2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【八大題型】原卷版+解析版

專題5.3平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【八大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算】..................................................................4

【題型2平面向量的夾角問(wèn)題】....................................................................5

【題型3平面向量的模長(zhǎng)】........................................................................5

【題型4平面向量的垂直問(wèn)題】....................................................................5

【題型5平面向量的投影】........................................................................6

【題型6坐標(biāo)法解決向量問(wèn)題】....................................................................6

【題型7平面向量的實(shí)際應(yīng)用】....................................................................7

【題型8向量數(shù)量積與解三角形綜合】.............................................................8

?考情分析

1、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

⑴理解平面向量數(shù)量積

的含義及其幾何意義2022年新高考全國(guó)II卷：第4

⑵了解平面向量的數(shù)量題，5分平面向量的數(shù)量積是高考的熱點(diǎn)內(nèi)

積與投影向量的關(guān)系2023年新高考I卷：第3題，容.從近幾年的高考情況來(lái)看，試題往往

⑶掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表5分以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，主要考

達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)2023年新高考H卷:第13題，查向量的數(shù)量積、夾角、模與垂直條件

量積的運(yùn)算5分等知識(shí)，難度中等，有時(shí)會(huì)與三角函數(shù)、

(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩2023年北京卷：第3題，5分平面幾何等相結(jié)合命題.學(xué)生在高考一

個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量2024年新高考I卷：第3題，輪復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)訓(xùn)練，要能靈活運(yùn)

積判斷兩個(gè)平面向量的垂5分用定義法、坐標(biāo)法和基底法解決常見(jiàn)的

直關(guān)系2024年新高考H卷：第3題，數(shù)量積有關(guān)問(wèn)題.

⑸會(huì)用向量的方法解決5分

某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1向量數(shù)量積的性質(zhì)和常用結(jié)論】

1.向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律

(1)向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)。，b是非零向量，它們的夾角是e是與b方向相同的單位向量，則

①a'e=e-a=同cos0.

②QJ_ba-6=0.

-?->|->I]—I->-?->->I-?I[—1

③當(dāng)a與l同向時(shí)，?？?同同；當(dāng)〃與務(wù)反向時(shí)，a-b=-|Z)|.

特別地,Q-Q=Q2=|Q|之或同=JQ.q

④|a-"《同當(dāng)且僅當(dāng)向量a,6共線，即a〃b時(shí)，等號(hào)成立.

@0086>=-^^7

(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算律

由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立：

對(duì)于向量"b,1和實(shí)數(shù)，有

①交換律：a-b=b-a；

■->->->->->->

②數(shù)乘結(jié)合律：(A<2)-b=X(a-b)=a-(26)；

③分酉己律：(a+b)~c=a?c+b'c.

2.向量數(shù)量積的常用結(jié)論

/->-?\2［今->|2|4|2->一|4|2->?->今->7

⑴±=,土.=|。|±2a?方+問(wèn)=a^2a-b+b；

(2)藍(lán)一/=6+1)傘_刀=向2_阿

⑶6+獷+(1獷=2(問(wèn)2+葉)；

-2~2今->

(4)a+b=0a=b=0；

⑸?向—阿歸口+司+同+網(wǎng),當(dāng)且僅當(dāng)】與」同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立,:與I反向共線時(shí)左邊等

號(hào)成立.

以上結(jié)論可作為公式使用.

【知識(shí)點(diǎn)2平面向量數(shù)量積的解題方法】

1.平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法

(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角。時(shí)，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)

計(jì)算問(wèn)題；

(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解.

【知識(shí)點(diǎn)3數(shù)量積的兩大應(yīng)用】

1.夾角與垂直

-?->

a?b->->->->

根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若4,6為非零向量，則cos，=(夾角公式),alb-a-b=0等,

可知平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度、垂直問(wèn)題.

2.向量的模的求解思路：

(1)坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時(shí)，可用模的計(jì)算公式；

(2)公式法：利用同=H及G±與2=同2±2〉5+網(wǎng)2,把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算;

(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利

用余弦定理等方法求解.

