2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市某中學(xué)九年級(jí)（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高新第一實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）開學(xué)

皿「，、憶\_rx、/上

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.下列交通標(biāo)志中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

A?BC令

2.代數(shù)式4nI?一聲因式分解為（）

A.(2m—n)(2m+n)B.4(m—n)(m+n)

C.(4m—n)(m+n)D.(m-2n)(m+2n)

3.若正多邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為144。，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）

A.10B.12C.8D.7

4.如圖，點(diǎn)。，E分另（J在的48,4c邊上，旦DE〃BC,如果AO：AB=2：3,那么DE：等于（）

A.3：2

B.2：5

C.2：3

D.3：5

5.如圖,在△ABC中，D、E分別為48、AC的中點(diǎn)，CF平分

()

A.1B.2

C.3D.4

6.如圖，兩個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成幾個(gè)面積相等的扇形，分別自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個(gè)數(shù)字

所在的扇形（如果指針恰好指在分格線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一數(shù)字為止）.將兩指針?biāo)傅膬?/p>

個(gè)扇形中的數(shù)相加，和為6的概率是（）

124

3

7.某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)60。臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器

所需時(shí)間相同.設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)％臺(tái)機(jī)器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）

A3600_450

x+50B-聲x%—50

8.如圖，在口ABCD中，對(duì)角線BD1AD,AB=10,AD=6,。為BD的中點(diǎn)，E為邊力B上一點(diǎn)，直線E。

交CD于點(diǎn)F,連接DE,BF,下列結(jié)論不成立的是（）

A.四邊形DE8F為平行四邊形-------7f——7c

B.若AE=3.6,則四邊形DEBf1為矩形//

C.若4E=5,則四邊形DEBF為菱形/1/XI/

AEB

D.若力E=4.8,則四邊形。EBF為正方形

9.如圖，在矩形4BCD中，AB<BC,連接4C,分別以點(diǎn)4C為圓心，大于g/lC的長為半徑畫弧，兩弧交

于點(diǎn)M,N,直線MN分別交力D,BC于點(diǎn)E,F.下列結(jié)論：①四邊形2ECF是菱形；②"FB=2乙4CB；

@AC-EF=CFCD；④若4尸平分N84C,則CF=門48.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A:.4二/M

10.已知多項(xiàng)式M=2x2—3%—2.多項(xiàng)式N=%2—ax+3.

①若M=0,則代數(shù)式曹三?的值為名

②當(dāng)a=-3,%>4時(shí)，代數(shù)式M-N的最小值為一14；

③當(dāng)a=0時(shí)，若M-N=0,則關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

④當(dāng)a=3時(shí)，若|M—2N+2|+|M—2N+15|=13,則無的取值范圍是一（<x<2.

以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.當(dāng)x時(shí)，分式占有意義.

12.如圖，已知口2BCD中，點(diǎn)E在C。上，喋BE交對(duì)角線"于點(diǎn)F.則

ED2

CF

AF=------'

13.如圖，在寬為20a，長為30機(jī)的矩形地面上修

建兩條寬均為乂山的小路（陰影），余下部分作為草

地，草地面積為55162,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求得小

路寬％的值為

14.清朝數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作怦三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角

形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角

形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，AD是銳角AABC的邊BC上的高，貝ijBD=T（BC+

竺土史$,當(dāng)=7,BC=6,2C=5時(shí)，則△ABC的面積為

BC

15.如圖，在菱形4BCD中，Z.BAD=120°,CD=4,M,N分別是邊

AB,2。的動(dòng)點(diǎn)，滿足4M=DN,連接CM、CN,E是邊CM上的動(dòng)

點(diǎn)，尸是CM上靠近C的四等分點(diǎn)，連接4E、BE、NF,當(dāng)△CFN面積

最小時(shí),《BE+ZE的最小值為.

三、解答題：本題共10小題，共91分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16?先化簡，再求值：（恐一2m＞總,請(qǐng)?jiān)?,一2,0,3當(dāng)中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值?

m2—4-

17.（本小題7分）

解方程:

(1)3久2—4%=1；

(2)(3y—2)2=(2y—3)2.

18.（本小題8分）

如圖，矩形4BCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊力。、BC分別交于點(diǎn)E、F,求證：四邊形力FCE是菱形.

