人教版高中數(shù)學(xué)《復(fù)數(shù)》重難點歸納總結(jié)（解析版）

第7章復(fù)數(shù)重難點歸納總結(jié)

_____________復(fù)數(shù)的分類

復(fù)數(shù)的概念才復(fù)數(shù)相等

復(fù)受面的概念

復(fù)復(fù)數(shù)的向量表示

數(shù)

的復(fù)數(shù)的?；ヒ?/p>

復(fù)幾

何i?t、

數(shù)意軻

義g實部相同,虛部相匠

3f”分母實數(shù)化”（分子、分母同乘分母的共枕復(fù)數(shù)）

復(fù)數(shù)加減運(yùn)算

復(fù)數(shù)的運(yùn)算用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算

(^^00

考點一復(fù)數(shù)的實部虛部

【例1-1］（2023山東棗莊）已知i是虛數(shù)單位，則正的虛部為（）

1-i

A1R；pV2p.V2.

A.1J3.1C.D.1

22

【答案】C

【解析】因為盧=n；＞i=g+gi,所以正的虛部為Y2,故選：c

1-1（l-i）（l+i）2221-i2

【例1-2】（2022遼寧?。┰O(shè)復(fù)數(shù)2=獸（i是虛數(shù)單位），則z的共甄復(fù)數(shù)［的虛部為（）

2-1

33

A.--B.——iC.-1D.-i

55

【答案】A

【解析】因為z==?==+1i，故因此，復(fù)數(shù)I的虛部為-3.故選：A.

2-i（2-i）（2+i）555555

【一隅三反】

1.（2023?湖南湘潭）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Zj/2對應(yīng)的點分別是（2,-1）,（0,5）,則復(fù)數(shù)三的虛部為（）

句

A.2B.-2C.-2iD.2i

【答案】A

5i（2+i）-5iz,

【解析】由題可知句=2-匕=5。則z=-=；/.「1+21,所以復(fù)數(shù)上的虛部為2.故選：A.

2-1（2-1）（2+1）4

2.（2023天津河西）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+2i）=|4-3i|（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為.

【答案】-2

【解析】因為|4-3i|=5,所以z（l+2i）=5,則2=含5(l-2i)5(l-2i)；t2.

(l+2i)(l-2i)-5一

所以復(fù)數(shù)z的虛部為-2.故答案為：一2.

3.（2022?陜西西安）復(fù)數(shù)（1+3以1+玉3）的實部為

【答案】7

【解析】（l+3i乂l+2i3）=（l+3i）（l-2i）=7+i.故實部為7,故答案為：7.

4（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)2=丁伍eR）（i為虛數(shù)單位）的實部和虛部相等，貝同=

【答案】1

【解析】2=上電=心二匚=-6-i,因為復(fù)數(shù)z的實部和虛部相等，則4=-1,解得6=1.

ii

故答案為：1.

考點二復(fù)數(shù)所在象限

【例2-1](2022秋?吉林長春)若2=」三，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】z=廠與二=二&二+芻，所以復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點[目在第一象限.故選：A.

(1+2)(2-1)555155J

【例2-2](2023?河南信陽?)若復(fù)數(shù)2滿足z(l+i廣2=2+i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面所對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】因為(1+y，((1+丁/=(2】嚴(yán)=-2叫，所以2=1^=*=-)+。],

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面所對應(yīng)的點為，擊，1]位于第二象限.故選：B.

【例2-3](2023秋?北京朝陽?高三統(tǒng)考期末)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Q+i)(a-i)對應(yīng)的點在第三象限，則實數(shù)。

的取值范圍是()

A.B.(-℃,1)C.(-1,+<?)D.(1,+?))

【答案】A

【解析】?.-(l+i)(?-i)=(fl+l)+(?-l)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限,

[6?+1<0

???,C，即?<-!..■.實數(shù)a的取值范圍是(-叫-1).故選：A.

[a-1<0

【一隅三反】

1.(云南省楚雄州2022屆)若復(fù)數(shù)z滿足士=1i,則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于()

z+12

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】由z+2=]_J_j=2_L,所以2z+4=2z+2-i-zi,即zi=-2-i,

z+122

所以z=—=T+2i,故z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（T,2）位于第二象限.故選：B

2.（2023河北唐山）已知復(fù)數(shù)2=罟，則z對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點在（）

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】2=洋=含2f則Z對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點為（2,-1）,

所以對應(yīng)的點在第四象限.故選：D.

2；2021

3.（2022云南）復(fù)數(shù)z=3一（其中i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

2i20212i2M…)=1+]

【解析】因為i2M=i4*505+l=i，^=——=—

Z(l+i)(l-i)

故Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)為（1,1）,位于第一象限.故選：A.

4.（2023?江西景德鎮(zhèn)）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)「（aeR）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z=2a-i在復(fù)平面上對應(yīng)

2—1

的點所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】因為復(fù)數(shù)爐（aeR）為純虛數(shù),

a+'\(a+i)(2+i)(2"l)+(“+2)i

由2^i—(2-i)(2+i)-5—可知2。—1=0,

所以。=—,則z=2x—i=1—i,

22

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點為（1,-1）,

位于第四象限.

故選：D

考點三復(fù)數(shù)的模長

【例3】（2022?陜西西安）若復(fù)數(shù)z滿足（l-i）z=3-4i,則目=（）

A.巫B.豆C.-D.5

222

【答案】B

【解析】因為（「i）z=3-4i,所以7=廿=（：-42'+：）=所以忖述.故選:B.

