蘇科版九年級數(shù)學上冊復習：切線長定理及三角形的內(nèi)切圓【七大題型】

專題2.7切線長定理及三角形的內(nèi)切圓【七大題型】

【蘇科版】

【題型1利用切線長定理求周長】..............................................................1

【題型2三角形內(nèi)切圓中求角度】..............................................................2

【題型3三角形內(nèi)切圓中求面積1..............................................................................................4

【題型4三角形內(nèi)切圓中求線段長度】...........................................................4

【題型5三角形內(nèi)切圓中求半徑】..............................................................5

【題型6三角形內(nèi)切圓中求最值】..............................................................6

【題型7外接圓和內(nèi)切圓的綜合運用】...........................................................7

>V

。如聲，，二

【知識點1切線長定理及三角形的內(nèi)切圓】

（1）切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角

（2）三角形內(nèi)切圓

內(nèi)切圓的圓心是A

與三角形各邊都三角形三個內(nèi)角三角形的內(nèi)心到

相切的圓叫做三的角平分線的交三角形三邊的距

三角形內(nèi)切圓角形的內(nèi)切圓點，叫做三角形的離相等

內(nèi)心

【題型1利用切線長定理求周長】

【例1】（2022秋?宜興市校級期中）如圖，△ABC是一張三角形的紙片，。。是它的內(nèi)切圓，點O是其中

的一個切點，

已知AO=10?！ǎ∶鳒蕚溆眉舻堆刂c。。相切的任意一條直線剪下一塊三角形SAMN）,則

剪下的的周長為.

【變式1-1］（2022秋?莒南縣期末）如圖，PA.尸8切。。于A、8兩點，C。切。。于點E,分別交B4、

PB于點C、D.若PA,PB的長是關于尤的一元二次方程x2-）wc+m-1=0的兩個根，求的周長.

【變式1-2]（2022?雨花區(qū)校級三模）如圖，△ABC中，/C=90°,BC=5,。。與△ABC的三邊相切于

點。、E、F,若。。的半徑為2,則△ABC的周長為（）

A.14B.20C.24D.30

【變式1-3]（2022秋?崇川區(qū)月考）如圖，尸是。。外一點，加、尸8分別和。。相切于點A、B,C是劣

弧通上任意一點，過C作。。切線QE,交心、PB于點。、E,已知外的長為5c機，ZDOE=65°,

點M、N分別在PA.PB的延長線上，MN與（30相切于點F,已知DN、EM的長是方程f-Wx+k=0

的兩根.

（1）求/尸的度數(shù)；

（2）求△「￡）￡：的周長；

【題型2三角形內(nèi)切圓中求角度】

【例2】（2022?溫州模擬）如圖，在RtZXABC中，ZA=9Q°,。。是它的內(nèi)切圓，與AS,BC,CA分別

切于點。，E,F,若NACB=40°,則/。OE=

【變式2-1］（2022秋?昌平區(qū)期末）如圖，。。是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為E,F,已知/A=40°,

連接。8,OC,DE,EF,貝!J/8OC=°,ZDEF=°.

【變式2-2］（2022?萬年縣校級模擬）如圖，△ABC中，內(nèi)切圓/與AB,BC,C4分別切于尸，D,E,連

接BI,CI,再連接正￡>,ED,

（1）若/A=40。,求/B/C與/即E的度數(shù).

（2）若/B/C=a；試猜想a,|3的關系，并證明你的結論.

【變式2-3］（2022秋葉B江區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,AOL8C于點。，點M是△ABC內(nèi)一

點，連接交于點N,已知/AM8=108°,若點〃是△CAN的內(nèi)心，則/BAC的度數(shù)為（）

A.36°B.48°C.60°D.72°

【題型3三角形內(nèi)切圓中求面積】

【例3】（2022秋?黃岡期中）如圖，邊長為1的正方形A3CD的邊A3是。。的直徑，C尸是。。的切線，

E為切點，F(xiàn)點在上，8E是。。的弦，求的面積.

【變式3-1］（2022?武漢模擬）如圖，48是。。的直徑，C是。。上一點，E是△ABC的內(nèi)心，OELEB.若

AE=2位,則△ABE的面積為（）

A.2V2C.V2

【變式3-2］（2022春?海曙區(qū)校級期中）如圖，花邊帶上正三角形的內(nèi)切圓半徑為la”.如果這條花邊帶

有100個圓和100個正三角形，則這條花邊的面積為（）

A.150兀B.150V3C.300V3D.200

【變式3-3］（2022?齊齊哈爾一模）如圖，正方形ABCZ）邊長為4c7九，以正方形的一邊8C為直徑在正方形

48cLl內(nèi)作半圓，過A作半圓的切線，與半圓相切于尸點，與DC相交于￡點，則△ADE的面積（）

cm2

A.12B.24

【題型4三角形內(nèi)切圓中求線段長度】

【例4】（2022秋?烏蘭察布期末）如圖，。。分別切△ABC的三條邊A3、BC、CA于點。、E、F、若A3

=5,AC=6,8c=7,求A。、BE、CF的長.

