云南省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上冊10月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

楚雄東興中學(xué)高二秋季第一次月考

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。

3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)

域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊第一章?第二章第2節(jié)。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)(1,-2),(3,0),則直線/的傾斜角為()

2.已知空間向量Q=(0,1,4),石=(1,一1,0),貝"〃+可=()

A.V19B.19C.17D.V17

3.如果48>0且3。<0,那么直線4c+8y+C=0不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,2,3),則點(diǎn)/關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(-1,2,-3)B.(-1,-2,3)C.(1,-2,-3)D.(-1,-2,-3)

5.如圖，在四棱錐P—4BCQ中，底面48C。是平行四邊形，點(diǎn)E在側(cè)棱尸。上，且尸￡若

2

AB=a,AD—b,AP=c,則AE-()

1-12-

B.——a——b7——c

333333

2-2-1一2-2-1-

C.—6Z~\—bH—CD.——a——b——c

333333

6.已知加為實(shí)數(shù)，直線（〃?+2）x+y-2=0,/2：5x+（〃z-2）y+1=0,則是=一3"的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知4（0,0,2）,5（0,2,1）,C（2,l,0）,則點(diǎn)。到平面/5C的距離為（）

8.在正三棱柱Z5C—481G中，AB=2,AA[=拒,反?=2及5為棱與G上的動(dòng)點(diǎn),N為線段/川

MNMO

上的動(dòng)點(diǎn)，且——=——，則線段"N長度的最小值為（）

MOMA

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.下列關(guān)于空間向量的命題中，是真命題的是（）

A.若三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們一定不共面

B.若。4>0,則a,B的夾角是銳角

C.不相等的兩個(gè)空間向量的?？赡芟嗟?/p>

D.若3是兩個(gè)不共線的向量，且"=蘇+〃且外〃/0）,貝甲，反斗構(gòu)成空間的一個(gè)基

底

10.過點(diǎn)/（3,4）且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線方程可以是（）

A.4x-3y=0B.x-y+l=0C.x+y—1=0D.x+y-7=0

11.如圖，在棱長為3的正方體4片。]〃中，P為線段與。上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

?5

你

/H

A.當(dāng)與尸=2尸C時(shí)，4P=JiZ

B.當(dāng)BXP=2PC時(shí)，點(diǎn)。i到平面AXBP的距離為1

7T

C.直線"與助所成的角可能是?

D.若二面角B-AXP-B］的平面角的正弦值為"，則B1P=_B］C或BXP=-BxC

637

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若直線/與直線y=-gx+2垂直，且它在y軸上的截距為4,則直線/的方程為.

13.在直三棱柱Z5C—44cl中，AB=AC=\,且NBL/C,異面直線與所成的角為60。，則

該三棱柱的側(cè)面積為.

14.如圖，在四棱錐P—/BCD中，AB//CD,且=NCDP=90°,若PA=PD=AB=DC,

NAPD=90°,則平面PBC與平面P4B夾角的余弦值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

求滿足下列條件的直線/的方程：

(1)直線/過點(diǎn)(-2,1),且與直線x+y—3=0平行；

(2)直線/過點(diǎn)(-1,2),且與直線x+3y+l=0垂直.

16.(本小題滿分15分)

在空間直角坐標(biāo)系。—孫z中，已知點(diǎn)4(—2,1,2),5(-1,2,2),C(-3,l,4).

(1)設(shè)￡=方，b=AC,若+B與￡—33互相垂直，求幾的值；

(2)若點(diǎn)尸在直線。/上運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)麗?定的值最小時(shí)，尸點(diǎn)的坐標(biāo).

17.(本小題滿分15分)

如圖，在長方體48。。一44。］〃中，4D=1,CD=2,DDX=\,求：

(1)點(diǎn)G到直線45的距離；

(2)平面ARD與平面4cA間的距離.

18.（本小題滿分17分）

7T

在菱形4BCD中，ABAD=-,AB=2,將菱形4BC。沿著助翻折，得到三棱錐/-BCD如圖所示,

3

此時(shí)ZC=&.