【知識(shí)點(diǎn)4向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想】

1.向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的三大解題方法

(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)

的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決.

(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫(xiě)出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來(lái)

進(jìn)行求解.

(3)利用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問(wèn)題或三角恒等變換問(wèn)題是常規(guī)的解題思路和方法，以

向量為載體考查三角形問(wèn)題時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理等知識(shí)的應(yīng)用.

【知識(shí)點(diǎn)5極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過(guò)程與幾何意義

(1)平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：

|a+S|2+|a-S|2=2(|a|2+|S|2).

證明：不妨設(shè)方=2,而=加貝!)工=2+幾DB=a-b,

阿=ER+H=@+2鼠1+配①》

網(wǎng)2=加=R_.@_27B+卑②,

①②兩式相加得:

⑵極化恒等式:

上面兩式相減，得：之二=；］(a+q2_R_q〔-------極化恒等式

平行四邊形模式：a-b=^AC^-\DB^.

(3)幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平

方差的

4

【方法技巧與總結(jié)】

I.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

(l)(a+6)?(a—6)=/一片；

->2-?->->2

(2)p±獷=Q±2q?6+b.

2.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論

->->->->->—>->->

（1）若a與6的夾角為銳角，則a-6>0；若。?6>0,則a與6的夾角為銳角或0.

->->->->->->->->

（2）若。與6的夾角為鈍角，則a-6<0；若。-bO,則a與6的夾角為鈍角或兀

__>__>a?bb

3.向量a在向量6上的投影向量為

?舉一反三

【題型1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算】

【例1】（2024?江西宜春?模擬預(yù)測(cè)）在中，已知AB=AC=2,BD=2DC,若小?麗=2,則荏?無(wú)

=()

A.-1B.1C.2D.-2

【變式1?1】（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知向量五=81,2）了=（71,-1）（幾>0）,〈標(biāo)）=與，a-b=0,且

|c|=V3,若石則（五+B）?工=（）

A3口-2機(jī)B_在c302灰口地

?2?T?2?-2-

【變式1?2】（2023?山東日照?一模）已知正六邊形45CZ）跖的邊長(zhǎng)為2,尸是正六邊形45cQEF邊上任意

一點(diǎn)，則同?麗的最大值為（）

A.13B.12C.8D.2V3

【變式1-3］（2024?北京?三模）已知點(diǎn)N在邊長(zhǎng)為2的正八邊形414,…4的邊上，點(diǎn)M在邊4遇2上，貝U

乖?布的取值范圍是（）

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2V2]

C.[-272,4+2V2]D.[-272,4]

【題型2平面向量的夾角問(wèn)題】

【例2】（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量落加滿足力（22+勵(lì)=2,貝皈與茄勺夾角等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【變式2-1］（2024?江西新余?二模）已知2=（但2遍），h=（-V3,A）,若2+1與書(shū)的夾角為與，則1=

（）

A.-1B.1C.±1D.±2

【變式2-2】（2024?湖北?二模）已知平面向量五=（1一%,—%—3）,6=（1+%,2）,a-b=-4,則五+2石與石的

夾角為（）

TI71-2n—3n

A.弓B.4c-TD-T

【變式2-3］（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）平面四邊形28CD中，點(diǎn)E、F分別為4D,BC的中點(diǎn)，|CD|=2|4B|=8,|EF|

=5,則cos（屈，反）=（）

A.令B.C.—萼D.—金

1664840

【題型3平面向量的模長(zhǎng)】

【例3】（2024?河北?三模）已知非零向量附夾角為去a=\a-b\=l,則|五+引=（）

A.1B.C.V2D.V3

【變式3-1］（2024?山東煙臺(tái)?三模）已知向量-B滿足同=4,右在方方向上的投影向量為浜，且

（2五一勵(lì)，則|花+目的值為（）

A.4B.4V3C.16D.48

【變式3-2］（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）在平行四邊形A8CD中，AC=2BO=4,點(diǎn)P為該平行四邊形所在平面

內(nèi)的任意一點(diǎn)，貝?刀，+|而『+|玩『+|而『的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

