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文檔簡介
專題03相交線與平行線中的M模型(含鋸齒型)
內(nèi)容導(dǎo)航:模型分析T典例分析T
【模型1】M型
(1)如圖,已知45〃CD,BF與DF相交于點(diǎn)FnN8+NZ)=N8FD
【證明】
如圖,延長BF交CD于點(diǎn)G
?/ABHCD
NB=ZFGD
又?/ZBFD=ZFGD+ND
ZBFD=ZB+ZD
(2)如圖,已知N8+ND=/BED,BF與DF相交于點(diǎn)Fn48〃CD
【證明】
如圖,延長BF交CD于點(diǎn)G
ZB+ZD=ZBFD
又-.?ZBFD=ZFGD+ND
ZB=ZFGD
ABHCD
【M型變式】
如圖,已知45〃CD,6、鳥是平行線內(nèi)的兩點(diǎn)nN36巴+ND6q=180°+NB+N。
【證明】
:分別過片、P2做P、MHAB,P2N//CD
???ABIICD
ABHPXMIIP2N//CD
NB=NBRM,ND=ZDP2N
ABPXP2+NDPF\=NBRM+NMPR+ZNP2P{+ZNP2D
???ABIIPXMIIP.N//CD
NMg+ZNP2P1=180°,NB=ZBP1M,ZD=ZDP2N
NBPFz+ZD舄耳=180。+N8+ND
【模型2】鋸齒型
如圖,已知48〃CD,M、N是平行線內(nèi)的兩點(diǎn),點(diǎn)P是線段CD上一點(diǎn),連接BM、、NP,
nNB+NN=NM+NNPD
【證明】
如圖:分別過點(diǎn)M、N做EF口AB,GHHCD
■:ABHCD
ABHEFUGHIICD
NB=NBMF,ZFMN=NMNG,NGNP=ZNPD
ZBMN=NBMF+NFMN=NB+AMNG
ZBMN=ZB+NMNG
ZMNP=AMNG+NGNP=ZMNG+NNPD
ZMNP=ZMNG+ZNPD
NMNG=/MNP-ZNPD
ZBMN=NB+/MNP-ZNPD
NBMN+ZNPD=ZB+/MNP
ZB+ZN=ZM+ZNPD
CPD
典例分析
【例1】如圖,/BCD=7。。,AB//DE,則Na與滿足()
A.Za+Zp=110°B.Za+Zp=70°C.Zp-Za=70°D.Za+Zp=90°
【答案】B
【分析】過點(diǎn)。作。/〃45,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N5C歹=Na,/DCF=/p,由此即可解答.
【解析】如圖,過點(diǎn)。作CF〃/5,
■:AB〃DE,
:.AB//CF//DE9
:?/BCF=/a,ZDCF=Z^f
,?/BCD=7U。,
:.ZBCD=ZBCF+ZDCF=Za+Zp=70°,
.?.Za+Zp=70°.
故選反
【例2】如圖,AB//EF,設(shè)NC=90。,那么x,歹,z的關(guān)系式為,
AB
x
【答案】產(chǎn)90°x+z.
【分析】作CG//AB,DH//EF,iAB//EF,可得45〃CG加ZME尸,根據(jù)平行線性質(zhì)可得Nx=Nl,ZCDH=Z2,
ZHDE=Zz,由NC=90。,可得Nl+N2=90。,由/產(chǎn)22+/2,可證N尸N2+900Nx即可.
【解析】解:作CG〃48,DH//EF,
■:AB//EF,
:.AB//CG//HD//EF,
:.Zx=Zl,/CDH=/2,/HDE=/z
NBCD=90。
.*.Zl+Z2=90o,
N產(chǎn)NCDH+NHDE=/z+N2,
VZ2=90°Zl=90°Zx,
N尸Nz+90°Nx.
BP^=90°x+z.
【例3】問題情境:如圖①,直線45〃CD,點(diǎn)。廠分別在直線CD±.
E
EBB
P
P-
^2
DD
F
圖①圖②
⑴猜想:若Nl=130。,Z2=150°,試猜想/P=
⑵探究:在圖①中探究/I,N2,NP之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
⑶拓展:將圖①變?yōu)閳D②,若/1+/2=325。,NEPG=75。,求NPGF的度數(shù).
