對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【12類題型】-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)突破（新高考專用）

熱點(diǎn)專題2-5對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

2024年II卷第8題，5分從近四年的高考情況來看，對

2024年北京卷第7題，4分?jǐn)?shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)是高考的一

個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，常與二

2024年天津卷第5題，5分

次函數(shù)、稱函數(shù)、相數(shù)函數(shù)、

2023年北京卷第11題，5分(1)對數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)

三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小(2)對數(shù)函數(shù)的圖象

2023年I卷第10題，5分

的比較和函數(shù)方程問題.在利(3)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

2022年I卷I卷第7題，5分用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用

上，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)

2022年浙江卷第7題，5分

算素養(yǎng).

模塊一、熱點(diǎn)題型解讀(目錄)

【題型1］指數(shù)對數(shù)混合運(yùn)算

【題型2】換底公式的應(yīng)用

【題型3】對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【題型4】對數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題

【題型5］指對幕比較大小

【題型6】解對數(shù)方程或不等式

【題型7】對數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

【題型8】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題

【題型9】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的最值與值域問題

【題型10］對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問題

【題型11］反函數(shù)問題

【題型12］對數(shù)函數(shù)的綜合問題

模塊二1核心題型?舉一反三

【題型1】指數(shù)對數(shù)混合運(yùn)算

基礎(chǔ)知識1

1、對數(shù)計(jì)算公式

(1)同底對數(shù)加減運(yùn)算：logaM+logaN=loga(A/N)；logaM-logflN=logfl一

(2)底數(shù)和真數(shù)是乘方數(shù)時(shí)：logbn=一logZ>

amfl

(3)對數(shù)恒等式：/嗚*=*

,,1

(4)倒數(shù)式：^ogab=------

k)g〃a

2、對數(shù)運(yùn)算的常用技巧

(1)在對數(shù)運(yùn)算中，先利用賽的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，使賽的底數(shù)最

簡，然后用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.

(2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真

數(shù)的積、商、森再運(yùn)算.

(3)指對互化：於=汽06=108〃7^3>0,且"1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中

應(yīng)注意互化.

1.化簡下列各式：

⑴41g2+31g5-lgg；

3?

1Ofo3

(2)21og32-log3—+log38-5.

【解析】⑴原式

5

(2)A=2log32-(5log32-2)+3log32-3

—2log2—5log2+2+3log22—3——1.

【鞏固練習(xí)1】化簡(1。862)2+1。862-1”63+21。863—6喀2的值為()

A.-log62B.-log63C.log63D.-1

【答案】A

【解析】(1。862)2+10862」隼63+21。863-6睡62=10862(10862+1隼63)+21。863—2

=log62+2log63-2=2(log62+log63)-log62-2

=2-log62-2=-log62

【鞏固練習(xí)2］求值

⑴log.32-log2^--log31-log51

oy

7

(2)Igl4-21g-+lg7-lgl8

3

(3)log2(log232+logi二+log436)

24

(4)(log2l25+log425+log85)(log1258+log254+log52)

【答案】(1)-10;;(2)0;;(3)3;;(4)13

【解析】(1)原式=10g262510g25T10g32-310g53-2

=jx(-2)log25x(-3)log32x(-2)log53=-10xlg|x^|x^J=-10；

6lg2lg3lg5

(2)原式=lg(2x7)-2(lg7-Ig3)+lg7-lg(32x2)=lg2+lg7—21g7+21g3+lg7—21g3—lg2=0；

33

⑶原式=log?(5+log『w+log?,6?)=log2(5-log2-+log26)=log,(5+log28)=log28=3;

(4)^<=Mlog25+log25+|log25j(31og52)=y-31og521og25=13.

【題型2】換底公式的應(yīng)用

基礎(chǔ)知識

..,log

換底公式：l°g'o=\(a>0,且aWl;c>0,且cWl;b>0).

alog,"

2.已知3"=2,3"=5,貝1Hg2=?(用。，。表示)

【答案】

【解答】解：因?yàn)?"=2,3〃=5,

所以a=log32,b=log35,a+/?=log310,

clogo2a

所以/Tg2=G=R.