A

【變式4-1］（2022秋?崇川區(qū)月考）如圖，已知△ABC的內(nèi)切圓。與三邊分別切于￡>、E、FZA=60°,

CB=6cm,△ABC的周長為16c機，則。尸的長等于（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

【變式4-2］（2022秋?龍鳳區(qū)期末）如圖，在RtZkABC中，NC=90°,AC=3,BC=4,。。是△ABC

的內(nèi)切圓，點。是斜邊A8的中點，則。。的長度是.

【變式4-3］（2022?永定區(qū)模擬）如圖，已知在矩形ABC。中，AB=12,BC=16,。。1和。Q分別是

△ABC和△ADC的內(nèi)切圓，點E、尸為切點，則所的長是cm.

【題型5三角形內(nèi)切圓中求半徑】

【例5】（2022?定安縣二模）如圖，在矩形ABCD中，AD<AB,AD=9,AB=12,則△AC。內(nèi)切圓的半

AB

A.1B.2C.3D.4

【變式5-1］（2022秋?張店區(qū)期末）如圖，在中，ZC=90°,BC=3,AB=5,。。是RtZXABC

的內(nèi)切圓，則。。的半徑為（）

【變式5-2］（2022秋?虎丘區(qū)校級期中）若四邊形A3CQ有內(nèi)切圓（與四邊形四邊均相切），四邊形面積

為S,各邊長分別為〃，b,c,d,則該圓的直徑為（）

.a+b+c+d-.S__c—d2.S

A.----------B.——C.———-D.-----------

Sa+cS（a+b）a+b+c+d

【變式5-3］（2022秋?南丹縣期末）如圖，△A8C的內(nèi)切圓。O分別與AB,AC,8C相切于點Q,E,F.若

NC=90°,AC=6,BC=8,則。。的半徑等于.

【題型6三角形內(nèi)切圓中求最值】

【例6】（2022春?長興縣月考）如圖，矩形ABCDAO=6,AB=8,點P為BC邊上的中點，點。是△

ACD的內(nèi)切圓圓0上的一個動點，點M是C。的中點，則PM的最大值是.

【變式6-1］（2022秋?揚州月考）如圖是一塊△ABC余料，已知AB=20c",BC=】cm,AC^l5cm,現(xiàn)將

余料裁剪成一個圓形材料，則該圓的最大面積是

A

【變式6-2]（2022?溫州自主招生）設等邊△ABC的內(nèi)切圓半徑為2,圓心為/.若點P滿足P/=l,則4

ABC與△APC的面積之比的最大值為.

【變式6-3]（2022秋?濱湖區(qū)期末）已知點C是。。上一動點，弦AB=6,ZACB=120

（1）如圖1,若CZ）平分NACB,求證：AC+BC=CD；

（2）如圖2,AABC內(nèi)切圓半徑為r.①用含廠的代數(shù)式表示AC+8C；②求廠的最大值.

【題型7外接圓和內(nèi)切圓的綜合運用】

【例7】（2022秋?濱湖區(qū)期末）設兩直角邊分別為3、4的直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑長分別為R

和r,則R-r=.

【變式7-1]（2022?鞍山模擬）如圖，。。內(nèi)切于Rt^ABC,切點分別為。、E、F,NC=90°.已知/

AOC=120°,則NOAC=°,/B=0.已知AC=4cm,BC=3cm,則△ABC的

外接圓的半徑為cm,內(nèi)切圓的半徑為cm.

【變式7-2]（2022?游仙區(qū)模擬）如圖，在△A8C中，N8AC=60°,其周長為20,。/是△A8C的內(nèi)切

圓，其半徑為次，則△B/C的外接圓直徑為.

【變式7-3]（2022秋??州區(qū)校級月考）如圖,在RtZkABC中，LC=8,BC=6,ZC=90°.。/分別切

AC,BC,AB于點。，E,F,求RtAiABC的內(nèi)心/與外心。之間的距離.