【答案】(1)80°
(2)ZP=36O°-Z1-Z2;證明見詳解
(3)140°
【分析】(1)過點(diǎn)尸作“N〃/8,利用平行的性質(zhì)就可以求角度,解決此問;
(2)利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系,就可以解決此間;
(3)分別過點(diǎn)P、點(diǎn)G作"N〃/8、KR//AB,然后利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系即可.
【解析】⑴解:如圖過點(diǎn)尸作"N〃/8,
AB//CD,
??.AB//MN//CD.
:./l+/£P(guān)N=180。,
N2+ZPPN=180。.
VZl=130°,Z2=150°,
JZ1+Z2+/EPN+ZFPN=360°
JZEPN+FPN=360。一130。-150。=80°.
/P=/EPN+/FPN,
:.ZP=80°.
故答案為:80°;
⑵解:ZP=36O°-Z1-Z2,理由如下:
如圖過點(diǎn)尸作AW〃/5,
AB//CD,
:.AB//MN//CD.
:.Z1+ZEPN=1SO°,
Z2+ZFPN=1SO0.
:.Z1+Z2+ZEPN+ZFPN=360°
ZEPN+ZFPN=ZPf
ZP=36O°-Z1-Z2.
(3)如圖分別過點(diǎn)P、點(diǎn)G作“N〃43、KR//AB
??,AB//CD,
:.AB//MN//KR//CD.
:.Zl+ZEPA^=180°,
/NPG+/PGR=180。,
ZAGF+Z2=180°.
???Z1+ZEPN+ZNPG+/PGR+RGF+N2=540°
ZEPG=ZEPN+ZNPG=75°,
/PGR+ZRGF=ZPGF,
/l+/2=325。,
JZPGF+Z1+Z2+ZEPG=540°
???ZPGF=540°-325°-75°=140°
故答案為:140。.
模型演練
一、單選題
1.如圖,ABHCD,點(diǎn)£在NC上,44=110。,ND=15。,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()
(1)AE=EC;(2)ZAED=85°;(3)NA=NCED+ND;(4)ABED=45°
4-----------
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】B
【分析】利用平行線的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)依次判斷即可求解.
【解析】W:':AB//CD,
:.N/+NC=180。,
又;4=110。,
AZC=70°,
AZAED=ZC+ZZ)=85°,故(2)正確,
ZC+ZD+ZCED=180°,
ZD+ZCED^llO°,
;.NA=NCED+ND,故(3)正確,
?.?點(diǎn)£在AC上的任意一點(diǎn),
無法判斷等于CE,/BED無法判斷等于45。,故(1)、(4)錯(cuò)誤,
故選:B.
2.如圖,AB〃EF,ND=90。,則。,川,7的大小關(guān)系是()
E
A.P=a+yB.P-a+y-90°
C.yff=y+90°-aD.P=<2+90°-/
【答案】D
【分析】通過作輔助線,過點(diǎn)C和點(diǎn)D作CG〃AB,DH〃AB,可得CG〃DH〃AB,根據(jù)AB〃EF,可得
AB〃EF〃CG〃DH,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得Y+(3a=9O。,進(jìn)而可得結(jié)論.
【解析】解:如圖,過點(diǎn)C和點(diǎn)D作CG〃AB,DH〃AB,
VCG//AB,DH//AB,
.?.CG//DH//AB,
VAB//EF,
AAB//EF//CG//DH,
VCG//AB,
???ZBCG=a,
???ZGCD=ZBCDZBCG=Pa,
VCG//DH,
???ZCDH=ZGCD=Pa,
VHD//EF,
???ZHDE=y,
ZEDC=ZHDE+ZCDH=90°,
y+pa=90°,
.,.p=a+90°y.
故選:D.
3.如圖,已知直線@〃卜Zl=40°,/2=60。.則N3等于()
a
丁
2
b
A.100°B.60°C.40°D.20°
【答案】A
【解析】解:過點(diǎn)C作CD〃a,
???CD〃a〃b,
.?.ZACD=Z1=4O°,NBCD=N2=60。,
???Z3=ZACD+ZBCD=100°.
故選A.