故答案為：-^―

a+b

3.已知7"=3,log72=&,則log4948=，（用a,b表示）

【答案】空子

2

【解析】因?yàn)?"=3,所以log73=a,

44

又log72=6,所以Iog4948=log7,(3x2)=^log7(3x2)

4

=1(log73+log72)

=1(log73+41og72)

=*+46).

」,131

4.已知2工=3'=4==6,則一+—+—=

xyz

【答案】3

【解析】依題意，x=log26,y=log36,z=log46,

131131

則一+—+―=----+-~-+----=log62+31og63+log64=log6216=3.

xyzlog,6log36log46

【鞏固練習(xí)1】設(shè)lg2=a,lg3=b,

（1）用含。，6的式子表示logsl8,形式為.

（2）用含。，匕的式子表示log630,形式為.

a+2b/_、b+1

【答案】（1）k⑵0

a+2b

【解析】（1）

1g5lg(10<2)lgl0-lg2lgl0-lg21—ci

。

⑵i1嗚3o。n=1叫18=l置g30=l竟gl0+幸lg3=小b+1

32

【鞏固練習(xí)2】設(shè)2*=3丁=72,求一+一的值.

xy

【解答】依題意有％=log272,y=log72,-=log2,—=log3,

3%72y72

32一

—I—=3log^2+21og723=log^28x9=1

【題型3】對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

基礎(chǔ)知識

對數(shù)函數(shù)的圖象(底大圖低)

a>l0<a<l

yy

1X=1

；y=logaX

圖象\：(l，0)

0

0Z(i,o)，

:Toga4

定義域(0,+0))

值域R

過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1,0),即x=l時(shí)，y=0

性質(zhì)

當(dāng)0<x<l時(shí)，yVO;當(dāng)OVxVl時(shí)，y>0;

函數(shù)值的變化

當(dāng)x>l時(shí)，y>0當(dāng)x>l時(shí)，y<0

單調(diào)性是(0,+oo)上的增函數(shù)是(0,+oo)上的減函數(shù)

方法技巧：對于有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過伸縮、

平移、對稱等變換得到，當(dāng)。>1時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖像呈上升趨勢；當(dāng)0<。<1時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖

像呈下降趨勢.

5.已知函數(shù)①y=logor；②y=logZzx；③y=logcx；④y=logiZr的大致圖象如圖所示，則下列不

等關(guān)系正確的是()

@^=log^x

A.Q+CVZ?+〃B.a-\~d<b-\-c

C.Z?+cV〃+dD.Z?+d<〃+c

【答案】A

【解析】解析：由已知可得。則b+d>a+c,故A正確，D錯(cuò)誤；又

〃+d與。+。的大小不確定，故B,C錯(cuò)誤.故選A.

6.函數(shù)/(x)=(4-/)山|f|的圖象是()

【答案】B

【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除部分選項(xiàng)，再根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)確定.

(4-x2)lnx,x>0

【詳解】解：/(x)=(4-jc2)ln|-x|=<

(4-x2)ln(-x),x<0'

因?yàn)?(r)=/(x),

所以f(x)是偶函數(shù),故排除AD,

當(dāng)x>0時(shí)，令f(x)=O,得x=l或x=2,

當(dāng)Ovx<l或x>2時(shí)，f{x)<0,當(dāng)l<x<2時(shí)，>0

7.已知函數(shù)7(x)=ln(x+a)的圖象不經(jīng)過第四象限，則a的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,+a))C.(0,1]D.[1,+oo)

【答案】D

【解析】/(九)的圖象是由y=lnx的圖象向左平移a個(gè)單位所得.

y=lnx的圖象過(1,0)點(diǎn)，函數(shù)為增函數(shù)，因此aNl.故選：D.

【鞏固練習(xí)1】(多選題)(2024.河南信陽?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=log“W+l(0<<1)的大致圖象不

可能為()

【答案】BCD

【解析】函數(shù)〃x）=log“忖+1（0<4<1）的定義域?yàn)閧x|xwO},

因?yàn)?（T）=logJX+l=/（X）,所以函數(shù)/（X）為偶函數(shù)，

當(dāng)xe（O,+8）時(shí)，/（x）=log0x+l（0<a<l）為減函數(shù)，且過定點(diǎn)（1,1）,

故函數(shù)/（元）=108“忖+1（0<口<1）的大致圖象不可能為BCD選項(xiàng).

