2024-2025學(xué)年度八年級數(shù)學(xué)上冊第12章全等三角形（一）重難點講解

第12章全等三角形（1）——重難點

內(nèi)容范圍：12.1-12.2

◎重難點知識導(dǎo)航

鹿點才

知識點一：全等三角形的判定和性質(zhì)

1.一般三角形的判定定理及推論比較

2.一般三角形全等判定的方法選擇

我夾角（SAS）

已知兩邊找直角（HL）

找第三邊（SSS）

'若邊為角的對邊，則找任意角（A4S）

已知一、力一角［找已知角的另一邊（SAS）

天一心一用邊為角的鄰邊找已知邊的對角（A4S）

找夾已知邊的另一角CASA）

口如而缶（找兩角的夾邊（ASA）

已知兩角、4人上，》,、

［找任息一邊（A4S）

3.如何選擇三角形證全等

（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等

的三角形中，

可以證這兩個三角形全等；

（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；

（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)龋?/p>

（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.

4.全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對應(yīng)邊一，對應(yīng)角一，對應(yīng)邊上的高一，對應(yīng)邊上的中線一，對應(yīng)角的平分線一，

周長面積二

典例精講

例1.

1.如圖，點尸是一R4C平分線AD上的一點，AC=7,AB=3,PB=2,則PC的長不可

能是（）

A.6B.5C.4D.3

例2.

2.如圖，在5c中，4。_1_3。于點/）,￡為47上一點，連結(jié)3石交4。于點尸,且族=4。,

試卷第2頁，共12頁

DF=DC.求證:

(1)BD=AD.

(2)BEAC.

o變式訓(xùn)練

變式1.

3.如圖,2。是“BC的中線,E,尸分別是2。和2。延長線上的點，且CE||8/，連接3F,CE,

下列說法：

?DE=DF；

②AABD和AACD面積相等；

③CE=BF；

?ABDF^CDE；

⑤/CEF=NF.

其中正確的有()

A.1個B.5個C.3個D.4個

變式2.

4.綜合與探究

【操作探索】

在生活中，我們常用實物體驗圖形變換的過程.小穎同學(xué)利用一塊風(fēng)箏紙片完成了如下的操

作：

如圖1,已知四邊形A5DC,AB=AC,BD=CD.

(1)操作一：沿AO所在的直線對折，如圖1.你認(rèn)為左右兩側(cè)對折后能完全重合嗎？并說

明理由；

(2)操作二：對折后，將風(fēng)箏紙片剪成兩個三角形和"8，)，擺成如圖2所示

的圖形，80與AO'相交于點E,與CD相交于點廠.試說明3E=CF.

【應(yīng)用拓展】

(3)如圖3,在VABC中，AB=AC,AB>3C,點。在邊BC上，BD=3CD,點E,F

在線段上，ZAEB=ZAFC=13Q°,ZBAC=50°,若VABC的面積為24,求人455與

VC￡)9的面積之和.

難j

知識點二：全等三角形的常見模型

試卷第4頁，共12頁

2.圖形特征全等模型

在典例精講

例1.

5.如圖，己知AD=AB,AC=AE,ZDAB=Z.CAE,DC,BE.

⑴求證：^BAE^DAC；

⑵若ZCW=135°,ND=20。,求—E的度數(shù).

例2.

6.(1)如圖1,已知△OA3中，OA=OB,ZAOB=90°,直線/經(jīng)過點。，3CL直線/,

AD±直線/,垂足分別為點C,D依題意補(bǔ)全圖/,并寫出線段BC,AD,之間的數(shù)

量關(guān)系為;

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△OAB中，OA=OB,C,O,。三點都在直線/

上，并且有==請問(1)中結(jié)論是否成立?若成立，請加以證明；若

不成立，請說明理由；

(3)如圖3,在VABC中，AB=AC,NCAB=90°,點A的坐標(biāo)為(0,1),點C的坐標(biāo)為(3,2),

請直接寫出點B的坐標(biāo).

Q變式訓(xùn)練

變式1.

7.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,P分別是BC,CD上的點，

NEAF=g/BAD,線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系是.