4.如圖,AB〃CD,點(diǎn)、E,尸在直線ZB上(尸在E的右側(cè)),點(diǎn)G在直線CD上,EFLFG,垂足為方,M
為線段跖上的一動(dòng)點(diǎn),連接GPGM,N尸G尸與N4PG的角平分線交與點(diǎn)。,且點(diǎn)。在直線45,CD之
間的區(qū)域,下列結(jié)論:①N4£F+NCGb=90。;②/AEF+2/PQG=270。;③若/MGF=2/CGF,貝U
3Z.AEF+ZMGC=210°;④若/MGF=nNCGF,則//斯+一一/MGC=90。.正確的個(gè)數(shù)是()
77+1
A.4B.3C.2D.1
【答案】A
【分析】①過點(diǎn)尸作尸利用平行線的性質(zhì)以及已知即可證明;
②利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得到/3=2/2,ZCGF+2Z1+Z3=18O°,結(jié)合①的結(jié)論即可證明;
③由已知得到NMGC=3/CGR結(jié)合①的結(jié)論即可證明;
④由已知得到NMGC=(〃+1)NCGF結(jié)合①的結(jié)論即可證明.
【解析】解:①過點(diǎn)F作如圖:
,:AB〃CD,:.AB//FH//CD,
:?/AEF=NEFH,4CGF=/GFH,
■:EF工FG,即NEFG=NEFH+NGFH=90。,
:?/AEF+NCGF=900,故①正確;
②?:AB〃CD,尸。平分N4尸G,GQ平分N/GP
???NZPQ=N2,N尸GQ=N1,
???N3=N/PQ+N2=2N2,
ZCGF+ZFG2+Z1+Z3=ZCGF+2Z1+Z3=18O°,
即2N1=18O02N2NCG產(chǎn),
.\2Z2+2Zl=180oZCGF,
ZP2G=18O°(Z2+Z1),
???2N尸。G=36O02(N2+N1)=360°(180°ZCG70=180°+ZCGF,
???Z^F+2ZP2G=Z^£F+180o+ZCGF=180o+90o=270°,故②正確;
③???ZMGF=2ZCGFf
:.ZMGC=3ZCGFf
:.3ZAEF+ZMGC=3ZAEF+3ZCGF=3(/AEF+ZCGF)=3'90。=270°;
3ZAEF+ZMGC=270°,故③正確;
E
AB
CGD
@VNMGF=n/CGF,
:.ZMGC=(n+1)ZCGF,即ZCGF=——4MGC,
n+\
ZAEF+ZCGF=90°,
:.ZAEF+—ZMGC=90°,故④正確.
n+\
綜上,①②③④都正確,共4個(gè),
故選:A.
二、填空題
5.如圖,AB//CD,/2=15°,/。=25°則/〃=
M
------------D
【答案】40°
【分析】首先過點(diǎn)“作兒W〃48,由4B//CD,即可得兒加〃ZB//CD,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相
等,即可求得的度數(shù).
【解析】解:過點(diǎn)〃■作MN〃48,
VAB//CD,
MNIIABIICD,
Z1=ZA=15°,Z2=ZC=25°,
ZAMC=Z1+Z2=15°+25°=40°.
故答案為:40°.
AB
6.如圖,AB//CD,EF平分NBED,NDEF+ND=66",NB-ND=28°,貝UN8ED=
【答案】80°
【分析】過E點(diǎn)作EM〃/瓦根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/2EO=N8+ND,利用角平分線的定義可求得
Z5+3ZZ)=132°,結(jié)合/2/。=28。即可求解.
【解析】解:過E點(diǎn)作瓦0〃48,
ZB=ZBEM,
,JAB//CD,
J.EM//CD,
:./MED=ND,
:.ZBED=ZB+ZD,
:EF平分/BED,
:.NDEF=gABED,
':ZDEF+ZD=66°,
:.yZBED+ZD=66°,
:.ZBED+2ZD=U2°,
即N3+3NZ)=132°,
N240=28°,
AZ5=54°,ZD=26°,
:.NBED=8Q°.
故答案為:80°.
