河北省唐山市2022屆高三年級下冊第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

河北省唐山市2022屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-1,2),則*=()

Z

A.l+2iB.-l-2iC.l-2iD.2+i

2.已知集合人={%,2一5無一6<0},5={%[-4<%<4卜則ACJB=()

A.1x|-2vxv3}B.1x|-3<x<2}

C.1x|-1<xv4}D.{X[T<%<1}

3.圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比值為()

A.1：1B.1：2C.2：1D.2:3

4.已知角。的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點A(-1,3)在角。的終邊上,

則sin2。=()

33「33

A.—B.-C.------D.—

105105

5.已知向量￡=(2,1),\b\=y/10,\a-b\=5,則之與B的夾角為()

A.45°B.60°C.120°D.135°

r2y2

6.已知廠為雙曲線C:與=1(?！?]〉0)的右焦點，A為雙曲線C上一點，直線

a一手

AFlxtt，與雙曲線C的一條漸近線交于8,^\AB\^\AF\,則C的離心率e=()

w2^3c好

D.2

153-2

7.已知函數(shù)/(x^V+a^+x+b的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，貝!］匕=()

A.-3B.-lC.lD.3

8.在正方體ABC。-中，M為棱8片的中點，平面4。河將該正方體分成兩部分,

其體積分別為匕，匕，(匕<%)，則匕=()

171

B.-C.—D.-

3172

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.有一組目不相等的數(shù)組成的樣本數(shù)據(jù)X］,%.x9,其平均數(shù)為a(a力Xj,z=1,2,

9),若插入一個數(shù)a,得到一組新的數(shù)據(jù)，則(

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同

10.設(shè)函數(shù)/(x)=2sin3x—：,則()

A"(x)在—斌TTTT上單調(diào)遞增

B./(%)在［0,2兀］內(nèi)有6個極值點

JT

C.f(x)的圖象關(guān)于直線％=-A對稱

JT

D.將y=2sin3］的圖象向右平移一個單位,可得y=/(X)的圖象

4

11.已知直線/:%=。+4與拋物線C:/=4x交于兩點，。為坐標(biāo)

原點，直線04,08的斜率分別記為匕，k2,則()

A.為定值B.匕?42為定值

C.%+y2為定值D.K+自+/為定值

12.已知a>l,X］,無2，%為函數(shù)/(X)=/一工2的零點，xr<x2<x3,下列結(jié)論中正確

的是()

A.石〉一1B.Xj+x2<0

(2\

C.若2々=為+%3，則巴=J5+1D.a的取值范圍是l,e1

7

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

v24-1X<0

13.設(shè)函數(shù)/⑴='-'若〃Q）=0,貝必=________.

lgx,x>0.

14.記S”是公差不為0的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若q=乂，卬%=?5，則冊=.

15.為了監(jiān)控某種食品的生產(chǎn)包裝過程，檢驗員每天從生產(chǎn)線上隨機抽取左,eN*）包食品,

并測量其質(zhì)量（單位：g）.根據(jù)長期的生產(chǎn)經(jīng)驗，這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下每包食品質(zhì)量服從

正態(tài)分布N.d）.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記自表示每天抽取的/包食品中其質(zhì)量在

（〃—3。,〃+3。）之外的包數(shù)，若J的數(shù)學(xué)期望E（J）>0.05,則k的最小值為.

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N（〃,cr2）,則P（〃—3b<X<〃+3b）a0.9973.

16.己知A（—2,0）,3（2,0）,是圓C:（x—iy+y2=3上的動點，當(dāng)|PA|.|P5|

最大時，/=；|K4|+|P@的最大值為.（第一空2分，第二空3分）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

已知數(shù)列｛4｝的各項均不為零，S“為其前〃項和，且可。用=25“-1.

（1）證明：a,,*2—an=2；

⑵若q=-1,數(shù)列也｝為等比數(shù)列，4=q,d=%.求數(shù)列｛%2｝的前2022項和0團

18.（12分）

在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知NS4C=60°,a=2月.

(1)若C=45°,求b；

(2)若。為BC的中點，且AD=百，求△ABC的面積.

19.(12分)

甲、乙兩支隊伍進行某項比賽，賽制分為兩種，一種是五局三勝制，另一種是三局兩勝制.

根據(jù)以往數(shù)據(jù)，在決勝局(在五局三勝制中指的是第五局比賽，在三局兩勝制中指的是第三

局比賽)中，甲、乙兩隊獲勝的概率均為0.5；而在非決勝局中，甲隊獲勝的概率為0.6,乙

隊獲勝的概率為0.4.

(1)若采用五局三勝制，直到比賽結(jié)束，共進行了4局比賽，求隨機變量4的分布列，并

指出進行幾局比賽的可能性最大；

(2)如果你是甲隊的領(lǐng)隊，你希望舉辦方采用五局三勝制還是三局兩勝制？

20.（12分）

如圖，直三棱柱ABC—A51cl中，AC=BC=CCi=2,。為的中點，E為棱A4上

一點，AD.LDQ.

(1)求證：8。1,平面44。；

(2)若二面角A-OE-C的大小為30°,求直線CE與平面CDE所成角的正弦值.