【變式3-3］（2024?湖南永州?三模）在△ABC中，乙4cB=120。，|而|=3,|而|=4,DC-DB=0,則|方+而|

的最小值為（）

A.6V^—2B.2,19—4C.3v1D.719—2

【題型4平面向量的垂直問(wèn)題】

【例4】（2024?西藏林芝?模擬預(yù)測(cè)）已知向量五=（居3）石=（2,久+5）,若五10—3）,則久=（）

A.2或3B.-2或一3C.1或一6D.一1或6

a+kb}1(a—kb卜的

【變式4-1]（2024?遼寧沈陽(yáng)?二模）已知向量1=（2,4）%=（3-1），則濃=魚(yú)"是f

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式4-2]（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)向量五=（2,-1）%=（點(diǎn)m）,且。+石），0-母,則血的值為

)

A.±1B.±V2C.±2D.±2V3

【變式4-3]（2023?全國(guó)?高考真題）已知向量3=（1,1）3=（1,—1）,若（五+需），（五+〃石）,則（）

A.a+〃=1B.a+〃=—1

C.A/i=1D.A/i=-1

【題型5平面向量的投影】

【例5】（2024?浙江紹興?三模）若非零向量出石滿足同=國(guó)=|2+同，貝皈+23在后方向上的投影向量為

)

A.2bB.C.bD.我

【變式5-11（2024?山東青島?二模）已知向量方=（—1,2）,3=（—3,1）,貝收在3上的投影向量為（）

A.（一為B.（4，1）C（一卷等）D.（—富，黑）

【變式5-2]（2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)非零向量蜃石滿足忖+同=忖—川，貝皈—3在辦上的投影向量

為（）

A.bB.—bC.—bD.一5b

【變式5-3]（2024?湖北武漢?二模）已知xCR,向量2=（%,2）3=（2,—1）,且方1幾則d+3在2上的投影

向量為（）

A.V5B.5C.（1,2）D.（2,-1）

【題型6坐標(biāo)法解決向量問(wèn)題】

【例6】（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）已知菱形4BCD的邊長(zhǎng)為2,乙4BC=60。，動(dòng)點(diǎn)尸在BC邊上（包括端

點(diǎn)），則而?而的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[—1,2]C.[—2,2]D.[—1,1]

【變式6-1]（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如下圖所示，三個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,

邊83c3上有1。個(gè)不同的點(diǎn)Pi，。2,…’Pio，記弧=A%,/匕(i=1,2,…,10),則Mi+時(shí)2+…+Mio=

C.-18D.-180

【變式6-2]（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知45是圓。的直徑，C是圓。上一點(diǎn)，元=而，點(diǎn)「是

線段上的動(dòng)點(diǎn)，且△248的面積記為品，圓。的面積記為S2，當(dāng)麗?麗取得最大值時(shí)，（）

【變式6-3]（2024?貴州貴陽(yáng)?一模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形2BCD中.以C為圓心，1為半徑的圓分別

交CD,BC于點(diǎn)、E,F.當(dāng)點(diǎn)P在劣弧EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，麗?麗的取值范圍為（）

A.[1—2V2,—i]B.[1-2vx—1]

C.[―1,1—V2]D.[1-2V2.1-V2]

【題型7平面向量的實(shí)際應(yīng)用】

【例7】（2024?吉林長(zhǎng)春?一模）長(zhǎng)江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，如圖所示已知游船在靜水中的航行速度也

的大小|也|=10km/h,水流的速度。2的大小W2I=4km/h,設(shè)3和也所成角為火0<9<兀）,若游船要從4

航行到正北方向上位于北岸的碼頭8處，則cos8等于（）

B

A

河流兩岸示意圖

a-Tb--tc--1d-T

【變式7-1］（2024?浙江溫州?二模）物理學(xué)中，如果一個(gè)物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段

位移，我們就說(shuō)這個(gè)力對(duì)物體做了功，功的計(jì)算公式：W=F-S（其中”是功，F(xiàn)是力，3是位移）一物體

在力K=（2,4）和豆=（-5,3）的作用下，由點(diǎn)2（1,0）移動(dòng)到點(diǎn)B（2,4）,在這個(gè)過(guò)程中這兩個(gè)力的合力對(duì)物體