IT0T）（1+I）2211V<2JI2j2

【一隅三反】

1.（2023?湖南長沙）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l-i）=3+i,則忖=（）

A.V10B.y/5

C.2D.V2

【答案】B

［解析］z=~r^=^~咨1—2=2；韋=l+2i,所以目=々+22=石.故選:B

1-1（1一1）（1+1）211

2（2022安徽）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i2-zi-l=0（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）

A.1B.2C.V5D.3

【答案】B

【解析】由題意可得：i2-zi-l=-2-zi=0,則==：=2i,i^|z|=^/o2+22=2.故選：B.

3.（2023江蘇無錫）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=（2+i3）（l+ai）為純虛數(shù)，則目=（）

A.0B.1C.2D.5

【答案】D

【解析】由題意，在z=（2+?）O+ai）中，z=（2T（l+ai）=2+2ai-i+a=2+a+（2”l）i

?「z為純虛數(shù)，，2+。=0,2。一1。0,a=-2,z=—5i.??忖=5,故選：D.

考點四復(fù)數(shù)的分類

【例4-1］（2022廣東）復(fù)數(shù)2=三詈（aeR）為純虛數(shù).則實數(shù)。的值為（）

A.2B.-1C.4D.-4

【答案】C

—2+ai（-2+ai）（2—i）—4+2i+2ai—ai2—4+a+（2+2a）i

【解析】z=

2+i（2+。（2-。55

由題意得：一4+“=0且2+2。/0,解得：。=4.故選：C

【例4-2］（2022春?上海浦東新?高一校考期末）設(shè)%eR,“加=-1”是“復(fù)數(shù)z=（療_加_2）+（/一3加-2）i為

純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】當(dāng)用=-1時，z=2i為純虛數(shù)，故充分；

當(dāng)復(fù)數(shù)z加2_加—2）+（加加—2）i為純虛數(shù)時，］加一機(jī)-2=0,角畢得以=_1或%=2,故不必要，

故選：A

【一隅三反】

1.（2023?湖南）已知復(fù)數(shù)z=（o+2i）（l-i）為純虛數(shù)，則實數(shù)。二（）

12-八

A.—B.—C.2D.—2

23

【答案】D

o/、」12—

［解析］z=（a+2i）（l_i）=q_“i+2i_2/=,+2+（2_q）i,因為復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，所以..即q=—2.

+2=U

故選：D

2.（2023?高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)z=/-Z?+（a+|加i（°,6eR）為純虛數(shù)的充要條件是（）

A.a=±bB.a<0^a=-b

C.a>OS.a=bD.a>05.a=±b

【答案】D

=

.||Q2—b?0

【解析】要使復(fù)數(shù)2=/-96-9+（。+6）1（見6€2為純虛數(shù)，貝!!

11［Q+例W0

若a>0,貝U。+1b|=2?！?；若貝1」。+|6|二。一。=0,

所以Q>0且Q=±6.故選：D.

3.（2022江西宜春）“z為實數(shù)”是“三是純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充分必要條件

【答案】B

【解析】設(shè)2=a+6i（Q,6￡R）,z為實數(shù)06=0且QGR,

是純虛數(shù)=6=0且awO,

2a+bia2+b2a2+b2a+b

所以“z為實數(shù)”是“二是純虛數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.

考點五復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)用

【例5-1］（2022湖北武漢）（多選）設(shè)z為復(fù)數(shù)，a,beR,則下列說法正確的是（）

A.若z=a+6i,則z的實部和虛部分別為“和6

B.設(shè)一為z的共輾復(fù)數(shù),則目=同

C.|z|2=z2

D.若z=3+i",weN*,貝I"在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限或第四象限

【答案】AB

【解析】由復(fù)數(shù)的概念可知，z=a+歷復(fù)數(shù)的實部為。，虛部為6,所以A正確，

z=a+6i和N=a-bi可知|z|=|彳|=Ja?+',所以B正確，

對于C,|z/=/+/是一個實數(shù)，而z2=（a+歷了不一定為實數(shù)，所以C錯誤，

當(dāng)〃取偶數(shù)時，z為實數(shù)，在復(fù)平面對應(yīng)的點在實軸上，所以D錯誤

故選：AB

【例5-2］（2022春?廣西賀州?高一平桂高中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知復(fù)數(shù)z=3-4i（其中i是虛數(shù)單位）,

則下列命題中正確的為（）

A.目=5B.z的虛部是-4

C.z-3+4i是純虛數(shù)D.z在復(fù)平面上對應(yīng)點在第四象限

【答案】ABD

【解析】A：復(fù)數(shù)z=3-4i,則目=心+（一釬=5,故A正確；

B：z=3-4i的虛部是-4,故B正確；

C：z—3+4i=3—4i—3+4i=0,是實數(shù)，故C錯誤；

D：z在復(fù)平面上對應(yīng)點的坐標(biāo)為（3,-4）,在第四象限，故D正確.

故選：ABD.

【一隅三反】

1.（2022湖北武漢）復(fù)數(shù)z滿足l<z-2+i<3,則目的范圍是（）

A.(V5-l,V5+3)B.(710,276)C.[o,V5+3)D.(Vw,V26)

【答案】D

【解析】設(shè)2=。+歷(a,6eR),貝!|z-2+i=(a-2)+(6+l)i,

1<Q—2<33<a<5

由題意可得:,解得

6+1=0b=-\

貝l|\z\=yja2+b2=Va2+1￡（VH）,A/26）.

故選：D.

2.（2022山東）（多選）已知i為虛數(shù)單位，則下面命題正確的是（）

e13i

A.若復(fù)數(shù)