2024-2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：全等模型-半角模型

專題04全等模型-半角模型

半角模型概念：過(guò)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。

思想方法：通過(guò)旋轉(zhuǎn)（或截長(zhǎng)補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。

解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形,從而進(jìn)行等量代換,

然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型

（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)一一證全等——得到相關(guān)結(jié)論.

模型L半角模型（90。-45。型）

【模型展示】

1）正方形半角模型

條件：四邊形A8CD是正方形，Z￡CF=45°；

結(jié)論：①LBCE咨ADCG；②ACEF出ACGF；?EF=BE+DF；④A4EF的周長(zhǎng)=248；

⑤CE、CF分別平分NBEF和ZEFD=

2）等腰直角三角形半角模型

條件：A/BC是等腰直角三角形，ZDAE=45°；

結(jié)論：①△胡。*△C4G；②4DAE出AGAE；?ZECG==90°；@DE2=BD2+EC2■,

例1.（1）【發(fā)現(xiàn)證明】

如圖1,在正方形48co中，點(diǎn)E,尸分別是BC,CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且NE”=45。，求證：

EF=Z）P+B￡.小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AADG,使與/D重合

時(shí)能夠證明，請(qǐng)你給出證明過(guò)程.

（2）【類(lèi)比引申】①如圖2,在正方形/BCD中，如果點(diǎn)E,尸分別是C5,℃延長(zhǎng)線上

的動(dòng)點(diǎn)，且NENF=45。，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出E尸，BE,DF之

間的數(shù)量關(guān)系（不要求證明）

②如圖3,如果點(diǎn)E,尸分別是8C,延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，且NE4尸=45。，則E/，BE,DF

之間的數(shù)量關(guān)系是（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1,若正方形43。的邊長(zhǎng)

為6,/E=3百，求/尸的長(zhǎng).I

B,__C

例2.如圖，LABC,ADEP是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，/BAC=/PDE=90。.使LDEP

的頂點(diǎn)尸與△N5C的頂點(diǎn)/重合，PD,尸￡分別與3C相交于點(diǎn)?G,若BF=6,CG=4,

則FG=.A（p\

D

E

例3.如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E,尸分別在邊48,3c上，若尸是2C的中點(diǎn),

且/￡7才'=45。，則DE的長(zhǎng)為.

例4.倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和

創(chuàng)新能力的有效途徑.

(1)【問(wèn)題背景】已知：如圖1,點(diǎn)E、尸分別在正方形48c。的邊BC、CD上，NE4尸=45°,

連接EF,則成、BE、。尸之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

于是易證得：^ADF=_^\_=^AEF,所以EF=.

直接應(yīng)用：正方形/BCD的邊長(zhǎng)為6,C尸=4,則E尸的值為.

(2)【變式練習(xí)】已知：如圖2,在Rt448C中，AB=AC,D、E是斜邊8C上兩點(diǎn)，且

ZDAE=45°,請(qǐng)寫(xiě)出AD、D￡、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

⑶【拓展延伸】在(2)的條件下，當(dāng)/D/E繞著點(diǎn)/逆時(shí)針一定角度后，點(diǎn)。落在線段

2C上，點(diǎn)E落在線段的延長(zhǎng)線上，如圖3,此時(shí)(2)的結(jié)論是否仍然成立，并證明你

的結(jié)論.

專題05全等模型-特殊半角模型

模型2.半角模型（60。-30。型或120。-60。型）

1）等邊三角形半角模型（120。-60。型）

條件：A4BC是等邊三角形，A3DC是等腰三角形，且BD=CD,NBDC=120°,NEDF=60°；

結(jié)論：①△BDE9ACDG；?AEDF^/\GDF；@EF=BE+FC;④AN跖的周長(zhǎng)=2N8；

⑤DE、DF分別平分NBEF和NEFC。

2）等邊三角形半角模型（60。-30。型）

例1.等邊“3C的兩邊43、ZC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為—BC外一點(diǎn)、,且

ZMDN=60°,ZSDC=120°,BD=CD.當(dāng)點(diǎn)“、N分別在直線48、/C上移動(dòng)時(shí)，探

究BM、CN、九W之間的數(shù)量關(guān)系以及AZMN的周長(zhǎng)0與等邊“3C的周長(zhǎng)乙的關(guān)系.（1）

如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊48、/C上，且=時(shí)，BM、CN、九W之間的數(shù)量關(guān)系

式為;此時(shí)?的值是.

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊4B、/C上，且。MwDN時(shí)，猜想（1）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還

成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明.（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)”、N分別在邊/8、C4的延長(zhǎng)

線上時(shí)，若AN=x,試用含x、2的代數(shù)式表示。.

