數(shù)列與不等式-高考數(shù)學(xué)復(fù)習重點題型歸納與方法總結(jié)（原卷版）

【一輪復(fù)習講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展22數(shù)列與不等式（精講+精練）

一、知識點梳理

一、數(shù)列與不等式

數(shù)列與不等式的結(jié)合，一般有兩類題:一是利用基本不等式求解數(shù)列中的最值;二是與數(shù)列中的求和問題相聯(lián)

系，證明不等式或求解參數(shù)的取值范圍,此類問題通常是抓住數(shù)列通項公式的特征，多采用先求和后利用放縮

法或數(shù)列的單調(diào)性證明不等式，求解參數(shù)的取值范圍.

1.常見放縮公式:

1111/.

(1)-y<7------=---------------(n>2)；

n[n—\)nn—ln

1)1_1__1_.

(2)

n2+nn+\

______o.

(3)

n24n24/I2-1<2n-l2n+lJ'

_rI_n\11111，

(4)Trl~Crn--,/x/<.</1(r-2)；

+nr\\n—r)\nrr\ryr—\)r—1r

(1Y111

(5)1+-<1+1+——+——+...+-———<3；

InJ1x22x3(n-l)n

-----廠=利

(6)r=rr<i2(J"1+(nN2)；

7n+7H<n—l+{n'7

(7)r~rr>ri------2(冊+6+l);

(8)廠一廠r<1------i-------/--------\--------J2(N2n1+J2〃+1)；

\Jny/n+y/n/1/1J2〃一1+J2v+1''

J幾-------------------

V2V2

2"2"2"2"-'11/

(9)--------------------------------------------------------------------------------------------------1〃2I■

(2"一(2"-1)(2"-1)(2"-1)(2"_2)(2"T(2"T_1)2"T-12"-1""

122_________2_________

(11)—~——-----―<—--------------

VA?y/n2-n+y/n-n2周幾-1+(n-l)\fnJ(n-l)n(y/n+Jr-1)

-2(一冊)

2_2__2

-------------------<-------------------

n

2〃-1(l+l)-lC：+C：+C-1〃(〃+l)nn+1

…八12〃T1I/。、

(13)<7-----;----77-------r=--------------------(n>2).

2n-l(2〃T—1)(2〃—1)2〃T—12〃—117

(14)2(J〃+1-4)=./2——<，<~r~~i-----—2(G-A//?-1).

+l個nyjn+y/n—l

2.數(shù)學(xué)歸納法

(1)數(shù)學(xué)歸納法定義：對于某些與自然數(shù),有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當"

取第一個值"o時命題成立；然后假設(shè)當〃=%(k&N*,k>n0)時命題成立，證明當〃=左+1時命題也成

立.這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法.

注：即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)?0,如果當n=%時，命題成立，再假設(shè)當n=k(keN*,kWnJ

時，命題成立.(這時命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當〃=左+1時，命題也成立，那

么就可以遞推出對所有不小于％的正整數(shù)？+1,%+2,…，命題都成立.

(2)運用數(shù)學(xué)歸納法的步驟與技巧

①用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：

(1)證明：當〃取第一個值%結(jié)論正確；

(2)假設(shè)當〃=左(左wN*,k>n0)時結(jié)論正確，證明當〃=4+1時結(jié)論也正確

由(1),(2)可知，命題對于從〃。開始的所有正整數(shù)〃都正確.

②用數(shù)學(xué)歸納法證題的注意事項

(1)弄錯起始小?小不一定恒為1,也可能%=2或3(即起點問題).

(2)對項數(shù)估算錯誤.特別是當尋找〃=%與〃=左+1的關(guān)系時，項數(shù)的變化易出現(xiàn)錯誤(即跨度問題).

(3)沒有利用歸納假設(shè).歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就過不去了，整個證明

過程也就不正確了(即偽證問題).

(4)關(guān)鍵步驟含糊不清.“假設(shè)”=4時結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明〃=左+1時結(jié)論也成立”是數(shù)學(xué)歸納法的

關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，推導(dǎo)的過程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過程的嚴謹性、

規(guī)范性(即規(guī)范問題).

二、題型精講精練

【典例1】(2021.天津?統(tǒng)考高考真題)已知｛〃“｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64.他,｝是公比大

于0的等比數(shù)列，々=4也-4=48.

