2024-2025學年上海市浦東新區(qū)川沙中學高二（上）期中數(shù)學模擬試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市浦東新區(qū)川沙中學高二（上）期中數(shù)學模擬試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列命題是假命題的是(

)A.棱柱的所有側面都是平行四邊形

B.將矩形ABCD繞其一邊旋轉一周所形成的幾何體叫做圓柱

C.正棱錐頂點在底面的投影是底面正多邊形的中心

D.將直角三角形AOB繞其一邊旋轉一周所形成的幾何體叫做圓錐2.設l，m，n均為直線，其中m，n在平面α內，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB/?/CD，正方體的六個面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m+n=(

)A.8 B.9 C.10 D.114.空間內有三條直線，其中任意兩條都不共面但相互垂直，直線l與這三條直線所成角均為θ，則θ的值為(

)A.π3 B.arcsin13 C.arcsin二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。5.正四棱柱的底面邊長為2，高為3，則它的體積為______．6.如圖，已知長方體ABCD?A1B1C1D1棱BC的距離是______cm．7.已知m//α，n?α，則直線m、n的位置關系為______(填平行、相交、異面)．8.直三棱柱ABC?A1B1C1

中，若CA=a，CB9.如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的斜二測直觀圖，若O′A′=3，OB′=4，則△OAB的面積為______．10.已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓，則這個圓錐的高是______．11.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，P為AA1中點，記三棱錐P?ABC的體積為V1，三棱柱12.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點13.在正方體ABCD?A1B1C1D1各個表面的對角線所在直線中，與直線A14.如圖為一幾何體的展開圖，其中ABCD是正方形，SD=PD，CR=CS，AQ=AP，點S，D，A，Q及P，D，C，R共線，沿圖中虛線將它們折疊，使P，Q，R，S四點重合于點M，在該幾何體的側面和底面中，與平面MAD垂直的平面的個數(shù)為______．15.正四棱錐S?ABCD的底面邊長為4，高為3，E是邊BC的中點，動點P在表面上運動，并且總保持PE⊥AC，則動點P的軌跡的周長為______．16.如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為5公里，側棱長為20公里，B是SA上一點，且AB=5公里，為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設一條最短的從A繞山一周到B的觀光鐵路，這條鐵路從A出發(fā)后首先上坡，隨后下坡，則下坡段鐵路的長度為______公里．三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)

如圖，某公司制造一種海上用的“浮球”，它是由兩個半球和一個圓柱筒組成.其中圓柱的高為4米，球的半徑r為1米．

(1)這種“浮球”的體積是多少立方米(精確到1m3)？

(2)假設該“浮球”的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為20元，半球形部分每平方米建造費用為30元.求該浮球的建造費用(精確到1元)．18.(本小題12分)

如圖所示的幾何體，是將高為2、底面半徑為1的圓柱沿過旋轉軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后形成的封閉體，O1、O2、O′2分別為AB、BC、DE的中點，F(xiàn)為弧AB的中點，G為弧BC的中點．

(1)求直線GO′2與平面BCDE所成角的大?。?/p>

(2)19.(本小題12分)

如圖，三棱錐ABCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD．

(1)求證：AC⊥CD．

(2)若三棱錐A?BCD的體積為16，BC=CD=1，有一根彩帶經(jīng)過面ABC與面ACD，且彩帶的兩個端點分別固定在點B和點D處，求彩帶長度的最小值．20.(本小題12分)

一組空間向量a1,a2,a3,?,an(n∈N?)，記Sn=a1+a2+a3+?+an，如果存在ap(p∈{1,2,3,?,n}，使得|ap|≥|Sn?ap|，那么稱ap是該向量組的“?向量”．

(1)21.(本小題12分)

如圖所示，已知三棱柱ABC?A1B1C1的側棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中點，N是BC的中點，動點P在直線A1B1上，且滿足A1P=λA1B1．

(1)指出直線MN與平面BC1P的位置關系(不需說明理由)．

參考答案1.D

2.A

3.A

4.D

5.12

6.5

7.異面或平行

8.?a9.12

10.311.1612.313.5

14.3

15.216.9

17.解：(1)由題意得，“浮球“可看成是由一個圓柱體和一個球體組成，

圓柱體底面半徑為1，高為4，故體積為V1=πr2l=4πm3，

球體體積V2=43πr3=43πm3，

所以“浮球“的體積V=V118.解：(1)連接GO2，O′2O2，

因為G為弧BC的中點，

所以GO2⊥BC，

由圓柱的性質知，平面BCDE⊥平面BCG，

而平面BCDE∩平面BCG=BC，且GO2?平面BCG，

所以GO2⊥平面BCDE，

所以∠GO′2O2即為直線GO′2與平面BCDE所成角，

在Rt△GO′2O2中，GO2=1，O′2O2=2，

所以tan∠GO′2O2=GO2O2′O2=12，即∠GO′2O2=arctan12，

故直線GO′219.解：(1)證明：∵AB⊥面BCD，又CD?面BCD，

∴AB⊥CD，又BC⊥CD，且AB⊥∩BC=B，

∴CD⊥面ABC，又AC?面ABC，

∴AC⊥CD；

(2)∵三棱錐A?BCD的體積為16，BC=CD=1，

∴根據(jù)題意可得三棱錐A?BCD的體積為13×12×BC×CD×AB=16AB=16，∴AB=1，

∴結合(1)可知三角形ABC為等腰直角三角形，三角形ACD為直角三角形，

且AB=BC=CD=1，AC=2，∴AD=320.解：(1)由題意得S3=(6,t+5,7)，S3?a3=(1,5,7)，

又因為a3是向量組a1,a2,a3的“?向量”，

所以|a3|≥|S3?a3|，

即52+t2≥12+52+72?t2≥50，

解得t≤?52或t≥52，

故t的取值范圍為(?∞,?52)∪(52,+∞)；

(2)(i)由題意得，因為四面體PABC內接于球O，

所以|a1|=|a2|=|a3|=1，

因為3a1+4a2+5a3=0，

所以3a1+4a2=?5a3，

兩邊同時平方得9(a1)2+16(a2)2+24a1?a2=25(a3)2，

因為(a1)2=|a1|2，(a2)2=|a2|2，(a3)2=|a3|2，

所以可得a1?a21.解：(1)當點P與B1重合時，MN與平面BC1P共面，

當點P不與B1重合時，因為M，N分別是CC1，BC的中點，

所以MN/?/BC1，又因為MN?平面BC1P，BC1?平面BC1P，

所以MN/?/平面BC1P；

(2)如圖，以A為原點，以AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，B(1,0,0)，N(12,12,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，A1B1=(1,0,0)，

設P(a,b,c)，由A1P=λA1