7.如圖,己知4B〃C£>,易得/l+/2+N3=360。,Z1+Z2+Z3+Z4=540°,根據(jù)以上的規(guī)律求
Zl+Z2+Z3+...+Zw=
【答案】180(”1)
【分析】過點(diǎn)P作平行于AB的直線,運(yùn)用兩次兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和;分別過
點(diǎn)尸,。作的平行線,運(yùn)用三次平行線的性質(zhì),即可得到四個(gè)角的和;同樣作輔助線,運(yùn)用M次平
行線的性質(zhì),則"個(gè)角的和是
【解析】解:(1)如圖,過點(diǎn)尸作一條直線尸M平行于N3,
':AB//PM//CD,
:.Z\+ZAPM=\^0°,ZMPC+Z3=180°,
.?.Nl+N/PC+/3=360。;
(2)如圖,過點(diǎn)P、。作PM、QV平行于
,JAB//CD,
':AB//PM//QN//CD,
:.A\+AAPM=\^0,AMPQ+APQN=\^0,NNQC+N4=180°;
Z1+AAPQ+ZP0C+Z4=540°;
根據(jù)上述規(guī)律,顯然作(〃2)條輔助線,運(yùn)用(?1)次兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).
即可得到N1+N2+N3+…+N力=180°(?1).
故答案為:180(〃-1)。
三、解答題
8.(1)已知:如圖Q),直線DE〃4B.求證:ZABC+ZCDE=ZBCD;
(2)如圖(6),如果點(diǎn)C在Z8與ED之外,其他條件不變,那么會(huì)有什么結(jié)果?你還能就本題作出什么
新的猜想?
3
【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)點(diǎn)C在N5與之外時(shí),ZABC-ZCDE=ZBCD,見解析
【分析】(1)由題意首先過點(diǎn)C作CF〃/2,由直線42〃即,可得4B〃CF〃DE,然后由兩直線平行,內(nèi)
錯(cuò)角相等,即可證得N/2C+NCDE=N8CD;
(2)根據(jù)題意首先由兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,可得/4BC=/BFD,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得
ZABCZCDE=ZBCD.
【解析】解:(1)證明:過點(diǎn)C作CF//AB,
,JAB//ED,
:.AB//ED//CF,
:.ZBCF=ZABC,ZDCF=ZEDC,
ZABC+ZCDE=ZBCD;
(2)結(jié)論:NABCNCDE=/BCD,
證明:如圖:
"JAB//ED,
:.NABC=NBFD,
在△。尸C中,ZBFD=ZBCD+ZCDE,
ZABC=ZBCD+ZCDE,
NABCNCDE=NBCD.
若點(diǎn)C在直線與DE之間,猜想N/3C+N3c£>+NC£>£=360°,
"."AB//ED//CF,
:./ABC+4BCF=180°,NCDE+NDCF=180°,
/./ABC+/BCD+NCDE=ZABC+NBCF+/DCF+ZCDE=360°.
9.如圖,AB//CD,點(diǎn)、E在直線4B,CD內(nèi)部,且/E_LCE.
(1)如圖1,連接/C,若/E平分44C,求證:CE平分乙4CD;
(2)如圖2,點(diǎn)M在線段/£上,
①若ZMCE=ZECD,當(dāng)直角頂點(diǎn)E移動(dòng)時(shí),NA4E與/MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由;
②若NMCEJ/ECD(〃為正整數(shù)),當(dāng)直角頂點(diǎn)£移動(dòng)時(shí),/B/E與NMCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并
n
說明理由.
1V)
【答案】(1)見解析;(2)①/BAE+K/MCD=9Q°,理由見解析;@ZBAE+——ZMCD=90°,理由見解
析.
【分析】(1)根據(jù)平行的性質(zhì)可得48/。+/。。=180。,再根據(jù)/ELCE可得NE/C+NEC/=90。,根據(jù)NE
平分NA4c可得/R4E=/E/C,等量代換可得/ECD+/E4c=90。,繼而求得乙DCE=NEC4;
(2)①過E作E尸〃48,先利用平行線的傳遞性得出即〃/2〃CD,再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推
得答案;
②過E作即〃48,先利用平行線的傳遞性得出EF//AB//CD,再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案.
