四川省綿陽(yáng)市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)試題【含解析】

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

符合題目要求.)

1.已知集合"斗■—4叫，8={止2<%<2},則"露=()

A.|x|-l<x<2!B.|x|-l<x<2|C,{x[2<x<4}D.{x[2<x<4}

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A,利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合Zc仆5.

【詳解】因?yàn)殓?{%,2-3》一4?0}={耳—14》44},B^{x\-2<x<2\,

則={x|x〈一2或x之2},故Nc={x[2<x<4}.

故選：D.

2.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

2x+1

A.f(x)=In[yjx+1+xjB.f(x)=xln

x-1

C.f(x)=tanxD.f(x)=---

「2X-1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)定義域?yàn)镽,/(-x)=ln(6+l—4

所以f(x)+f(-x)=ln(Jx?+1+x)+In(Jx?+1-xj=Ini=0,

則/(—x)=一/(x)，所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)；

對(duì)于B,函數(shù)定義域?yàn)?一,/(-x)=-xlnX+1=-xln--5■=xln小口=/(x),

X1X+1X1

所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)；

對(duì)于C,正切函數(shù)/(x)=tanx為奇函數(shù);

12X

對(duì)于D,函數(shù)定義域?yàn)?—8,0)U(O,+8),/(-%)=w/(x)，

2-11-2"

所以/（X）不為偶函數(shù).

故選：B.

3.由一組樣本數(shù)據(jù)（七,…,（當(dāng),匕）得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程/=%+/,那么下列說(shuō)法正確的是

（）

A.若相關(guān)系數(shù)r越小，則兩組變量的相關(guān)性越弱

B.若A越大，則兩組變量的相關(guān)性越強(qiáng)

C.經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a至少經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)（石,%,（乙，%）中的一個(gè)

D.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程/=%+&中，當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)的觀測(cè)值y約增加A個(gè)單位

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的含義可判斷AB；根據(jù)回歸直線的含義可判斷CD；

【詳解】對(duì)于A,若相關(guān)系數(shù)越小，則兩組變量的相關(guān)性越弱，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若卜|越大，則兩組變量的相關(guān)性越強(qiáng)，g是回歸直線的斜率，

它不反應(yīng)兩變量的相關(guān)性強(qiáng)弱，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,經(jīng)驗(yàn)回歸方程/=%+/不一定經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)（七,%）,（%，%）-，（乙，匕）中的一個(gè)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,在經(jīng)驗(yàn)回歸方程/=%+/中，當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，

若3〉0,相應(yīng)的觀測(cè)值y約增加A個(gè)單位；若3<0,相應(yīng)的觀測(cè)值y約增加-忖個(gè)單位；

故當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)的觀測(cè)值y約增加A個(gè)單位，正確，

故選：D

4.在△NBC中，角/、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且acos8+6cos4=6,則△48。一定是（）

A.等腰三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】由題意根據(jù)正弦定理及和差公式可得sinG4+8）=sin8,由/+8+。=兀及誘導(dǎo)公式可得

sinC=sin8,結(jié)合民。為三角形的內(nèi)角可得8=C,即可得結(jié)果.

（詳解】acosB+bcosA=b,

由正弦定理得sinZcosB+sinBcos/=sinB,

則sin(4+B)=sinB,又4+5+。=兀，

可得sinC=sin5,

???瓦。為三角形的內(nèi)角，

:.B=C,

所以一定是等腰三角形.

故選：A.

5.函數(shù)/(x)=/cos(<yx+0)(/>0#>0)的圖象如下，則其解析式可能是()

A.f(x)=2cos^2x—-jB.f(x)=2cos|2x-^

C.f(x)=2cos^2x+jD./⑴=2cos12x+g

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合圖象可知/(O)=—l,—2,由此可判斷BCD不可能，結(jié)合函數(shù)周期說(shuō)明A中圖象

可能正確，即可得答案.