圖①圖②

圖③

例2.如圖，在等邊三角形48c中，在NC邊上取兩點(diǎn)M、N,使ZMBN=30°.若=

MN=x,CN=n,則以x，見(jiàn)〃為邊長(zhǎng)的三角形的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.隨陽(yáng)機(jī),"的值而定

模型3.半角模型（2a-a型）

ADAE=a；

結(jié)論：①ABAD沿ACAF；②AEAD沿4EAF；③NECF=1800-2a。

例1.如圖，梯形N5CD中，AD//BC,AB=BC=DC,點(diǎn)￡、尸分別在AB1.,且

ZFCE=-ZBCD.(1)求證：BF=EF-ED-,(2)連結(jié)/C,若N8=80°,/OEC=70。，求

2

乙4CF度數(shù).

BC

例2.(1)如圖①，在四邊形N3C。中，AB=AD,NB=ND=90。，E,尸分別是邊8C,

上的點(diǎn)，且=(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；

(3)在四邊形N3CZ)中，AB=AD,Z5+ZD=180°,E,尸分別是邊8C,CD所在直線

上的點(diǎn)，S.ZEAF=^ZBAD.請(qǐng)畫(huà)出圖形(除圖②外)，并直接寫(xiě)出線段E尸，BE,FD之

間的數(shù)量關(guān)系.

專題06全等模型-手拉手模型

全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本

專題就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌

握。

模型1.手拉手模型（三角形）

【模型解讀】

將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉

手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。

公共頂點(diǎn)/記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二

二一生

個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。

對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)8D）,右手拉右手（即連結(jié)CE）,得A4BD三AACEo

【常見(jiàn)模型及證法】

A

（等邊）A

二4

（等腰直角）

A^A一衣’Y

（等腰）

例1.如圖，。是等邊三角形/BC內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段ZE,

連接CD,BE.(1)求證：4AEB沿乙ADC；(2)連接。E,若乙4。。=110。，求乙BED的度數(shù).

例2.已知中，AC=BC,ZACS=90°,尸為邊的中點(diǎn)，且DF=EF,ZDFE=

90°,。是3c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).如圖1,當(dāng)。與C重合時(shí)，易證：CD2+DB2=2DF2；

(1)當(dāng)。不與C、8重合時(shí)，如圖2,CD、DB、有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的

猜想，不需證明.

(2)當(dāng)。在8C的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3,CD、DB、D尸有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜

想，并加以證明.

模型2.手拉手模型(正多邊形型)

【模型解讀】將兩個(gè)多邊形繞著公共頂點(diǎn)(即頭)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)多

邊形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。

【常見(jiàn)模型及證法】

如圖，在任意△ABC中，分另U以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG,連接EC、BG,則4AEC

^△ABG.

例1.邊長(zhǎng)為4的正方形N5CD與邊長(zhǎng)為2行的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,連接3G,DE.

(1)如圖2,求證：4BCG"4DCE；

(2)如圖2,連接。G,BE,判斷DG2+3E2否為定值.若是，求這個(gè)定值若不是，說(shuō)明理

由；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在上時(shí)，求a的值.

E

例2.如圖1,圖2,圖3,在AABC中，分別以N3,4c為邊,向“BC外作正三角形，正

四邊形，正五邊形，BE,。相交于點(diǎn)O.（正多邊形的各邊相等，各個(gè)內(nèi)角也相等）

①如圖1,求證：4ABE以△ADC；②探究：如圖1,ZBOD=

③如圖2,ZBOD=；④如圖3,ZBOD=

專題07.將軍飲馬模型

將軍飲馬模型在考試中，無(wú)論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺(jué)有困難的地

方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試

中都以中高檔題為主。在解決幾何最值問(wèn)題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段

最短，涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角

形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過(guò)本專題的講解讓大家對(duì)這類(lèi)問(wèn)題有比較清晰的認(rèn)識(shí)。??

模型1,將軍飲馬-兩定一動(dòng)求線段和的最小值

【模型探究】A,B為定點(diǎn)，加為定直線，P為直線加上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求4P+AP的最小。

(1)如圖1,點(diǎn)工、5在直線加兩側(cè)：

輔助線：連接交直線加于點(diǎn)P,貝U/P+5尸的最小值為/A

(2)如圖2,點(diǎn)N、5在直線同側(cè)：

輔助線：過(guò)點(diǎn)/作關(guān)于定直線%的對(duì)稱點(diǎn),連接/'8交直線m于點(diǎn)尸，則/P+8P的最

小值為/'氏

A

KA

?i'%---------,m4

A，?--------------?m

圖1

?BB

圖2

例1.要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)/、3提供牛奶，小聰根據(jù)實(shí)際情況，以街道旁

為x軸，測(cè)得/點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3),2點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,5),則從/、3兩點(diǎn)到奶站距離之和的

最小值是.

