玉林市2025屆高三第一次教學質量監(jiān)測（一模） 數學試卷（含答案解析）

玉林市2025屆高三第一次教學質量監(jiān)測

數學

(本試卷滿分150分，考試時間120分鐘)2024.10

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、班級、.準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.復數三的共輒復數是

1-1

A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i

2.已知集合4=0,2,4,6,B=x|0<3X<81,則AAB=

A.{0,2,4}B.{2,4}C.{2}D.{2,3,4}

3.已知平面向量a,b滿足\a\=l,\b\=2,(b-a)13則歸+M=

A.3B,V3c,V7D.1

4.某校舉行數學競賽，現將100名參賽學生的成績(單位：分)整理如下：

成績[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數52530201010

根據表中數據，下列結論正確的是

A.100名學生成績的極差為60分

B.100名學生成績的中位數大于70分

C.100名學生成績的平均數大于60分

D.100名學生中成績大于60分的人數所占比例超過80%

5.一動圓與圓支/+4K=。外切，同時與圓.K2+、2一4久—60=0內切，則動圓圓心的軌跡方程

為

比2丫2y2第2比2y2y2

A.-+^=1B.^+—=1C.土+匕=1￡>A+-=1

959525212521

6.圓錐的頂點為S,AB為底面直徑，若AB=2,乙4sB=今則該圓錐的外接球的表面積為

.4TI0167r16V3TT?32y[37i

A.—D.LR.-------D.------

33327

x

7.設函數/(%)=a(e+e-X)2,g(%)=4/+2(a-1),若曲線y=f(x)與y=g(x)恰有一個公共點，則a=

A.-2B.-1C.1D.2

高三數學第1頁共4頁

8.黃金不僅可以制成精美的首飾佩戴，還因其價值高，并且是一種稀少的資源，長久以來也是一種

投資工具。小李計劃投資黃金，根據自身實際情況，他決定分兩次進行購買，并且制定了兩種

不同的方案：方案一是每次購入一定數量的黃金；方案二是每次購入一定金額的黃金。已知黃

金價格并不穩(wěn)定，所以他預設兩次購入的單價不同?，F假設他兩次購入的單價分別為a1；a2,

且a#az，則下列說法正確的是

A.當且僅當時，方案一的平均購買成本比方案二更低

B.當且僅當CZ1>&2時，方案二的平均購買成本比方案一更低

C.無論a?的大小關系如何，方案一的平均購買成本比方案二更低

D.無論a］，a2的大小關系如何，方案二的平均購買成本比方案一更低

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.下列函數中，對稱中心為(1,0)的有

A.y=sirmxB.y=cos(x-l)

C.y=|D.y=x3—3x2+x+1

10.已知拋物線(C:y2=2p%(p〉0),過C的焦點F作直線l:x=ty+1,若C與1交于A,B兩點，方=2FB,

則下列結論正確的有

A.p=2B.|AF|=3

。l=2魚或一2魚D.線段AB中點的橫坐標:

11.下列關于函數f(x)=x-xlnx的說法,正確的有

A.x=l是f(x)的極大值點

B.函數f(x)有兩個零點

C.若方程f(x)=m有兩根Xi,X2,則+x2>e

D.若方程f(x)=m有兩根Xi,X2,則%i+%2<e

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.甲、乙、丙三名工人加工同一型號的零件，甲加工的正品率為90%,乙加工的正品率為80%,丙

加工的正品率為85%,加工出來的零件混放在一起。已知甲、乙加工的零件數相同，丙加工的

零件數占總數的40%?，F任取一個零件，則它是正品的概率為.

22

13.已知雙曲線—￡=l(a>0*>0)的左、右焦點分別為Fi、F2,若雙曲線的左支上一點P滿足

史上襄=3,以F2為圓心的圓與FiP的延長線相切于點M,且居元=3巨那則雙曲線的離心率為

14.已知a>0,函數f(K)=|x-￡|(久)0).若曲線y=f(x)與直線y=2交于A,B兩點，設A,B的橫坐標分別

為Xi，x2,寫出Xi，X2與a的一個關系式：；分別過點A,B作x軸的垂線段AA1,BB1,

垂足分別為Ai,Bi,則四邊形AAiBiB的面積為.