【詳解】結(jié)合題意以及各選項(xiàng)可知/可為2,

結(jié)合圖象可知/(0)=-1,/^-^=-2,

則對(duì)于B,/(0)=2cos[—；]=1,由此可判斷B中解析式不可能；

對(duì)于C,/(0)=2COS]=1,由此可判斷C中解析式不可能；

對(duì)于D,E]=2COS[-1+=由此可判斷D中解析式不可能；

對(duì)于A,由于一〉一，.二一x—＞一,「.0＜刃＜3,即刃可取2；

464①6

2兀4兀

由2cos0=-1,則0=±彳+2析，左￡Z,由于0＞0,可取/=3-,

止匕時(shí)/（x）=2cos[2x+F]=2cos12x+F—27i]=2cos[2x—g：A可能，

故選：A

6.研究發(fā)現(xiàn)一種鳥(niǎo)類遷徙的飛行速度v（單位：m/s）與其耗氧量。之間的關(guān)系式為：V1=a+61og3^

（其中見(jiàn)6是實(shí)數(shù)），據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥(niǎo)類在靜止的時(shí)候其耗氧量為30個(gè)單位，而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí),

其飛行速度為1ms.大西洋鞋魚(yú)逆流而上時(shí)其游速為v（單位：m/s）,耗氧量單位數(shù)為口，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：匕

與log3焉成正比.當(dāng)v2=lm/s時(shí)，2=900.若這種鳥(niǎo)類與魚(yú)圭魚(yú)的速度匕與v2相同時(shí)，則Qi與2的關(guān)系

是（）

A.2=90B.。；=9&C.D.。：=3。2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意求出a,6,可得y=—l+log3&,設(shè)匕=8og3段，由題意得攵=

101002

v2=1log3^,由片=%得-l+log3磊=glog3需，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

30

a+blog—=n0

3a=-1

【詳解】由題意得90,解得,

b=l

a+blog,-二1

310

V

1=-l+log3^-)

設(shè)V2=左log3—,

23100

9001

由題意得知og3——=1，解得A=」，

1002

1,。2

??v=-log----,

223100

又M=%，

-l+log—=—log,

31023100

則log—+log—=log，即log3—=log，

3331031030310

.烏=叵,即Q：=9Q,.

3010

故選：B.

7.己知（西,凹）,（》2，%）是函數(shù)y=log2X圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則下列4個(gè)式子中正確的是（）

X+XX+X21121弘+乃15+為

221221

①五土邃<22；②土士王〉22；③log?--------<-六；@10g2--------->-六.

22Xi+2xi+x22

A.①③B.②③C.①④D.②④

【答案】B

【解析】

【分析】求出已知兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)及函數(shù)_P=log2X的圖象上縱坐標(biāo)為匕產(chǎn)的點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象建立不

等式，即可得解.

【詳解】如圖所示，設(shè)Z（X1,%）,B（x2,y2）,48的中點(diǎn)為M（空，空）

必十%

點(diǎn)N在函數(shù)y=log2X的圖象上，且跖V〃x軸，則N2'

2J

由圖知點(diǎn)在的左側(cè)，即士〉故①錯(cuò)誤,

NM42H\②正確;

2

%+乃v+v2

2二%十%,即一

貝I」1幅>lOg22log2-------->

2國(guó)+92

12y,+y

即bg2K<—T'9故③正確’④錯(cuò)誤.

故選：B.

8.設(shè)函數(shù)/(x)=a(x+l)2—l,g(x)=cosx+2ax,當(dāng)時(shí)，曲線y=/(x)與y=g(x)交點(diǎn)個(gè)

數(shù)的情況有()種.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)〃(x)=/(x)—g(x),由〃(x)=0,得到方程辦2+a_i=cosx解的個(gè)數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為

>=。/+。一1與y=cosx的圖象在(-1,1)上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，

分類討論，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(x)=a(x+l)2T,g(x)=cosx+2ax,

設(shè)〃(x)=/(x)-g(x)=ax2-cosx+a-l,xe(-l,l),

可得〃(一x)=a(-x)2-cos(-x)+a-l=ax2-cosx+a-1=,

所以函數(shù)hQ)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于歹軸對(duì)稱，

令〃(x)=0,可得"2-cosx+a-1=0,即ax2+a-1=cosx>

則A(x)=0解的個(gè)數(shù)，即為y=a/+?！猧與y=cosx的圖象在(-1,1)上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