(I)求｛4｝和低｝的通項公式；

1*

(II)記，=氏+不，,

bn

(i)證明歸f“｝是等比數(shù)列；

(ii)證明f停豈<2右(〃N*)

k=1Y。2k

【典例2】(2020.全國.統(tǒng)考高考真題)設(shè)數(shù)列｛即｝滿足〃尸3,4+1=34-4%

(1)計算〃2,。3,猜想｛〃幾｝的通項公式并加以證明;

(2)求數(shù)列｛2〃即｝的前〃項和

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

1.數(shù)列不等式

一、單選題

1.(2023春?北京海淀?高二人大附中?？计谥?已知數(shù)列的前”項和為7“，若對任意的“eN*,不

[4〃-1J

等式〃『-2〃z>6,恒成立，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.(-8,—1]U[3,+8)B.(-?>.-3]o[l,+?)c.[-3,1]D.[-1,3]

2.(2023?寧夏銀川?校聯(lián)考二模)已知數(shù)列｛4｝滿足?！?2"：+1)，數(shù)列｛%｝的前〃項和為4,若

北>河"（北R）對任意〃eN*恒成立’則2的取值范圍是（）

A.（-oo,4）B.（-00,275j

C.（-oo,5）D.（-00,6）

3.（2023?河南駐馬店?統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)歹義4｝的前〃項和為S“，%=4,且4+1=。+^］?！?，若2Sw+12?k%

恒成立，則人的最大值是（）

22J5

A.2A/TO+1B.C.D.8

4.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知S〃是各項均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前〃項和，

S,“=21%+；S，，%%=64,若一邑”一65W。對〃eN*恒成立，則實數(shù)2的最大值為（）

A.872B.16C.160D.32

一「、1（n+l］a/、

5.（2023?福建?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝溺足％an+i=-----------,al+aia2+---+ala2---all<m（me'R）

恒成立，則加的最小值為（）

A.3B.2C.1D.-

3

6.（2023春?江西九江?高二?？计谥校?shù)列｛%｝是首項和公比均為2的等比數(shù)列，S"為數(shù)列｛4｝的前〃項和，

則使不等式《7+父不+…+下］—成立的最小正整數(shù)〃的值是（）

白自^2*^3W+i2U23

A.8B.9C.10D.11

7.（2023?上海?高三專題練習）已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,。向一q=1_￡|,存在正偶數(shù)“使得

（a?-2）（a?+1+A）>0,且對任意正奇數(shù)"有（?！?團（。用+X）<0,則實數(shù)4的取值范圍是（）

A.］一|，1］B.k0,一為（1,+8）C,卜曲口.卜鴻］

8.（2023春?浙江衢州?高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列｛%｝的前項和為S?,且%>,若a=2023%,

數(shù)列也,｝的前〃項積為則使的最大整數(shù)〃為（）

A.20B.21C.22D.23

9.（2023?江西吉安?統(tǒng)考一模）已知數(shù)列｛g｝滿足4=1,%=叱+4,止艮"€?4*,則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列｛%｝不可能為等差數(shù)列B.對任意正數(shù)f,是遞增數(shù)列

D.若r=l,數(shù)列，的前幾項和為工，則S,〈士

C.若r=l,貝

[an]e

q

10.（2023?四川遂寧??？寄M預(yù)測）若數(shù)列｛叫的前"項和為s“，b”吟,則稱數(shù)列也｝是數(shù)列｛5｝的“均

值數(shù)列已知數(shù)列出｝是數(shù)列｛%｝的“均值數(shù)歹『'且b?=n設(shè)數(shù)列若

；卜？-機+若一3）＜方對〃eN*恒成立，則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.[-1,2]B.(-1,2)

C.—l）U（2,+°°）D.（―℃,—1]U[2,+oo）

11.（2023春?浙江杭州?高二杭州市長河高級中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列｛《,｝滿足

q=a＞0,q,+i=-a；+S“（〃eN*）,若存在實數(shù)乙使｛%｝單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

12.（2022春?北京.高二清華附中?？计谥校τ跀?shù)列幾｝,若V租,〃eN（/7件同，都有上"型"為常

m-n

數(shù)）成立，則稱數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)P。）.數(shù)列｛%｝的通項公式為4,=/-?,且具有性質(zhì)P（5）,則實數(shù)。的

取值范圍是（）

A.[5,+oo）B.[4,+oo）

C.（一與4]D.（-co,5]

13.（2023春?河南開封?高二?？计谥校┮阎獢?shù)列｛q｝的前〃項和為S〃，q=l,若對任意正整數(shù)小

S〃+i=-3〃M+4+3,S”+a.＞（-L）%,則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.'l]B.,1,|）仁UD.（-2,3）

14.（2022秋.安徽合肥?高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列｛〃“｝中，若％=：,且對任意的“eN*有嗅=M，則使

數(shù)列｛■前〃項和，成立的〃最大值為（）

A.9B.8C.7D.6

2

15.（2023?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛4｝滿足，的=a,+2（〃eN*）,則下列選項正確的是（）

n

「20211

A?生021<“2020B.m<1

40437f

―八2021

C.0<<------D.。2021>1

20214043

二、填空題

16.（2023春?上海?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)S”為正數(shù)列｛%｝的前幾項和，Sn+i=qSn+Sif對任意的〃之1,

“eN均有S?+1W4%,則q的取值為.