所作的功等于（）

A.25B.5C.-5D.-25

【變式7-2］（2024?山東濰坊?二模）如圖所示，一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條

繩上的拉力分別是瓦，無(wú)，且瓦，瓦與水平夾角均為45。，兩=兩=10魚(yú)此則物體的重力大小為N,

【變式7-3］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，某物體作用于同一點(diǎn)。的三個(gè)力Fi，F(xiàn)2,F3使物體處于平衡狀

態(tài)，已知Fi=lN,尸2=2N,%與F2的夾角為120°,則B的大小為.（牛頓N是物理的力學(xué)單位）

【題型8向量數(shù)量積與解三角形綜合】

【例8】（2024?江西?三模）已知鈍角△ABC的面積為3,48=4,AC=2,則布?前的值是（）

A.-6B.-2V7C.2J7或一2bD.-6或6

【變式8-1］（2024?貴州畢節(jié)?三模）在△48C中，內(nèi)角B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,X=—,若點(diǎn)D

滿足而?方=0,且同=如+冠，貝哈=（）

1

AB.2C.D.4

-I4

【變式8-2](2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè))在△4BC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知瓦?前-瓦？?麗=4

—>2

AB

(1)若4=1,判斷△ABC的形狀；

(2)若4=今求tan(B-4)的最大值.

【變式8-3](2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))如圖，兩射線人、L均與直線/垂直，垂足分別為。、E且DE=1.

點(diǎn)/在直線/上，點(diǎn)8、C在射線上.

⑴若廠為線段3c的中點(diǎn)(未畫(huà)出)，求赤?前的最小值;

(2)若△4BC為等邊三角形，求△ABC面積的范圍.

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2024,黑龍江?模擬預(yù)測(cè))已知向量悶=3,|2-3|=同+2力，則|五+山=()

A.V3B.2C.V5D.3

2.(2024,江西吉安?模擬預(yù)測(cè))若方=(1,%)工=(短-2),且|五+引=|五_引,則％=()

A.V2B.-V2C.--D.乎

3.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）若心方是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，疝+石與刀一石垂直，則4=（）

C.-1D.-2

4.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）己知向量獲滿足同=2了=（3,0）,|五-同則向量H在向量后方向

上的投影向量為（）

D.(1,0)

5.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）若平面向量日石滿足同=VX揚(yáng)|=1,|方+引=遮，則向量2,B夾角的余弦值

為（）

A.g

（2024?寧夏石嘴山?三模）已知向量五=（一3,1）,6=（2,1）,則以下說(shuō)法正確的是（

A.—可=V5

C.向量降向量讓的投影為孚D.若/=（浮一管），貝呢1個(gè)

7.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）某公園設(shè)計(jì)的一個(gè)圓形健身區(qū)域如圖所示，其中心部分為一個(gè)等邊三角形

廣場(chǎng)，分別以等邊三角形的三條邊作為正方形的一條邊構(gòu)造三個(gè)正方形區(qū)域用于放置健身器材，其中每個(gè)

正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)恰好在圓上.若4B=2a,則說(shuō)?次=（）

A.-4（2+B.-2（2+V^）Q2C.-2（3+V^）a?D.-2（1+

8.（2024?四川成都?三模）在矩形4BCD中，AB=5,4。=4,點(diǎn)E滿足2荏=3而，在平面4BCD中，動(dòng)點(diǎn)

P滿足無(wú)?麗=0,則而?加的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2V13-6

9.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知向量3=（1,8）,6=（-2,0）,則下列說(shuō)法正確的是（

A.a-b=2B.2與b的夾角為石

C.a1(a+2b)D.2+石在3上的投影向量為超

10.(2023?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè))已知非零向量五43,口=1,對(duì)任意tCR,恒有同一比|N|H—磯，則

()

A.3在3上的投影的數(shù)量為1B.|a+e|>|a-2e|

C.a1(a—e)D.e1(a—e)

11.(2024?河北保定?一模)已知P為△力8c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列正確的是()

A.若腐+3方+2同=0,則點(diǎn)P在的中位線上

B,若西+而+定=0,貝UP為△4BC的重心

C.若荏?前>0,則△力BC為銳角三角形

D.若/=冠+|前，則△ABC與△ABP的面積比為3:2

三、填空題

12.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知向量五=(一2比一3),B=(k,k—2),且五_1刃，則卜=.