如圖所示：

當(dāng)a=0時(shí)，j=-l,此時(shí)>=一1與^=85》的圖象在(-1,1)上沒(méi)有公共點(diǎn)；

當(dāng)。一1〉1時(shí)，即。>2時(shí)，了="2+。一1與y=cosx的圖象在(一1,1)上有沒(méi)有公共點(diǎn)；

當(dāng)a-l=l時(shí)，即a=2時(shí)，y=ax?_1與歹=cosx的圖象在(-1,1)上有1個(gè)公共點(diǎn)；

cos1+1

當(dāng)2a-1>cosl且。一1<1時(shí)，即-------<a<2時(shí)，

2

y=a/+?！?與y=cosx的圖象在(-1,1)上有2個(gè)公共點(diǎn)；

C0S1+1

當(dāng)2。一IVcosl且Q>0時(shí)，即-------時(shí)，

2

y=a?+。_1與歹=cosx的圖象在(一1,1)上有沒(méi)有公共點(diǎn)；

當(dāng)a<0時(shí)，此時(shí)y+。一1對(duì)應(yīng)的拋物線開(kāi)口向下，且。一1<一1,

此時(shí)y=a/+?！?與y=cosx的圖象在(-1,1)上有沒(méi)有公共點(diǎn),

綜上可得，曲線y=f(x)與y=。(久)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況有3種.

故選：c.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.下列敘述正確的是（）

A.若等差數(shù)列｛%｝的公差d〉0,則數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列

B.若等比數(shù)列也｝的公比q>1,則數(shù)列也｝為遞增數(shù)列

C.若〃=四，則爪c成等比數(shù)列

D.若邑一是等比數(shù)列｛%｝的前2〃-1項(xiàng)和,則S21=0無(wú)解

【答案】AD

【解析】

【分析】對(duì)于A：根據(jù)等差數(shù)列的定義以及遞增數(shù)列的定義分析判斷；對(duì)于BC：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于

D：分q=l和q/1兩種情況，結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析判斷.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?+1-%=d〉0,可知數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，故A正確；

對(duì)于B：例如q=-l,q=2〉0,則的=-2,即出<%，可知數(shù)列｛廝｝不為遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：例如。=6=。=0,滿足但6、c不成等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：設(shè)等比數(shù)列｛g｝的公比為4,且

若q=l,則S21=（2〃—1”產(chǎn)0；

若qwi，則S21「〈J'_Lo；

i-q

綜上所述：S2“_]=0無(wú)解，故D正確；

故選：AD.

10.設(shè)函數(shù)，若/(x)<0,則/+/的最值情況是()

A.有最大值B,無(wú)最大值C.有最小值D.無(wú)最小值

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)知=3)=0,根據(jù)/(x)<0可得a+b=l,再根據(jù)不等式性質(zhì)可判斷.

【詳解】根據(jù)，可知/(。)=/(1-9=0,

根據(jù)/(x)40恒成立，則相同取值情況下歹=-%+。/=皿》+可為異號(hào)或同時(shí)等于0,

又歹=-x+a在R上遞減，y=ln(x+A)在(一“+QO)上遞增，

只需它們的零點(diǎn)重合，得a=1—6,即a+b=l,

所以。2+/=(1_6『+62

所以片+尸有最小值，沒(méi)有最大值.

故選：BC

11.定義在R上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x),且滿足下列條件：

/(2x)+/(-2-2x)=0,g(2x)=-g(2-2x),且/(1)=1.則下列正確的是()

A.>=g(x)周期為8B.J=g(2x)圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱

2024

C.歹=/(1)關(guān)于(―1,0)對(duì)稱D.Z/(Z)=°

Z=1

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A,C根據(jù)已知等式結(jié)合對(duì)稱中心定義得出判斷；根據(jù)已知等式求導(dǎo)得出

g(x)=g(-2-x),結(jié)合已知得出函數(shù)周期判斷B；應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)間關(guān)系得出/(%)周期，再根據(jù)

/(l+x)+/(5+x)=0,計(jì)算求解判斷D.

【詳解】對(duì)于A,B,因?yàn)間(2x)=—g(2—2x),則g(x)=—g(2—x),則g(l+x)=—g(l—x)

可知g(x)的圖象關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱，知g(2x)的圖象關(guān)于(g,0)中心對(duì)稱，B錯(cuò)誤；

因?yàn)椤?x)+/(—2—2x)=0,則〃x)=—/(—2—x),

兩邊求導(dǎo)數(shù)可得/'(x)=/'(-2-x),即得g(x)=g(-2-x),

所以g(2—x)=—g(—2—x),即得g(2+x)=—g(—2+x),

所以g(4+x)=-g(x),g(8+x)=-g(x+4)=g(x),

所以函數(shù)g(x)的周期為8,A正確；

對(duì)于C,因?yàn)椤?x)+/(—2—2力=0則=,

所以/(-1-x)=-/(-1+x),函數(shù)/(x)關(guān)于(-1,0)對(duì)稱,C正確;