B

19.(本小題8分)

某班甲、乙兩名同學(xué)被推薦到學(xué)校藝術(shù)節(jié)上表演節(jié)目，計(jì)劃用葫蘆絲合奏一首樂曲.要合奏的樂曲是用游

戲的方式在《月光下的鳳尾竹》與修云之南》中確定一首.

游戲規(guī)則如下，在一個(gè)不透明的口袋中裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的四個(gè)小球(除標(biāo)號(hào)外，其余都相同

),甲從口袋中任意摸出1個(gè)小球，小球上的數(shù)字記為a.在另一個(gè)不透明的口袋中裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,2的

兩張卡片(除標(biāo)號(hào)外，其余都相同)，乙從口袋里任意摸出1張卡片，卡片上的數(shù)字記為b.然后計(jì)算這兩個(gè)數(shù)

的和，即a+b.若a+b為奇數(shù)，則演奏偽光下的鳳尾竹/；否則，演奏像云之南力.

(1)用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求(a,b)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；

(2)你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？如果公平，請(qǐng)說明理由；如果不公平，哪一首樂曲更可能被選中？

20.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程/—2x+m—1=0

(1)當(dāng)他取何值時(shí)，這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根？

(2)若方程的兩根都是正數(shù)，求小的取值范圍；

(3)設(shè)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且1-乂1%2=好+慰，求小的值.

21.(本小題9分)

黨的二十大報(bào)告提出：“加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育”.為扎實(shí)做好育人工作，某校深入開展

“陽光體育”活動(dòng).該校計(jì)劃購買乒乓球拍和羽毛球拍用于“陽光體育大課間”和學(xué)生社團(tuán)活動(dòng).已知一副

羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元購買乒乓球拍的數(shù)量和用2000元購買羽毛球拍的數(shù)量相

等.

(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的價(jià)格；

(2)學(xué)校計(jì)劃采購乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的數(shù)量不超過羽毛球拍數(shù)量的2倍，要想花費(fèi)

的資金總額最少，則最多購買乒乓球拍多少副？資金總額最少為多少元？

22.(本小題10分)

如圖，Rt△4BC的兩條直角邊4B=4cm,AC=3cm,點(diǎn)。沿48從4向B運(yùn)動(dòng)，速度是lczn/秒，同時(shí)，點(diǎn)

E沿8c從B向C運(yùn)動(dòng)，速度為2on/秒.動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)終止.連接DE、CD、AE.

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，ABDE與△48C相似？

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，ABDE的面積為1.8C巾2?

(3)在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在某一時(shí)刻3使CDLDE?若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

23.(本小題10分)

閱讀材料，解答問題：

材料1

為了解方程(7)2—13/+36=0,如果我們把/看作一個(gè)整體，然后設(shè)y=/,則原方程可化為y2—

13y+36=0,經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為勺,2=±2,%3,4=±3.我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換

元法.

材料2

已知實(shí)數(shù)n滿足?n?—m—1=0,n2—n—1-0,且m力n,顯然zn,n是方程——%—1=。的兩個(gè)

不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知m+71=1,mn=-1.

根據(jù)上述材料，解決以下問題：

(1)直接應(yīng)用：

方程--5%2+6=0的解為；

(2)間接應(yīng)用：

已知實(shí)數(shù)a,b滿足：2a4—7a2+l=0,2b4—7b?+1=0且a力6,求a。+6"的值；

(3)拓展應(yīng)用：

已知實(shí)數(shù)久，y滿足：二+上=7,幾2一九=7且72>0,求二:+九2的值.

rrr

24.(本小題12分)

如圖所示，&ABC,AADE為等腰三角形，^ACB=^AED=90°.

(1)如圖1,點(diǎn)E在上，點(diǎn)。與C重合，尸為線段8。的中點(diǎn)，則線段EF與FC的數(shù)量關(guān)系是；KEFD

的度數(shù)為.

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，將AADE繞月點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其中D、4、C在一條直線上，F(xiàn)為

線段8D的中點(diǎn)，則線段EF與FC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？證明你的結(jié)論.

(3)若AADE繞2點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖3的位置，F(xiàn)為線段B。的中點(diǎn)，連接EF、FC,請(qǐng)你完成圖3,

請(qǐng)猜想線段EF與FC的關(guān)系，并驗(yàn)證你的猜想.

25.(本小題12分)

矩形4。8c在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)4在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，連接

AB,將A/IBC沿4B折疊得AABE,4E交y軸于點(diǎn)D,線段。D、。4的長是方程/—7%+12=0的兩個(gè)根,

且。4>0D.