13.(2024?上海?模擬預(yù)測(cè))已知向量五,b,工滿足|司=歷|=1,|c|=V2,Ma+&+c=O,則cos(五一胡-工)

14.(2024?天津河西?二模)如圖，直角梯形N8CD中，AB||CD,ABLAD,AB2CD=2AD=2,在等

腰直角三角形CDE中，ZC=9O°,則向量荏在向量方上的投影向量的模為；若M,N分別為線段

BC,CE上的動(dòng)點(diǎn)，且箱?前=玄則而?麗的最小值為.

15.(2024?天津河北?模擬預(yù)測(cè))已知向量五=(3,4),9=(l,x),c=(l,2).

(1)若五_L刃,求同的值；

(2)若工II(a-2b),求向量與2的夾角的余弦值.

16.(23-24高一下?北京東城?期中)已知向量獲的夾角為卓且同=2,由=4,求:

⑴展反

⑵忖-況

(3)五與五一石夾角的余弦值.

17.(2024?湖南邵陽(yáng)?一模)在△4BC中，內(nèi)角4滿足gsin24-cos24=2.

(1)求角力的大小；

⑵若反=2而，求需的最大值.

18.(2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))在△48C中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,已知向量范云滿足方=

(2a,—V6),n=(V2sinB,fo),且為1n.

⑴求角力；

(2)若△NBC是銳角三角形，且a=3,求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.

19.(23-24高一下?浙江寧波?期末)在直角梯形2BCD中，AB//CD,^DAB=90°,AB=2AD=2DC=4,

點(diǎn)尸是BC邊上的中點(diǎn).

(1)若點(diǎn)E滿足而=2近，且前=2刀+〃而，求2+〃的值；

(2)若點(diǎn)P是線段4尸上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，求麗?麗的取值范圍.

專題5.3平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【八大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算】..................................................................4

【題型2平面向量的夾角問(wèn)題】....................................................................7

【題型3平面向量的模長(zhǎng)】........................................................................9

【題型4平面向量的垂直問(wèn)題】...................................................................11

【題型5平面向量的投影】.......................................................................12

【題型6坐標(biāo)法解決向量問(wèn)題】...................................................................13

【題型7平面向量的實(shí)際應(yīng)用】...................................................................16

【題型8向量數(shù)量積與解三角形綜合】............................................................18

?考情分析

1、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

⑴理解平面向量數(shù)量積

的含義及其幾何意義2022年新高考全國(guó)II卷：第4

⑵了解平面向量的數(shù)量題，5分平面向量的數(shù)量積是高考的熱點(diǎn)內(nèi)

積與投影向量的關(guān)系2023年新高考I卷：第3題，容.從近幾年的高考情況來(lái)看，試題往往

⑶掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表5分以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，主要考

達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)2023年新高考H卷:第13題，查向量的數(shù)量積、夾角、模與垂直條件

量積的運(yùn)算5分等知識(shí)，難度中等，有時(shí)會(huì)與三角函數(shù)、

(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩2023年北京卷：第3題，5分平面幾何等相結(jié)合命題.學(xué)生在高考一

個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量2024年新高考I卷：第3題，輪復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)訓(xùn)練，要能靈活運(yùn)

積判斷兩個(gè)平面向量的垂5分用定義法、坐標(biāo)法和基底法解決常見(jiàn)的

直關(guān)系2024年新高考H卷：第3題，數(shù)量積有關(guān)問(wèn)題.

⑸會(huì)用向量的方法解決5分

某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1向量數(shù)量積的性質(zhì)和常用結(jié)論】

1.向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律

(1)向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)。，b是非零向量，它們的夾角是e是與b方向相同的單位向量，則

①a'e=e-a=同cos0.

②QJ_ba-6=0.