專題2.7切線長定理及三角形的內(nèi)切圓【七大題型】

【蘇科版】

旦元ju

【題型1利用切線長定理求周長】...............................................................1

【題型2三角形內(nèi)切圓中求角度】...............................................................2

【題型3三角形內(nèi)切圓中求面積1...............................................................................................4

【題型4三角形內(nèi)切圓中求線段長度】..........................................................4

【題型5三角形內(nèi)切圓中求半徑】...............................................................5

【題型6三角形內(nèi)切圓中求最值】...............................................................6

【題型7外接圓和內(nèi)切圓的綜合運用】..........................................................7

。如聲，!二

【知識點1切線長定理及三角形的內(nèi)切圓】

(1)切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條

切線的夾角

(2)三角形內(nèi)切圓

內(nèi)切圓的圓心A

與三角形各是三角形三個三角形的內(nèi)

邊都相切的內(nèi)角的角平分心到三角形

三角形內(nèi)切圓叫做三角線的交點，叫三邊的距離

圓形的內(nèi)切圓做三角形的內(nèi)相等

心

【題型1利用切線長定理求周長】

【例1】(2022秋?宜興市校級期中)如圖，△ABC是一張三角形的紙片，。。是它的內(nèi)切

圓，點。是其中的一個切點，

已知AD=10c〃3小明準備用剪刀沿著與。。相切的任意一條直線剪下一塊三角形(4

AMN),則剪下的△AMN的周長為20c〃？.

【分析】利用切線長定理得出DM=MF,FN=EN,AD=AE,進而得出答案.

【解答】解：:△ABC是一張三角形的紙片，0O是它的內(nèi)切圓，點。是其中的一個切

點，AD=10cm,

...設E、歹分別是。。的切點，

故。凡FN=EN,AD=AE,

：.AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20(cm).

分別交PA,PB于點C、D.若PA.PB的長是關于尤的一元二次方程x2-iwc+m-1=0

【分析】由出、切。。于4、8兩點，CO切。。于點E,根據(jù)切線長定理，可得用

=PB,又由PA,PB的長是關于x的一元二次方程幺-mx+rn-1=0的兩個根，根據(jù)根與

系數(shù)的關系，可求得R1與尸3的長，又由切。。于點E,即可得△PC￡＞的周長等于

PA+PB.

【解答】解：PB的長是關于x的一元二次方程％2-mx+m-1=0的兩個根，

PA+PB=m,PA*PB=m-1,

*：PA.尸3切。。于A、3兩點，

：.PA=PB^~,

2

omm1

即n一?一=m-I,

22

BPm2-4m+4=0,

解得：m=2,

???B4=P3=l,

尸3切。。于A、3兩點，CO切。。于點E,

：.AD=ED,BC=EC,

：.APCD的周長為：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2.

【變式1-2］（2022?雨花區(qū)校級三模）如圖，△ABC中，ZC=90°,BC=5,。。與AABC

的三邊相切于點。、E、F,若。。的半徑為2,則△ABC的周長為（)

B

A------------C

E

A.14B.20C.24D.30

【分析】設AO=x,由切線長定理得AE=x,根據(jù)題意可得四邊形OEC尸為正方形，則

CE=CF=2,BD=BF=3,在直角三角形42c中，利用勾股定理求出X,然后求其周長.

【解答】解：連接OE、OF,設A〃=x,由切線長定理得AE=x,

:。。與RtZkABC的三邊分別點。、E、F,

：.OE±AC,OF±BC,

四邊形OEC尸為正方形，

:。。的半徑為2,BC=5,

:.CE=CF=2,BD=BF=3,

.,.在RtZkABC中，

,.'A^+BC^^AB2,即（尤+2）2+52=（尤+3）2,

解得x=10,

.?.△ABC的周長為12+5+13=30.

【變式1-3］（2022秋?崇川區(qū)月考）如圖，P是。。外一點，PA.尸8分別和。。相切于點

A、B,C是劣弧而上任意一點，過C作。。切線OE,交B4、PB于點D、E,已知B4

的長為5。〃，ZDOE^65°,點M、N分別在必、尸2的延長線上，MV與。。相切于點

F,已知DN、EM的長是方程X2-10x+左=0的兩根.

（1）求/P的度數(shù)；

（2）求△2￡>￡：的周長；

（3）求四邊形。EA/N的周長.

【分析】(1)只要證明/AO8=130°,ZPAO=ZPBO=90°,再利用四邊形內(nèi)角和定

理即可解決問題；

(2)利用切線長定理即可解決問題；

(3)因為ZW、EM的長是方程x2-10x+A=0的兩根.可得ON+EM=10,再利用切線長

定理即可解決問題；

【解答】解：(1)連接。4、OB、OC.