高三數學第2頁共4頁

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知當當=2+遮.

1—tan力

⑴求/A;

(2)若c=3,且AABC的面積為3遮,求AABC的周長.

16.(15分)中國共產黨第二十屆中央委員會第三次全體會議，于2024年7月15日至18日在北京舉行.

全會提出，中國式現代化是物質文明和精神文明相協調的現代化.必須增強文化自信，發(fā)展社會

主義先進文化，弘揚革命文化，傳承中華優(yōu)秀傳統文化，加快適應信息技術迅猛發(fā)展新形勢，培

育形成規(guī)模宏大的優(yōu)秀文化人才隊伍，激發(fā)全民族文化創(chuàng)新創(chuàng)造活力.為此，某學校舉辦了“傳承

中華優(yōu)秀傳統文化”宣傳活動，學校從全體學生中抽取了100人對該宣傳活動的了解情況進行問

卷調查，統計結果如下:

男女合計

了解20

不了解2040

合計

(1)將列聯表補充完整;

⑵根據a=0.05的獨立性檢驗，能否認為該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別有關聯？

(3)若把上表中的頻率視作概率，現從了解該活動的學生中隨機抽取3人參加傳統文化知識競賽.

記抽取的3人中女生人數為X,求隨機變量X的分布列和數學期望.

/=____皿匕空____其中n=a+b+c+d

附:X(a+b)(c+d)(a+c)(b+a)'八)naDca

2

P(x>ko)0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

17.(15分)如圖，在三棱柱.力BC-A1B1C1中，AABiC為正三角形，四邊形.為菱形.

⑴求證：皿1平面A、BC;

⑵若AC=BC=4,且AC±BC,E為(Cg的中點，求平面.48止與平面ABC的夾角的余弦值.

B

高三數學第3頁共4頁

18.(17分)已知數列｛an｝滿足田=1,點(述，述+。在直線y=3x+l上.

(1)設％=與+/證明｛bn｝為等比數列；

(2)求數歹Ua目的前n項和Sn;

(3)設出的前n項和為Tn,證明：〃<|.

19.(17分)已知:①定積分的定義:

設y=f(x)為定義在［a,b］上的連續(xù)非負函數，為求.y=f(x)、久=a、x=b、x軸圍成的曲邊

梯形的面積，可采取如下方法:

將區(qū)間［a,b］分為n個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為匕,每個區(qū)間即可表示為

n

［a+_Da+與*］(i=1，2,3,…n),再分別過每個區(qū)間的左右端點作x軸的垂線與y=f(x)圖

象相交,

用右端點近似代替函數值用左端點近似代替函數值

當n-+oo時，每個小曲邊梯形可近似看作矩形，矩形的寬即為每個小區(qū)間的長度，長可由每

個小區(qū)間內的任一點的函數值近似代替(一般用區(qū)間端點的函數值)，將這樣無窮多個小矩形的面

積相加，所得之和即為所求的由.'=/(久)、x=a,x=b,x軸圍成的曲邊梯形的面積，即5=

limn—81sE="(a+中?！銎剑?上式也記為J；f(x)d久，即對y=/(久))在［a,b］上求定積分.

②定積分的計算：f(x)dx=F(b)-F(a)其中(F(x))=f(x).

根據以上信息，回答以下問題：

(1)已知0<a<*求證：(cosxdx<a;

(2)將久=1、x=2,y=；x軸圍成的圖形面積分別表示為定積分的形式與面積和的極限形式,

并求其值；

(3)試證明：——I--—FH——<ln2<——I--—I-???H——.