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)"x）=log“（x-b）（a>0且awl,a,b為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.a>0,b<—lB.a>0,—1</?<0C.0<a<l,b<—lD.0<?<l,—1<Z?<0

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃%）=loga（x-，）為減函數(shù)，所以O(shè)vavl

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與％軸的交點(diǎn)在正半軸，所以x=l+Z?>0,即5>-1

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與y軸有交點(diǎn)，所以匕<0,所以一1</?<0,故選：D

【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)〃x）=|lgx|,若Ovavb且/（〃）=/㈤，則0+2）的取值范圍為.

【答案】（3,收）

【解析】畫出/（九）=怛尤|的圖象如圖:

叫

Oa\bx

-0<a<b,且/（〃）=/（》）,

.?.|lga|=|lg4且Ovavl,b>\,

2

.-.-lga=lgZ?,即必=],：.y=a+2b=a+—,?G（0,1）,

2

由圖象得了=。+,在（0,1）上為減函數(shù)，

.-.y>l+2=3,

a+2〃的取值范圍是（3,+oo）.

故答案為：（3,+oo）.

【題型4】對數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題

基礎(chǔ)知識

對數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)（1,0）,即x=l時(shí)，y=0;

函數(shù)/（元）=108°（彳一6）+￡1過定點(diǎn)伍+1,0）

8.函數(shù)y=log“x+l（0>0且awl）的圖象必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(1,1)D.(1,0)

【答案】C

【解析】因?yàn)閷?shù)函數(shù)y=10ga%（a>0且4H1）恒過定點(diǎn)（1,0）,

所以函數(shù)y=iog“x+i（。>0且。工1）的圖象必過定點(diǎn)（1,1）.

9.（2024.安徽安慶?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=log2（依+6）（。>08>0）恒過定點(diǎn)（2,0）,則；的

ab

最小值為（）.

A.2夜+1B.272C.3D.拒+2

【答案】A

【解析】由題意可知2a+Z?=l,

.b1b2a+bb2a._lb2a._rr,

則n一+—=—+-----=—+—+1>2--------+1=242+1,

ababab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)〃=*變，6=后—1時(shí)，

2

~+~的最小值為2女+1

ab

【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)/（%）=1+loga（2x-3）（a>0,aW1）恒過定點(diǎn)（血,九），則m+九=（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】令2%-3=1,即可求解/(%)恒過定點(diǎn)(2,1),進(jìn)而求解.

【解答過程】令2%-3=1,解得％=2,此時(shí)f(2)=1+logal=1,

所以f(%)恒過定點(diǎn)(2,1),則m=2,九=1,

所以771+72=3.

【鞏固練習(xí)2】已知直線y=：nr+2w經(jīng)過函數(shù)〃x)=log“(x-1)+2圖象過的定點(diǎn)(其中根,“均大于

0）,則工+工的最小值為（）

mn

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】因?yàn)閒（2）=log“（2—l）+2=log“l(fā)+2=0+2=2,所以函數(shù)/（x）=log.（x-l）+2圖象過的定

點(diǎn)為（2,2）,

招■其代入直線方程y=如+2〃得2=2m+2〃，即機(jī)+〃=1,

又機(jī),〃>0,

~11/\（11、團(tuán)幾、八團(tuán)兒?