：.PA,PB、OE是。。的切線，

：.PA±OA,OBLPB,ZDOA=ZDOC,ZEOB=ZEOC,

?：2DOE=65°,

AZAOB=130°,NB4O=/PBO=90°,

AZP=360°-90°-90°-130°=50°.

(2)VB4>PB、OE是。。的切線，

：.DA=DC,EC=EB,PA=PB=5,

：.叢PDEW^1=PD+DE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=10.

(3),:DN、EM的長是方程x2-10x+G=0的兩根.

：.DN+EM=10,

：.PN,PM,MN是。。的切線，

：.AN=NF,MF=MB,DA=DC,EC=EB,

二四邊形EMN。的周長=EM+W+QN+DE=EM+BM+7VA+OA+EB+￡W=2(DN+EM)=

20.

【題型2三角形內(nèi)切圓中求角度】

【例2】(2022?溫州模擬)如圖，在Rt^ABC中，NA=90°,。。是它的內(nèi)切圓，與A3,

BC,CA分別切于點。，E,F,若/ACB=40°,則/DOE=130°.

【分析】利用直角三角形性質求出N4BC=50°,再利用切線性質求出NBOO=/8E。

=90°,再利用四邊形內(nèi)角和為360°,即可求得答案.

【解答】解：在Rt/XABC中，VZA=90°,ZACB=40°,

AZABC=90°-90°-40°=50°,

:。。是RtaABC的內(nèi)切圓，與AB,BC,C4分別切于點D,E,F,

：.AB.2c是。。的切線，

：.ZBDO=ZBEO=90°,

/OOE=360°-ZBDO-ZBEO-ZABC=130°,

故答案為：130°.

【變式2-1］（2022秋?昌平區(qū)期末）如圖，。。是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為。，E,F,

已知/A=40°,連接08,OC,DE,EF,則已BOC=110°,ZDEF=70°.

【分析】連接。。和OR根據(jù)內(nèi)切圓的性質可得08,0c平分NABC,ZACB,再根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理即可求出角BOC的度數(shù)；根據(jù)切線的性質可得/。。尸的度數(shù)，進而

根據(jù)圓周角定理可得的度數(shù).

【解答】解：如圖，連接OD和。F，

:。。是aAaC的內(nèi)切圓，切點分別為。，E,F,NA=40°,

：.OB,OC平分NABC,ZACB,

AZBOC=180°-ZOBC-ZOCB

=180°--(ZABC+ZACB)

2

-i

=180°--X1400

2

=110°,

U：OD.LAB,OFLAC,

：.ZADO=ZAFO=90°,

：.ZDOF=360°-90°-90°-40°=140°,

AZDEF=-Z.Z)OF=70°.

2

故答案為：110,70.

【變式2-2](2022?萬年縣校級模擬)如圖，△ABC中，內(nèi)切圓/與AB,BC,CA分別切

于F，D,E,連接8/,CI,再連接陽，ED,

(1)若NA=40°,求NB/C與/陽E的度數(shù).

(2)若/BIC=a；ZFDE—^>,試猜想a,P的關系，并證明你的結論.

【分析】(1)根據(jù)圓/是△ABC的內(nèi)切圓求出//BC+N/C8=：(ZABC+ZACB),求

出NABC+NACB的度數(shù)，求出//BC+N/CB即可；連接ZF、IE,求出NF/E,即可求出

ZFDE；

(2)由(1)得出NB/C=180°-CZIBC+ZICB),ZFZ)￡=180°-2ZA,根據(jù)三角

形的內(nèi)角和定理求出/3/C=90°+|ZA,代入即可求出答案.

【解答】解：(1)：圓/是AABC的內(nèi)切圓，

11

???ZIBC=-ZABC,ZICB=-ZACB.

22

：.ZIBC+ZICB=-(ZABC+ZACB),

2

VZABC+ZACB=180°-ZA=140°,

：.ZIBC+ZICB=10°,

ZB/C=180°-QIBC+NICB)=110°,

如圖，連接〃、IE,

A

???圓/是△ABC的內(nèi)切圓，

ZIFA=ZIEA=90°,

VZA=40°,

???ZF/E=360°-ZIFA-AIEA-ZA=140°,

:?/EDF=L/EIF=70。,

2

答：ZBZC=110°,NFDE=70°；

(2)解：a=180°-p,

證明：由圓周角定理得：ZFIE=2ZFDE,

由(1)知：2ZFDE=180°-NA,

即/A=180°-2/FDE,

：.ZA=180°-ZEIF,

由(1)知：2NFDE=180°-NA,

AZA=180°-2ZFDE=180°-20,

ZBZC=180°-CZIBC+ZICB)

1

=180°--(ZABC+ZACB)

2

i

=180°--(180°-ZA)

2

=90°+-ZA,

2

-1

AZB/C=a=90°+|(180°-20),

即a=180°-p.