17.（2023?陜西延安??？家荒＃┮阎獢?shù)列｛%｝的前〃項和為S,,且25=34-2”,若可,>560,則正整數(shù)機

的最小值是.

18.（2023春?河南南陽?高二南陽中學(xué)?？茧A段練習）已知數(shù)列｛2｝滿足勿=3"+（-1嚴42用，且對于任意的

〃eN*,都有2恒成立，則實數(shù)4的取值范圍___________.

19.（2023春?山東德州?高二?？茧A段練習）設(shè)數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“,%=4,且。用=，++]%，若

2S“+12>他,恒成立，則k的最大值是.

311

20.（2023?四川內(nèi)江?校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛?！保那皐項和弟:彳1一”，設(shè)a=——2為數(shù)列也｝的

前見項和，若對任意的〃eN*,不等式9〃+3恒成立，則實數(shù)4的取值范圍為.

21.（2023春?江西贛州?高二江西省全南中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列｛q｝的前"項和為S?,na?+1-（n+l）ait+1=0

（〃eN*）,且卬=3,g=5.若根>恒成立，則實數(shù)機的取值范圍為.

22.（2023春?遼寧錦州?高二?？茧A段練習）已知數(shù)列｛為｝的首項4=1,且滿足〃用一（〃eN*）,

則存在正整數(shù)小使得（%-冷（。用+#<0成立的實數(shù)2組成的集合為

23.（2021?江蘇?高二專題練習）已知正數(shù)數(shù)列｛4｝滿足（w+l）a,+i="+-^,且對任意“eN*,都有。“V2,

an

則內(nèi)的取值范圍為.

三、解答題

24.（2024秋?湖北黃岡.高三流水縣第一中學(xué)?？茧A段練習）已知數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，其前”項和S“滿

足2厄=%+1,數(shù)列閭滿足為=（%+1）1+1）.

（1）求｛4“｝的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列也,｝的前"項和為7；,若加F＜7；＜5相對一切〃eN*恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

叵4是公差為1的等差數(shù)列.

25.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為工，4=1,,

%

(1)求｛4“｝的通項公式;

(2)證明：+a2S2H—I-anSn<4.

26.(2023?湖南長沙?長郡中學(xué)?？家荒?已知數(shù)列｛4｝滿足％=4,當“22時，凡一4。E=-麗刁.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

1114

⑵已知數(shù)歹也證明：廠+了+…+了＜丁

瓦瓦bn9

27.(2023?江西上饒?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且%,%，4成等比

數(shù)列，a2a3=ag.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式。”；

(2)若"22,/~7+下\+…+不\2累，求滿足條件的"的最小值.

32一1%一1品―1M

28.(2023春?云南?高三云南師大附中校考階段練習)數(shù)列｛%｝滿足％=3%+1-2%%=2,數(shù)列｛4｝的前

2M—1

〃項和為數(shù)列也｝滿足或=——,數(shù)列｛2｝的前〃項和為卻

an+2〃

⑴求數(shù)列｛4｝的前"項和S“；

⑵求證：7；＜|

29.(2023?山東?沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，S?=l,='+(｝.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)證明：S“＜2.

30.(2023?全國?高三專題練習)設(shè)％=1,an+l=^cQ-2an+2+b[neN*).

(1)若6=1,求出，%及數(shù)列｛”,｝的通項公式；

⑵若6=-1,問：是否存在實數(shù)c,使得知＜。＜2,+1對所有weN*成立？證明你的結(jié)論.

31.(2023春?江蘇?高三江蘇省前黃高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“=2a”-2M.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若對一切正整數(shù)".不等式2n2-n-3＜2耳恒成立.求2的最小值.

32.(2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知數(shù)列｛q｝滿足2q+3a2+4/+…+("+1)4=".

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若不等式的,-〃+2＜。對“wN*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

n+1

33.(2023春?江西贛州?高二江西省龍南中學(xué)?？计谀?已知數(shù)列｛%｝的前”項和為S“，4=1,S?+1=2S?+2,

〃￡N*.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)4=/，｛%｝的前〃項和為若對任意的正整數(shù)〃，不等式7；＞病;;+7恒成立,求實數(shù)機的取值

范圍.

34.(2023?遼寧錦州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)記S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知%=2,%M=S“+〃.

⑴求｛〃“｝的通項公式；

⑵設(shè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列也,｝滿足4=2,且卬+配出+么嗎+；仇成等比數(shù)列.