所以—I—=（m+n\\—I—=2d----1—>2+2./--------=4,

mn\mnJnmynm

rvjyi111

當(dāng)且僅當(dāng)絲='即m=〃=—時(shí)，等號成立，故一+—有最小值4.

nm2mn

【鞏固練習(xí)3】函數(shù)丁=1084%+優(yōu)一1+2(。>0且"1)的圖象恒過定點(diǎn)(左力)，若加+〃=/?-左且別>0,

n>0,則電士畫的最小值為()

mn

A.9B.8C.-D.-

22

【答案】B

1-1

［解析］當(dāng)x=］時(shí)，j=logfll+a+2=3,

所以,函數(shù)y=log?x+a'T+2過定點(diǎn)（1,3）,得左=1,6=3,

所以，m+n=3-l=2,

因?yàn)閙>0,〃〉0,

9n+m911+〃）=可10+電+嗎/（10+2拘=8,

所以,--------=—?—=—31

mnmn2\mn21m幾）2、'

9〃m

即加=。，"=』時(shí)

當(dāng)且僅當(dāng),機(jī)n等號成立,

22

m+n-2

“9〃+機(jī)，，-，心，

所以，------的阪小值為8.

mn

【題型5】指對幕比較大小

基礎(chǔ)知識

1、常規(guī)法：比較大小問題，常利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值法.

2、當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)的差或倍數(shù)一樣時(shí)，可以考慮拆出一個(gè)1

例1：log36和log48（倍數(shù)一致）

簡析：Iog36=l+log32；log48=l+log42,由圖像可知Iog32>log42

例2：log35和log46（差一致）

簡析：k)g35=l+log3g；log46=1+log4,由圖像可知Iog3§>log4：

3

10.設(shè)Q=log23,b=0.3°2,c=3,則()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

3-2

(解析】?*,c=—=log22=log2272<log23=a,

Z?=0.3°2<0.3°=l,

則b<c<a

11.=log32,Z?=ln3,c=log23,則()

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

【答案】D

【解析】因?yàn)椤?log32vk）g33=l,b=\n3>lne=l,c=log23>log22=1,

又由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)x>1時(shí)，底數(shù)越大，圖像越低，可得Iog23>ln3,

所以故選：D.

【鞏固練習(xí)1](2024?天津?二模)設(shè)〃=皿力=1.3。\0.9'=1.3,則〃也。的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

l233

【解析】丁log23>log?我=log222=—9：.a>—,

33

?.?0<1.309<1.3<-,/.0<Z?<-,

22

c

,/0.9=1.3,/.c=log091.3<log091=0,

/.c<0,:.c<b<a.

【鞏固練習(xí)2】已知〃二($"Z?=(1)3,c=logz|，則〃，b,c的大小關(guān)系是(

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

c=\og1-<log21=0,

523

則a,b,。的大小關(guān)系為cvavZ?

【鞏固練習(xí)3】已知。=log62,b=log124,c=log186,則()

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

(解答］解：由對數(shù)運(yùn)算公式得，!=log,6=1+log23,y=log412=1+log43,L=log618=1+log63,

abc

log23>log43>log63,:.c>b>a.

故選：A.

【鞏固練習(xí)4】設(shè)a=O203,b=log34,c=log45,則()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【分析】先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到av1,b>l,c>lf對"c利用換底公式變形后作差，結(jié)合基本不等

式，得到從而得到答案.

【詳解】因?yàn)閥=0.2尤單調(diào)遞減，所以a=0.2°3<0.2°=1,

又y=log3%與y=log4r均單調(diào)遞增，故b=log34>log33=1,c=log45>log44=1,

#?7iz.In4i_In5

其中八幅4=司,c=log45=—

ln4ln5h?4-In3-ln5

其中如3>0,如4>0,故ln3-ln4>0,

而一啟-—In3-ln4-

(In3+ln5丫fin15?

其中In3-ln5<<畔卜Y4,

?ln4In5In24-ln3-ln5八

故--------=------------->0,

In3In4In3-ln4

~」n4In5

所以--->---,即故Q<CV>.

In3In4

【題型6】解對數(shù)方程或不等式

基礎(chǔ)知識

【方法技巧】

(1)對于形如log。/(x)=〃的形式,利用b=logfla轉(zhuǎn)化；對于形如(log“xf+B-logax+C=Q

的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化為二次方程求解.

(2)解對數(shù)不等式，也是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為比較真數(shù)之間的不等式，再解這個(gè)

不等式即可.

12.方程log?x的解為

【答案】72

【解析】方程log2X=1■，化為：x=2；=0

13.設(shè)log“g<l(0<a<l),則。的取值范圍是()

A.(|,1)B.(0,1)C.(0,|)D.(0,|]

【答案】C

222.2

【解析】由logq]<l,得：loga-<logaa,因?yàn)?<avl,所以取交集得：0<a<].