例2.如圖，等邊△/BC的邊長(zhǎng)為6,4D是BC邊上的中線，M是/。上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊

/C上一點(diǎn)，若AE=2,則EM+CN的最小值為（）

A.726B.36C.277D.472

例3.如圖所示，在443c中，AB^AC,直線M是43的垂直平分線，。是8C的中點(diǎn),

M是即上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，“8C的面積為12,BC=4,貝UABDM周長(zhǎng)的最小值是.

模型2、將軍飲馬-兩動(dòng)一定求線段和的最小值

【模型探究】已知定點(diǎn)/位于定直線見(jiàn)"的內(nèi)側(cè)，在直線通"分別上求點(diǎn)P、。點(diǎn)E4+PQ+QN

周長(zhǎng)最短.

輔助線：過(guò)點(diǎn)/作關(guān)于定直線機(jī)、〃的對(duì)稱點(diǎn)《'、/"，連接交直線機(jī)、〃于點(diǎn)尸、

Q,則PA+PQ+QA的最小值為A'A

例1.如圖，已知的大小為a,P是N/O3內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且。尸=4,點(diǎn)￡、尸分

別是。4、03上的動(dòng)點(diǎn)，若△尸昉周長(zhǎng)的最小值等于4,貝卜=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

例2.如圖，RtAABC41，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,F分別是AB,BC,AC邊上的動(dòng)點(diǎn),

則△￡)￡下的周長(zhǎng)的最小值是()

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

例3.如圖所示，乙4OB=3G,點(diǎn)尸為N/08內(nèi)一點(diǎn),OP=8,點(diǎn)分別在0403上,

求△尸AW周長(zhǎng)的最小值.

0NB

專題08.將軍飲馬(線段和最值問(wèn)題)

模型1、將軍飲馬-兩動(dòng)兩定求線段和的最小值

【模型探究】4B為定點(diǎn)，在定直線加、〃上分別找兩點(diǎn)尸、0,使我+P0+Q8最小。

(1)如圖1,兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：

輔助線：連接N3交直線"2、77于點(diǎn)P、Q,則為+P0+Q8的最小值為N5.

(2)如圖2,一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：

輔助線：過(guò)點(diǎn)B作關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)"，連接/)交直線m、n于點(diǎn)P、Q,則PA+PQ+QB

的最小值為48'.

圖2

(3)如圖3,兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：

輔助線：過(guò)點(diǎn)/、2作關(guān)于定直線加、"的對(duì)稱點(diǎn)/‘、B',連接N2‘交直線加、"于點(diǎn)P、

Q,則PA+PQ+QA的最小值為A'B

(4)如圖4,臺(tái)球兩次碰壁模型：

輔助線：同圖3輔助線作法。

n

圖3

圖4

例1.如圖，ZAOB=30°,點(diǎn)、M、N分別在邊。4、08上，且。加=3,?=5,點(diǎn)2、Q分別

在邊。8、0A±,則"P+尸。+QV的最小值是(

C.V34-2D.V35-2

例2.如圖，點(diǎn)A在y軸上，G、B兩點(diǎn)在x軸上，且G(-3,0),B(-2,0),HC與GB

關(guān)于y軸對(duì)稱，NGAH=60。，P、Q分別是AG,AH上的動(dòng)點(diǎn)，則BP+PQ+CQ的最小值是(

A.6B.7C.8D.9

模型2、將軍飲馬-線段差的最大值

【模型探究】4B為定點(diǎn)、,在定直線加上分別找兩點(diǎn)尸，使出與心的差最大。

(1)如圖1,點(diǎn)N、5在直線〃，同側(cè)：

輔助線：延長(zhǎng)交直線加于點(diǎn)P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P'A~P'B<AB,而我

—PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。

(2)如圖2,點(diǎn)N、5在直線M異側(cè)：

輔助線：過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)區(qū)連接交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB',PA-PB最大

值為AB,

例1.(2023.山東八年級(jí)期中)如圖，在^ABC中，AB=AC,AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N,

交AB于點(diǎn)M,AB=12,△BMC的周長(zhǎng)是20,若點(diǎn)P在直線MN上，則PA—PB的最大值為

例2.(2022?河南南陽(yáng)?一模)如圖，已知△N8C為等腰直角三角形，AC=BC=6,/BCD

=15°,尸為直線CO上的動(dòng)點(diǎn)，貝一尸目的最大值為.

