2024-2025學年天津市某中學高三（上）第一次月考數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年天津市耀華中學高三(上)第一次月考數(shù)學試卷

一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.全集U={1,2,3,456},集合4={1,3,5},B={2,4},則()

A.U=4U5B.U=(CMUB

C.U=AkJ(CyB)D.［/=(CyX)U(CyB)

2.a|x-l|<2成立”是<0成立”的()

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

已知函數(shù)，則=/(久)的圖象大致為()

3./0)=人cmxy

4.若函數(shù)y=cos?%+凱但eN*)的一個對稱中心是第0),則3的最小值為()

A.1B.2C.4D.8

5.函數(shù)y=(sinx+cosx)(smx—cos%)^()

TTTT

A.奇函數(shù)且在［0司上單調(diào)遞增B.奇函數(shù)且在岳河上單調(diào)遞增

C.偶函數(shù)且在［0芻上單調(diào)遞增D.偶函數(shù)且在由r］上單調(diào)遞增

6.在等差數(shù)列{cm}中，。1=0,公差dWO,若Gm=%+做+…+的，則根的值為()

A.37B.36C.20D.19

7.記實數(shù)第1，%2，…，孫中的最大數(shù)為M。%{%1，第2,…,%九}，最小數(shù)為相譏…以九}則根譏{%+I,"

~x+1,—x+6}}=()

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37

A.-B.1C.3D."

8.已知函數(shù)I若三比1，R,%i#=x2>使得/'01)=/(外)成立，則實數(shù)a的取值

范圍是()

A.a<2B,a>2C.-2<a<2D,a>2或a<—2

9.已知f(x)=W^，9(x)=%k€N*),對任意的c>1,存在實數(shù)a,b滿足0<a<b<c,使得

/(c)=/(a)=g(b),則k的最大值為()

A.2B.3C,4D.5

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

10.已知方程cos2%+4sinx-a=0有解，貝!Ja的取值范圍是.

11.已知％>0,y>0,%+2y+2xy=8,則汽+2y的最小值為.

11

12.已知s譏a-sinS=--,cosa-cosp且a,S均為銳角，貝(Jtan(a-￡)的值等于.

13.函數(shù)y=1川％-1|的圖象與函數(shù)y=-2COS71X,(-2<%<4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于

14.將y=s譏2%的圖象向右平移0單位(0>0),使得平移后的圖象仍過點卷的，則9的最小值為.

15.已知數(shù)列｛an｝滿足臼=1,a2且斯+2="—，則該數(shù)列的通項公式an=

zanan+i

三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題14分)

在△ABC中，角力，B,C的對邊分別為a,b,c,且4B,C成等差數(shù)列.

①若b=713,a=3,求c的值；

(II)設t=sinAsinC,求t的最大值.

17.(本小題15分)

TT1

已知函數(shù)/'(久)=sin(3x+乎)(3>0,0<^<7T),其圖象經(jīng)過點M(f),且與X軸兩個相鄰的交點的距離為

7T.

(1)求/1(%)的解析式;

QC

(2)在△ABC中，a=13,f(A)=f,f(B)=專求△ABC的面積.

18.(本小題15分)

在三棱柱4BC-&B?中，側面4BB遇1為矩形，AB=2,AA1=2^2,。是的中點，8。與交于點

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0,且C。1平面

(1)證明：BC1AB1；

(2)若。。=。4求直線CD與平面48C所成角的正弦值.

19.(本小題15分)

已知數(shù)列｛即｝前n和為Sn,S.Sn=2an-l,(neN*).

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

(2)令，j=nan，求數(shù)列伯?｝的前n和為Tn；

(3)記冊=3'-2-(-1)"4M(4去0),是否存在實數(shù)九使得對任意的n6N*,恒有cn+i>cn?若存在,

求;I的取值范圍；若不存在，說明理由.

20.(本小題16分)

已知a為實數(shù),函數(shù)/(久)=a-Inx+x2—4x.

(1)是否存在實數(shù)a,使得/(%)在x=1處取極值？證明你的結論；

(2)若函數(shù)f(x)在[2,3]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；

⑶設g(x)=2alnx+x2-5x-^-^,若存在物e[l,e],使得/(沏)<gg)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

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參考答案

l.D

2.2

3.X

4.B

5.C

6.A

l.D

8.4

9.5

10.[—4,4]

11.4

12T

13.6

14-6

15.-7

n!

16.解：(I)因為4B,C成等差數(shù)列，所以28=A+C.

JT

因為“+B+C=ii,所以B=§.

因為b=JR,a=3,b2=a2+c2-2accosB,所以c?—3c—4=0,解得c=4,或c=—1(舍去).

(II)因為A+C=|TT,所以，t=sinAsin(^--A)=sinA(^-cosA+^sinA)

=^sin2A+\l-c；s24)=1+lsin(2X-^).

因為。<4(等所以，一"24—?〈等.

