數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問題-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點題型歸納與方法總結(jié)（原卷版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展21數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問題（精講+精練）

、知識點梳理

一、數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問題

1.“結(jié)構(gòu)不良問題”：題目所給的三個可選擇的條件是平行的，即無論選擇哪個條件，都可解答題目，而且,

在選擇的三個條件中，并沒有哪個條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴謹、過程規(guī)范，都會得滿分.

2.數(shù)列求和的常用方法：

（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；

（2）對于｛。,力“｝型數(shù)列，其中｛4｝是等差數(shù)列，｛2｝是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和;

（3）對于｛4+〃｝型數(shù)列，利用分組求和法；

（4）對于型數(shù)列，其中｛%｝是公差為2（dW0）的等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.

^anan+l,

3.常見的裂項公式：

1H1__

⑴〃（n+左）kynn+kJ'

1=1（_J______

⑵（2n-l）（2n+l）~2[2n-l~2n+lJ

]_j_rji

（3）

1-：（-?+J幾+3）

（4）

G+《n+k

2〃_11

⑸（2"-l）（2,,+1-l）-2,!-l-2n+1-l'

二、題型精講精練

【典例1】（2021.全國?統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列｛〃”｝的各項均為正數(shù)，記S,為｛%｝的前"項和，從下面

①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列：②數(shù)歹是等差數(shù)列；③出=3囚.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

【詳解】選①②作條件證明③：

［方法一］:待定系數(shù)法+%與S“關(guān)系式

設(shè)6'=加+。(。＞0),則s“=(an+Z?)2,

當〃=1時，4=S］=(a+b)2；

2

當〃22時，an=Sn-=(an+b)-(an-a+b^=a(2an-a+2b)；

因為｛4｝也是等差數(shù)列，所以(a+6)2=a(2a-a+26),解得6=0；

所以a*=a(2〃—1),%=a~,故%=3a=3%.

［方法二］:待定系數(shù)法

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等差數(shù)列｛#；｝的公差為4，

則后=8+(〃一1)4，將S,=叫+四1Jd代入其=M-1)4,

化簡得5-2+1%—萬,=4"+僅存"-2d；)〃+一&)對于VMeN+恒成立.

d=2d：,

貝(I有＜24=4血4-4"；,解得&=內(nèi),＜7=24.所以2=3%.

Jq-d1-0,

選①③作條件證明②：

因為4=3%,｛%｝是等差數(shù)列，

所以公差=2%,

所以s?=叫1)~=,即=如",

因為-底="(〃+1)-百，

所以｛后｝是等差數(shù)列.

選②③作條件證明①:

［方法一］：定義法

=an+b(a>0),貝!)S”=(々〃+。)2,

當〃=1時，4=S[=(a+0)2；

2

當〃22時，an=Sn-Sn_x=(an+b)-(an-a+b^=a(2cm-a+2b)；

因為g=3%,所以依+26)=3(4+力，解得6=0或6=-爭

22

當b=0時，al=a,an=a(2n-l),當時，為一4」=2a?滿足等差數(shù)列的定義，此時｛%｝為等差數(shù)列；

當6=一號時，崗=an+b=an——a,5^^"=—耳＜0不合題意，舍去.

綜上可知｛%｝為等差數(shù)列.

[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項公式

因為g=3%,所以,其=M+CI2=2弧，因為｛#?｝也為等差數(shù)列，所以公差4=6'-店=4,

22

所以7^7=7^"+("-1)4="M,故s“=nat,當"22時，an=s“-S._]=-(?-1)q=(2"-l)q,當"=1

時，滿足上式，故｛q｝的通項公式為4=(2〃-1)%,所以a“T=(2〃-3)4,4-%=24，符合題意.

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

一、解答題

1.(2023春?四川成都?高三樹德中學(xué)校考開學(xué)考試)已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛。"｝的前"項和為S”,6=1,

,請從以下二個條件中任選一個，補充在題干的橫線上，并解答下列問題：①$2、尺、4成等比

數(shù)列，②〃5%0-"；=2.

(1)求數(shù)列｛?！埃耐椆剑?/p>

⑵若么=-----,求數(shù)列也｝的前〃項和

anan+l

2.(2023春?江蘇宿遷?高三江蘇省泗陽中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)S"為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，物,｝是正項等

比數(shù)列，且q=4=1,%=3%在①/+4=14,②。也=81,③邑=4星這三個條件中任選一個，回答下列問

題：

⑴求數(shù)列｛%,｝和也,｝的通項公式;

(2)如果%="優(yōu)〃eN*),寫出外〃的關(guān)系式機=/(?),并求/(D+/(2)+/(3)+…+/(2020)的直

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))在①團是⑷與8的等差中項；②S2,Ss+4,S”成等差數(shù)列中任選一個,

補充在下列橫線上，并解答.