【變式2-3］（2022秋葉B江區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,AOJ_8C于點。，點M

是△ABC內(nèi)一點，連接交于點N,已知NAMB=108°,若點M是△CAN的內(nèi)

心，則N8AC的度數(shù)為（）

A

BDC

A.36°B.48°C.60°D.72°

【分析】過點M作MELA。于點E,根據(jù)已知條件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC

邊的中垂線，證明ME〃BC,可得NNME=NNBD,由點M是△CAN的內(nèi)心，可得點M

在/W4c和NANC的角平分線上，設尤，ZNBD=y,所以/BAC=4x,ZNBD

=NNCD=NNME=y,NENM=NCNM=2y,然后利用108°,列出方程組

{2；+x==72-求解即可得結訟

【解答】解：如圖，過點M作MELA。于點

\9AB=AC,AD1BC,

???△Ai5c是等腰三角形，AO是5C邊的中垂線,

:?NB=NC,NBAD=/CAD,

:?/NBD=NNCD,

*：MELAD,ADLBC,

：.ME//BC,

：./NME=ZNBD,

??,點M是△CAN的內(nèi)心，

???點M在/NAC和ZANC的角平分線上，

AZNAM=ZCAM,/ANM=/CNM,

設NNAM=x,NNBD=y,

：.ZBAC=4x,NNBD=ZNCD=ZNME=y,

：.ZENM=ZCNM=NNBC+/NCB=2y,

V108°,

???ZAME=ZAMB-ZEMN=108°-y,

在△AEM中，ZEAM+ZAME=90°,

：.x+108°-y=90°,

，y-x=18°,

在△ANM中，ZNAM+ZANM=180°-108°,

：.x+2y=72°,

(y—x=18°

(2y+x=72。'

解得：30-

???N3AC=4x=48°.

故選：B.

【題型3三角形內(nèi)切圓中求面積】

【例3】（2022秋?黃岡期中）如圖，邊長為1的正方形A3C。的邊A8是。。的直徑，CF

是。。的切線，E為切點，F(xiàn)點在AO上，8E是。。的弦，求的面積.

【分析】設4/=羽由切線長定理可得EP=AP=x,則FD=l-x,CF=CE+EF=CB+EF

=l+x,利用勾股定理建立方程求出x的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出問題的答

案.

【解答】解：設AF=x,

:四邊形A8C。是正方形，

：.ZDAB=9O°,

：.DA±AB,

是圓的切線，

：CT是。。的切線，E為切點，

.\EF=AF=x,

：.FD=1-x,

VCB±AB,

：.CB為。。的切線，

：.CB=CE,

：.CF=CE+EF=CB+EF=1+x.

在RtACDF中由勾股定理得到：CF2=CD1+DF2,

即（1+x）2=1+（1-x）2,

解得x=；,

4

：.DF=1-x=-,

4

?c11一33

??S/^CDF=_XIX—=—.

248

【變式3-1]（2022?武漢模擬）如圖，A8是。。的直徑，C是。。上一點，E是AABC的

內(nèi)心，OELEB.若AE=2a,則△ABE的面積為（）

【分析】延長BE交。。于點R連接AROR根據(jù)是。。的直徑，可得

ZC=90°,證明△FEA是等腰直角三角形，可得A/=E/=2,根據(jù)垂徑定理可得E/=

BE=2,進而可得△42E的面積.

【解答】解：如圖，延長BE交。。于點尸，連接AF,OF,

是。。的直徑，

AZAFB=ZC=90°,

：.ZCAB+ZCBA=90°,

是△ABC的內(nèi)心，

ZEAB=-乙CAB,ZEBA=-MBA,

22

：.ZEAB+ZEBA=-CZCAB+ZCBA)=45°,

2

：.ZFEA=45°,

AAFEA是等腰直角三角形，

：.AE=V2AF=V2EF,

,:AE=2五,

：.AF=EF=2,

\'OE±EB,

；.EF=BE=2,

.?.△ABE的面積為：|B￡?AF=|x2X2=2.

故選:B.