【解析】(1)解:因?yàn)?8//CD,
所以48/。+/。。=180°,
因?yàn)?E_LCE,
所以NENC+/EG4=90。,
因?yàn)?E平分/A4C,
所以NB4E=/E4C,
所以ZBAE+ZDCE=90°,
所以ZEAC+ZDCE=90°,
所以NDCE=NEC4,
所以CE平分NNCD;
(2)①乙84E與NMCD存在確定的數(shù)量關(guān)系:NBAE+gNMCD=90°,
理由如下:過£作跖〃
B
?:AB〃CD,
C.EF//AB//CD,
;?NB4E=/AEF,/FEC=/DCE,
Z£=90°,
???ZBAE+ZECD=90°f
*.*/MCE=/ECD,
:.NB4E+;ZMCD=90°;
n
②/BAE與NMCD存在確定的數(shù)量關(guān)系:ZBAE+——ZMCD=90°,
n+1
理由如下:過E作跖〃45,
?:AB"CD,
:.EF//AB//CD,
:.ZBAE=ZAEF,NFEC=NDCE,
?/NE=90。,
JZBAE+ZECD=90°,
??,ZMCE=-ZECD
nf
Yl
:.ZBAE+——ZMCD=90°.
77+1
10.已知直線)〃2,/是//上的一點(diǎn),2是/2上的一點(diǎn),直線/3和直線〃,/2交于C和。,直線CD上有一
點(diǎn)尸.
(1)如果尸點(diǎn)在C,。之間運(yùn)動(dòng)時(shí),問NE4C,ZAPB,乙陽。有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.
(2)若點(diǎn)尸在C,。兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(尸點(diǎn)與C,。不重合),試探索/以C,/APB,/尸8。之間的關(guān)
系又是如何?(請直接寫出答案,不需要證明)
【答案】(1)NPAC+/PBD=NAPB;(2)當(dāng)點(diǎn)尸在直線4上方時(shí),ZPBD-ZPAC=ZAPB;當(dāng)點(diǎn)P在直
線4下方時(shí),"AC-ZPBD=ZAPB.
【分析】(1)過點(diǎn)P作PE/4,由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出PE〃/"《,再由"兩直線平行,
內(nèi)錯(cuò)角相等”得出NP4C=NNP£、ZPBD=ZBPE,再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論;
(2)按點(diǎn)P的兩種情況分類討論:①當(dāng)點(diǎn)P在直線4上方時(shí);②當(dāng)點(diǎn)P在直線4下方時(shí),同理(1)可得
NPAC=NAPE、NPBD=NBPE,再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論.
【解析】解:(1)NPAC+NPBD=NAPB.
過點(diǎn)P作尸E/4,如圖1所示.
■:PE//lx,〃〃2,
APAC=NAPE,NPBD=NBPE,
■:ZAPB=ZAPE+ZBPE,
ZPAC+/PBD=/APB.
(2)結(jié)論:當(dāng)點(diǎn)尸在直線4上方時(shí),/尸皿-/尸4。=44尸8;當(dāng)點(diǎn)尸在直線4下方時(shí),ZPAC-ZPBD=ZAPB.
①當(dāng)點(diǎn)尸在直線4上方時(shí),如圖2所示.過點(diǎn)尸作尸£/〃「
〃〃2,
:.PE!HJ/12,
ZPAC=ZAPE,ZPBD=ZBPE,
乙4PB=4BPE-ZAPE,
ZPBD-APAC=NAPB.
②當(dāng)點(diǎn)尸在直線4下方時(shí),如圖3所示.過點(diǎn)尸作尸E/4.
?:PEI瓜,/J/。,
:.PE/llxl/121
APAC=NAPE,/PBD=ABPE,
???/APB=/APE-ZBPE,
/.APAC-4PBD=/APB.
11.如圖1,ABIICD,ZP^=130°,NPCZ)=120。,求//尸C的度數(shù).小明的思路是:如圖2,過尸作尸E///B,
通過平行線性質(zhì)可求/APC的度數(shù).
(1)請你按小明的思路,寫出NNPC度數(shù)的求解過程;
(2)如圖3,點(diǎn)P在直線AD上運(yùn)動(dòng),記NP4B=Na,NPCD=邛.
①當(dāng)點(diǎn)尸在線段8。上運(yùn)動(dòng)時(shí),則N4PC與Na、N?之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
②若點(diǎn)尸不在線段5。上運(yùn)動(dòng)時(shí),請直接寫出N/PC與Na、之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】⑴見解析;⑵①N4PC=Na+/0,見解析;?ZAPC=\Za-Z/3\
【分析】(1)過P悍PEHAB,利用平行線的性質(zhì)即可得出答案;
(2)①過P作PE//4B,再利用平行線的性質(zhì)即可得出答案;②分尸在8。延長線上和P在。8延長線上兩
種情況進(jìn)行討論,結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出答案
【解析】解:(1)如圖2,過P作PE//AB
圖2
QABHCD,
PEIIABIICD,
二./尸48+//尸£=180。,
NPCD+/CPE=180°,
?.?/P48=130°,/PCD=120°,
ZAPE=50°,NCPE=60°,
ZAPC=ZAPE+ZCPE=11CP.