在公比為2的等比數(shù)列｛劭｝中，為數(shù)列微〃｝的前w項和，若.

(1)求數(shù)列｛附｝的通項公式；

(2)若a=(〃+l)log2an,求數(shù)列\(zhòng):卜勺前n項和Tn.

4.(2023秋?河南?高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，4=1,且

7%+i+S“+|=2(〃eN*).

(1)證明：數(shù)列｛"5"｝為等差數(shù)列；

⑵選取數(shù)列⑸｝的第2"(?eN*)項構(gòu)造一個新的數(shù)列也｝,求也｝的前w項和Tn.

5.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中校考階段練習(xí))在①2%-S“=l；②％=1,S0+「2S”=1；③

4>0嗎=1,%+「4口用=2%，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答所給問題.已知數(shù)列｛%｝

的前n項和為Sn,且滿足

⑴求?！芭cS”；

(2)記bn=(2n-l)a”,求數(shù)列｛a｝的前〃項和Tn.

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S",且％=5“+%+2,_.請在①/+%=26；

②％,%,為成等比數(shù)列；③$2。=420,這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若記數(shù)列｛7｝的前”項和為北，求證：1<2.

4n

7.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且S,+i=S“+a“+l,.請

在①%+%=13；②為,a3,%成等比數(shù)列；③兀=65,這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解

答下面問題.

⑴求數(shù)列｛叫的通項公式；

⑵若白=an-\,求數(shù)列｛2"?,｝的前〃項和T,.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

8.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，其前"項和為S”.

(1)從下面兩個條件中任選一個作為已知條件，求｛““｝的通項公式；

@Sn=2—an；②S=2a3+1,S3=6g+1；

⑵在(1)的條件下，若超=%1，求數(shù)列也｝的前W項和7.

9.(2023?全國?高三專題練習(xí))從①b"二尊竺凸?；②勿=(_1)"(卬出+q)；③〃=2_三個選項中，任選

\an+lan

一個填入下列空白處，并求解.已知數(shù)列｛%｝,也｝滿足%>。，且4=1,an-an+l=an+lan,,求數(shù)

列｛僅｝的前“項和S’.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

10.(2023?四川遂寧?四川省遂寧市第二中學(xué)校?？家荒?已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S”,且S用=Sn+an+\,

.請在%+%=13巧4巧成等比數(shù)列；兀=65,這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并

解答下面問題.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列的前“項和1,求證：q<3.

11.(2023秋?江西宜春?高三江西省宜豐中學(xué)?？计谀?在①2S,：-(〃2+〃-2)S,-(〃2+〃)=O；②

al+2an-n=2Sn.③?=小，％=1,三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答.注：如

果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

已知正項數(shù)列｛。,｝的前〃項和為S,,且______,

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

b-4-1

(2)設(shè)2=2?！币?,若數(shù)列｛cj滿足。"二十k，求證：C1+c2+-+C?<l.

%4+1

12.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)首項為2的數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，前〃項積為，，且滿足

條件①：??+1=—??+?+1;條件②：S.=.a“；條件③：7；,+1=—

n3n

請在以上三個條件中，選擇一個補充在上面的橫線處，并解答以下問題：

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.)

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)求證：數(shù)列［J］的前w項和加“<；.

參考公式：12+22+32+---+H2=4(〃+1)(2"+1).

6

13.(2023秋?湖北?高三湖北省云夢縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末)已知數(shù)列｛見｝的前〃項和為S.，且=5“+%+1,

.請在①4+牝=2。；②出，。5,4成等比數(shù)列；③$2。=230,這三個條件中任選一個補充在

上面題干中，并解答下面問題.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若a=a?-l,求數(shù)列｛2〃聞的前n項和Tn.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分..

14.(2023?全國?高三專題練習(xí))在①S“=/+2”；②4=3,a3+a5=18；③q=3,$6=48.這三個條件中

任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整后的題目.

問題:已知S"為等差數(shù)列｛?｝的前"項和，若.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)b?=丁7(〃GN*),求數(shù)列也｝的前〃項和副

anT

注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

2

15.(2023?全國?高三專題練習(xí))在①數(shù)列｛%｝的前〃項和=生產(chǎn)；②4+an+2-2?！鞍?。且％=1,%=3,

這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并求解：

(1)已知數(shù)列｛%｝滿足,求｛%｝的通項公式；

(2)已知正項等比數(shù)列也｝滿足a=4，仇+么=8。，求數(shù)列一-4一二]的前〃項和

[log2/??-log2&?+1J

16.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛4｝的首項為1,前〃項和為S,,且滿足.