'/101102200100101199

高三數學第4頁共4頁

2025屆高三第一次教學質量監(jiān)測

數學

（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）

注意事項：

1.各題府，務必將自己的姓名、班級、.泡考證號填寫在答題卡規(guī)定的位丑上。

2.答選擇邈時，必須使用2B鉛名將答題卡上對應期目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇超時，必須使用0.5丞米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位比上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.復數二-的共筑復數是

?1

A.—l—iB?-1+iC?1+1D.1-/

2.已知集合/={0,2,4,6},B={x|0<3^81},則408=

A.{0,2,4}B.{2,4}C.{2}D.{2,3,4}

3.已知平面向量Z3滿足R=l，W=2,（g-a）_La,則a+Z=

A.3B.y/3C.41D.1

4.某校舉行數學競賽，現將100名參賽學生的成績（單位：分）整理如下：

成績[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數52530201010

根據表中數據，下列結論正確的是

A.100名學生成績的極差為60分

B.100名學生成績的中位數大于70分

C.100名學生成績的平均數大于60分

D..100名學生中成績大于60分的人數所占比例超過80%

5.一動圓與圓x2+/+4x=0外切，同時與圓x2+/-4x-60=0內切，則動圓圓心的凱跡方程為

6.圓錐的頂點為S,為底面直徑，若18=2,458=工，則該圓錐的外接球的表面積為

3

A4“口16萬016辰n326r

33327

7.設函數/(x)=a(e*+c-")2,g(x)=4x2+2(?-1),若曲線y=/(x)與y=g(x)恰有一個公共點,

則a=

A.-2B.-IC.ID.2

府三數學第I頁共4頁

S.黃金不僅可以制成希英的首飾佩戴，還因其價值而，并且是一種稀少的資源，長久以來也是一

種投資工具。小李計劃投資黃金，根據自身實際情況，他決定分兩次進行購買，并且制定了兩

種不同的方案：方案一是每次購入一定數量的黃金；方案二是每次購入一定金額的黃金。已知

黃金價格并不稔定，所以他預設兩次購入的單價不同?，F假設他兩次購入的單價分別為例,“2，

且小工的，則下列說法正確的是

A.當且僅當為>的時，方案一的平均購買成本比方案二更低

B.當且僅當丹〉町時，方案二的平均購買成本比方案一更低

C.無論外的大小關系如何，方案一的平均購買成本比方案二更低

D.無論外,外的大小關系如何，方案二的平均購買成本比方案一更低

二'多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.下列函數中，對稱中心為(1,0)的有

A.=sinB.j>=cos(x-l)

C.y=-x-?-D.y=x3-3x2+x+l

22

10.已知拋物線C：)，2=2px(p>0),過C的焦點尸作直線[:x=)+l,若C與/交于4,8兩點,

AF=2FB,則下列結論正確的有

A.p=2B.|/F|=3

C.1=2五或-2五D.線段48中點的橫坐標為』

4

11.下列關于函數/(x)=x-xlnx的說法，正確的有

A.x=l是/(x)的極大值點

B.函數/(x)有兩個零點

C.若方程/(x)=，"有兩根百/2,則X|+X2>e

D.若方程/(x)="1有兩根X[,x2，則為+x2<e

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.甲、乙、丙三名工人加工同一型號的零件，甲加工的正品率為90%,乙加工的正品率為80%,

丙加工的正品率為85%,加工出來的零件混放在一起。已知甲、乙加工的零件數相同，丙加工

的零件數占總數的40%.現任取一個零件，則它是正品的概率為.

13.已知雙曲線C:馬一號印缶〉。,6〉。)的左、右俅點分別為耳、F2,若雙曲線的左支上一點P

ab

滿足sin/期生=3,以行為圓心的圓與尸聲的延長線相切于點M,且麗=3而，則雙曲線

sinZPFJ、

的肉心率為?