變式2.

8.如圖，已知Rt^ABC中，ZBAC=90。,A3=AC,點。為直線BC上的一動點(點D不

與點8、C重合)，以4D為邊作RtAAOE,ZDAE=90o,AO=AE,連接CE.

試卷第6頁，共12頁

E

圖1圖2圖3

⑴發(fā)現(xiàn)問題：如圖①，當(dāng)點。在邊BC上時.

①請寫出和CE之間的數(shù)量關(guān)系為一，位置關(guān)系為二

②求證：CE+CD^BC-,

(2)嘗試探究：如圖②，當(dāng)點。在邊BC的延長線上且其他條件不變時，(1)中2C、CE、CD

之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立?若成立，請證明；若不成立，請寫出新的數(shù)量關(guān)系，不證明.

(3)拓展延伸：如圖③，當(dāng)點。在CB的

延長線上且其他條件不變時，若3c=6,CE=2,求線段的長.并求ADEB的面積.

jr

難點

知識點三：全等三角形的常見輔助線

倍

截

長

補(bǔ)

短

法

典例精講

例1.

9.如圖,已知:AB=AC,BD=CD,ZA=60°,ZD=140°,則(

40°C.40°或70°D.30°

例2.

試卷第8頁，共12頁

10.倍長中線法與作平行線是構(gòu)造全等三角形常見的輔助線.

圖2

(1)如圖1,在VABC中，AC=5,中線AD=7,求A8的取值范圍.方法一：延長AD到E

使DE=AD，連接CE；方法二：過點C作AB的平行線交AD的延長線于E.請你從以上

兩種方法中選一種方法證明AECDdABD,并直接寫出A3的取值范圍；

⑵如圖2,在△AEC中，點從。在EC上，=0，點。是BC的中點，若平分

求證：AC=BE.

Q變式訓(xùn)練

變式1.

11.如圖，在四邊形ABCZ)中，w〃8,的是1衣4。的平分線，且AE_LCE.若

AC=a,BD=b,則四邊形ABAC的周長為()

A.1.5(tz+&)B.2a+bC.3a—bD.a+2b

變式2.

12.已知：如圖，在VABC中，/B=60。,D、E分別為AB、BC上的點，且AE、CD交于

點、F.若AE、CD為VABC的角平分線.

⑴求ZART的度數(shù)；

(2)若AD=6,CE=4,求AC的長.

建點

知識點四：全等三角形的綜合應(yīng)用

1.全等三角形與動點問題

(1)根據(jù)動點運(yùn)動的路徑，恰當(dāng)分類，畫出圖形；

(2)把動點運(yùn)動的路程轉(zhuǎn)化為線段的長度；

(3)根據(jù)全等三角形的判定或性質(zhì)，確定與動點相關(guān)線段與其對應(yīng)邊相等建立方程求解；

2.全等三角形新定義問題

(1)抓住新定義的圖形的特征；

(2)把新定義的圖形的特征轉(zhuǎn)化為全等的條件，或利用全等的性質(zhì)，把相等的邊角轉(zhuǎn)化為

識別新定義圖形的條件；

3.全等三角形的實際應(yīng)用

(1)指出在生產(chǎn)生活實際中，應(yīng)用全等三角形的依據(jù)；

(2)用全等三角形的知識解決生產(chǎn)生活中的實際問題；

在典例精講

例1.

13.如圖，AB=8cm,NA=/3=60。，AC=BD=6cm,點P在線段A8上以2cm/s的速度

由點A向點B運(yùn)動，同時，點。在線段8。上以xcm/s的速度由點8向點O運(yùn)動，它們運(yùn)動

的時間為f(s).當(dāng)與VBPQ全等時，x的值是()

A.2B.1或1.5C.2或3D.1或2

例2.