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)a的坐標(biāo)為,點(diǎn)。的坐標(biāo)為；

(2)點(diǎn)P為直線AB上一點(diǎn)，連接P。、PD,當(dāng)AP。。的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在直線2B上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使以B、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方

形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】力|

12.【答案嗎

13.【答案】1

14.【答案】6<6

15.【答案】3

16.【答案】解：原式=

mm+22mm+2

=--------x----------------------------------x---------

m—2m(m—2)(TTI+2)m

m+22

~m—2m—2

m

-

m—2

???分式分母不能為0,

THW±2,0,

TH取3,當(dāng)m=3時(shí),

原式=3^2=3-

17.【答案】解：(1)3%2-4x-1=0,

4=(-4)2-4x3x(-1)=28>0,

-b±J^Tac_4±2V7_2±V7

2a2x33

(2)(3y—2產(chǎn)一(2y—3)2=0,

(3y-2+2y-3)(3y-2-2y+3)=0,

3y—2+2y-3=0或3y-2-2y+3=0,

解得%-1V2=-L

18.【答案】證明：在矩形4BCD中，AD//BC,

zl=z2,Z.AEF=Z.CFE,

又0a=oc,

.-.AAOE^ACOFQAAS),

AE=CF,

???四邊形AFCE是平行四邊形，

???EF1AC,

.SFCE是菱形.

19.【答案】解：(1)按游戲規(guī)則計(jì)算兩個(gè)數(shù)的和，列表如下:

X1234

11*1=21*2=31*3=41*4=5

22+1=32+2=42-3=52+4=6

從表中可以看出共有8種等可能的情況.

(2)我認(rèn)為這個(gè)游戲公平，理由：

從表中可以看出共有8種等可能的情況，其中和為奇數(shù)與和為偶數(shù)的可能性各有4種,

所以P(和為奇數(shù))=P(和為偶數(shù))，

??.這個(gè)游戲公平.

20.【答案】解：(1)?,-△=(—2)2-4(m-1)=-4m+8>0,

zn<2時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2),設(shè)久1，久2是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根，則”1>0,%2>0,

x±x2—m—1>0,

???m>1；

(3)%1+%2=2,xrx2=m—1,1—x1x2=以+堵，

???1—m+1=22—2(m—1),

：.m—4.

21.【答案】解：(1)設(shè)每副乒乓球拍的價(jià)格是萬元，則每副羽毛球拍的價(jià)格是Q+30)元.

根據(jù)題意，得理=嚅

x%+30

解得x=30,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是所列分式方程的根,

30+30=60(元),

...每副乒乓球拍的價(jià)格是30元，每副羽毛球拍的價(jià)格是60元.

(2)設(shè)購買乒乓球拍a副，則購買羽毛球拍(100-a).

根據(jù)題意，得aW2(100-a),

解得a＜然,

設(shè)花費(fèi)的資金總額為“元，則W=30a+60(100-a)=-30a+6000,

—30V0,

W隨a的增大而減小,

■.-a＜竽且x為整數(shù),

.?.當(dāng)a=66時(shí)，W取最小值，WS/J,=-30X66+6000=4020,

要想花費(fèi)的資金總額最少，則最多購買乒乓球拍66副，資金總額最少為4020元.

22.【答案】解：設(shè)。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則4D=t秒，BD=(4—t)秒，BE=2t秒，CE=(5-2t)秒(0W

七)，

(1)當(dāng)NBDE=N82C,即ED_LAB時(shí)，RtABDE^RtABAC,

BD：BA=BE：BC,即(4一t)：4=2t：5,

20

1'1t=

當(dāng)乙BDE=KBCA,即。El8C時(shí)，RtABDE^RtABCA,

：.BD：BC=BE：BA,即(4一t)：5=2t：4,

t=*

所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng),秒或翔時(shí)，△BDE與公4BC相似；

(2)過E作EF148于F,如圖,

B

,??乙B=Z_B,

Rt△BEFsRt△BAC,

???EFzAC=BE：BC,

即EF：3=2t：5,

口「6t

???EF=T

■■■SABDE=細(xì)。?EF="4—t)q=1.8,

???t=1或方=3(舍),

即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，ABDE的面積為1.8°血2；

(3)存在.