-?->|->I]—I->-?->->I-?I[—1

③當(dāng)a與l同向時(shí)，。口=同同；當(dāng)〃與務(wù)反向時(shí)，a-b=-|Z)|.

特別地,Q-Q=Q2=|Q|之或同=JQ.q

④|a-"《同當(dāng)且僅當(dāng)向量a,6共線，即a〃b時(shí)，等號(hào)成立.

@0086>=-^^7

(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算律

由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立：

對(duì)于向量"b,1和實(shí)數(shù)，有

①交換律：a-b=b-a；

■->->->->->->

②數(shù)乘結(jié)合律：(A<2)-b=X(a-b)=a-(26)；

③分酉己律：(a+b)~c=a?c+b'c.

2.向量數(shù)量積的常用結(jié)論

/->-?\2［今->|2|4|2->一|4|2->?->今->7

⑴±=,土.=|。|±2a?方+問(wèn)=a^2a-b+b；

(2)藍(lán)一/=6+1)傘_刀=向2_阿

⑶6+獷+(1獷=2(問(wèn)2+葉)；

-2~2今->

(4)a+b=0a=b=0；

⑸?向—阿歸口+司+同+網(wǎng),當(dāng)且僅當(dāng)】與」同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立,:與I反向共線時(shí)左邊等

號(hào)成立.

以上結(jié)論可作為公式使用.

【知識(shí)點(diǎn)2平面向量數(shù)量積的解題方法】

1.平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法

(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角。時(shí)，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)

計(jì)算問(wèn)題；

(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解.

【知識(shí)點(diǎn)3數(shù)量積的兩大應(yīng)用】

1.夾角與垂直

-?->

a?b->->->->

根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若4,6為非零向量，則cos，=(夾角公式),alb-a-b=0等,

可知平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度、垂直問(wèn)題.

2.向量的模的求解思路：

(1)坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時(shí)，可用模的計(jì)算公式；

(2)公式法：利用同=H及G±與2=同2±2〉5+網(wǎng)2,把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算;

(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利

用余弦定理等方法求解.

【知識(shí)點(diǎn)4向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想】

1.向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的三大解題方法

(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)

的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決.

(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫(xiě)出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來(lái)

進(jìn)行求解.

(3)利用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問(wèn)題或三角恒等變換問(wèn)題是常規(guī)的解題思路和方法，以

向量為載體考查三角形問(wèn)題時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理等知識(shí)的應(yīng)用.

【知識(shí)點(diǎn)5極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過(guò)程與幾何意義

(1)平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：

|a+S|2+|a-S|2=2(|a|2+|S|2).

證明：不妨設(shè)方=2,而=加貝!)工=2+幾DB=a-b,

阿=ER+H=@+2鼠1+配①》

網(wǎng)2=加=R_.@_27B+卑②,

①②兩式相加得:

⑵極化恒等式:

上面兩式相減，得：之二=；］(a+q2_R_q〔-------極化恒等式

平行四邊形模式：a-b=^AC^-\DB^.

(3)幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平

方差的

4

【方法技巧與總結(jié)】

I.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

(l)(a+6)?(a—6)=/一片；

->2-?->->2

(2)p±獷=Q±2q?6+b.

2.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論

->->->->->—>->->

(1)若a與6的夾角為銳角，則a-6>0；若。?6>0,則a與6的夾角為銳角或0.

->->->->->->->->

(2)若。與6的夾角為鈍角，則a-6<0；若。-bO,則a與6的夾角為鈍角或兀

->->->

->今77?77

3.向量。在向量6上的投影向量為需?備.

?舉一反三

【題型1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算】

【例1】(2024?江西宜春?模擬預(yù)測(cè))在ZkAeC中，已知A8=4C=2,BD=2DC,若麗?近=2,則前?前

=()

A.-1B.1C.2D.-2

【解題思路】將前和反轉(zhuǎn)化成前和左來(lái)表示，再結(jié)合而?BC=2求得NB4C即可求解.