(2)①、ZAPC=Za+Z/3,
理由:如圖3,過P作PEHAB,
QABIICD,
ABIIPEIICD,
Za=ZAPE,Z/?=ZCPE,
NAPC=NAPE+ZCPE=Na+;
圖3
②、ZAPC=\Za-Z/i\.
如備用圖1,當(dāng)尸在8。延長線上時(shí),NAPC=/a-/0;
備用圖1備用圖2
理由:如備用圖1,過P作尸
QABHCD,
ABHPGHCD,
:.Na=ZAPG,20=ZCPG,
NAPC=Z.APG-NCPG=Na-N/;
如備用圖2所示,當(dāng)尸在延長線上時(shí),APC=4/3-2a;
理由:如備用圖2,過尸作尸G/Z48,
QABHCD,
ABHPGHCD,
:.Za=ZAPG,2/3=ZCPG,
NAPC=ZCPG-ZAPG=Z/3-Za.
綜上所述,ZAPC=\Za-Z/3\.
12.直線/8〃C£>,M為上一定點(diǎn),N為CD上一定點(diǎn)、,£為直線和直線CD之間的一點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)E在MN上時(shí),如圖1所示,請直接寫出/MEN,ZCNE,NMVffi'之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)當(dāng)點(diǎn)£在左側(cè)時(shí),如圖2所示,試猜想/MEN,ZCNE,1之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(3)當(dāng)點(diǎn)£在右側(cè)時(shí),如圖3所示,試猜想/MEN,ZCNE,之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
[答案】(1)4MEN=ZCNE+ZAME;(2)NMEN=ZCNE+ZAME,證明見解析;(3)ZMEN+ZCNE+ZAME
=360°,證明見解析.
【分析】(1)由平行線的性質(zhì)及平角的定義即可得解;
(2)過點(diǎn)E作直線斯〃/£則斯〃CD,由平行線的性質(zhì)即可得解;
(3)過點(diǎn)E作直線EG〃/8,則EG〃⑦,由平行線的性質(zhì)即可得解.
【解析】解:(1)如圖bZMEN=ZCNE+ZAME,
證明如下:
,CAB//CD,
:./CNE+/AME=180°,
NAffiN=180°,
/MEN=/CNE+NAME;
(2)如圖2,ZMEN=ZCNE+AAME,證明如下:
圖2
過點(diǎn)E作直線EF//AB,則EF//CD,
:.ZAME=ZMEF,ZCNE=ZNEF,
':/MEN=ZMEF+ZNEF,
:.NMEN=NCNE+NAME;
圖3
過點(diǎn)£作直線£G〃N5,貝UEG〃CO,
ZAME+ZMEG=180°,ZCNE+ZNEG=1SO°,
:.ZAME+ZMEG+ZCNE+ZNEG=360°,
':/MEG+/NEG=/MEN,
:.ZMEN+ZCNE+ZAME=360°.
圖1圖2
(1)若/£=60。,則/尸=;
(2)請?zhí)剿?E與/尸之間滿足的數(shù)量關(guān)系?說明理由;
⑶如圖2,已知EP平分NBEF,FG平分NEFD,反向延長廠G交E尸于點(diǎn)尸,求/尸的度數(shù).
【答案】(1)90°
⑵"=NE+30。,理由見解析
(3)15°
【分析】(1)如圖1,分別過點(diǎn)£,尸作EN//4B,FN//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到=30。,
NMEF=NEFN,ND+NDFN=180°,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論;
(2)如圖1,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到48==30。,NMEF=NEFN,由4B//CD,AB//FN,得到
CD//FN,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ND+NDFV=180。,于是得到結(jié)論;
(3)如圖2,過點(diǎn)尸作出//EP,設(shè)NBEF=2x°,則NEKD=(2x+30)。,根據(jù)角平分線的定義得到
NPEF=-ZBEF=x°,NEFG=;NEFD=(x+15)。,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZPEF=NEFH=x°,NP=NHFG,
22
于是得到結(jié)論.