①/=2,an+2—cin=2；②2S“=("+1)%；③7此+]=(〃+2)S”.

從上述三個條件中選一個填在橫線上，并解決以下問題：

⑴求?！埃?/p>

(2)求數(shù)列—的前n項和7；.

1卯.+2J

17.(2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，邑=5生，%=2%+L

⑴求?！芭cS"；

(2)在下列兩個條件中選一個，求數(shù)列論,｝的前30項和.

①〃=丁9；②％=㈤?

Un+5Un+6

注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.(2023春?江蘇鹽城?高三?？茧A段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的前九項和為S”,％=2,S“=a”「2.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵令〃=log2%.①%=，?%;②g=4，i；③％=(T)"(年)2,從上面三個條件中任選一個，求數(shù)列｛%｝的

前〃項和。注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

19.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列｛%｝的前n項和為S“，若的=。，且______.在①57=?4+12,

②4+%+%=6這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并解答.

(注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分)

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)a=an+2*,求｛2｝的前n項和T?.

20.(2023春?廣東惠州?高三?？茧A段練習(xí))在①S“=1+2”；②%=7,%+/=18；③%=3,=35這三個

條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.

問題：已知等差數(shù)列｛叫,5.為其前w項和，若.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)“"T-HeN)求證：數(shù)列例｝的前“項和

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

21.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛風｝滿足q=1,g=3,數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列且公比夕＞。，滿足

2

bn(an+1-an)=bn+2.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

■?r

)為A數(shù)，求數(shù)列匕｝的前2〃項和七.

在①邑+1=：邑，②4，2%-1,&成等差數(shù)列，③￡=254這三個條件中任選一個補充在第(2)問中，

并對其求解.

注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

22.（2023春?四川?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在①&=23,②片-屋=5這兩個條件中選一個合適的補充在下

面的橫線上，使得問題可以解答，并寫出完整的解答過程.

問題：在各項均為整數(shù)的等差數(shù)列｛g｝中，的=5,公差為d,且______.

⑴求｛〃“｝的通項公式；

n

⑵若bn=and,求數(shù)列出｝的前〃項和Sn.

23.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，已知$5=30,a4=8.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式及S“；

⑵若，求數(shù)列低｝的前〃項和7“.

22

在①b"=2"”a,；②。=一③2=（-1）"q這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并對其求解.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

24.（2023?全國?模擬預(yù)測）記公差為1的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S",.從下面①②③三個條件

中任選一個補充在上面問題中的橫線處并作答.

①。3+2%+孫=28；②。15=&；③1+1,。9，a28T成等比數(shù)列.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）設(shè)么=（—1）”-（2%-1>2%,求數(shù)列色｝的前〃項和B”.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

25.（2023?河北衡水?河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知｛”“｝是首項為1的等差數(shù)列，公差d>0,｛〃｝是首項

為2的等比數(shù)列，a4=b2,as=b3.

⑴求｛%｝，也｝的通項公式；

⑵若數(shù)列｛2｝的第加項第，滿足（在①②中任選一個條件），左eN*,則將其去掉，數(shù)列他,｝剩

余的各項按原順序組成一個新的數(shù)列｛1｝,求｛1｝的前20項和邑。.

①1%粼=七②k=3%+1.

26.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝中，%,%，%+12構(gòu)成等比數(shù)列，S“是

其前幾項和，滿足邑=15.

（1）求數(shù)列｛??｝的通項公式及前?項和S.；

⑵若,求數(shù)列也｝的前〃項和Tn.

在①"=2+2"",②4=不，③么=（。“-1）27這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解.

n%

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

27.（2023?陜西漢中?高三西鄉(xiāng)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，%=1且出,

生，%成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)數(shù)列｛〃,｝的前〃項和為S",在①S“=2"-1,〃eN*；②S.=26“-1,〃eN*;③S,+i=2S“+1,〃eN*；

這三個條件中任選一個，將序號補充在下面橫線處，并根據(jù)題意解決問題.問題：若4=1,且______,求數(shù)

列｛%+6“｝的前”項和

（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.）

28.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝,也｝滿足：?i+2^=l,嘖=￡“-*,2be=2半?

⑴求證：數(shù)歹!]｛。“+2包｝是等比數(shù)列；

⑵若（從下列三個條件中任選一個），求數(shù)列｛%｝的前"項和①偽=1；②4=-：;③

O

a2-2b2=1.