14.在兩個不全等的三角形中，有兩組邊對應(yīng)相等，其中一組是公共邊，另一組等邊所對的

角對應(yīng)相等，就稱這兩個三角形為“共邊黃金三角形”，相等的邊(非公共邊)所對的相等的

角稱為“黃金角

試卷第10頁，共12頁

圖1圖2圖3

⑴如圖1,BC=BD,貝UVABC與△ABD"共邊黃金三角形”.（填“是”或“不是”）

⑵如圖2,ZXACB與AACD是“共邊黃金三角形"，BC=CD,ZBAD=62°,則ZXACB與

AACD的“黃金角”的度數(shù)為.

（3）如圖3,已知AC平分/A￡>,AB=AE,△ACB與AACD是“共邊黃金三角形”，試說明

CD=CE.

Q變式訓(xùn)練

變式1.

15.為了捍衛(wèi)國家主權(quán)，2022年中國人民海軍多次在東海進(jìn)行軍事演習(xí).在某次軍事演習(xí)

中，艦艇甲在指揮中心（。處）北偏西30。的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70。的B處，并

且Q4=O8.接到指令后，艦艇甲向正東方向迅速前進(jìn)，同時艦艇乙沿北偏東50。的方向迅

速前進(jìn).指揮中心觀測到3小時后甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、尸處，NEOF=70。，跖=180

海里，且甲與乙的速度比為2:3,則甲艦艇的速度為海里/小時.

16.已知四邊形ABCD中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=120°,ZMBN=60°,

ZMBN繞B點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交A。，DC（或它們的延長線）于E,F.

（1）當(dāng)NMBN繞8點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時（如圖1）,求證：AE+CF=EF.

（2）當(dāng)繞2點旋轉(zhuǎn)到AEHCFF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成

立？若成立，給出證明；若不成立，線段在CF,跳又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的

猜想，并給予證明.

小明第（1）問的證明步驟是這樣的：

延長。C到。使CQ=AE,連接BQ,

證出ABAERBCQ得到BE=BQ,ZABE=ZCBQ；

再證ABEF也ABQ尸，得到EF=FQ,證出￡7上（7尸+（7。，即AE+CF=￡F.

請你仿照小明的證題步驟完成第（2）問的證明.

試卷第12頁，共12頁

參考答案:

1.A

【分析】在AC上取AE=AB=3,然后證明△用三“IBP,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得

到尸E=PB=2,再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊即可求解.

【詳解】在AC上截取AE=AB=3,連接PE,

?.?AC=7,

:.CE=AC-AE=l-3=4,

:點尸是/BAC平分線力。上的一點,

ACAD=ABAD,

在△&/>￡1和AAPB中，

'AE=AB

<ZCAP=ZBAD,

AP=AP

:.^APE=AAPB（SAS）,

:.PE=PB=2,

?.?4—2<PC<4+2,

解得2<PC<6,

故選A.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系；通過作輔助線構(gòu)

造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.⑴見解析

（2）見解析

【分析】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法.

（1）根據(jù)ADJ_BC,得出/3D4=/4DC=90。，再根據(jù)SAS證明ABFO名AACD,即可推

答案第1頁，共20頁

出結(jié)論；

(2)因為/友％=/位＞。=90。，則/D4C+/C=90。，根據(jù)△MD0AACD,NBFD=NC,

得出/ZMC+/BFD=90。.又因為/哥D=貝1J/ZMC+/AFE=90。，得出

ZAEF=90°.

【詳解】⑴VAD1BC,

：.^BDA=^ADC=90°f

'：BF=AC,DF=DC,

：.^BFD^ACD(HL),

:.BD=AD.

(2)ZBDA=ZADC=90°,

???/n4C+/C=90。，

'：ABFD'ACD,NBFD=NC,

：.ZDAC+ZBFD=9^.

?；NBFD=NAFE,

；./DAC+/AFE=90。,

：.^AEF=90°,

：.BE±AC.

3.B

【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得&)=CD,然后利用“邊角邊”證明上￡方和△CDS全等,

根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=57"全等三角形對應(yīng)角相等可得/=/CED,再根

據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得5分||。石，最后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等判斷出②

正確.