（1）求證：平面48。，平面5CQ；

（2）若點(diǎn)￡是CD的中點(diǎn)，求直線與平面4BC所成角的正弦值.

19.（本小題滿分17分）

如圖，在空間幾何體48C?EFG中，四邊形4BC。是邊長為2的正方形，8尸，平面4BC。，CG=1,

AE=2,BF=3,宜CG〃AE〃BF.

（1）求證：D,E,F,G四點(diǎn)共面；

7/??

（2）在線段尸G上是否存在一點(diǎn)“，使得平面E4c與平面MZC所成角的余弦值為二一？若存在，求

33

FM

出——的值；若不存在，請說明理由.？

FG

楚雄東興中學(xué)高二秋季第一次月考?數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細(xì)則

1.A設(shè)直線/的傾斜角為e(6e[0/)),則tand=O；(；)=l,所以.故選A.

2.D因?yàn)閆=(O,l,4),6=(1,-1,0),所以Z+石=(1,0,4),故?+凡=JT7.故選D.

C

3.C由48>0且<0,可得/,5同號，B,C異號，所以/,C也是異號.令x=0,得y=-5>0；

C

令y=0,得％=——>0,所以直線4x+8y+C=0不經(jīng)過第三象限.故選C.

A

4.B因?yàn)辄c(diǎn)(x,y,z)關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,-y,z),所以點(diǎn)/關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2,

3).故選B.

1—-1-.

5.A因?yàn)槭?—EC,所以PE=—PC,

23

根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，

^AE=AP+PE=AP+-PC=AP+-(PA+AC}

33、'

2—■1--2--1/--—1—■1--2—■

=-AP+-AC=-AP+-(AB+AD]=-AB+-AD+-AP,

3333、,333

—■1_1_2-

所以/￡=一。+—6+—c.故選A.

333

一(加+2)=---------,

m-2解得加=±3,

6.B易知兩直線的斜率存在，當(dāng)/[〃乙時(shí)，則,

?豐——

m-2

由/1〃，2推不出機(jī)=—3,充分性不成立；

當(dāng)機(jī)=-3時(shí)，可以推出4〃4，必要性成立.故選B.

7.C25=(0,2,-1),AC=(2,1,-2),AD=(2,0,-l),

、——/、m-AB=0,(2y-z=0,

設(shè)平面45C的法向量加=(x/,z),貝!.即<

,[m-AC=0,(2x+y-2z=0,

3

令＞=1,則x=],z=2,

所以平面ABC的一個(gè)法向量為機(jī)=1,21,

_"聞12A/29

所以點(diǎn)。到平面ABC的距離d=-產(chǎn)"==——.故選C.

同A/2929

8.D因?yàn)樵谡庵?BC—481G中，O為的中點(diǎn)，取用弓的中點(diǎn)。，連接00,

如圖，

以O(shè)為原點(diǎn)，OC,0A,。。分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),z(o,G,o),5,(-i,o,V3),q(i,o,G),

因?yàn)镸是棱4q上的動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)M(a,0,G),且ae[-1,1],

因?yàn)轶肶=也，所以肱v_MO2_a1+3a1+3

MOMAMA爪+(6『++(可5,

于是令/=，/+6,te|^V6,77],所以=一=/_\'

又因?yàn)楹瘮?shù)y=f-？在/6，]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)/時(shí)，p--)=瓜-}=旦,

4e2

\t/min

即線段"N長度的最小值為故選D.

2

9.AC選項(xiàng)A,由空間向量基本定理可知正確；

選項(xiàng)B,當(dāng)=0且76時(shí)，a-b>0,故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,由向量定義可知正確；

選項(xiàng)D,由平面向量基本定理可知，"與Z,B共面，貝不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.故

選AC.

10.ABD設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為a,b,截距的絕對值相等，

即同=回，則a=b或a=-b.

