

-sin——cos----cos——sin-----2-______3_+l

36362

=占疝0-3cos”=Ain號-f)

232333

/(x)的最大值為6,/(x)最小正周期為2兀

..69=3

(H)由題意及(I)知f(x)=A/3sin(x——),*.*A/3sin(———)=0=>B=^―

na2+c2-b2a2+c2-25I

cosB=--------------=---------------=——,

laclac2

25

/.-etc—a?+/—2522QC-25,etcV—

Me_1?_256

故S&ABC=-acsmB^—ac<———

故AA5C的面積的最大值為生8.

12

本題考查三角函數(shù)的和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質、余弦定理、基本不等式的性質，考查理解辨析能

力與運算求解能力，屬于中檔基礎題.

2

x丫21

20.(1)—+^-=1(2)匕』為定值一.

43\MF}\2

【解析】

(1)根據題意，得出a,b,c,從而得出橢圓C的標準方程.

(2)根據題意設直線方程/：、=丘+〃?,因為直線與橢圓相切，這有一個交點，聯(lián)立直線與橢圓方程得

左尤2則解得22

(42+3)2+8kmx+4(m-3)=0,A=0,4k+3-m=00

把x=T和x=—l代入y=履+租,得〃(-4,TZ+7”)和N(-l,-k+m),

ill?|A^|1

p\明|，W庫|的表達式，比即可得出就=5為定值.

【詳解】

解：（1）依題意,2c=a=2,/.c=l,b=J§\

22

所以橢圓。的標準方程為土+上=1.

43

1斷|1

⑵局為定值或

①因為直線I分別與直線x=T和直線x=-l相交，

所以，直線/一定存在斜率.

②設直線/：y=kx+m,

由＜j2]2得（4左2+3）%2+8^^+4（m2_3）=0,

由A=（8fow）2—4x（4左2+3）X4（7〃2—3）=0,

得4左2+3—7W2=0.①

把％=T代入y=辰+機,得〃（一4,-4k+tn）,

把x=_]代入y=Ax+〃z,得+m），

又因為耳（—1,0）,耳（1,0）

所以加娟=卜%+時，

\MF}|=’（—4+1/+（—41+加）2=,9+（—4左+加）2，②

由①式，得3=m2一4左2,③

把③式代入②式，得|="（k-m?=2卜上+"小

.NGL%—制_1|NFJ1

??麗一乖二丁萬麗或

本題考查橢圓的定義、方程、和性質，主要考查橢圓方程的運用，考查橢圓的定值問題，考查計算能力和轉化思想，是中檔

題.

21.（1）tz=l+-（2）①證明見解析②證明見解析

2

【解析】

（1）首先根據直線關于直線對稱的直線的求法，求得12的方程及其斜率.根據函數(shù)/（尤）在x=1處的切線與12垂直列方

程，解方程求得。的值.

(2)

①構造函數(shù)〃(x)=/(x)—g(x),利用的導函數(shù)證得當尤>0時，h{x}>0,由此證得/(x)2g(x).

②由①知e*—V—(e—2)x—120成立，整理得eA-(e-2)x-l>x2成立.利用構造函數(shù)法證得lnx+l<x,由此得到

x(ln%+1)<x2,BPe'-(e-2)x-l>x(lnx+l),化簡后得到e*-ex-12x(lnx-l).

【詳解】

x-y-l=0,fx=l,

(1)由《“解得《