【詳解】解：??工。是△ABC的中線，

：.BD=CD,

在△&)尸和史中，

BD=CD

<ZBDF=ZCDE,

DF=DE

：.△BDF^ACDE(SAS),故④正確

答案第2頁，共20頁

:.CE=BF,/F=/CED,故①正確，

:NCEF=NCED,

:*NCEF=NF,故⑤正確，

：.BF\\CE,故③正確，

;BD=CD,點A到曲CD的距離相等，

???△ABD和AACD面積相等，故②正確，

綜上所述，正確的有5個，

故選：B.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法并準(zhǔn)確識圖是

解題的關(guān)鍵.

4.(1)能完全重合，理由見解析；(2)證明見解析；(3)6

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的

關(guān)鍵.

(1)通過三邊分別相等得出△AB￡>0A4CD(SSS),即可作答.

(2)同理得出AABD以AACD',得出/3=NC,ZBAD=ZCAD',再結(jié)合=

證明△ABE絲△ACR(ASA),即可作答.

(3)因為NA￡B=NAFC=130。以及角的運(yùn)算得出=再證明

△ABE=/\CAF(AAS),則工人郎+$△CAF+^ACDF=^ACAD，因為BD=3CD,得出

S^CAD:SA4BC=CD：BC=1：4,即可作答.

【詳解】解：(1)能完全重合.

理由：在與AACD中，

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

：.AABD絲AACD(SSS),

對折后能完全重合.

(2)同理得出AMD/AACD',

/.ZB=ZC,ZBAD=ZCAD',

：.ZBAiy+/DAD=Z.CAD+ZZ7AD,

答案第3頁，共20頁

：.ZBAE=ZCAF.

在石和ZXAC「中，

ZB=ZC

<AB=AC,

ZBAE=ZCAF

；.AABE且AAC尸(ASA),

：.BE=CF.

(3)VZAEB=130°,

???ZEAB-^-ZABE=1800-ZAEB=5Q°.

ABAC=ZEAB+ZCAF=50°,

：.ZABE=ZCAF.

在△AaE1和VG3中，

ZAEB=ZAFC

</ABE=/CAF,

AB=AC

；.AABEgAC4F(AAS),

??°AABE一°ACAF，

,?S^ABE+S^CDF=^ACAF+^ACDF=*^ACAD?

BD=3CD,

：.CD:BC=1:4,

?e?S/\CAD:^AABC=CD：BC=1*4.

SJBC=24,

??S^ABE+S4CDF=24+4=6.

5.(1)見解析

⑵N石=25。

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；

(1)根據(jù)題意由NZMB+NB4C=NC4E+NBAC,可得/DAC=/BAE,即可求證;

答案第4頁，共20頁

(2)由AB4E絲A/MaSAS),可得ZE=NC,再由內(nèi)角和為180。即可求解.

【詳解】(1)證明：：/ZMB=NC4E,

ZDAB+NBAC=ZCAE+ABAC,

：.ZDAC=ZBAE,

又：AD=AB,AC=AE,

：.ABAE絲AD4c(SAS)；

(2)：ABAE包DAC(SAS),

NE=NC,

VZC4D=135°,ZD=20°,

：.ZC=180°-ZCAD-ZD=180°-135°-20°=25°,

ZE=ZC=25°.

6.(1)補(bǔ)全如圖所示見解析；CD=BC+AD；(2)成立，證明見解析；(3)點8的坐標(biāo)

為。,-2).

【分析】(1)依題意補(bǔ)全圖，易證貝1|有AO=C。，OD=BC,從而可得

CD=BC+AD；

(2)利用三角形內(nèi)角和易證N2=/3,再證明A3CO絲AO/M,同(1)即可證明結(jié)論；

(3)過8、C兩點作y軸垂線，構(gòu)造如(1)圖形，即可得三角形全等，再將線段關(guān)系即可

求出點B坐標(biāo).

【詳解】(1)補(bǔ)全圖1如圖所示，CD=BC+AD；

圖1

證明：；ZAO3=90°,直線/,AD±直線/,

：.ZBCO=ZODA=90°,

：.ZBOC+ZOBC=90°,

又：ZAOB=90°,

答案第5頁，共20頁

???ZBOC+ZAOD=90°,

：.ZOBC=ZAOD,

在△人0。和405。中

ZBCO=ZODA

</OBC=/AOD,

BO=AO

：.AAOD^AOBC(AAS)

：.AD=CO,OD=BC,

?；CD=OD+CO,

：.CD=BC+AD.