【解答過(guò)程】由題意。為BC邊靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)，

所以而=AC-DC=AC-^BC=AC-^^AC-AB')=河+癡，

所以AD-BC=[^AC+?yAC-AB)=|XC-^AB-AC-^AB

=~^cos(AB,4C)=g-gcos/B力C=2,

所以ABAC=拳

所以前AC=\AB\\AC\cosABAC=2X2x(-|)=-2.

故選：D.

【變式1-1](2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知向量2=0,2)了=0，-1)5>0),〈為3)=事，a-b-0,且

|c|=V3,若石々=乎，則(五+刃),才=()

A3H2顯B_返C3心+2前D3V6

?2~?2?2

【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到=2,再確定01),由=挈即可求出m從而得到小的值，

最后根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算可得.

【解答過(guò)程】因?yàn)??石=0,所以@動(dòng)=5且五?石=血相一2=0,所以77171=2,

又1.2=挈>0,且(赭=與,所以屈)=亨一今=也

所以石?c=|h|?\c\cos(b,c)=Vn2+1xV3x曰=呼，解得九=±1,

又n>0,所以幾=1,則m=2,

所以五=(2,2),則同=V22+22=2企，

所以(五+6)-c=a-c+6-c=|H|?\c\cos(a,c)+b-c

=2V2XV3X(-1)+^=^V6.

故選：A.

【變式1-2](2023?山東日照?一模)已知正六邊形4BCDE尸的邊長(zhǎng)為2,尸是正六邊形4BCDE尸邊上任意

一點(diǎn)，則刀?麗的最大值為()

A.13B.12C.8D.2V3

【解題思路】以正六邊形/3CDE/中心。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

研究最值.

以正六邊形4BCDE尸中心。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，48、DE交y軸于G、H,

WJC(2,0),F(-2,0)M(-l-V3),B(1-V3),G(0,-每E(—1,何。(1,何W(0,V3),

設(shè)P(x,y),PA=(-l-x,-V3-y),PB=(l-x-V3-y),~PA-PB^x2+y2+2何+2,由正六邊形對(duì)稱性,

不妨只研究y軸左半部分，

(1)當(dāng)P在上時(shí)，貝!Ue[—1,0],y=?則瓦？?麗=/+11w12；

(2)當(dāng)尸在/G上時(shí)，貝1,0],y=-V3,則談?麗=/一1<0；

(3)當(dāng)P在即上時(shí)，則令尸：y=V3(x+2),%G[-2,-1],則麗?麗=4%2+18x+26=4(%+?2+與

<12；

(4)當(dāng)P在/尸上時(shí)，則UF：y=-V3(x+2),xe[-2,-1],則麗?麗=4尤2+6x+2=4(x+

<6.

綜上，所求最大值為12.

故選：B.

【變式1-3](2024?北京?三模)已知點(diǎn)N在邊長(zhǎng)為2的正八邊形4/2,…，45的邊上，點(diǎn)M在邊&&上，則

病?嬴的取值范圍是()

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2V2]

C.[—2A/^',4+2A/2^]D.[—2>/^,4]

【解題思路】以公為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，計(jì)算&MS1N即可.

【解答過(guò)程】以公為原點(diǎn)，&&為久軸，4遇6為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)N則41M==（亞,%）,

所以41用-4/=打％2，

由于正八邊形的每個(gè)外角都為今

則刀26[O,2],X16[-V2,2+V2],

所以-A±N=6[-2V2,4+2V2].

故選：C.

【題型2平面向量的夾角問(wèn)題】

【例2】（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量口加滿足大（2五+石）=2,則2與茄勺夾角等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出ai,再由夾角公式計(jì)算可得.

【解答過(guò)程】因?yàn)?,（2五+1）=工+辦=2,BP2a-b+I2=2,解得五?9=g,

設(shè)己與茄勺夾角為仇貝。（：058=瀚=今又0。38式180。，所以8=60。，

即H與刃的夾角等于60。.

故選：B.

【變式2-1】（2024?江西新余?二模）已知2=（8,2遮），b=（-V3,A）,若為+石與石的夾角為與，貝壯=

（）

A.-1B.1C.±1D.±2

【解題思路】利用向量積的運(yùn)算律計(jì)算Q+丹i,再利用向量數(shù)量積的定義計(jì)算（五+為不，列出相關(guān)等式

可得4的值.