所以當22年=夕即44時，t有最大值*

17.1?：①依題意T=2兀，a)=l,

函數(shù)/(%)=sin(%+cp)

???展)=sin。+0)=且0<(p<n9

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717147T5

???§<§+0<3n,=/

71

0=于

n

，/(%)=sin(x+—)=cosx

②??,/(Z)=cosA=|,f(B)=cosB=[A,BE(0,y),

□,LD4

,A4,n12

???sizM=-,sinB=—,

sinC=sin(X+B)=sinAcosB+cosAsinB=

???在三角形ABC中，森=焉，；.b=lS,

S△ABC=^absinC=1x13x15xf^=84

，，65

18.⑴證明:由題意，因為4BB遇i是矩形，

。為441中點，AB=2,441=2/AD=詬

所以在直角三角形AB/中，tan/ABiB=需=挈，

DD\2

在直角三角形48。中，tanNNBD=券=坐，

AD2

所以NABiB=4ABD,

又NBABi+NABiB=90。，所以43犯+428。=90°,

所以在三角形ZB。中，Z.BOA=90°,

即B。1ABr,

又因為C。1側面2BB1A1，481u側面ABBiAi，

所以C。1ABr,

因為BDnCO=0,所以ABil平面BCD,

因為8cu平面BCD,

所以BC1AB1.

（2）解：如圖，分別以。。，OB1,OC所在的直線為x,y,z軸，以。為原點，建立空間直角坐標系,

則4(0,-宇0),B(—竽0,0),C(0,0等)，。爭,0),

所以荏=（一孚竽,0）,前=（。,2,,2『）,方=（當,0,一學,

設平面ABC的法向量為元=（x,y,z）,

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一型X+"y=0

則根據(jù)，2后，2后_C，可得3=(1,M，-")是平面4BC的一個法向量,

(力+丁z=0

設直線CD與平面4BC所成角為a,則sina=|cos<n,CD>\=而篇=^~，

所以直線CD與平面力BC所成角的正弦值為喈.

19.解：⑴令"=1,解得的=1,

Sn-2an—1,

Sa—1=2<ln—1—1J

兩式相減得：an=2an_1(

二數(shù)列｛an｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

n

???an=2t；

n1

(2)由(1)得:bn=n-2-,

則Tn=1-2°+2-21+...+n-2'T①

12n

2Tn=l-2+2-2+...+(n-1)-2吁1+n-2②

由②一①得：Tn=(n-l)-2"+l;

(3)當n為奇數(shù)時，

71

Cn+1=3+1—2?4c1n+1,

n

cn—3+2-Aan,

nn

兩式做差得：Cn+i-C?=2-3-3X*2>0

移項得：2(nCN+)

解得：A<1,

當九為偶數(shù)時，

n

Cn+1=3+1+2-Aan+1，

n-

cn=32-Aan,

兩式做差得：Cn+1-C“=2?3n+3X*2n>0

移項得：A>-|-(|)n(n€N+)

解得：A>—1,

故九為奇數(shù)時，A<1且2。0；

九為偶數(shù)時，入>—1且2H0.

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20.解：(1)函數(shù)定義域為(0,+8),

f(%)=>2%-4=21…,

XX

假設存在實數(shù)a，使/'(x)在尤=1處取極值，則/''(1)=0,a=2,

此時，尸(乃=2(%；)2,

.??當0<刀<1時，f(x)>0,/(x)遞增;當％>1時,f(%)>0./(%)遞增.

%=1不是/'(久)的極值點.

故不存在實數(shù)a,使得/Q)在x=1處取極值.

(2),(久)=2(I)j+a-2,

①當aN2時，((久)20,???/(%)在(0,+8)上遞增，成立；

②當a<2時，令［(X)>0,則無>1+普?或％<1—JP，

/0)在(1+善?,+8)上遞增，

???/(尤)在23］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，

1+j2。<3，解得：-6<a<2,

綜上，a>-6.即實數(shù)a的取值范圍是(-6,+8).

(3)在［l,e］上存在一點久o，使得f(xo)<9(比0)成立，

即在［l,e］上存在一點尤。,使得做功)<0,

即函數(shù)h(x)=x+^^一。伍%在［l,e］上的最小值小于零.

,1+aa%2—ax—(1+d)

w二廠-H

_(x+l)［x—(1+a)］

=，

①當a+1Ne,即aNe-l時,Q%)在［1冏上單調(diào)遞減,

所以以%)的最小值為h(e)，

由h(e)=e+?:4-口<0可得a號，

因為巴?>e—1,所以a>”早；

e—1e—1

②當a+lWl,即a40時，h(%)在［1冏上單調(diào)遞增，

所以九(%)最小值為低1),

由h(l)=1+1+a<?？傻胊V—2；

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③當1<1+aVc,即0<a<e-l時，

可得力(%)最小值為h(l+a)=2+a-aZn(l+a),

因為0<ln(l+a)<1,所以，0Va①(1+a)<a,

故h(l+a)=2+a—aZn(l+a)>2,

此時不存在久o使h(%o)<0成立.

綜上可得所求a