【變式3-2］（2022春?海曙區(qū)校級期中）如圖，花邊帶上正三角形的內(nèi)切圓半徑為1C7W.如

果這條花邊帶有100個圓和100個正三角形，則這條花邊的面積為（）

C.300V3D.200

【分析】畫出圖形，連接A￡>,OB,則AD過O,求出/。2￡>=30°,求出。2,根據(jù)勾

股定理求出BD,同法求出CD,求出BC的長后求得一個三角形的面積即可求得花邊的

面積.

【解答】解：從中選擇一個等邊三角形和其內(nèi)接圓如圖，。0是△ABC的內(nèi)切圓，。。

切AB于足切AC于E,切BC于。，

連接ADOB,則AD過。（因為等邊三角形的內(nèi)切圓的圓心再角平分線上，也在底邊的

垂直平分線上），

?/△ABC是等邊三角形，

/.ZABC=60°,

。是△ABC的內(nèi)切圓，

：.ZOBC=-ZABC^30°,

2

???。0切于。，

：.ZODB=90°,

VOZ）=1,

???OB=2,

由勾股定理得：BD=V22-I2=V3,

:,BC=2?

SAABC=^BC-AD=Ix2V3x3=3后

.,.這條花邊的面積=1OOSAABC=3OOV5,

故選：C.

【變式3-3］（2022?齊齊哈爾一模）如圖，正方形ABC。邊長為4cm,以正方形的一邊BC

為直徑在正方形A2CD內(nèi)作半圓，過A作半圓的切線，與半圓相切于尸點，與。C相交

于￡點，則△AOE的面積（）cm2

A.12B.24C.8D.6

【分析】由于AE與圓O切于點孔根據(jù)切線長定理有AF=4B=4c〃z,EF=EC；設E尸

=EC=xcm.則￡>E=（4-x）cm,AE=（4+x）cm,

然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出關于x的方程，解方程即可求出，然后就可以

求出的面積.

【解答】解：與圓。切于點R

顯然根據(jù)切線長定理有4^=43=4071,EF=EC,

設EF—EC—xcm,

貝!JOE=（4-x）cm,AE=（4+x）cm,

在三角形ADE中由勾股定理得：

（4-x）2+42=（4+無）2,

.".x=lcm,

.".CE—lcm,

:.DE=4-l=3cm,

：.SAADE^AD'DE^2=3義4+2=6cm2.

故選：D.

【題型4三角形內(nèi)切圓中求線段長度】

【例4】（2022秋?烏蘭察布期末）如圖，。。分別切AABC的三條邊A&BC、C4于點。、

E、尸、若AB=5,AC=6,BC=7,求AD、BE、CP的長.

【分析】由切線長定理，可知：AF^AD,CF=CE,BE=BD,用未知數(shù)設AD的長，然

后表示出BD、CF的長，即可表示出BE、CE的長，根據(jù)BE+CE=J,可求出AD的長

進而求出BE、CF的長.

【解答】解：假設AO=x,

:。。分別切△ABC的三條邊A3、BC、CA于點Q、E、F；

根據(jù)切線長定理得出BD=BE,EC=FC,

.\AF=x,

：AB=5,AC=6,BC=1,

:.BE=BD=AB-AD=5-x,FC=EC=AC-AF=6-x,

'.BC—BE+EC—5-x+6-x=7,

解得：x=2,

：.AD^2,BE=BD=5-2=3,CF=AC-AF=6-2=4.

【變式4-1］（2022秋?崇川區(qū)月考）如圖，已知△4BC的內(nèi)切圓O與三邊分別切于。、E、

F,ZA=60°,CB=6cm,△ABC的周長為16c7W，則。尸的長等于（）

A

D

/?j\

\O

BEc

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

【分析】利用三角形內(nèi)切圓的性質以及切線長定理得出BD=BE,CE=CF,AD=AFf

進而得出△AD尸是等邊三角形，即可得出答案.

【解答】解：?.?△A3。的內(nèi)切圓。與三邊分別切于。、E、F,CB=6cm,ZVlBC的周長

為16an,

:.BD=BE,CE=CF,AD=AFf

?；BE+EC=BD+FC=6,

：.AD=AF=-{AB+AC+BC-BC-BD-CF)=-(16-6-6)=2,

22

VZA=60°,

???AADF是等邊三角形，

：.DF=2.

故選：A.