【解析】(1)解:如圖1,分別過點(diǎn)石,F(xiàn)作EMIIAB,FN//AB,
EMI/AB//FN,
:.NB=NBEM=30°,ZMEF=AEFN,
又ABIICD,ABIIFN,
:.CD//FNf
ZD+NOW=180。,
又???/。=120。,
ZDFN=60°,
/.ZBEF=ZMEF+30°,ZEFD=ZEFN+60°,
ZEFD=ZMEF+60°
ZEFD=Z.BEF+30°=90°;
故答案為:90°;
(2)解:如圖1,分別過點(diǎn)E,F忤EMIIAB,FN//AB,
EMI/AB//FN,
/B=ZBEM=30°,ZMEF=/EFN,
XvABHCD,ABIIFN,
:.CD//FN,
/D+NDFN=18。。,
又???ND=120。,
ZDFN=60°,
ZBEF=ZMEF+30°,ZEFD=ZEFN+60°,
ZEFD=ZMEF+60°,
ZEFD=ZBEF+30°;
⑶解:如圖2,過點(diǎn)尸作FH//EP,
由(2)知,NEFD=NBEF+30。,
設(shè)ZBEF=2x°,則NEFD=(2x+30)°,
?:EP平分/BEF,GF平分NEFD,
:.NPEF=;NBEF=x°,ZEFG=|ZEFD=(x+15)°,
FHHEP,
ZPEF=NEFH=x°,NP=NHFG,
---ZHFG=ZEFG-NEFH=15°,
圖1圖2
14.如圖1,點(diǎn)A、3分別在直線GH、MN上,NGAC=NNBD,NC=ND.
圖1圖2圖3
(1)求證:GH//MN;(提示:可延長/C交肱V于點(diǎn)尸進(jìn)行證明)
(2)如圖2,ZE平分/G/C,DE平分NBDC,若ZAED=NGAC,求/G/C與乙4c。之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)在(2)的條件下,如圖3,8/平分點(diǎn)K在射線"上,ZKAG=^ZGAC,若乙iKB=ZACD,
直接寫出/G/C的度數(shù).
【答案】⑴見解析;(2)ZACD=3ZGAC,見解析;(3)(筆]或(等)■
【分析】(1)根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求證即可;
(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180。和平角定義得到//QD=/E+/E4。,結(jié)合平行線的性質(zhì)得到
ZBDQ=ZE+ZEAQ,再根據(jù)角平分線的定義證得/CD3=2/E+/G/C,結(jié)合已知即可得出結(jié)論;
(3)分當(dāng)K在直線GH下方和當(dāng)K在直線GH上方兩種情況,根據(jù)平行線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分
線定義求解即可.
【解析】解:(1)如圖1,延長ZC交于點(diǎn)尸,
圖1
???ZACD=/C,
:.AP//BD,
???NNBD=ZNPA,
ZGAC=ZNBD,
:.ZGAC=/NPA,
GH//MN;
(2)延長ZC交四V于點(diǎn)尸,交DE于點(diǎn)Q,
圖2
?.,ZE+ZEAQ+ZAQE=180°,ZAQE+ZAQD=1SO°,
:.NAQD=NE+NEAQ,
???AP//BD,
:.NAQD=ZBDQ,
/.NBDQ=NE+NEAQ,
???/£1平分NG/C,DE平分/BDC,
:.ZGAC=2ZEAQ,ZCDB=2ZBDQ,
???NCDB=2NE+/GAC,
VZAED=ZGAC,ZACD=/CDB,
:.ZACD=2ZGAC+ZGAC=3ZGAC;
(3)當(dāng)K在直線G"下方時(shí),如圖,設(shè)射線研交GH于/,
圖3
GH//MN,
:.NAIB=NFBM,
■:BF平6NMBD,
:.ZDBF=ZFBM=1(180°-2DBN),
ZAIB=ZDBF,
?:ZAIB+NKAG=NAKB,ZAKB=ZACD,
:.ZACD=ZDBF+ZKAG,
?:ZKAG=-NG4c,AGAC=ZNBD,
3
1ZGAC+1(180°-4DBN)=AACD=3ZGAC,
即:NGNC+90°一g/G/C=3NG/C,
解得:=.
當(dāng)K在直線GH上方時(shí),如圖,
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