(2)成立.

證明：如圖，

圖2

Z1+Z2=180°-ZBOA,Zl+Z3=180°-ZBtM,ZBOA=ZBCO

：?N2=N3

在△5CO和M0D4中

Z3=N2

<ZBCO=ZODA

BO=OA

：.ABCO^ODA(AAS)

/.BC=OD,CO=AD

：.CD=CO+OD=AD+BC

(3)點8的坐標(biāo)為(1,-2).

過程如下：過5、C兩點作y軸垂線，垂足分別為M、N,

答案第6頁，共20頁

圖3

同理(1)可得，CN=AM,AN=MB,

:點A的坐標(biāo)為(0,1),點C的坐標(biāo)為(3,2),

：.CN=AM=3,ON=2,OA=1,

：.MB=AN=ON-OA=1,OM=AM-OA=2,

?.?點8在第四象限，

...點8坐標(biāo)為：(1,-2).

【點睛】主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)變換,

構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

7.EF=BE+DF

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，延長ED至點H,使得。"=連接A8,

可證AABE/AAD"(SAS)得到=ZBAE=ZDAH,進(jìn)而由=可得

ZHAF=ZEAF,即可證得△AEF四△A77F(SAS),得到=即可由必=

得至“EF=BE+DF,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，延長ED至點使得DH=BE,連接AH,

VZB+ZADF=180°,ZADF+ZADH=180°,

ZB=ZADH,

在和AMH中，

BE=DH

<ZB=ZADH,

AB=AD

：.AABE^ADH(SAS),

：.AE=AH,ZBAE=ZDAH,

答案第7頁，共20頁

ZEAF=-ZBAD,

2

NBAE+ZFAD=ZBAD-ZEAF=-/BAD,

2

即/HAD+ZDAF=NHAF=-/BAD,

2

ZHAF=ZEAF,

在△AEF和AAHF中，

AE=AH

<ZEAF=ZHAF,

AF=AF

：.AAEF四△AHF(SAS),

:.HF=EF=HD+DF,

,/HF=HD+DF,

:.EF=HD+DF

又?:DH=BE,

，EF=BE+DF.

8.⑴①BD=CE,BD±CE；②見解析

(2)不成立，存在的數(shù)量關(guān)系為CE=BC+CD,理由見解析

(3)CD=8,S^DEB=2

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)：

(1)①根據(jù)條件AB=AC,ZABC=ZACB=45°,AD=AE,ZADE=ZAED=45°,判定

△ABD絲AACE(SAS),即可得出80和CE之間的關(guān)系；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得

至1"+8=比；

答案第8頁，共20頁

(2)根據(jù)已知條件，判定AABZ涇AACE(SAS),得出BD=CE,再根據(jù)3￡>=3C+CD,即

可得到C￡=3C+CD；

(3)根據(jù)條件判定AABZ在AACE(SAS)，得出3。=CE,進(jìn)而得到CD=BC+BD=BC+CE,

最后根據(jù)3c=6,CE=2,即可求得線段CD的長，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三

角形的性質(zhì)得出EC_LCD,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

【詳解】(1)①如圖1，由題意，AB=AC,ZABC=ZACB=45°,AD=AE,

ZADE=ZAED=45°,ZBAC=ZZME=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

在AABD和AACE中，

AB=AC

<ZBAD=NCAE,

AD=AE

:.^ABD^AACE(SAS),

:.BD=CE,NB=ZACE=45°,

:.ZBCE=90°,即BD_LCE；

故答案為：BD=CE,BDLCE；

②由①得AABD^AACE(SAS),

BD=CE,

:.BC=BD+CD=CE+CD；

(2)不成立，存在的數(shù)量關(guān)系為。石=5。+8.