2

所以a的取值范圍是(0,§),故選：C.

14.不等式27,+710g5（36x+1）<23的解集為

【答案】H'l)

【解析】設(shè)函數(shù)/(力=27%+710g5(36X+1),

則應(yīng)有36x+1>0,解得x>---,所以,/(%)定義域?yàn)?+°°

36

又/（］=273+71og5（36xg+l］=9+7x2=23,

所以，由〃x）<23,可得

因?yàn)閥=27"以及y=71o&（36x+l）均在［一，,+sJ上單調(diào)遞增，

所以，/（x）=27*+71og5（36x+l）在［-上單調(diào)遞增，所以，x<j.

i2/12、

綜上所述，---v%v—.所以，不等式的解集為-*,彳.

363<363y

【鞏固練習(xí)1］方程ln（log3%）=。的解是（）

A.1B.2C.eD.3

【答案】D

【解析】Vln(log3x)=0,log3x=e°=1,x=3.

【鞏固練習(xí)2】已知Iog5［log2（4*）］=0,則x的值為一.

【答案】回

lgI

【解析】由log5［log2（4陞）］=0,得log2（4）=5°=1,所以4成=）=2,

即22庚=2,所以21gx=1,lgx=g,所以x=io《=而.

【鞏固練習(xí)3］若實(shí)數(shù)x滿足不等式log2，-2x）>log2（x+4）,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

【答案】（Y,-l）u（4,y）

【解析】?.,log2k2—2x）>log2（x+4）,

x2-2x>x+4

X2-2X>0,解得x>4或T<x<—1.

x+4>0

【鞏固練習(xí)4］已知實(shí)數(shù)。>0,且滿足不等式33“謖>34叫則不等式loga（3x+2）<log“（8-5x）的解

集為

38

【答案】

455

【解析】因?yàn)?3*2＞3癡+1,所以3a+2＞4〃+1=＞。＜1,而a＞0,則0＜々＜1,于是

3x+2〉0

<8-5x>0=>XG

3x+2>8-5x

【題型7】對數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

基礎(chǔ)知識

對數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類型和求解策略

（1）基本類型：有關(guān)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)的解析

式，然后根據(jù)實(shí)際問題求解.

（2）求解策略：首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代

入解析式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義.

15.如果光線每通過一塊玻璃其強(qiáng)度要減少10%,那么至少需要將.塊這樣的玻璃重疊起

來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度低于原來的0.5倍.（參考數(shù)據(jù)：lg2。0.3010,lg3土0.4771.）

【答案】7

【分析】構(gòu)造不等式（1-10%）"＜；,利用對數(shù)運(yùn)算法則解不等式可求得結(jié)果.

【詳解】假設(shè)需要"塊這樣的玻璃，則。-10%）“1嗎/=-log。/，

:.n>一坨2=。6.6

lg9-lgl0l-21g3

，至少需要7塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度低于原來的g.

16.為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：汽車駕駛員血液中的酒精含量不得超

過0.09〃取/〃也.據(jù)儀器監(jiān)測，某駕駛員喝了二兩白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到

03mg/mL,在停止喝酒后，血液中每小時(shí)末的酒精含量都比上一個(gè)小時(shí)末減少25%.那么此

人在開車前至少要休息（）（參考數(shù)據(jù)：0.301,值3。0.477）

A.4.1小時(shí)B.4.2小時(shí)C.4.3小時(shí)D.4.4小時(shí)

【解答】解：設(shè)經(jīng)過x小時(shí)，血液中的酒精含量為y,

則y=0.3x（1—25%廠=0.3x0.75”,

由0.3x0.75*,,0.09,得0.75"0.3,

則xlg0.15?lg0.3,

,,c”cZg0.3Zg3-10.477-1523一”

因?yàn)?g0.75<0所以.:-----=--------?------------=---=4.184b4.2

6lg0.75Ig3-lg40.477-0.602125'

所以開車前至少要休息4.2小時(shí)

【鞏固練習(xí)1】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是4℃,空氣的溫度是為℃,經(jīng)過f

分鐘后物體的溫度8c可由公式：。二4+0-4）/"求得.其中女是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀

況而定的大于0的常數(shù).現(xiàn)有100℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻,5分鐘以后物體的溫度是40℃，

則上約等于()(參考數(shù)據(jù)：山321.099)

A.0.22B.0.27C.0.36D.0.55

【解答】解：由題意可得，40=10+(100-10>-5\

■產(chǎn)=1

"3'

lne-5k=,即-5k=-1.099,

,1.099…

k=-------?0.22.