14.已知。>0,函數/(x)=x-g(x>0).若曲線j=/(x)與直線j，=2交于48兩點，設的橫

X

坐標分別為百/2,寫出X|,X2與〃的一個關系式：；分別過點48作.V軸的垂線段

,塞足分別為4,用，則四邊形/4用8的面枳為.

高三數學第2頁共4頁

四'解答題：本膜共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

6(13分)在中，角兒仇C所對的邊分別為“，,c.已知產2=2+6.

1-tan/I

(1)求4：

(2)若c=3,且△/BC的面積為36，求△/8C的周長.

16.(15分)中國共產黨第二十屆中央委員會第三次全體會議，于2024年7月15日至18日在北京

舉行.全會提出，中國式現代化是物質文明和精神文明相協調的現代化.必須增強文化自信，

發(fā)展社會主義先進文化，弘揚革命文化，傳承中華優(yōu)秀傳統文化，加快適應信息技術迅猛發(fā)展

新形勢，培育形成規(guī)模宏大的優(yōu)秀文化人才隊伍，激發(fā)全民族文化創(chuàng)新創(chuàng)造活力.為此，某學校

(1)將列聯表補充完整；

(2)根據a=0.05的獨立性檢驗，能否認為該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別有關聯？

(3)若把上衣中的頻率視作概率，現從了解該活動的學生中隨機抽取3人參加傳統文化知識競

賽.記抽取的3人中女生人數為X,求隨機變垃刀的分布列和數學期望.

”(ad-6c)2

附：x2(其中〃=a+6+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)[b+d)

尸(/“0)0.1000.0500.0100.001

即2.7063.8416.63510.828

17.(15分)如圖，在三棱柱/8C-481G中，△/&C為正三角形，四邊形44向8為菱形.

(1)求證：?平面48C；

(2)若AC=BC=4,且4c_L5C,E為C&的中點，求平面48曲與平面/8C的夾角的余弦值.

B

而三數學笫3頁共4頁

IS.(17分)已如數列E｝滿足為=1,點在直線)，=3x+l上.

(I)設證明也,｝為等比數列；

(2)求數列｛冊｝的前“項和S.：

(3)設的前〃頂和為7；，證明：Tn<~.

%2

19.(17分)已知：①定積分的定義：

設y=/(x)為定義在卜耳上的連續(xù)非負函數，為求y=/(x)、x=a、x=b、x釉困成的

曲邊梯形的面積，可采取如下方法：

將區(qū)間"叼分為〃個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為空區(qū)，每個區(qū)間即可表示為

H

a+—(/-l),a+—/(/=1,2,3,--?/?).再分別過每個區(qū)間的左右端點作x軸的垂線與

■〃〃J

j，=/(x)圖象相交，即可得到一個小的曲邊梯形.如圖，

用右端點近似代替函數值用左端點近似代替函數值

當“T+00時，每個小曲邊梯形可近似看作矩形，矩形的寬即為每個小區(qū)間的長度，長可

由每個小區(qū)間內的任一點的函數位近似代替(一般用區(qū)間端點的函數值)，將這樣無窮多個小矩

形的面積相加，所得之和即為所求的由y=/(x)、x=a、x=b、x軸圍成的曲邊梯形的面積,

即S=!叫￡/［+與苫)一，上式也記為『/々/，即對y=/(x)在［a,b］上求定積分.

②定積分的計算：j/(x>=F(b)-尸(a)其中伊(x))'=/(x).

根據以上信息，回答以下問題：

(1)已知0<a<：,求證：「cosx</r<a；

2J。

(2)將x=l、x=2、y=~.x軸因成的圖形面積分別表示為定積分的形式與面積和的極限

x

形式，并求其他；

(3)試證明：—+—+,?,?+---<In2<—■—P---+…?+

101102200100101199

而三數學第4頁共4頁

2025屆高三第一次教學質量監(jiān)測

數學參考答案

一、單選題

但小廿226+1)2(/+1)2(/+1),.,.