【變式4-2](2022秋?龍鳳區(qū)期末)如圖，在中，ZC=90°,AC=3,5c=4,

。。是△樹的內(nèi)切圓，點。是斜邊?勺中點，則。。的長度是

【分析】如圖連接OE、OF、OQ,設。。的半徑是r,由勾股定理求出A2=5,根據(jù)△

ABC的內(nèi)切圓，得至！JO￡_LAC,OFLBC,OE=OF,推出四邊形CFOE是正方形，得到

CE=CF=OF=OE,根據(jù)3-廠+4-r=5求出八AQ,。。的長求出A。、。。的長

【解答】解：如圖連接OE、OF、OQ,設。。的半徑是r,

由勾股定理得：48=7AC2+BC2=5,

:。。是三角形4BC的內(nèi)切圓，

：.OE±AC,OF±BC,OE=OF,AE=AQ,BF=BQ,

VZC=90°,

.?./C=NCrO=NCEO=90°,

四邊形CFOE是正方形，

:.CE=CF=OF=OE,

.*.3-r+4-r=5,

r=l,AQ=AE=3-1=2,OQ—1,

?.?。是AB的中點，

：.AD=

2

：.DQ=AD-AQ=^,

：.OD-=O^+D^,

：.OD="Q2+￡>Q2=*

故答案為：奈

【變式4-3］（2022?永定區(qū)模擬）如圖，已知在矩形ABC。中，AB=12,BC=16,?Oi

和。仍分別是AABC和△相＞（?的內(nèi)切圓，點E、F為切點，則EF的長是4cm.

【分析】根據(jù)矩形的性質得到AC=20,AABC^ACDA,則。OI和。。2的半徑相等.如

圖，過Q作AB、BC的垂線分別交AB、BC于N、P,過。2作BC，CD、A￡＞的垂線分

別交8C,CD、AZ）于。，G、H,由NB=90°,推出四邊形QNBP是正方形，設圓的

半徑為，，根據(jù)切線長定理12-廠+16-廠=20,解得廠=4,過5作0畫_1/。2于則

OtM=PQ=8,QM=BN=4,同法可得。G=4,根據(jù)EF=AC-AE-CF計算即可.

【解答】解：：矩形ABCD中，AB=12,BC=16,

：.AC=20,AABC出ACDA,則。Oi和OO2的半徑相等.

如圖，過。1作AB、BC的垂線分別交A3、BC于N、P,

過。2作BC,CD、4。的垂線分別交BC,CD、4。于。，G、H,

VZB=90°,

四邊形OiNBP是正方形，

設圓的半徑為r,根據(jù)切線長定理12-r+16-r=20,解得r=4,

:.BP=BN=4,同法可得。G=4,

：.AN=AE=CG=CF=8,

：.EF=AC-AE-CF=20-16=4

[例5]（2022?定安縣二模）如圖，在矩形ABC。中，AD<AB,4。=9,42=12,則4

【分析】根據(jù)矩形性質和勾股定理可得AC=15,設內(nèi)切圓的圓心為O,△ACO

內(nèi)切圓的半徑為廣，連接OE,OF,OG,得四邊形OR9G是正方形，然后根據(jù)切線長定

理即可解決問題.

【解答】解：在矩形ABCD中，ZB=90°,AD=BC=9,AB=12,

根據(jù)勾股定理，得

AC=yjAB2+BC2="22+92=15,

設△AC￡）內(nèi)切圓的圓心為。，△ACD內(nèi)切圓的半徑為r,

得四邊形DFOG是正方形,

：.DF=DG=r,

：.AG=AE=AD-DG=9-r,

CF=CE=CD-DF=AB-DF=12-r,

'：AE+CE^AC,

A9-r+12-r=15,

解得r=3.

：./\ACD內(nèi)切圓的半徑是3.

故選：C.

【變式5-1]（2022秋?張店區(qū)期末）如圖，在中，ZC=90°,BC=3,AB=5,

。。是RtZXABC的內(nèi)切圓，則0。的半徑為（）

C.2D.2^/3

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質和三角形面積公式解答即可.

【解答】解：：/C=90°,BC=3,AB=5,

：.AC=7AB2—BC2=4,

如圖，分另！J連接OA、OB、OC、OD、OE、OF,

是△ABC內(nèi)切圓，D、E、尸為切點,

：.ODLBC,OELAC,OFLABD,E、F,OD=OE=OF,

SAABC~S/\BOC^'SAAOC^'SAAOB--BC*DO+^AC*OE+-AB*FO=-(BC+AC+AB),OD,

VZC=90°,

A-xAC'BC^-(BC+AC+AB)-OD,

22

???吁奇1?

故選：A.