21.(12分)

e"i

已知函數(shù)/(%)=——.

x+1

(1)討論了(X)的單調(diào)性;

(2)證明：/(%)>.

22.（12分）

22

，禺心率為一.

2

(2)如圖，橢圓C的左、右頂點為A，4,不與坐標(biāo)軸垂直且不過原點的直線/與C交

于M,N兩點(異于A，4),點“關(guān)于原點。的對稱點為點P,直線4尸與直線4N交

于點。，直線。。與直線/交于點R.證明：點R在定直線上.

參考答案

一、選擇題:

1-5：BCADD6-8：BCC

二、選擇題：

9.AD10.BC11.ABD12.ACD

三、填空題：

13.114.3-〃15.19

16.1,4&（第一空2分，第二空3分）

四、解答題：（若有?他解港，.請年即維分）

17.解:⑴因為a"。,*]=2S"一1①

所以4+。+2=25,用-1②

②-①得《+1（4+2一%）=2%+1，

因為。用#0,所以4+2—4=2

（2）由〃]二一1得。3=1，于是62=。3=1，

由伉=一1得｛么｝的公比q=—l.

所以a=（一1）"，a也=（-1）5

由q%=2〃i-1得〃2=3

由〃〃+2_=2得〃2022_々2021=〃202。-%019=…=4一"1

因此7^Q22=_"1+%—〃3+〃4-----〃2021+〃2022

=（%—4）+（。4—6）+—+（々2022—々202］）

二1011x（%一%）

=1011x4

=4044

18.解：（1）因為。=45°,所以sin5=sin（NE4C+C）=sin（60°+45°）=，^32

ab

在3c中，由正弦定理得

sinABACsinB

上博”■

(2)在ZVIBC中，由余弦定理得廿+02—歷=12.①

因為。為的中點，所以

R力2,A力2_ATilo_2

在AABD中，由余弦定理得cosZADB=--------------=——=.

2xBDxAD2.715

CD-+AD--AC28-b2

在38中，由余弦定理得cos/4DC=

2xCDxAD2岳'

由cosNADB+cos/ADC=0得尸+。2=16.②

聯(lián)立(1)(2)可得Z?c=4,即％月.

19.解：(1)因為是五局三勝制，所以自的可能取值為3,4,5.

「4=3)=0.63+0.43=0.28；

P您=4)=C；x0.4x0.63+C；x0,6x0.43=0.3744；

=5)=Gx0.42x0.62=0.3456；

則J的分布列為

345

P0.280.37440.3456

由上述可知，進行四局比賽的可能性最大.

(2)作為領(lǐng)隊希望己方獲勝，故需比較兩種賽制下甲隊獲勝概率的大小.

若采用五局三勝制，甲隊獲勝的概率為

B=0.63+C；x0.4x0.63+C；x0.42x0.62x0.5=0.648；

若采用三局兩勝制，甲隊獲勝的概率為

2

p2=0.6+C,x0.4x0.6x0.5=0.6；

因為月＞。2,所以作為甲隊領(lǐng)隊，希望采用五局三勝制.

20.(1)證明：在直三棱柱ABC—A31cl中，eq，底面ABC,ADu底面ABC,

則eg±AD；

又ADJ_DC；,CqcDC[—C],CC]u平面BCC}B},DC〔u平面BCC}B},

于是AD,平面BCC4,又BCu平面5CCI81,故ADLBC.

由直三棱柱知A&，底面ABC,BCu底面ABC,則

又因為ADcAA=A,ADu平面AAD,A^u平面AA。，

故BC,平面AAD.

(2)解：由(1)知AD_L6C,又。為BC中點，故AB=AC.

以。為坐標(biāo)原點，成的方向為x軸正方向，次的方向為y軸正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-工yz.

則。(0,0,0),C(l,0,0),3(—1,0,0),A(0,0,0),“1,0,2).

設(shè)AE=/(()</<2),則E(0,6J).

由(1)知平面4。石的法向量可取就=(2,0,0).

設(shè)平面GDE的法向量3=(%y,z),

因為配1=(1,0,2),DE=(0,A0)

x+2z=0,

所以《取3=(2后,_百).

y/3y+tz=0.

由題設(shè)得|cos〈沅,3〉|=且，即=昱，解得”1.

2而+152

此時，n=(2.y/3,1,.

設(shè)CE與平面GDE所成角為。,

因為四=(—1,6,1),

21.解：(1)/(x)的定義域為(-oo,T)u(T,+co),f'(x)=----7-

(1+x)

當(dāng)x<—1時，/'(x)<0，/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)—l<x<0時，/(%)<0,7(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>0時，/(%)>0,/(X)單調(diào)遞增.

故/(%)在(-00,-1)和(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

(2)令g(x)=(x+iyei",x>Q,則g'(x)=9*(I-/),

所以0?x<l時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

x>l時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以g(力的最大值為g⑴=4,即(x+l)2e「'<4,

,,ke”、x+i匚匚…4、x+1

從而---->-----,所以/(x)?----.

x+144

▽x+]yfx__(>/x-I)2

乂—之U,

424

所以正，等號當(dāng)且僅當(dāng)工=1時成立

42

故外力￥.

[L2=1

a24〃'

22.W：（1）由題意知，1,

i_￡=l

【a24,