對(duì)于D,因?yàn)間(x)的圖象關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱，所以f(x)關(guān)于”=1對(duì)稱，所以/(1—x)=/(l+x),

又/("=—/(—2—x),所以/(l+x)=—/(—3—x)=/(l—x),可得—/(—3+x)=/(l+x),

所以/(x+8)=—/(x+4)=—(—/(x))=/(x),所以函數(shù)/(久)周期為8,

因?yàn)?(l+x)+/(-3+x)=0,所以/(l+x)+/(5+x)=0,

所以/⑴+/(5)=0,/(2)+/⑹=0J(3)+/⑺=。/(4)+〃8)=0,

所以/⑴+/⑵+/⑶+/(4)+…+/(2024)=253"⑴+/⑵+/⑶+/(4)+…+/⑻]

=253[/(1)+/(5)+/(2)+/(6)+/(3)+/(7)+/(4)+/(8)]=0,D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)周期性及函數(shù)的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已

知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.)

12.若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是%=2〃，且等比數(shù)列也｝滿足&=%，b5=a&,則"=.

【答案】2"T

【解析】

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛〃｝的公比為q,根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式列式求可應(yīng)，即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知：8=。1=2,4=。8=16,

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為4,

噓b,的=hq=-264=1

解得＜

q=2

所以〃=1X2"T=2〃T.

故答案為：2"，

13.設(shè)函數(shù)/(%)=卜也。%|(?！?),已知/(苞)=1,/(%2)=。，且%-％|的最小值為]，則①=:.

【答案】1

【解析】

【分析】確定/(x)=Mnox|(o>0)的周期為7=],結(jié)合題意可得即可求得答案.

【詳解】由題意知/(x)=\sma>x\(a>>0)圖象可由，y=sma)x(a)>0)的圖象將x軸下方部分翻折到x軸

上方得到，

故/(X)■sinox|(。〉0)的周期為7=/,

又/(再)=1J(》2)=0，

則歸-的最小值為函數(shù)周期的二分之一，即;7='，

即」?巴=四,00=1,

2。2

故答案為：1

14.在如下圖的4x4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有1個(gè)方格被選中，在所有符合上述要

求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最小值是.

8273262

3233763

6273866

5263966

【答案】126

【解析】

【分析】先按列分析，可知十位數(shù)是固定的，利用列舉法寫(xiě)出所有個(gè)位數(shù)的可能結(jié)果，即可求解.

【詳解】先按列分析，每列必選出一個(gè)數(shù)，所選4個(gè)數(shù)的十位數(shù)字分別為0,2,3,6,

若選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最小值，則需要個(gè)位數(shù)之和最小，

每種選法可標(biāo)記為(見(jiàn)“c,d),劣仇Gd分別表示第一、二、三、四列的個(gè)位數(shù)字,

則所有的可能結(jié)果為：

(8,3,8,6),(8,3,9,6),(8,7,7,6),(8,7,9,3),(8,6,7,6),(8,6,8,3),

(3,7,8,6),(3,7,9,6),(3,7,2,6),(3,7,9,2),(3,6,2,6),(3,6,8,2),

(6,7,7,6),(6,7,9,3),(6,3,2,6),(6,3,9,2),(6,6,2,3),(6,6,7,2),

(5,7,7,6),(5,7,8,3),(5,3,2,6),(5,3,8,2),(5,7,2,3),(5,7,7,2),

此時(shí)最小為5+3+2+6=16,

所以選中的方格中，5,23,32,66的4個(gè)數(shù)之和最小,為5+23+32+66=126.

故答案為：126.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)解決本題的關(guān)鍵是先確定十位數(shù)，再確定個(gè)位數(shù)，利用列舉法寫(xiě)出所有的可能結(jié)

果.

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

15.2021年8月，義務(wù)教育階段“雙減”政策出臺(tái)，某初中在課后延時(shí)服務(wù)開(kāi)設(shè)奧數(shù)、科技、體育等特色課

程.為了進(jìn)一步了解學(xué)生選課的情況，隨機(jī)選取了400人進(jìn)行調(diào)查問(wèn)卷，整理后獲得如下統(tǒng)計(jì)表：

喜歡奧數(shù)不喜歡奧數(shù)總計(jì)

已選奧數(shù)課(A組)15050200

未選奧數(shù)課(2組)90110200

總計(jì)240160400

(1)若從樣本內(nèi)喜歡奧數(shù)的240人中用分層抽樣方法隨機(jī)抽取32人，則應(yīng)在N組、8組各抽取多少人?