1.選B.解析：匚7=°_晨］廣黃廣二所以它的共規(guī)復數為T+J

故選B.

2.選A.解析：A={0,2,4,6},3=砧"},所以4nB={0,2,4},故選A.

-?—―/-*—\——t-2———*2

3.選C.解析：由(6-a)-La得上一a>a=0=a巧—aa-b-a

a+b=Va+2a-b+b=4a+2/+，2=-7Sxl2+22=V7,故選C.

4.選C.解析：對于A,極差最大為：100—40=60,最小為：90-50=40,故A錯誤；

對于B,根據頻數分布表可知：5+25+30=60>50,所以中位數不超過70分，故B錯誤;

對于C,由頻數分布表可得，平均值為：

擊(5x45+25x55+30x65+20x75+10x85+10x95)=68.5,故C正確；

70

對于D,成績大于60分的頻數為：30+20+10+10=70,所以大于60分的人數所占比例為：麗=70%，

所以D錯談；故選C.

5.選C.解析：兩圓的標準方程為：

G:(x+2j+y2=4.?(-2,0)4=2.

2

C2:(X-2)+/=64.?.G(2,0)1=8

設動I城圓心為C,半徑為r,由外切：|C'G|=2+r；由內切：|CC2|=8-r,

所以Ic'Gl+Icqkio,即動帆IC是以G，g為焦點，10為長軸長的橢圓，

且c=2,a=54="52-2?=而，所以動圓圓心的軌跡方程為：—+^-=1,故選C.

2521

6.選B.解析：設圓錐底面圓心為。|,外接球球心為O,半徑為滅，則在中，

力q=1,4sa=30°,SO]=上.由oo2\+40；=AO2=>恒一+12=7?2

解得：火=矩，.?.該圓錐的外接球的表面積為5=4成2=匣.故選B.

33

7.選B.解析：由題意得：方程：0卜+0-')2=4/+2(1-1)有一根，化簡得：492￥+6-2、)=4X2-2

有一根.設h^)=e2x+e-lx,則h'(x)=2e2x-2e-2x.令A'(x)=0.得x=0.易得

MHmin=%(。)=2；設。(*)=4為一2.易得X=。時,XX)min=-2-

當a>0時，與0(x)有交點；

當a<0時，"(x)開口向下,若只有一個公共點,貝斯叫0)=次0),即2a=-2,解得a=—1.故選B.

數學答案第1頁共7頁

8.選D.解析：方案一：設每次購買數為X,則總量為2x,總價為4丫+。2工，

平均購買成本為叫=著"=歿生.

方案二：設每次購買的金額為y,則總量為上+”■，總價為2y,

4叫

2y

.?.平均購買成本為w2==色包.

上+上6+%

0?

因為qN2壺區(qū).當且僅當q=4時等號成立.

aa

at+a2>28&2=>(a}+%)2>^\2=%+">-的%1_

2ax+a2

即名>J.所以無論巧,外的大小關系如何，方案二的平均購買成本比方案-更低.故選D.

二、多選題

9.選ACD.解析：

對于A：令值=4肛％eZ.則x=4,當人=1時，(1,0)為對稱中心，故A正確；

對?丁B：令x-l=±+Z凡ZeZ.貝Ux=l+己+^萬，沒有整數力能使X取1,故B錯誤；

22

對于C：直線上任意一點皆為直線的對稱中心，而，=1丫一，過(1,0),故C正確；

22

對于D：因為(2-x)3—3(2-*)+(2-丫)+1=——+3/—*一1=-/故口正確：故選ACD.

10.選ABD.解析：

對于A：因為C:/=2pxS>0),，/在x軸正半軸上，乂因為直線/恒過點(1,0),

：.F(l,0),:.p=2,故A正確；

1121?

對于8:由一+,一=-,及M尸|=2|在同得_+：_=1=|/產|=3.故8正確；

1\AF\r\BF\rp11111\AF\r\AF\[11

對于C：設小],必)，則由|"|=3得/到準線：丫=-1的距離為3.=2.