A

D

P

CB

專題09全等模型-一線三等角（A字）模型

全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本

專題就全等三角形中的重要模型（一線三等角（K字）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方

便掌握。

模型1.一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）

【模型解讀】

在某條直線上有三個(gè)角相等,利用平角為180。與三角形內(nèi)角和為180°,證得兩個(gè)三角形全

等。

【常見(jiàn)模型及證法】

同側(cè)型一線三等角（常見(jiàn)）:

銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等

角

條件：ZL4=ZCED=ZB+CE=DE

證明思路：ZA=ZB,ZC=/BED+任一邊相等*ACE

例1.已知，在中，AB=AC,D,A,￡三點(diǎn)都在直線加上，且

⑴如圖①，若4BJ.AC,則AD與/E的數(shù)量關(guān)系為,CE與4D的數(shù)量關(guān)系

為；

D—^AEm

AEm

圖②圖③

(2)如圖②，判斷并說(shuō)明線段8。，CE與。E的數(shù)量關(guān)系；

⑶如圖③，若只保持ABDA=NAEC,BD=EF=7cm,點(diǎn)、A在線段DE上以2cm/s的速度由

點(diǎn)。向點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段E/上以xcm/s的速度由點(diǎn)￡向點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間為:(s).是否存在x,使得△48。與AE4c全等？若存在，求出相應(yīng)的/的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

模型2.一線三等角(K型圖)模型(異側(cè)型)

【模型解讀】在某條直線上有三個(gè)角相等，利用平角為180。與三角形內(nèi)角和為180。，證得

兩個(gè)三角形全等。

【常見(jiàn)模型及證法】

異側(cè)型一線三等角：

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

條件：NFAC=ZABD=/CED+任意一邊相等

證明思路：乙4=NB,NC=/BED+任一邊相等AE。=AACE

例1.(1)如圖1,直線m經(jīng)過(guò)等腰直角△ABC的直角頂點(diǎn)4過(guò)點(diǎn)B、C分別作

CE±m(xù),垂足分別是D、E.求證：BD+CE=DE；

(2)如圖2,直線m經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A,AB=AC,在直線m上取兩點(diǎn)。、E,使4DB

=/AEC=a,

補(bǔ)充N(xiāo)BAC=(用a表示)，線段BD、CE與DE之間滿足BD+CE=DE,補(bǔ)充條件后

并證明；

(3)在(2)的條件中，將直線m繞著點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖3的位置，并

例2.通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：

【模型呈現(xiàn)】⑴如圖，/84D=90。，AB=AD,過(guò)點(diǎn)8作，ZC于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作

DEJ.AC于點(diǎn)、E.由/l+/2=/2+ZD=90°,得Nl=ND.又N4CB=NAED=9。，可

以推理得到AABC經(jīng)AZME.進(jìn)而得到/C=,BC=AE.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱

為"K字"模型或"一線三等角"模型；

【模型應(yīng)用】⑵如圖，ZBAD=ZCAE=9Q°,AB=AD,AC=AE,連接8C,DE,且

3C，/尸于點(diǎn)尸，DE與直線"交于點(diǎn)G.求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn);

【深入探究】⑶如圖，已知四邊形/BCD和DEG尸為正方形，以尸。的面積為岳，MCE的

⑷如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E都在同一條直線上，四邊形KCMG、OEMW■都是

正方形，若該圖形總面積是16,正方形KCMG的面積是4,貝1]D*G的面積是

專題10全等模型-對(duì)角互補(bǔ)模型

全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本

專題就對(duì)角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

對(duì)角互補(bǔ)模型概念：對(duì)角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等

的幾何模型。

思想方法：解決此類(lèi)問(wèn)題常用的輔助線畫(huà)法主要有兩種：①過(guò)頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角

形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。

常見(jiàn)的對(duì)角互補(bǔ)模型含90。-90。對(duì)角互補(bǔ)模型、120。-60。對(duì)角互補(bǔ)模型、2a-（180°-2a）對(duì)

角互補(bǔ)模型。

模型1、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型（90°-全等型）

1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）

結(jié)論：①CD=CE,②OD+OE=COC,③s=s。緲+S.

C/zJCcACC/CACCZU2

2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）

條件：如圖，已知4DCE1的一邊與NO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，.//。臺(tái)二/0苗二冗。，OC平

分N40B.