理由：如圖2,由⑴同理可得，

在和八4。￡中，

'AB=AC

<ABAD=/CAE,

AD=AE

/.△ABD^AACE(SAS),

/.BD=CE,

BD=BC+CD,

答案第9頁，共20頁

.?.CE=BC+CD；

(3)如圖3,由⑴同理可得，

在和中，

'AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

/.△ABZ)^AACE(SAS),

:.BD=CE,ZABD=ZACE

CD=BC+BD=BC+CE,

vBC=6,CE=2,

.?.CD=6+2=8.

/ZABD=ZACE=1800-ZABC=135°fNACB=45。

ZDCE=AACE-ZACB=90°,即CE_LDC

：.SAUntFLRD=-2DBxCE=-2x2x2=2.

圖3

9.B

【分析】連接AD,可證△ABDGAACD,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可以得到

NBAD=NCAD=；NBAC,ZADB^ZADC,代入角度即可求出N3AD和-W3的度數(shù),

最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】連接4),如圖，

在△ABD與AACD中

答案第10頁，共20頁

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

：.AABD之AACD(SSS),

ABAD=ACAD=-ABAC,ZADB=ZADC,

2

NA=60°,

ZBAD=ZCAD=30a,

"=140°,

ZADB=ZADC=1(360°-140°)=110°,

/BAD+ZADB+/B=180°,

ZB=40°.

故選：B.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，添加正確的輔助線是解

題的關(guān)鍵.

10.(1)9<AB<19

(2)證明見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

全等三角形的判定方法以及能正確作出輔助線；

(1)方法一中利用SAS證明△ECD9則AB=EC,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系來確

定取值范圍即可；

(2)先用SAS證明得出NBAD=NCFD,AB=FC,再用AAS證明

AFCA^AABE,即可解答.

【詳解】(1)解：選方法一來證明△ECDgZWBD,

是VABC的中線，

:.BD=DC

在AECD和△ABD中

答案第11頁，共20頁

BD=DC

NADB=/EDC

AD=DE

/.A^CD^AABD(SAS),

AB=EC,

在△AEC中，

AE-AC<EC<AE+AC,

2AD-AC<AB<2AD+AC,

即：14—5vABvl4+5,

:.9<AB<19,

(2)解：延長AD到尸使。尸=4),連接b,如圖所示;

:.BD=DC,

在△ABD和△bCD中，

BD=DC

<NADB=ZFDC,

AD=DF

\AABD^AFCDCSAS),

:.ZBAD=ZCFD,AB=FC,

A5平分//ME,

.\ZBAD=ZEAB,

NCFD=NEAB,

在△/C4和aAB石中，

ZCFD=ZEAB

<ZCAD=ZE,

CF=AB

答案第12頁，共20頁

/.△FC4^AABE(AAS),

AC=BE.

11.B

【分析】在線段AC上作AF=AB,證明△AEF之Z^AEB可得NAFE=NB,ZAEF=ZAEB,

再證明△CEF之ZiCED可得CD=CF,即可求得四邊形ABOC的周長.

【詳解】解：在線段AC上作AF=AB,

???NCAE=NBAE,

又TAE=AE,

.,.△AEF^AAEB(SAS),

AZAFE=ZB,NAEF=NAEB,

VAB/7CD,

.'.ZD+ZB=180°,

VZAFE+ZCFE=180°,

AZD=ZCFE,

VAE1CE,

AZAEF+ZCEF=90°,ZAEB+ZCED=90°,

.'.ZCEF=ZCED,

在^CEF和^CED中

/D=NCFE

?；［/CEF=NCED,

CE=CE

.?.△CEF^ACED(AAS)

ACE=CF,

四邊形ABDC的周長=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2〃+Z;,

答案第13頁，共20頁

故選：B.

【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判斷.能正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

12.⑴120度

(2)10

【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等

知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題.

(1)由題意/B4C+/BC4=120。，根據(jù)

ZAFC=180°-ZFAC-NFCA=180°-1(ZBAC+ZBCA),即可解決問題；

(2)在AC上截取AG=AD=6,連接FG.只要證明△AD/絲△AGE,推出

ZAFD=ZAFG=60°,ZGFC=ZCFE=60°,再證明4CG5也△(7砂，推出CG=CE=4,

由此即可解決問題.