5

【鞏固練習(xí)2]2008年我國人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%,則年

我國人口將超過20億.(1g2?0.3010,1g3?0.4771,1g7?0.8451)

【答案】2037

【分析】根據(jù)條件，列出不等式，再利用對數(shù)運(yùn)算解不等式即可.

【詳解】

由題意，列方程得：

14（l+1.25%f20°8>20

?/I1cue/\尤一20082010

.?.（1+1.25%）>—,

.10

1g

z1-lg7

x-2008>logy==28.7

(1+125%),8141g3-31g2-l

g80

【鞏固練習(xí)3】我們可以把（1+1%產(chǎn)看作每天的“進(jìn)步”率都是1%,一年后是1.01365；而把（1一1%嚴(yán)

看作每天的“落后”率都是1%,一年后是0.99365.利用計(jì)算工具計(jì)算并回答下列問題:

（1）一年后“進(jìn)步”的是“落后”的多少倍?

（2）大約經(jīng)過多少天后“進(jìn)步”的分別是“落后”的10倍、100倍、1000倍?

1.0產(chǎn)5_11.01]

【解析】（1）0.99365~1099J?1480.7.

一年后“進(jìn)步”的大約是“落后”的1480.7倍

11.01X

(2)由見_=1()得I=10

0.99x麗

1

=l0g22*?115

l黑1,1.01

0.91g，一lg----

0.990.99

???大約經(jīng)過115天“進(jìn)步”的是“落后”的10倍.

由口=1。0得［蕓［=1°°，尤=?！?3。

0.99，I。?果1g—

???大約經(jīng)過230天“進(jìn)步”的是“落后”的100倍.

%3

由工211=1000得(回］=1000解得X二1.01

0.99，10.99；坨加

.?.大約經(jīng)過345天“進(jìn)步”的是“落后”的1000倍.

【題型8】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題

基礎(chǔ)知識

對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題

1、模板解決思路：判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則是“同增異減”.

2、模板解決步驟

第一步：求函數(shù)的定義域.

第二步：將函數(shù)分解成內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù).

第三步：判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性.

第四步：根據(jù)“同增異減”的原則確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

17.函數(shù)/(x)=ln，-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-00,-2)B.(-co,-1)C.(1,+8)D.(4,+8)

【答案】D

【解析】由題知/(%)的定義域?yàn)?-8,—2)U(4,+8),

令方=f—2x—8,則y=ln，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)了￡(-8,-2)時(shí)，，關(guān)于九單調(diào)遞減，/(%)關(guān)于1單調(diào)遞減，

當(dāng)工?4,+“)時(shí)，/關(guān)于1單調(diào)遞增，/(%)關(guān)于兀單調(diào)遞增，

故/(x)的遞增區(qū)間為(4,+8).故選：D.

18.若函數(shù)/(x)=ln(%2—依—1)在區(qū)間(1,內(nèi))上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

【答案】（-a）,0]

【解析】由函數(shù)/（%）=1口（％2_以一1）在區(qū)間（1,+00）上是單調(diào)增函數(shù)，

只需函數(shù)y=X2-QX-1在（L+C0）上是單調(diào)增函數(shù)，且當(dāng)%>1時(shí)％2一㈤;_1>0恒成立,

[￡<1

所以滿足J2'解得々<0.