【解答過(guò)程】因?yàn)閆=（但28），b=（-V3.2）,

所以a,b=X（―V3^）+2V^A=—3+2V3A,

a+b^（V3,2V3）+（-V3.A）=（0,2遮+A）,

|a+fo|=J（2A/3+A）2=|2V3+A|,

因?yàn)椋ㄎ?￡））,/?=2,b+b=—3+2y[^入+3+Q=%+2^/^九

又（五+b）-h=|a+b\\b\co^-=|2A/3+A|XV34-A2x

所以M+2V3A=|2V3+A|xV3TI2x（-1）,

解得a=1或a=-1,

因?yàn)?g+awo,所以N+2后<0,

解得—2V^<A<0,

所以％=-1.

故選：A.

【變式2-2］（2024?湖北?二模）已知平面向量2=（1-%一久一3）,3=（1+久,2）,a-b=-4,貝皈+2）與［的

夾角為（）

A謂B.JC.亨D.空

【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得刀=-1,再由平面向量的夾角公式代入計(jì)算，即

可得到結(jié)果.

【解答過(guò)程】a-b=-4=>(1—x)(l+%)—2(%+3)=—4=>x=—l=>a=(2,—2),

b=(0,2尸五+2b=(2,2),

)—*—?(1+21)$_0+4_y/2

???cos(a+2b,b)

\a+2b\\b\一2V2x2~~

(a+2港)6[0,ii],.?.(a+2b,b)=

故選：B.

【變式2-3］（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）平面四邊形ZBCD中，點(diǎn)E、F分別為AQBC的中點(diǎn)，|CD|=2|人用=8叫網(wǎng)

=5,則cos（同，反）=（）

A.磊B.C.--D.4

1664840

【解題思路】由向量的加法法則可得2而=而+瓦^(guò)兩邊同時(shí)平方可得瓦?希=10,由平面向量的夾角

公式求解即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)槠矫嫠倪呅瘟CD中，點(diǎn)E、尸分別為4D,8c的中點(diǎn)，

所以而=TC+~CD+1）E=~FB+~BA+AE,

所以2而=而+而+而+而+0+福=而+或，

由|CD|=2|力切=8可得：\CD\=8,\AB\=4i

兩邊同時(shí)平方可得：4F￡2=（3+BA）2=而？++23-瓦

----?2----->2,>-----?----?

所以4X25=CD+BA+2CD-BX=64+16+2CD-BA,

解得：DC-AB=10,所以cos（福友）=瑞倚=瞪=看

故選：A.

【題型3平面向量的模長(zhǎng)】

【例3】（2024?河北?三模）已知非零向量心麗夾角為去a=\a-b\=l,則憶+書(shū)|=（）

A.1B.C.V2D.V3

【解題思路】分析可知同=1,向量落2-石的夾角為3根據(jù)為+刃=2H-Q-勵(lì)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)槲?（一孚3）,則同=1,

且非零向量區(qū)茄勺夾角為3艮-同=1,可知向量落3-3的夾角為？

則2-(a-S)=lxlx|=|,

所以B+川=|2a—（a—b）|=J4a2—4a-（a—b）+（a-b）2=V3.

故選：D.

【變式3-1]（2024?山東煙臺(tái)?三模）已知向量五，石滿足同=4,9在五方向上的投影向量為晶且31

（2a-b）,則|五+引的值為（）

A.4B.4V3C.16D.48

【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合投影向量可得五%=8,再根據(jù)垂直關(guān)系可得同=4,進(jìn)而可求模長(zhǎng).

【解答過(guò)程】由題意可知：同=4,即五

因?yàn)榱嗽谖宸较蛏系耐队跋蛄繛椋ň由?（照/=浜，可得/%=8,

又因?yàn)閎（2五一匕）,則刃?（2石—石）=22,石―1=16—b=0,可得國(guó)=4,

貝加之+b|2=a2+2a?B+片=48,所以憶+b\=4V3.

故選：B.

【變式3-2]（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）在平