【詳解】(1)解：CD為VABC的角平分線，

ZFAC=|ABAC,ZFCA=gZBCA

?/ZB=60°,

：.ZBAC+ZBCAF^120°,

：.ZAFC=180°-ZFAC-ZFCA=180°-1(ZBAC+ZBCA)=120°

(2)解：在AC上截取AG=AD=6,連接FG.

,:AE、CD為VABC的角平分線.

AZFAC^ZFAD,/FCA=NFCE,

ZAFC=120°,

ZAFD=/CFE=60。,

?：AD=AG,AF=AF

AAADF^AAGF,

ZAFD=ZAFG=&)°,

答案第14頁，共20頁

NGFC=NCFE=60。,

又,：CF=CF,

AACGF^ACEF

:.CG=CE=4,

：.AC=AG+GC=10.

13.C

【分析】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的

關(guān)鍵；選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件.

根據(jù)題意得AP=2rcm,BQ=t^cm,則8尸=(8-2r)cm,由于/A=/3=60°,根據(jù)全等三角

形的判定方法，當(dāng)AC=3P,人尸=8。時可判斷/\?1。尸二43尸。，即8-2/=6,2t=tx-,當(dāng)

AC=BQ,AP=B尸時可判斷八4€7＞絲ABQP,即M=6,2t=8-2t,然后分別求出對應(yīng)的

尤的值即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得AC=6cm,AP=2rcm,BQ=txc\R,貝1|8尸=AB-AP=(8-2/)cm,

-.■ZA=ZB=60°,

..當(dāng)AC=B尸，=時，AACP四尸。(SAS),

BP8-2r=6,2t=tx,

解得：t=l,x=2；

當(dāng)AC=BQ,AP=3P時，AAC尸父JQP(SAS),

即xf=6,2t-S-2t,

解得：t=2,x=3,

綜上所述，當(dāng)△ACP與V8PQ全等時，x的值是2或3.

故選：C.

14.⑴是

(2)31°

(3)理由見解析

【分析】本題考查了新定義、全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，正確掌握相關(guān)性

質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)共邊黃金三角形的定義找到公共邊AB,NA=N4,即可得出.

(2)根據(jù)共邊黃金三角形的定義得出出=/D4C,再結(jié)合NA4D=62。，則

答案第15頁，共20頁

ZC4B=ZZMC=31°,即可作答.

(3)先由角的平分線的定義得出/S4C=/E4C,然后證明AABC絲AAEC(SAS),得

BC=EC,再運(yùn)用共邊黃金三角形的定義，得出3C=CZ),即可作答.

【詳解】(1)解：：VABC與具有公共邊

又?：BC=BD,且ZA=ZA,

.-.AABC與AABD是共邊黃金三角形，

???故答案為：是.

(2)解：：AACB與AACD是“共邊黃金三角形"，BC=CD,

ZCAB=ZDAC,

,：ZBAD=62°,

：.ZCAB=ZDAC=-ABAD=-x62°=31°；

22

則AAC3與△ACD的“黃金角”的度數(shù)為31。.

(3)解：：AC平分44￡>,

，ZBAC^ZEAC.

AB=AE

在VABC和△AE'C中，</BAC=ZEAC,

AC^AC

：.AABC^AA￡C(SAS),

:.BC=EC.

,/則AACB與AACD是共邊黃金三角形，

:.BC=CD,

：.CD=CE.

15.24

【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，如圖，連接EF,延長AE、跖相交于點C,延長

CB到G,使=根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】如圖，連接跖，延長AE、3/相交于點C,延長CB到G,使8G=AE,

答案第16頁，共20頁

???Z.OBC=70°+50°=120°,

NO5G=60。，

:.ZA=/OBG,

\-OA=OB,

???AAOE學(xué)△BOG(SAS),

:.OE=OG,ZAOE=/BOG,

ZAOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,

ZEOG=140°,

???N￡Ob=70。，

:"EOF=/GOF,

?：OF=OF,

：.AEOF^AGOF(SAS),

，EF=GF=BG+BF=AE+BF=180(海里)，

設(shè)甲的速