1-?-1>0,

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)/（x）T°gKf2+3x+4）的單調(diào)增區(qū)間為（）

【答案】C

【解析】由-爐+3%+4>0=>-1vx<4,

3

二次函數(shù)y=-x2+3x+4的對稱軸為：1二萬，

所以二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為1-1,1],遞減區(qū)間為,

而函數(shù)y=i°gix是正實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可知:

2

函數(shù)7'（x）=logj（f2+3x+4）的單調(diào)增區(qū)間為停,4）,故選：C

Uf。）在定義域上是增函數(shù)，則左的取值范圍是，）

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)〃x）=

A.（3,+oo）B.[3,+8）C.（l,+oo）D.。,+8）

【答案】B

/、x+l（x<0）

【解析】因?yàn)?（%）=</）小在定義域上是增函數(shù)，

log3+>0）

當(dāng)光<0時(shí)〃兀）=兀+1單調(diào)遞增且40）=1,

當(dāng)x>0時(shí)/（x）=log3（x+左）也單調(diào)遞增,

所以l〈log3（0+k），即log3左210g33,

所以上23,即左c[3,+8）；故選：B

【鞏固練習(xí)3】（2024?重慶?模擬預(yù)測）若函數(shù)=In（d-2辦+3可在[1,+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是（）

A.(—oo,l]B.(—1,1]C.[—1,+a)D.[l,+8)

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=ln(%2_2ov+3a)在[l,+8)上單調(diào)遞增，

-2〃<]

所以彳2一,解得—1CQW1.

1—2a+3ci〉0

【鞏固練習(xí)4】若函數(shù)〃尤)=l°g產(chǎn)l°g式奴)在",+/上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】[16,+8)

【分析】換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的給定區(qū)間的單調(diào)性求解.

[詳解】/(x)=-log2xlog2(ar)=-log2x(log2x+log2a)=-(log2x)--log2a-log2x,

令，=log2xe[-2,+8),為增函數(shù)，

所以g(。=一產(chǎn)一(log?a)t,所以g⑺=一一一(log?a)Z■在fe[-2,+oo)單調(diào)遞減，

所以k=-粵@4-2,即Iog2a24,解得心16

【題型9】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的最值與值域問題

基礎(chǔ)知識

對數(shù)(型)函數(shù)的值域和單調(diào)性問題的解題策略

利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的

問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的

構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化

歸思想的應(yīng)用.

19.函數(shù)〃x）=lg（4'-2句+11）的最小值是（）.

A.10B.1C.11D.IgU

【答案】B

【解析】i^t=4x-2x+1+ll,則y=lgf,

因?yàn)?=4*-2*+1+11=（2'）2-2.2、+11=（2*_1）2+10仁10,

所以y=lgt21glO=l,所以f（x）=lg（4*-2薊+11）的最小值為1,故選：B

20.已知函數(shù)/'（x）=log3（—尤？+4尤+a—1）的最大值為2,貝!|a=.

【答案】6

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)"x）=Iog3（-x2+4x+a-l）由y=log3fj＞。與/=—尤2+4X+°—1復(fù)合而成，

而y=log3r在定義域上單調(diào)遞增，所以當(dāng)r=-x2+4x+a-l取最大值時(shí)，函數(shù)yWogjt取得最大值，

由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當(dāng)x=2時(shí)，/?^=。+3,此時(shí)/（x）1mx=logs（。+3）,所以log3（a+3）=2,解

得a=6.

【鞏固練習(xí)1]已知函數(shù)〃x）=lg（尤2+l）,xe[T3],則/（x）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,+⑹B.[0,1）C.[Ig2,l]D.[0,1]

【答案】D

【解析】因?yàn)閤w[T,3],所以f+1目1,10],

所以〃尤）=lg（尤2+1》[0,1],故選：D

【鞏固練習(xí)2】若函數(shù)〃x）=l°gl（辦jx+2）的最大值為0,則實(shí)數(shù)°的值為,

2

【答案I

【解析】因?yàn)?（X）的最大值為0,所以M%）="+x+2應(yīng)有最小值1,

a>0

因此應(yīng)有＜:8a-l1解得〃=

——=1,4

L4a

【鞏固練習(xí)3]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/■（x）=log°（x2-辦+1）在區(qū)間'J上有最大值或

最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.加U（l，2）C.\/,（1，4）D.刖U（l,2）

【答案】B

【解析】要使函數(shù)/（x）在區(qū)間上有最大值或最小值，

由于y=%2-ax+l開口向上，

故需函數(shù)丁=/一以+1在區(qū)間上有最小值，且y＞0.

a>0a>0

aw14W1

該函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=q,所以！<@<21

解得，—<〃<44,

2422

—2<〃<2

所以;<"2,且即實(shí)數(shù)0的取值范圍為［；/U(1,2).