2

結(jié)論：①CD=CE,②OE—OD=COC,?SCOF-Scnn=-OC-

ACC/CACCZM2

例1、在A42c中，ZC=90°,AC=BC=2,將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊/B的中

點(diǎn)尸處，將此三角板繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線NC、CB于點(diǎn)、D、點(diǎn)、E,

圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形.（1）觀察線段PD和PE之間有怎樣的大小關(guān)系？并

以圖②為例，并加以證明；

（2）觀察線段8、CE和2C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并以圖③為例，并加以證明；

模型2、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型（60°或120。-全等型）

條件：如圖，已知//08=2/￡>C￡=120°,OC平分//O8.

結(jié)論：①CD=CE,②OD+OE=OC,③s+S,神="oc?.

ACC/ZJACC/ZJ4

2)”等邊三角形對(duì)120。模型”(2)

條件：如圖，己知,OC平分N/O3,4DCE的一邊與30的延長(zhǎng)

線交于點(diǎn)D,.

結(jié)論：①CD=CE,②OD—OE=OC,③ss0所=之OC?.

^L，(JDACC/A4

3)“120。等腰三角形對(duì)60。模型”

條件：△ABC是等腰三角形，且/A4C=120。，/BPC=60°。結(jié)論：①PB+PC=6PA；

例1.如圖，已知/OCE與//OB,OC平分(1)如圖1,/DCE與//。8的兩邊

分別相交于點(diǎn)。、E,/AOB=/DCE=90°,試判斷線段CD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由.以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：

解：CD=CE.理由如下：如圖1,過(guò)點(diǎn)。作CTUOC,交OB于點(diǎn)、F,則/OCF=90。，…

請(qǐng)根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分.

(2)你有與小宇不同的思考方法嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的證明過(guò)程.

(3)若//O3=120°,ZDCE=60°.

①如圖3,/DCE與的兩邊分別相交于點(diǎn)。、￡時(shí)，(1)中的結(jié)論成立嗎？為什么？

線段。￡＞、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由.②如圖4,/OCE的一邊與/O的延長(zhǎng)線

相交時(shí)，請(qǐng)回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OE,OC有什么數(shù)量關(guān)

系；如圖5,NDCE的一邊與2。的延長(zhǎng)線相交時(shí)，請(qǐng)回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)

直接寫(xiě)出線段O。、OE、0c有什么數(shù)量關(guān)系.

圖3圖4圖5

模型3、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型（2々或180。-26[-全等型）

1）“2a對(duì)180。-2a模型”

條件：四邊形488中，AP=BP,ZA+ZB=18Q°結(jié)論：0P平分//OB

注意：①AP=BP,②//+48=180。，③O尸平分N/05,以上三個(gè)條件可知二推一。

2）“蝴蝶型對(duì)角互補(bǔ)模型”

例L感知：如圖①，AD平分/B4C,ZJB+ZC=180°,05=90°.判斷。8與。C的大

小關(guān)系并證明.

探究：如圖②，ND平分/B4C,ZABD+ZACD=180°,AABD<90°,DB與DC的大小

關(guān)系變嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.應(yīng)用：如圖③，四邊形/2DC中，48=45。，ZC=135°,

DB=DC=m,則N3與/C差是多少（用含加的代數(shù)式表示）

圖①圖②圖③

專題11全等模型-婆羅摩笈多

【結(jié)論1］（知中點(diǎn)得垂直）如圖，AZBC和ADBE是等腰直角三角形，連接

AD,CE,過(guò)點(diǎn)B的直線分別交AD,CE于點(diǎn)N,M,M是CE的中點(diǎn)，則

MNLAD.

【結(jié)論2］（知垂直得中點(diǎn)）如圖，“BC和ADBE是等腰直角三角形，連接

AD,CE,過(guò)點(diǎn)B的直線分別交AD,CE于點(diǎn)N,M,MN1AD,則點(diǎn)M是

CE的中點(diǎn).

典例:

如圖，AB=AE,AB1AE,AD=AC,ADLAC,點(diǎn)〃為8C的中點(diǎn)，求證:

DE=2AM.

［感知］如圖1,在四邊形48CD中,NC=ND=90。,點(diǎn)￡在邊C￡＞上，

AFDF

乙4”=90。，求證:空="［探究］如圖2,在四邊形Z8C0中,NC=N4)C=90。,

BECE

FFAF

點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)尸在邊AD的延長(zhǎng)線上,N產(chǎn)EG=NNE8=90。,且—=—，連接

EGEB

BG交CD于點(diǎn)、〃.求證:8H=G〃.

Apr)F

［拓展］如圖3,點(diǎn)E在四邊形Z8C。內(nèi),N4E5+N0EO180。,且把

EBCE

，過(guò)E作E/交AD于點(diǎn)尸，若NEE4=N/￡8,延長(zhǎng)FE交BC于HG.求證:8G=CG.