(2)依據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為選報(bào)奧數(shù)延時(shí)課與喜歡奧數(shù)有關(guān)？

附:

尸[

0.10.050.010.0050.001

a2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-be)2、

參考公式:;T2=7-----rv；-----六7--------一六，其中〃=a+6+c+".

^a+b)[c+d)^a+c)^b+d)

【答案】(1)應(yīng)在/組抽取20人，應(yīng)在3組抽取12人.

(2)能認(rèn)為選報(bào)奧數(shù)延時(shí)課與喜歡奧數(shù)有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005

【解析】

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣列式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出力2的值，然后與臨界值比較即可判斷.

【小問(wèn)1詳解】

3232

應(yīng)在/組抽取——xl50=20人，應(yīng)在8組抽取——x90=12A.

240240

【小問(wèn)2詳解】

零假設(shè)為H。：選報(bào)奧數(shù)延時(shí)課與喜歡奧數(shù)無(wú)關(guān)聯(lián)，

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算可得Z=40°義(15°義110—=37.5>7,879,

200x200x240x160

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷零假設(shè)不成立，

即認(rèn)為選報(bào)奧數(shù)延時(shí)課與喜歡奧數(shù)有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.

16.閱讀一元二次方程韋達(dá)定理的推導(dǎo)過(guò)程，完成下列問(wèn)題:設(shè)一元二次方程

a/+6X+C=O(Q。0,a,b,。后酎的兩根為石，x2,則a/+/Zx+c=q(、—X])(x-x2),展開(kāi)得:

21

ax+bx+c=ax-47+x2)x+axxx2,比較系數(shù)得：b=-。(再+々)，c=axxx2,于是

bc

Xj+%2=--?X]/=—.

aa

(1)已知一元三次方程ax'+'2+cx+d=o(qwo,a,b,c,deR)的三個(gè)根為孫x2,x3,類比于

上述推導(dǎo)過(guò)程，求MX2X3；

(2)已知/(x)=d—6/+9x+l,若存在三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)加，n,t,使得/'(，%)=/⑺=/?),

求加取的取值范圍.

【答案】(1)XlX2X3=--

a

⑵(0,4)

【解析】

【分析】(1)先把式子展開(kāi)再應(yīng)用待定系數(shù)法即可求值；

(2)根據(jù)函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)得出函數(shù)單調(diào)性，再畫(huà)出圖像數(shù)形結(jié)合y=/(x)與y=s有三

個(gè)交點(diǎn)，即可求參數(shù)范圍.

【小問(wèn)1詳解】

由題意知以3+bx2+cx+d=°(》一國(guó))(》一》2)(》一》3)，

232

展開(kāi)得:ax'+bx+ex+tZ=6/x-67(xj+x2+x3)x+67(Xj%2+x2x3+x3Xj)x-ax^x3,

比較系數(shù)得d=-oxxx,即Xi/%=——.

123a

【小問(wèn)2詳解】

令f[m}=f[n)==s,m,n,t^f(^x)=x3-6x2+9x+l=s的三個(gè)根，

即為d-6必+9x+1-5=0的三個(gè)不等根，由上知mnt=5-1.

/(X)=3X2-12X+9=3(X-3)(X-1),

于是xe(l,3),/，(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,xe(-oo,l),/,(x)>0J(x)單調(diào)遞增,

xe(3,+oo),/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增,

且/(0)=/(3)=1,/(1)=/(4)=5,函數(shù)/(x)的大致圖象如下：

為使得歹=/（X）與y=S有三個(gè)交點(diǎn),

則sw(1,5),故加加=5-1e(0,4).

17.如圖所示，直線I，之間的距離為2,直線4,4之間的距離為1，且點(diǎn)4瓦。分別在/A，上運(yùn)動(dòng)，

（1）判斷△NBC能否為正三角形？若能，求出其邊長(zhǎng)的值;若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（2）求△48。面積的最小值.

【答案】（1）△48C是正三角形，巫；

3

⑵2百.

【解析】

【分析】（1）過(guò)C作過(guò)3作BE，/1,利用直角三角形邊角關(guān)系求出NC,AB,則等邊三角形建

立方程求解即得.

（2）由（1）中信息，利用三角形面積公式，結(jié)合三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.