當(dāng)a=6=0時(shí)，則直線設(shè)為歹=日，

4

將4（3,4）代入，解得左=丁

4

此時(shí)直線方程為：歹=§%，即4x—3歹=0.故A正確；

當(dāng)a=—6/0時(shí)，則直線設(shè)為±+2=1,即工+」，=1,

aba-a

將/（3,4）代入,解得a=—1,6=1,

此時(shí)直線方程為：—+^=1,

-11

即x—丁+1=0,故B正確；

當(dāng)a=6w0時(shí)，則直線設(shè)為'+2=1,即±+2=1,

abaa

將/（3,4）代入，解得a=b=7,

xv

此時(shí)直線方程為：一+匕=1,即X+y—7=0,故D正確.故選ABD.

77'

11.ABD建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則幺（0,0,0）,5（3,0,0）,Z＞（0,3,0）,4（0,0,3）,C（3,3,0）,及（3,0,3）,j（0,3,3）,

__1.2___??

因?yàn)锽[P=2PC,所以肝=-B^C=-（0,3,-3）=（0,2,-2）,

所以P（3,2,l）,AP=（3,2,1）,|2P|=V14,A正確;

而=（0,3,0）,48=（3,0,-3）,

因?yàn)轼B尸=2尸C,所以P（3,2,l）,所以乖=（3,2,—2）,

設(shè)平面4Ap的一個(gè)法向量為根=（x,y,z）,

.—?------------?

m?AXB=0,3x-3z=0,

則即4

m-A、P=0,3x+2y-2z=0,

設(shè)％=1,則加=1,PT

AXDX-m|

所以點(diǎn)2到平面ABP的距離為B正確;

XPI

設(shè)率=4鴕（0V/IV1）,則P（3,343—32）,所以乖=（3,34—32）,

—,、I/—.一\|4P?8。-9+92V3

又BD=-3,3,0,所以cos（4尸=二」=-^==—,

'）?"4斗叫3V2.3Vr1T2F2

1JT

解得彳=——任[0』，所以直線4P與5。所成的角不可能是一，C錯(cuò)誤;

26

（麗=（3,0,0）,48=（3,0,-3）,

由C知A[P=（3,34，-3彳）,

設(shè)平面B4P,平面0的一?個(gè)法向量分別為a=（再,％,芻），b=[x2,y2,z2^,

a-AB=0,b-AB=0,

所以——}{1

"乖二0,

a?A{P=0,

3再-3zj=0,3X=0,

即＜2

再幾%一

3+33/lzi=0,3X2+34%-32Z2=0,

Z=1,則Q=[1,1_；,1

分別令4=1,2

設(shè)二面角尸一A的平面角為e,sin8=------，

37

12.2x-y+4=0因?yàn)橹本€/與直線y=—gx+2垂直，所以直線/的斜率上

2,

又直線/在y軸上的截距為4,即直線/過點(diǎn)（0,4）,

由點(diǎn)斜式可得直線/：y—4=2x,化簡得2x—y+4=0.

13.2+20以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

。）

設(shè)X4]=a,則C（0,l,0）,4（0,0,a）,司（1,0,口），G（0,l,a）,CB}=（1,,a）,G4=（0,-1,，

因?yàn)楫惷嬷本€CB｛與所成的角為60°,

所以=cos60°,即一/=一,解得a=y[2,

V2T72

所以該三棱柱的側(cè)面積為2義后義1+后x后=2+2后.

14.—因?yàn)镹5/P=NCZ)P=90°,所以/8,4尸，CDLDP,

3

又48〃CD,所以48,。尸，

又DPC4P=P,DP,4Pu平面4DP,所以481平面4DP,

又4Du平面4DP,所以48,40.

分別取40,8。的中點(diǎn)O,E,

因?yàn)?P=。尸，所以O(shè)PL4D,

又48J_平面4DP,。尸u平面4DP,所以4BLOP,

又40口48=2,4D,45u平面4BCD,所以O(shè)P,平面48CD,所以O(shè)PLOE,

又OELAD,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,0E,而分別為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)PA=PD=AB=DC=2,則尸(0,0,JI),8(衣2,0),C(-V2,2,0),N(衣0,0卜

可得平面尸5C的一個(gè)法向量)=(0,1,、歷)，

平面PAB的一個(gè)法向量a=(1,0,1),

_____h

則平面P8C與平面上18夾角的余弦值cos6*=cos,,%)=—.