代入C的方程得封=±2五.二；“.=±2五=t=~~~，故C錯誤；

y2=4工

對于D：設St，刈)?由，ny?—4卯一4=0.x+72=41.

x=(y+l

X]+工2=/Qi+?2)+2=4『+2=4-4+2=3.二中點橫坐標為：一;「=：,

故D正確.故選ABD.

數學答案第2頁共7頁

1L選AD.

解析：

對于A：由/(x)=x-xlnx得/'(x)=-lnx,當/'(x)>0時，0<x<l；當/'(x)<0時，x>1,即

/(x)在(0,1)上遞增，在。,+8)上遞減，所以x=l是/(x)的極大值點，故A正確：

對于B：令x-xlnx=0,方程在(0,+co)上只有一根x=e,故B錯誤；

對于CD：由于x=l是/(x)的極大值點，不妨設X]<1<》2<e,則lnX[<0,工#1.因為看,乙是

丫2

方程/'(x)=加的兩根，所以丫1(1-111*1)=丫2(1-111盯)="，所以

xx<Xj（l-InxJ=x2（l-Inx2）=x2In—,由不等式lnx4x-l（當且僅當x=l時等號成立）放縮

丫2

得X]<、2111￡<丫2(且-1)=6-N2，即X]+X,<e(此方法不唯一)，故C錯誤，D正確;

x2x2

故選AD.

三、填空題

12.答案：0.85

解析：由全概率公式得正品率為：P=0.9x0.3+0.8x0.3+0.85x0.4=0.85

】3.答案：—

2

解析：因為smfB=3,二由正弦定理得

sinN/V*野3

又|尸用-|P片=2a,二|PK|=32「用=a.

由于以工為圓心的圓與片P的延長線相切與點必，.??瓊01E”

因為麗=3不,/.\1\M\=3a\PM\=2a.在ill勾股定理得回。=亞a.

又在中\(zhòng)M1\「+“丁=|7^/|2=>(3a)2+(而『=(2c)2=>-=e=浮.

14.答案：修馬二。(或此式的合理變形也可)；4

解析：

-丫1+—=2①

不妨設再<、，則，X]

叼"=2②

*2

-（X）+X）+—+—=0^>-（^+》2）+=0

兩式相減得:2"（*+，2）

石X2X]。

由于石+x20,-1+---=0=>a=x]x2=>x}=一,

XjX2x2

代入②式得：叫一再=2,即pl@=2,又|/⑷=2,.”總m=2X2=4.

數學答案第3頁共7頁

四、解答題

15.解析：

(1)由題意得：l+tan4=2+石一2tan4-百tan4..............................................................1

所以(\/3+3卜口4=1+y/3................................................................................................2

=>tan4=——...................................................................................................................4

3

所以4=工，................................................................6

6

(2)由S=1bcsin力得：-bx3x-=3yf3=>b=4y[3.....................................................9

222

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=48+9-2x4-73x3x——=21,a=

2

.........................................................................................................................................................12

.,.周長為：3+4石+歷...........................................................13

16.解析：

(1)將列聯表補充如下：

男女合計

了解402060

不了解20204()

合計6040100

..........................................................................................................................................................2

(2)零假設為“°：該校學牛.對該宣傳活動的了解情況與性別無關聯..................3

根據列聯表中的數據，經計算得：

2100(40x20-20x20)225.?

r=----------------------------=—?2.778<3.841..........................................................8

60x40x40x609

根據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷“o不成立，

因此可以認為，。成立，即認為該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別無關聯.

............................................................................................................................................9

(3)由題意得：X?8(3,》

所以，X的分布列為

X0123

P8421

279927

...........................................................................................................12

X的期望為E(X)=>^=3x；=l.........................................................................................15

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17.解析:

(1)

證明：設4用口43=尸，連接CF.