【小問(wèn)1詳解】

過(guò)C作CDJL/1,過(guò)2作BE，/1，垂足分別為如圖,

-7T2兀2兀

由NG4尸=a,ZCAB=-,得0<a<—,NBAE=——a,

333

3AB=

在A/C￡>中，AC=----,在A48E中，.，2兀、

sinasm(--or)

由△Ue是正三角形'則"?瓦即熹=4一

13-\/3

整理得cosa=-fsina,又sin?a+cos2tz=1,解得sina=1=

3V32s

所以zc=—=巫.

sina3

【小問(wèn)2詳解】

_1_381巫_________1_________

Sc——,A.Csin——----------------------------

由（1）知,“ABRCr232.?/2712G.1.

smasm(--a)——smacosa+—sin2a

22

而也sinacosa+』sin2a=._1_11.兀、1

sin2a—cos2aH—=—sin(2a—)H—

2244264

由0<a<女，得一=<2tz-V<?,則當(dāng)2a-四='，即a=色時(shí)，Y3：sinacos(z+‘sin%取最大值

366662322

3

4

所以a=烏時(shí)，S/Bc取得最小值迪?±=26.

323

18.已知函數(shù)/(X)=12。/+4x—lnx(Q￡R).

(1)若函數(shù)J=/(x)在(0,+。)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)“若函數(shù)y=/(x)在(0』)上只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a取值的集合”，某同學(xué)給出了如下解法:

由/'(x)=24ax+4—L=24"+4x—l=o在上只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,所以△=i6+96a=0,得

XX

a=—g,止匕時(shí)x=ge(O,l).所以，實(shí)數(shù).取值的集合為｛-g1.

上述解答正確嗎？若不正確，說(shuō)明理由，并給出正確的解答；

(3)若函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)項(xiàng),》2,證明：/(x1)+/(x2)>3+21n2.

【答案】(1)，巴一：

(2)上述解答不正確，理由見(jiàn)解析，解答見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，分析可知/'(x)<0(x>0)恒成立，參變分理結(jié)合二次函數(shù)最值分析求解；

(2)分析可知g(x)=24af+4x—1在(o,i)上只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，參變分類結(jié)合二次函數(shù)分析求解；

(3)分析可知g(久)=0在(0,+8)上有兩個(gè)不等實(shí)根為x15x2,利用韋達(dá)定理整理可得

+)=1—，令/=—>—,〃(/)=l+8f-ln/,利用導(dǎo)數(shù)分析證明.

3aI24a)24a4

【小問(wèn)1詳解】

24QX+4X-1

因?yàn)?'(x)=24ax+4——

由題意可知/'(X)<0(x>0)恒成立，則24ax2+4x-l>0,

可得24Q4

-4>-4,當(dāng)且僅當(dāng)一=2,即1二—時(shí)，等號(hào)成立,

x2

可得24a<—4，解得a<—，

6

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【小問(wèn)2詳解】

上述解答不正確，理由如下：

由題意可知：g(x)=24ax2+4x—l在(0,1)上只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn),

令g(x)=0,整理可得24a=’~—-4,

令/=Le(l,+”)，則24a=(7—2『—4,

JC

令力(。=(/—2『—4,/〉1,作出其函數(shù)圖象,

所以實(shí)數(shù)。取值的集合是一

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)毛,》2,

可知g(x)=24ax2+4x-1=0在(0,+8)上有兩個(gè)不等實(shí)根為xpx2,

△=16+96。>0

M+X)=---->0

則《一6a解得—<a<0,

6

XiX9=----->0

24a

可得/(再)+/(%2)=12QX；+4再一1叫++4X2-lnx2

2

=12〃卜；+4)+4(玉+x2)-ln(x1x2)=12a+x2)-2x^2+4(X]+—Inx1x2

令/=_1—>；,則/(石)+/(x2)=l+8^-lnr

令”/)=l+8/—?jiǎng)t/(f)=8_；=^^〉0,

可知硝)在心,+e)內(nèi)單調(diào)遞增，則/?(f)>/?［；)=3+21n2,

所以/(演)+/(%2)>3+21112.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟

(1)作差或變形；

(2)構(gòu)造新的函數(shù)無(wú)(久)；

(3)利用導(dǎo)數(shù)研究伙久)的單調(diào)性或最值；

(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.

特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值

問(wèn)題.

19.設(shè)函數(shù)/(x)=e*.

(1)設(shè)g(x)=/(x)-以T,討論g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)(〃,/(〃))(〃22,〃eN)處的切線與x軸、了軸圍成的三角形面積為Sn,令