【題型10］對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問題

基礎(chǔ)知識

常見指對型函數(shù)奇偶模型

⑴*―7申二(I

y=a+a=>偶[tXaVl.J

/c、優(yōu)_1_p.優(yōu)+1_p.a%—bx%

⑵y=-----或------或-------n奇

ax+lax-lax+bx

/、ix-mx+m長

⑶y=log,-----或log.------n奇

x+mx—m

(4)y=log。(Jb?無2+1土bx)n奇

(5)y(x)=k)ga(a"+l)+(-gmx)是偶函數(shù)，如/'(x)=ln(e*+1)-gx,g(x)=log3(9'+l)-x

21.設(shè)函數(shù)〃力=坨(/+1),則使得〃3x-2)>〃x-4)成立的x的取值范圍為()

A.B.UC.D.(-oo,-l)u^-,+oo

【答案】D

【解析】方法一：v/(%)=/g(x2+l)

.??由〃3x—2)>/(x—4)得lg[(3尤一2『+1]>lg[(x-4『+1],

r\n3

則(3x-2)+1>(x-4)+1,解得x<-1或無>3.

方法二：根據(jù)題意，函數(shù)〃0=四卜2+1),其定義域?yàn)镽,

有/(-x)=Z^(x2+l)=/(x),即函數(shù)〃尤)為偶函數(shù)，

設(shè)/=尤2+1,則〉=四匕

在區(qū)間［0,+8)上，￡=/+1為增函數(shù)且此1,y=儂在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù),

則〃X)=/g(x2+l)在［0,+8)上為增函數(shù)，

/(3x-2)>/(x-4)^/(|3x-2|)>/(|x-4|)^|3x-2|>|x-4|,

3

解得尤<-1或x>5，故選：D.

22.函數(shù)〃x)=log2(4"+l)-尤的部分圖像大致為()

【分析】分析函數(shù)/(無)的奇偶性及其最小值，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】對任意的xeR,4x+l>0,則函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,

因?yàn)?X)=log2(#+1)-X=log2(平+l)-log22^=log2=log2(2'+2-'),

xA

/(-x)=log2(2-+2)=f(x),則函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，排除CD選項(xiàng)，

又因?yàn)?(尤)=log2(2,+2一工"log?(2也工-2T)=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=O時(shí)，等號成立，排除B選項(xiàng).

【鞏固練習(xí)1】己知/(*)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，，(尤)=log式-尤)-2、

⑴求〃0)-〃2)；

⑵解不等式/(/+1)>/(10).

【答案】⑴一3

4

(2){%|-3v%v3}

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性和部分解析式即可求出/(0)=0,/(2)=--,則得到最后答案；

(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性函數(shù)奇偶性即可得到f(x)在(0,+e)上的單調(diào)性，則得到不等式，解出即

可.

【詳解】(1)因?yàn)?(X)是定義在R上的奇函數(shù)，

貝”/(2)=_/(_2)=—(log22_2-2)=_1,/(0)=0,

則H。)一〃2)=0+二“

(2)當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=log,(-x)-2\因?yàn)閥=log2尤為單調(diào)增函數(shù)，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知y=log2(-X)為單調(diào)減函數(shù)，又因?yàn)閥=-2、為單調(diào)減函數(shù),

所以函數(shù)/(尤)=log2(-x)-2'為單調(diào)減函數(shù)，

又因?yàn)椤癤)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(%)是在(0,+。)為單調(diào)減函數(shù)，

因?yàn)?(f+1)>/(10),

所以尤2+i<io,解得—3<x<3,

所以不等式的解集為{x|-3<x<3}.

【鞏固練習(xí)2】設(shè)函