(i)求也｝的通項公式；

1113

(ii)設(shè)立=*+/+L+聲證明：Tn<~.

u

u\"2n今

35.(2023?海南?？?海南華僑中學(xué)校考一模)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝滿足26=%+1,其中S“是數(shù)

列｛%｝的前”項和.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若對任意〃eN+，且當〃22時，總有4r+下二+…+恒成立，求實數(shù)九的取值范圍.

43]32T33T1

36.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，4=1,若對任意的正整數(shù)”都有

2

2sti=2nan-n+n

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

⑵記數(shù)列的前n項和為7"，若"(一""恒成立，求ds的最小值.

37.(2023?全國?高三專題練習)數(shù)列｛%｝滿足％+2為+…+陷,=4-5N，?eN*.

(1)求數(shù)列｛%｝前"項和

(2)證明：對任意的〃cN*且〃22時，[1+^-+^-+...+—|-7^<2+21nn

123n)

?全國?高三專題練習)已知數(shù)列｛《｝滿足：

38.(2023q=??+1=，數(shù)歹U-的前，項和為S“,

〃("+1)[%J

證明：當〃eN*時,

(1)0<〃用<?！?；

n

(2)??<

3n-l

(3)S.>"一；

39.(2023秋廣東陽江?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)已知數(shù)列｛4｝中，S“是其前”項的和，5s2=1玷，—=2一%小

an

(1)求生,出的值，并證明L-1是等比數(shù)列；

(2)證明：+

40.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列｛q｝滿足4=1，?！?1=1=("€m).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)外=1+4+。3也>0,數(shù)列也｝的前〃項和為九證明：-<Sn<n+l.

41.(2023春?遼寧大連?高二校聯(lián)考期中)已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，q=4,S”是a用與2〃-4的等差

中項.

⑴求證：｛《「1｝是等比數(shù)列，并求｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)2=4"+(-1方/，若數(shù)列他,｝是遞增數(shù)列，求f的取值范圍；

(3)設(shè)％=—4,且數(shù)列｛q｝的前〃項和為7“，求證：Tn<^-.

“〃一彳16

42.(2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習)數(shù)歹U｛4｝滿足q=1,%=2,3??=%一+2an_2,

n>3,〃￡N*.

(1)求｛4｝的通項;

_8

(2)若XeR,恒成立,求2的取值范圍?

43.(2023?全國?高三專題練習)設(shè)無窮數(shù)列｛%｝滿足4=%一+二-0欄2),4>0.證明：

an-\

(1)當〃>2時，

(2)不存在實數(shù)c,使得a?<y]2n+c對所有的n都成立.

2.數(shù)學(xué)歸納法

一、解答題

1.(2023?全國?高三專題練習)首項為正數(shù)的數(shù)列｛““｝滿足〃用=；@+3),〃eN*.

(1)證明：若可為奇數(shù)，則對V”eN*,。“都是奇數(shù)；

(2)若對V”eN*,都有。用>4,求內(nèi)的取值范圍.

2.(2023?全國?高三專題練習)設(shè)等比數(shù)列｛g｝滿足％=3,a“M=3a“-47z.

(1)計算外,生，猜想｛4｝的通項公式并加以證明；

(2)求數(shù)列｛2%“｝的前〃項和S..

3.(2023?江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝中％=2,a,3Q-向"=1,2,3,….

⑴求｛q｝的通項公式；

(2)若數(shù)列也｝中4=2,%=三三，證明：AbjW%,(“=1,2,3,…).

4.(2023?全國?高三專題練習)設(shè)。>2,給定數(shù)列｛風｝,其中q=a〃￡N*證明:

(1M>%>2.

但1彳a

(2)如果?！?gt;3,那么當時，必有

lg3

5.(2023?全國?高三專題練習)在數(shù)列｛?！ǎ校阎?。i=Q,4+1=------二說,已知。證明:

〃+1〃+1

⑴*<4;

a

(2)*

(1—〃)〃+〃

6.（2022秋廣東廣州?高三中山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列｛4｝滿足：（〃-1）%+]=以-1,%=3.

（1）證明：｛%｝為等差數(shù)列，并求｛〃“｝的通項公式；

，，+1

（2）數(shù)列b?=QJ+n,求滿足bl+b2+b3+L+bn<100的最大正整數(shù)n.

7.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列｛%｝滿足q=1,S.二0.

（1）計算出,生，猜想｛。“｝的通項公式并加以證明；

⑵若bn=an+2",求數(shù)列也｝的前"項和C.

8.（2023?遼寧?遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝滿足?！?1=京二一，4=：.

⑴計算：a2,a3,a4,a5,猜想數(shù)列｛q｝的通項公式，并證明你的結(jié)論；

（2）若W〃