如圖，過點(diǎn)E作EF1AB=^F,

??,Rt△BEFsRt△BAC,

BF：AB=BE：BC,

即BE4=2t：5,

??.BCFL=—8t

DF=AB-AD-BF=4-t-^=

CD1DE,

???乙CDE=90°,

???N乙4DC+Z-EDF=90°,

???ABAC=90°,

???Z-ADC+^ACD=90°,

???Z-ACD=乙FDE,

???Z-CAD=乙FDE,

???Rt△ACDsRt△FDE,

??AC：DF=AD：EF,即3：(4-yt)=t：y,

?一2

-J汗

23.【答案】解：(I)%=V-2,x2=—V-2,x3=V-3,x4=—V-3;

(2)??,QHb,

:.a2W匕2或02_爐，

當(dāng)Q2。時(shí),令。2=6,b?=n.

:.m。？i,則27n2—7m+1=0,2n2—7n+1=0,

??.m,九是方程2--7x+1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

(17

m+n=-

,一1，

mn=-

lz

此時(shí)d+64=m2+n2=(m+n)2—2mn=

②當(dāng)M=b2(a=—b)時(shí)，a2=b2=，土｝\此時(shí)d+ft4=2a4=2(a2)245±7/41

4

綜上所述，省+所=竽或45±丁￡

(3)令花=Q,—n=b,貝!+a-7=0,b24-b-7=0,

???n>0,

^2?！?，即aWb9

??.a,b是方程/+%—7=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

.(a+b=-1

"tab=-7'

故白+*=M?+b)2_2ab=15.

24.【答案】(1)EF=FC；90°；

(2)如圖2,延長CF到M,使CF=FM,連接DM、ME、EC,

D

圖2

???F為3。中點(diǎn)，

??.DF=FB,

在△BCF和△DFM中

FC=FM

Z-BFC=Z.DMF

BF=DF

??.△BFC也△DFM(S/S),

/.DM=BC,乙MDB=LFBC,

MD=AC,MD//BC,

???乙MDC=乙BCA=90°

???乙MDE=Z.EAC=135°,

dtAMDE^AC4E中

'MD=AC

乙MDE=Z.EAC

JDE=AE

???△MDE0ACAE(SAS),

??.ME=EC,乙MED=Z.CEA,

???乙MED+Z.FEA=Z.FEA+Z.CEA=90°,

AAMEC=90°,又F為CM的中點(diǎn)，

??.EF=FC,EF1FC；

(3)圖形如圖3,

A

D

\E

BC

圖3

結(jié)論：EF=FC,EF1FC.

證明如下：

如圖4,延長CF到M,使CF=FM,連接ME、EC,連接DM并延長交AE于G,交/C于H,

???F為BD中點(diǎn)，

DF=FB,

在△BCF和△DFM中

FC=FM

乙BFC=Z-DMF

BF=DF

??.△BFC也△。尸M(SAS),

DM=BC,乙MDB=LFBC,

MD=AC,HD//BC,

???^LAHG=乙BCA=90°,且乙4G”=乙DGE,

Z.MDE=Z-EAC,

在和AC/E中

MD=AC

乙MDE=Z.EAC

、DE=AE

???△MD￡^ZkC4E(S/S),

??.ME=EC,^MED=/.CEA,

???乙MED+^LFEA=^FEA+^CEA=90°,

AMEC=90°,又F為CM的中點(diǎn),

???EF=FC,EF1FC.

25.【答案】(1)(—4,0),(0,3)；

⑵過D作AB的對(duì)稱點(diǎn)心，連接ODi，交4B于點(diǎn)P,此時(shí)APOD的周長最小,

△4BE是將△A8C沿AB折疊得至IJ的，

.,.點(diǎn)在4C上，

???OA=4,。。=3,

AAD=，。42+。。2=5，

???AD^—5,

*t,。1(一4,5),

設(shè)直線。。1的解析式為y=kx,

???5=-4k,

???k=一之,

4

???直線。Di的解析式為y=-|%，

???四邊形A08C是矩形，且aABE是將△ABC沿折疊得到的,

AC//OB,/.CAB=/-BAD,

Z.CAB=/.BAD=乙ABD,

.?.AD=BD=5,貝1JOB=8,

???8(0,8),

同理求得直線48的解析式為y=2%+8,

ry=2%+8

???]5

[y=-^x

解方程—J%=2%+8,得％=

(3)存在點(diǎn)Q,使以B、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形.

分兩種情況：①當(dāng)BN為邊時(shí)，

如圖，若四邊形BNMQ是正方形，