【變式5-2]（2022秋?虎丘區(qū)校級期中）若四邊形ABCD有內(nèi)切圓（與四邊形四邊均相切），

四邊形面積為S,各邊長分別為a,b,c,d,則該圓的直徑為（）

.a+b+c+dS_c—d__2s

A.----------B.—C.———-D.-----------

Sa+cS（a+b）a+b+c+d

【分析】連接OA、OB、OC>OD.由S四邊形ABCD=S/i0A5+SA05C+S\0CQ+&A0￡），由S四邊形

^-AB'r+-BC-r+-CD-r+-AD-r=-（a+b+c+d）'r=S,即可推出r=--一.

ABCD22222a+b+c+d

【解答】解：如圖，連接OA、OB、OC、OD.

,?*S四邊形A3CQ=Sz\0A5+Sz\03c+Szi0CQ+Sz\A0￡)

又,**S^OAB=S^OBC=r,S/\OCD=^CD*r,S^AOD=^AD*r,

；?S四邊形ABCZ)=?r+r+|CD?r+*r=1(q+O+c+d)?r=S,

.2S

?.r=(

a+b+c+d

故選：D.

【變式5-3］（2022秋?南丹縣期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓。。分別與AB,AC,BC相切

于點。，E,F.若/C=90°,AC=6,BC=8,則。。的半徑等于2.

【分析】連結。。，OE,OF,設OO半徑為廠，根據(jù)勾股定理可得48=10,證明四邊形

OECF是正方形，可得CF=CE=OF=r,然后根據(jù)切線長定理可得AE=AE=AC-CE

=6-r,BF=BD=BC-CF=S-r,進而可以解決問題.

【解答】解：如圖，連結O。，OE,OF,設。。半徑為r,

VZC=90°,AC=6,BC=8,

：.AB^>JAC2+BC2=10,

,.?△ABC的內(nèi)切圓。。與AB,BC,AC分別相切于點O,F,E,

：.AC±OE,AB1OD,BCLOE,5.OF=OD=OE=r,

四邊形OEC尸是正方形，

：.CF=CE=OF=r,

；.AE=AE=AC-CE=6-r,BF=BD=BC-CF=8-r,

'：AD+BD^AB=10,

.*.6-r+8-r=10,

/.r=2.

???。0的半徑等于2.

故答案為：2.

【題型6三角形內(nèi)切圓中求最值】

【例6】（2022春?長興縣月考）如圖，矩形ABC。，AD=6,A8=8,點尸為BC邊上的中

點，點。是△ACD的內(nèi)切圓圓。上的一個動點，點M是C0的中點，則PM的最大值

是V13+1.

Q

B'尸C

【分析】由矩形性質和勾股定理可得AC=10,設△AOC內(nèi)切圓半徑為r,由面積法可得

r=2,連接80,易證為△BC。的中位線，得出當8。經(jīng)過圓心。時，

8。最長，則此時最大，作OELAO與點E,。尸，與點尸，貝!|-AF=8

-2=6,OF=AE=AD-DE=6-2=4,由勾股定理可得BO=2^13,則BQ=BO+OQ=

2V13+2,從而可得PM的結果.

【解答】解：?.?四邊形ABCD為矩形，

AZD=90°,CD=AB=8,

；.AC=yjAD2+CD2=V62+82=10,

設△AQC的內(nèi)切圓半徑為r,

則有[rQ4c+40+DC)=[x6x8,

即](10+6+8)=24,解得：r=2.

連接BQ,

?.?尸為BC中點，M為CQ中點，

：.PM為△B0C的中位線，

：.PM=^BQ,

當8。經(jīng)過圓心。時，8。最長，則此時PM最大，

作。E_LAD與點E,OELAB與點八

貝ljBF=AB-AF=8-2=6,

OF=AE=AD-DE=6-2=4,

：.BO=yjBF2+OF2=V62+42=2g,

：.BQ=BO+OQ=2-413+2,

.*.PM=|Bg=V13+1.

故答案為：V13+1.

【變式6-1](2022秋?揚州月考)如圖是一塊△ABC余料，已知A8=20cw,BC=7cm,

AC=15cm,現(xiàn)將余料裁剪成一個圓形材料，則該圓的最大面積是4TTCW..

A

【分析】當該圓為三角形內(nèi)切圓時面積最大，設內(nèi)切圓半徑為r,則該三角形面積可表示

為：(AB+AC+BC)=21廣，利用三角形的面積公式可表示為押C?A￡),利用勾股定理

可得AZ),易得三角形A3C的面積，可得廠，求得圓的面積.

【解答】解：如圖1所示，

5AABC=|T,(AB+BC+AC)=|rX42=21r,

過點A作AOLBC交的延長線于點O,如圖2,

設CD=x,

由勾股定理得：在中，

AD2=AB2-BD1=400-(7+x)2,

在RtAACD中，AD2^AC2-