因為四邊形避為菱形，所以4月_1_48.......................................................................2

又因為△AB。為正三角形，尸為研1的中點，所以CF_L"].........................................4

又CFD4B=尸，所以"】J_平面43c..............................................................................5

(2)

AZ

設。,G分別為/1C,的中點，貝UOG〃/JC,LAC.

由(1)得：平面43C,所以4B|_LBC,.................................................................6

又4C_LBC,AHy(}AC=A,所以3C_L'F面力4C...........................................................7

所以BCJ_3|。，±AC,BCr\AC=C,所以為。_1_平面/8C.............................8

所以。G,OC,O用兩兩垂直，以。為原點，5弓詼，函的方向分別為x軸，y軸，z軸建立空

間由珀坐標系，如圖.

則力(0,-2,0),。(0,2,0),。(0,0,2揚,8(4,2,0),

由函=工=(4,2,-2百)，得C,(U,0,2石)，

所以E(-2,l,揚，........................................................10

則函=(0,2,2揚麗=(-2,1,-我，

u-ABX=2y+2y[3z=0

設平面力用￡的法向量為〃=(x,y,z),則有取Z=(G石-D，

u，B[E=-2x+y-后z

.......................................................................................................................................................13

而平面ABC的法向量為v=(0,0,1),設平面AByE與平面ABC的夾角為6,

U-V]_

貝！Jcos。=

73+3+1x1.7

所以平面48萬與平面yl5c的夾角的余弦值為多..........................

15

數學答案第5頁共7頁

18.解析：

1(1、

(1)由題意得：4+1=3《,+1=>。/]+5=31%+5,即4+1=32，..........................3

13

又有方1=1+—=—W0,...............................................................................................4

122

，乳｝是首項為g,公比為3的等比數列...................................5

，八,33"13"-1,

(2)bn——?3=—=。+一=.....7

“2222

,1「3(1-3〃)13n+l-3n3n+1-2n-3

?=------L-------L—n=---------------=........................................................................

21-3424

1?

(3)—=-------,因為當〃之1時，3“一123“一3"7=2?3”-1.........................................14

43〃—1

(1)根據定積分的計算：￡cosxd5c=-/Z(O),其中尸(x)=sinx+c(c為常數)

..........................................................................................................................................................2

所以(cosxdx=F(a)-尸(0)=(sina+c)-(sin0+c)=sina,.............................................4

下證：sina<a(0<a<

設/(Y)=sinY-x，則/'(x)=cosx-140，所以/(x)在(0,5)」:單調遞減，

所以f(x)</(0)=0，所以sinxvx.......................................................................................6

(2)定積分的形式：

面積和的極限形式：S=lim(右端點)

.1=1\nJn

(或S=UmX/fl+—1-(左端點)，兩個極限寫一個即可)..............8

…|_仁InJn

設g(x)=lnx+c,則g'(x)=L

由題中所給公式

數學答案第6頁共7頁

=g⑵-g(l)=ln210

由定義將］分為個等長的小區(qū)間焉+卷)

(3)1,21001+,1(i=L2,3…400...........11

①若用每個小區(qū)間的右端點的函數值近似代替小矩形的長，則每個小矩形面積為:

1111

yin—?-----------=-----

(iooj100

1H------100100+z

100

100(11+L...J

100J100101102200

111于/(x)=:在1,2］遞減且越來越慢，所以每個小區(qū)間的右端點的函數值小于該區(qū)間的平均函

數值，

所以

1001-1

”(1+而?—100<|4&=ln214

x

②若川每個小區(qū)間的左端點的函數值近似代替小矩形的長，則每個小矩形面積為:

Z-11111

/Id--------

(looj100iJ-l100-99+/'

1H------

100

1001111

+■■■,H--------,

100J100100101199

同理，由于/(x)=5在12］遞減且越來越慢，所以每個小區(qū)間的左端點的函數值大于該區(qū)間的

11

....——17

101102200100101199

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2025屆高三第一次教學質量監(jiān)測