15.解：(1)直線/與直線x+y—3=0平行，可得/的斜率左=—1.

又/過點(diǎn)(-2,1),

由點(diǎn)斜式可得/：y—1=—(x+2),即/：x+j+l=0.

(2)直線/與直線x+3y+l=0垂直，所以直線/的斜率左=3,

又/過點(diǎn)(-1,2),由點(diǎn)斜式可得/：y—2=3(x+l),即/：3x-j+5=0.

16.解:(1)由題意知2=方=(—1,2,2)—(—2,1,2)=(1,1,0),

B=%=(—3,1,4)-(-2,1,2)=(-1,0,2),

所以/k7+b=4(l,l,0)+(_l,0,2)=(N_l,42),

a-3^=(l,l,0)-3(-l,0,2)=(4,l,-6).

又與Z-33互相垂直，

所以+=(幾_1,42)-(4,1,—6)=4(4—1)+4—12=0,

解得2=3.

5

(2)因?yàn)辄c(diǎn)尸在直線04上移動(dòng)，所以存在實(shí)數(shù)/使得麗=〃%=(-2/,/,2/)

所以而=(_1+2/,2_/,2—2。，PC=(-3+2r,l-r,4-2r),

所以而.正=(一1+2。(—3+2。+(2-)(17)+(2-2￡)(4_2。

23（232323、

當(dāng)且僅當(dāng)，=一時(shí)，上式取得最小值，所以尸點(diǎn)坐標(biāo)為-一.

18I9189J

17.解：（1）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,皿分別為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則G(0,2,1),4(1,0,1),5(1,2,0),

所以淚=(—1,2,0),1^=(0,2,-1),

375

所以點(diǎn)G到直線45的距離為

5

(2)因?yàn)椤?0,0,0),口(0,0,1),

所以。4=(1，°，1)，。5=(1,2,0),=(0,0,1),

設(shè)平面AXBD的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

「一——*r1

,n-DA=0,x+z=0,A,y=—x,

則一—1y即解得,2

n-DB-0,〔x+2y=0,_

、Z—_Aj

取x=2,得"=(2,—1,—2),

由題易得平面&BD//平面BXCDX,

所以平面4AD與平面BCR間的距離即為點(diǎn)到平面4氐0的距離.

DD[-n-222

又d=Ty=y,即平面4AD與平面與。2間的距離為］.

TT

18.(1)證明：因?yàn)樗倪呅?BC。是菱形，NBAD=—,所以△R4。與均為正三角形，

3

取5￡＞的中點(diǎn)O,連結(jié)。/,OC,則。4LAD,

因?yàn)?3=2,所以CU=OC=百，

因?yàn)?/2+。。2=6=幺。2,所以O(shè)N，。。，

又AC)nOC=O，8D,OCu平面55,所以。4_L平面5s.

因?yàn)椤?u平面48。，所以平面45。，平面5s.

(2)解：由(1)可知，04,OB,OC兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,04所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則z(o,o,G),5(1,0,0),C(0,V3,0),0(—1,0,0),

因?yàn)镋是。。的中點(diǎn)，所以￡—,0,

22

7

所以而=卜1,0,6)，5C=(-1,AO),BE=,0,

,(22,

設(shè)浣=為平面4BC的一個(gè)法向量，則]竺?=—尸=°，

I)[BC-m=-x+y/3y=0,

令y=l,得x=G，z=1,所以機(jī)=(G,1,1).

一_373V3

BE-m_2+2_M

cos{BE,m

阿麗73x755

設(shè)直線BE與平面ABC所成角為。，貝！Isin。=cos(BE,m^

5

V5

所以直線BE與平面ABC所成角的正弦值為-y.

19.(1)證明：因?yàn)?尸，平面48cZ),45,BCu平面4BC。，所以BF_L4B,BF1BC.

因?yàn)樗倪呅?BCD是正方形，所以48,3。，

所以氏4,BC,8/兩兩垂直，則以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以氏4,BC,8尸所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

根據(jù)題意,得據(jù)(2,2,0),￡(2,0,2),尸(0,0,3)